三角函數(shù)專題解三角形

1、解三角形專題1如圖，在中，,點是的中點, 求（1）邊的長；（2）的值和中線的長2在中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，S是該三角形的面積(1)若，求角B的度數(shù)(2)若a=8，B=，S=，求b的值3已知向量，設(shè)函數(shù),若函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于坐標原點對稱.（1）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值,并求出此時的取值；（2）在中，分別是角的對邊，若，求邊的長4已知向量，.（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）在中,分別是角的對邊,若，求的大小.5在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且cos(A-B)cosB-sin(A-B)sin(A+C)=-.(1)求sinA的值;(2)若a=4,b=5,求向量在方

2、向上的投影.6設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且ac6，b2，cosB.(1)求a，c的值；(2)求sin(AB)的值7在ABC中，a3，b2，B2A.(1)求cosA的值；(2)求c的值8在ABC中，角A、B、C對應(yīng)的邊分別是a、b、c.已知cos2A3cos(BC)1.(1)求角A的大?。?2)若ABC的面積S5，b5，求sinBsinC的值9在ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，ABC的周長為2，且sinAsinBsinC.(1)求邊c的長；(2)若ABC的面積為sinC，求角C的度數(shù)10在銳角ABC中，角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c.向量m(1，co

3、sB)，n(sinB，)，且mn.(1)求角B的大小；(2)若ABC面積為10，b7，求此三角形周長11已知ABC的角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，設(shè)向量m(a，b)，n(sinB，sinA)，p(b2，a2)(1)若mn，求證：ABC為等腰三角形；(2)若mp，邊長c2，角C，求ABC的面積12在銳角ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且2asinBb.(1)求角A的大小；(2)若a6，bc8，求ABC的面積13某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上在小艇出發(fā)時，輪船位于港口O北偏西30且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/時的航行速度沿正東方向勻速

4、行駛假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時與輪船相遇(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達到30海里/時，試設(shè)計航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理由14某人在汽車站M的北偏西20的方向上的A處(如圖所示)，觀察到C處有一輛汽車沿公路向M站行駛，公路的走向是M站的北偏東40.開始時，汽車到A處的距離為31km，汽車前進20km后，到A處的距離縮短了10km.問汽車還需行駛多遠，才能到達汽車站M?15在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏西75的方向，距離A2海里的B處有一艘走私

5、船，在A處北偏東45方向，距離A(1)海里的C處的緝私船奉命以10海里/小時的速度追截走私船此時，走私船正以10海里/小時的速度從B向北偏西30方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船？16如圖所示，測量河對岸的塔高AB時，能夠選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點C與D，現(xiàn)測得BCD，BDC，CDs，并在點C測得塔頂A的仰角為，求塔高AB.17要測量河對岸A、B兩點之間的距離，選擇相距km的C、D兩點，并且測得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45，求A、B之間的距離18在ABC中，A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若a1，b2，cosC.求：(1)ABC的周長；(2)cos(AC

6、)的值19在ABC中，A、B、C所對的邊長分別是a、b、c.(1)若c2，C，且ABC的面積為，求a、b的值；(2)若sinCsin(BA)sin2A，試判斷ABC的形狀20在ABC中，設(shè)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且acosCcb.(1)求角A的大??；(2)若a，b4，求邊c的大小參考答案1（1）2 （2）試題解析：（1）由可知，是銳角所以， 由正弦定理 (2) 由余弦定理： 2（1）；（2）.（1）解：角的對邊分別為，得 ，所以，從而. （2）由得，所以. 又，解得. 3（1），函數(shù)的最大值為. （2）邊的長為或. （1）由題意得： 所以 因為，所以所以當(dāng)即時，函數(shù)在區(qū)間上的最大值

7、為. （2）由得：又因為，解得：或 由題意知 ，所以則或故所求邊的長為或. 4（1）遞減區(qū)間是. （2）. （1） 所以遞減區(qū)間是. （2）由和得： 若，而又,所以因為，所以若，同理可得：，顯然不符合題意，舍去.所以 由正弦定理得： 5(1) (2) cosB=解：(1)由cos(A-B)cosB-sin(A-B)sin(A+C)=-,得cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-.則cos(A-B+B)=-,即cosA=-.又0Ab,則AB,故B=.根據(jù)余弦定理,有(4)2=52+c2-25c,解得c=1或c=-7(負值舍去)故向量在方向上的投影為cosB=.6（1）a3，c3（2

8、）【解析】(1)由余弦定理b2a2c22accosB，得b2(ac)22ac(1cosB)，又ac6，b2，cosB，所以ac9，解得a3，c3.(2)在ABC中，sinB，由正弦定理得sinA，因為ac，所以A為銳角，所以cosA，所以sin(AB)sinAcosBcosAsinB.7（1）（2）5.【解析】(1)因為a3，b2，B2A.所以在ABC中，由正弦定理得.所以.故cosA (2)由(1)知cosA，所以sinA.又因為B2A，所以cosB2cos2A1.所以sinB.在ABC中，sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB.所以c5.8（1）A60（2）【解析】(1)由

9、已知條件得：cos2A3cosA1，2cos2A3cosA20，解得cosA，A60.(2)SbcsinA5c4，由余弦定理，得a221，(2R)228，sinBsinC.9（1）（2）C60【解析】(1)在ABC中，sinAsinBsinC，由正弦定理，得abc，abccc(1)c2ab2，c.(2)在ABC中，SABCabsinCsinC，ab，即ab.又ab2，在ABC中，由余弦定理，得cosC，又在ABC中C(0，)，C6010（1）（2）20【解析】(1)mnsinBcosB，mn，mn0，sinBcosB0.ABC為銳角三角形，cosB0，tanB.0B，B.(2)SABCacsi

10、nBac，由題設(shè)ac10，得ac40.由72a2c22accosB，得49a2c2ac，(ac)2(a2c2ac)3ac49120169.ac13，三角形周長是20.11（1）見解析（2）【解析】(1)證明：mn，asinAbsinB，即ab，其中R是ABC外接圓半徑，ab.ABC為等腰三角形(2)解：由題意可知mp0，即a(b2)b(a2)0.abab.由余弦定理可知，4a2b2ab(ab)23ab，即(ab)23ab40，ab4(舍去ab1)SabsinC4sin.12（1）（2）【解析】(1)由2asinBb及正弦定理，得sinA.因為A是銳角，所以A.(2)由余弦定理a2b2c22bc

11、cosA，得b2c2bc36.又bc8，所以bc.由三角形面積公式SbcsinA，得ABC的面積為13（1）30海里/時（2）航行方向為北偏東30，航行速度為30海里/時，小艇能以最短時間與輪船相遇【解析】(1)設(shè)相遇時小艇航行的距離為S海里，則S.故當(dāng)t時，Smin10海里，此時v30海里/時即小艇以30海里/時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最小 (2)設(shè)小艇與輪船在B處相遇，則v2t2400900t222030tcos(9030)，故v2900.0v30，900900，即0，解得t.又t時，v30海里/時故v30海里/時時，t取得最小值，且最小值等于.此時，在OAB中，有OAOBAB20

12、海里，故可設(shè)計航行方案如下：航行方向為北偏東30，航行速度為30海里/時，小艇能以最短時間與輪船相遇 14汽車還需行駛15km，才能到達汽車站M.【解析】設(shè)汽車前進20km后到達B處，在ABC中，AC31，BC20，AB21，由余弦定理，得cosC，則sinC.所以sinMACsinsin120cosCcos120sinC.在MAC中，由正弦定理，得MC35，從而有MBMCBC15km.15緝私船沿北偏西60的方向能最快追上走私船【解析】由已知條件得，AB2，AC1，BAC120，BC.在ABC中，解得sinACB，ACB45，BC為水平線，設(shè)經(jīng)過時間t小時后，緝私船追上走私船，則在BCD中，

13、 BD10t，CD10t，DBC120，sinBCD，BCD30，緝私船沿北偏西60的方向能最快追上走私船16【解析】在BCD中，CBD，由正弦定理得，所以BC.在RtABC中，ABBCtanACB.17km【解析】ACD中，ACD120，CADADC30，ACCDkm.在BCD中，BCD45，BDC75，CBD60，BC.在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosACB()22cos755，ABkm.故A、B之間的距離為km.18（1）5（2）【解析】(1)因為c2a2b22abcosC1444.所以c2.所以ABC的周長為abc1225. (2)因為cosC，所以sinC.所以sinA.因為ac，所以AC，故A為銳角，所以cosA.所以cos(AC)cosAcosCsinAsinC19（1）a2，b2.（2）等腰三角形或直角三角形【解析】(1)c2，C，由余弦定理c2a2b22abcosC，得a2b2ab4.又ABC的面積為，absinC，即ab4.聯(lián)立方程組解得a2，b2.(2)由sinCsin(BA)sin2A，得sin(AB)sin(BA)2sinAcosA，即2sinBcosA2sinAcosA，cosA(sinAsinB)0，cosA0或sinAsinB0.當(dāng)cosA0時，0A，A，ABC為直角