兩角和與差正弦、余弦和正切

1、4.5 4.5 兩角和與差的正弦、余弦和正切兩角和與差的正弦、余弦和正切 要點(diǎn)梳理要點(diǎn)梳理 1.cos1.cos（- -）=cos=cos cos cos +sin +sin sin sin (C(C - -) ) cos( cos(+ +)= )= (C(C + +) ) sin( sin(- -)=sin )=sin cos cos -cos -cos sin sin (S(S - -) ) sin( sin(+ +)= (S)= (S + +) ) cos cos cos cos -sin -sin sin sin sin sin cos cos +cos +cos sin sin 基礎(chǔ)

2、知識(shí)基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí) 前面前面4 4個(gè)公式對(duì)任意的個(gè)公式對(duì)任意的，都成立，而后面兩個(gè)都成立，而后面兩個(gè) 公式成立的條件是公式成立的條件是 (T(T + +需滿足 需滿足), ), (T(T - -需滿足 需滿足) ) k kZ Z時(shí)成立，否則是不成立的時(shí)成立，否則是不成立的. .當(dāng)當(dāng) tan tan 、tan tan 或或tantan（）的值不存在時(shí)，）的值不存在時(shí)， 不能使用公式不能使用公式T T , ,處理有關(guān)問(wèn)題，應(yīng)改用誘導(dǎo) 處理有關(guān)問(wèn)題，應(yīng)改用誘導(dǎo) 公式或其它方法來(lái)解公式或其它方法來(lái)解. . )(T tantan1 tantan )tan( )(T tantan1 tanta

3、n )tan( Z,kkk, 2 , 2 2 k且 2 k 2.2.要辯證地看待和角與差角，根據(jù)需要，可以進(jìn)要辯證地看待和角與差角，根據(jù)需要，可以進(jìn) 行適當(dāng)?shù)淖儞Q：行適當(dāng)?shù)淖儞Q：=(=(+ +)-)-, ,=(=(- -) ) + +，2 2= =（+ +）+ +（- -），）， 2 2= =（+ +）- -（- -）等等）等等. . 3.3.二倍角公式二倍角公式 sin 2 sin 2= = ; ; cos 2 cos 2= = = = = = ; ; tan 2 tan 2= = . . 2sin 2sin cos cos coscos2 2-sin-sin2 22cos2cos2 2-1

4、-1 1-2sin1-2sin2 2 2 tan1 tan2 4.4.在準(zhǔn)確熟練地記住公式的基礎(chǔ)上，要靈活運(yùn)用在準(zhǔn)確熟練地記住公式的基礎(chǔ)上，要靈活運(yùn)用 公式解決問(wèn)題：如公式的正用、逆用和變形用公式解決問(wèn)題：如公式的正用、逆用和變形用 等等. .如如T T 可變形為： 可變形為： tan tan tan tan = = , , tan tan tan tan = = 5.5.函數(shù)函數(shù)f f（）= =a acos cos + +b bsin sin ( (a a, ,b b為常數(shù)為常數(shù)) )，可以，可以 化為化為f f（）= = 或或f f（）= = ，其中，其中可由可由a a，b b的值唯一的值

5、唯一 確定確定. . tan(tan()(1)(1tan tan tan tan ) ) )tan( tantan 1 = =1 )tan( tantan . . )sin( 22 ba )cos( 22 ba 基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)自測(cè) 1.cos 431.cos 43cos 77cos 77+sin 43+sin 43cos 167cos 167的值為的值為 （ ） A. B. C. D.A. B. C. D. 解析解析 原式原式=cos 43=cos 43cos(90cos(90-13-13) ) +sin 43 +sin 43cos(180cos(180-13-13) ) =cos 43 =co

6、s 43sin 13sin 13-sin 43-sin 43cos 13cos 13 =sin(13 =sin(13-43-43)=-sin 30)=-sin 30= = 2 1 2 1 3 1 3 1 . 2 1 B 2.2. ( ) ( ) 解析解析 由已知可得由已知可得 等于則且已知) 4 tan(), 2 ( 5 4 cos 7 .D 7 1 .C7.B 7 1 .A , 4 3 tan, 5 3 sin故 . 7 1 4 3 1 4 3 1 ) 4 tan( 從而 C 3.3.（20092009陜西理，陜西理，5 5）若若3sin 3sin +cos +cos =0,=0, 則則 的

7、值為（的值為（ ） A. B. C. D.-2 A. B. C. D.-2 解析解析 3sin 3sin +cos +cos =0,=0,則則 2sincos 1 2 3 10 3 5 3 2 , 3 1 tan cossin2cos cossin 2sincos 1 2 22 2 . 3 10 ) 3 1 (21 1) 3 1 ( tan21 1tan 2 2 A 4.4.已知已知tan(tan(+ +)=3)=3，tan(tan(- -)=5)=5，則，則tan 2tan 2 等于（等于（ ） A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析 tan 2tan 2=tan=tan(

8、 (+ +)+()+(- -) ) 8 1 8 1 7 4 7 4 . 7 4 14 8 531 53 )tan()tan(1 )tan()tan( D 5.5.（20092009上海理，上海理，6 6）函數(shù)函數(shù)y y=2cos=2cos2 2x x+sin 2+sin 2x x的最的最 小值是小值是 . . 解析解析 y y=2cos=2cos2 2x x+sin 2+sin 2x x=1+cos 2=1+cos 2x x+sin 2+sin 2x x y y最小值 最小值=1- . =1- .), 4 2sin(21 x2 21 題型一題型一 三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值

9、(1)(1)從把角從把角變?yōu)樽優(yōu)?入手入手, ,合理使用合理使用 公式公式. . (2) (2)應(yīng)用公式把非應(yīng)用公式把非1010角轉(zhuǎn)化為角轉(zhuǎn)化為1010的角的角, ,切切 化弦化弦. . cos22 ) 2 cos 2 )(sincossin1 ( ) 1 ( 化簡(jiǎn) ).5tan 5tan 1 (10sin 20sin2 20cos1 )2( 求值 2 );0( 題型分類題型分類 深度剖析深度剖析 解解 （1 1）原式）原式 .cos , 0 2 cos, 22 0,0 . 2 cos cos 2 cos 2 cos ) 2 cos 2 (sin 2 cos 2 cos4 ) 2 cos 2

10、)(sin 2 cos2 2 cos 2 sin2( 22 2 2 所以原式 所以所以因?yàn)?. 2 3 10sin2 10sin3 10sin2 )10sin 2 3 10cos 2 1 (210cos 10sin2 )1030sin(210cos 10sin2 20sin210cos 10cos2 10sin2 10cos 10sin 2 1 10cos 10sin 10sin2 10cos 5cos5sin 5sin5cos 10sin 10sin2 10cos ) 5cos 5sin 5sin 5cos (10sin 10cos10sin22 10cos2 )2( 22 2 原式 （1

11、1）三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循）三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看三看” 原則，一看角，二看名，三看式子結(jié)構(gòu)與特征原則，一看角，二看名，三看式子結(jié)構(gòu)與特征. . （2 2）對(duì)于給角求值問(wèn)題，往往所給角都是非特）對(duì)于給角求值問(wèn)題，往往所給角都是非特 殊角，解決這類問(wèn)題的基本思路有：殊角，解決這類問(wèn)題的基本思路有： 化為特殊角的三角函數(shù)值；化為特殊角的三角函數(shù)值； 化為正、負(fù)相消的項(xiàng)，消去求值；化為正、負(fù)相消的項(xiàng)，消去求值； 化分子、分母出現(xiàn)公約數(shù)進(jìn)行約分求值化分子、分母出現(xiàn)公約數(shù)進(jìn)行約分求值. . 知能遷移知能遷移1 1 解解 . 20cos180cos 20cos)10tan31 (50sin : 求值

12、 )10tan31 (50sin . 2 10sin2 20cos1 20cos180cos 20cos)10tan31 (50sin .10sin210sin210sin20cos180cos , 1 10cos 40sin2 50sin 10cos 10sin310cos 50sin 2 22 題型二題型二 三角函數(shù)的給值求值三角函數(shù)的給值求值 角的變換：所求角分拆成已知角的角的變換：所求角分拆成已知角的 和、差、倍角等，綜合上述公式及平方關(guān)系和、差、倍角等，綜合上述公式及平方關(guān)系. . 解解 2 , 3 2 ) 2 sin(, 9 1 ) 2 cos(且已知 . 2 cos, 2 0 ,

13、的值求 , 2 ) 2 () 2 ( 2 0 , 2 . 27 57 ) 2 sin( ) 2 sin() 2 (cos) 2 cos( 2 cos 3 5 ) 2 (sin1) 2 cos( , 9 54 ) 2 (cos1) 2 sin( . 224 , 24 2 2 角的變換：轉(zhuǎn)化為同角、特殊角、已角的變換：轉(zhuǎn)化為同角、特殊角、已 知角或它們的和、差、兩倍、一半等；如知角或它們的和、差、兩倍、一半等；如 =(=(+ +)-)-=(=(- -)+)+,2,2=(=(+ +)+)+ ( (- -) )等；等； 函數(shù)變換：弦切互化，化異名為同名函數(shù)變換：弦切互化，化異名為同名. . 綜合運(yùn)用和

14、、差、倍角與平方關(guān)系時(shí)注意角的范綜合運(yùn)用和、差、倍角與平方關(guān)系時(shí)注意角的范 圍對(duì)函數(shù)值的影響圍對(duì)函數(shù)值的影響. .當(dāng)出現(xiàn)互余、互補(bǔ)關(guān)系，利用當(dāng)出現(xiàn)互余、互補(bǔ)關(guān)系，利用 誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化. . 知能遷移知能遷移2 2 已知已知, 5 3 )cos( 等于則且 sin),0 , 2 (), 2 , 0( )( ) 65 63 .D 65 33 .C 65 63 .B 65 33 .A , 13 5 sin 解析解析 . 65 33 ) 13 5 ( 5 3 13 12 5 4 sin)cos(cos) sin()sin(sin, 13 12 cos 5 4 )sin( ). 2 , 0(,

15、 0 5 3 )cos( )., 0(),0 , 2 (), 2 , 0( 且 因此又由于 因此由于 答案答案 A 題型三題型三 三角函數(shù)的給值求角三角函數(shù)的給值求角 已知已知tan(tan(- -)= ,tan )= ,tan = ,= , 且且, ,(0,),(0,),求求2 2- -的值的值. . 對(duì)角對(duì)角2 2- -拆分為拆分為+(+(- -););拆拆 分為分為( (- -)+)+, ,先求先求tan tan , ,再求再求tan(2tan(2- -).). 解解 2 1 7 1 )tan(tan ). 2 , 0(), 0( . 0 3 1 tan)tan(1 tan)tan( 故

16、而 . 2 , 0 2 1 )tan(. 0 . 2 ,0 , 0 7 1 tan 而 2 2- -= =+(+(- -)(-,0).)(-,0). tan(2tan(2- -)=tan)=tan+(+(- -) ) . 4 3 2, 1 )tan(tan1 )tan(tan (1)(1)通過(guò)求角的某種三角函數(shù)值來(lái)求通過(guò)求角的某種三角函數(shù)值來(lái)求 角角, ,在選取函數(shù)時(shí)在選取函數(shù)時(shí), ,遵照以下原則遵照以下原則: :已知正切函數(shù)已知正切函數(shù) 值值, ,選正切函數(shù)選正切函數(shù); ;已知正、余弦函數(shù)值，選正弦已知正、余弦函數(shù)值，選正弦 或余弦函數(shù)；若角的范圍是或余弦函數(shù)；若角的范圍是 ，選正、余弦，選

17、正、余弦 皆可；若角的范圍是（皆可；若角的范圍是（0 0，），選余弦較好；），選余弦較好； 若角的范圍為若角的范圍為 ，選正弦較好，選正弦較好. . （2 2）解這類問(wèn)題的一般步驟為：）解這類問(wèn)題的一般步驟為： 求角的某一個(gè)三角函數(shù)值；求角的某一個(gè)三角函數(shù)值； 確定角的范圍；確定角的范圍； 根據(jù)角的范圍寫出所求的角根據(jù)角的范圍寫出所求的角. . ) 2 , 0( ) 2 , 2 ( 知能遷移知能遷移3 3 已知已知 (1)(1)求求sin sin 的值；的值； (2)(2)求求的值的值. . 解解 . 10 2 )cos( , 3 4 2 tan1 2 tan2 tan) 1 ( 2 . 5

18、4 sin , 1cossin. 3 4 cos sin 22 解得 又因?yàn)樗?, 2 1 2 tan, 2 0 . 4 3 ), 2 ( . 2 2 5 4 10 2 5 3 10 27 sin)cos(cos)sin( )sin(sin . 10 27 )sin(, 10 2 )cos( .0, 2 0)2( 所以因?yàn)?所以 所以因?yàn)?所以因?yàn)?題型四題型四 三角函數(shù)的綜合應(yīng)用三角函數(shù)的綜合應(yīng)用 （1212分）已知分）已知、為銳角，向量為銳角，向量a a= = (cos (cos ,sin ,sin ),),b b=(cos =(cos ,sin,sin ),),c c (1) (1)若

19、若a ab b= ,= ,a ac c= ,= ,求角求角2 2- -的值的值; ; (2) (2)若若a a= =b b+ +c c，求，求tan tan 的值的值. . （1 1）由）由 及及a a, ,b b, , c c的坐標(biāo)，可求出關(guān)于的坐標(biāo)，可求出關(guān)于、的三角函數(shù)值，進(jìn)的三角函數(shù)值，進(jìn) 而求出角而求出角. . （2 2）由）由a a= =b b+ +c c可求出關(guān)于可求出關(guān)于、的三角恒等式，的三角恒等式， 利用方程的思想解決問(wèn)題利用方程的思想解決問(wèn)題. . ). 2 1 , 2 1 ( 2 2 4 13 4 13 , 2 2 c ca ab ba a 解解 （1 1）a ab b=

20、 =（cos cos ，sin sin ） （cos cos ，sin sin ） =cos =cos cos cos +sin +sin sin sin . 22 , 2 0 , 2 0 . 4 13 sin 2 1 cos 2 1 ) 2 1 , 2 1 ()sin,(cos . 2 2 )cos( 又 aca . 6 , 4 得由得由 2 2分分 4 4分分 . 3 2 2 . 12 5 , 從而 為銳角、 6 6分分 . 03tan8tan3 , 4 3 1tan tan2 cossin cossin2 cossin2 . 4 3 cossin2 , 2 1 sincos 2 1 si

21、nsin 2 1 coscos )2( 2 222 22 又 得 可得由cba 8 8分分 1010分分 （1 1）已知三角函數(shù)值求角，一定要）已知三角函數(shù)值求角，一定要 注意角的范圍注意角的范圍. . （2 2）求有關(guān)角的三角函數(shù)問(wèn)題，有時(shí)構(gòu)造等式，）求有關(guān)角的三角函數(shù)問(wèn)題，有時(shí)構(gòu)造等式， 用方程的思想解決更簡(jiǎn)單、實(shí)用用方程的思想解決更簡(jiǎn)單、實(shí)用. . . 3 74 6 288 6 33488 tan , 0tan, 2 為銳角又 1212分分 知能遷移知能遷移4 4（20092009廣東理，廣東理，1616）已知向量已知向量a a= = (sin (sin ,-2),-2)與與b b=(1

22、,cos =(1,cos ) )互相垂直互相垂直, ,其中其中 (1)(1)求求sin sin 和和cos cos 的值的值; ; ). 2 , 0( .cos, 2 0 , 10 10 )sin()2(的值求若 解解 . 5 5 cos, 5 52 sin), 2 , 0( . 2tan, 0cos2sin,) 1 ( 又 ba )(coscos, 10 103 )cos( . 10 103 10 103 )cos(, 10 10 )sin()2( 時(shí)當(dāng) 或 ,), 2 , 0( . 0 10 2 10 10 5 52 10 103 5 5 )sin(sin)cos(cos )(coscos

23、, 10 103 )cos( . 2 2 10 10 5 52 10 103 5 5 )sin(sin)cos(cos 不合題意 時(shí)當(dāng) . 2 2 cos.舍去 方法與技巧方法與技巧 1.1.巧用公式變形：巧用公式變形： 和差角公式變形：和差角公式變形：tan tan x xtan tan y y=tan(=tan(x xy y) (1 (1tan tan x xtan tan y y);); 倍角公式變形倍角公式變形: :降冪公式降冪公式 配方變形：配方變形： 22 sin, 2 2cos1 cos ; 2 2cos1 ,) 2 cos 2 (sinsin1 2 . 2 sin2cos1 ,

24、 2 cos2cos1 22 思想方法思想方法 感悟提高感悟提高 2.2.利用輔助角公式求最值、單調(diào)區(qū)間、周期利用輔助角公式求最值、單調(diào)區(qū)間、周期. . y y= =a asin sin + +b bcos cos = = ( (+ +)()(其其 中中tan tan = )= )有有: : 3.3.重視三角函數(shù)的重視三角函數(shù)的“三變?nèi)儭保骸叭內(nèi)儭笔侵甘侵浮白冏?角、變名、變式角、變名、變式”；變角為：對(duì)角的分拆要盡；變角為：對(duì)角的分拆要盡 可能化成同名、同角、特殊角；變名：盡可能可能化成同名、同角、特殊角；變名：盡可能 減少函數(shù)名稱；變式：對(duì)式子變形一般要盡可減少函數(shù)名稱；變式：對(duì)式子

25、變形一般要盡可 能有理化、整式化、降低次數(shù)等能有理化、整式化、降低次數(shù)等. .在解決求值、在解決求值、 化簡(jiǎn)、證明問(wèn)題時(shí)化簡(jiǎn)、證明問(wèn)題時(shí), ,一般是觀察角度、函數(shù)名、一般是觀察角度、函數(shù)名、 所求（或所證明）問(wèn)題的整體形式中的差異，所求（或所證明）問(wèn)題的整體形式中的差異， 再選擇適當(dāng)?shù)娜枪胶愕茸冃卧龠x擇適當(dāng)?shù)娜枪胶愕茸冃? . sin 22 ba a b . | 22 yba 4.4.已知和角函數(shù)值，求單角或和角的三角函數(shù)值已知和角函數(shù)值，求單角或和角的三角函數(shù)值 的技巧：把已知條件的和角進(jìn)行加減或的技巧：把已知條件的和角進(jìn)行加減或2 2倍角后倍角后 再加減，觀察是不是常數(shù)角，只要是常

26、數(shù)角，再加減，觀察是不是常數(shù)角，只要是常數(shù)角， 就可以從此入手，給這個(gè)等式兩邊求某一函就可以從此入手，給這個(gè)等式兩邊求某一函 數(shù)值，可使所求的復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)化！數(shù)值，可使所求的復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)化！ 5.5.熟悉三角公式的整體結(jié)構(gòu)，靈活變換熟悉三角公式的整體結(jié)構(gòu)，靈活變換. .本節(jié)要重本節(jié)要重 視公式的推導(dǎo)，既要熟悉三角公式的代數(shù)結(jié)構(gòu)視公式的推導(dǎo)，既要熟悉三角公式的代數(shù)結(jié)構(gòu), , 更要掌握公式中角和函數(shù)名稱的特征，要體會(huì)更要掌握公式中角和函數(shù)名稱的特征，要體會(huì) 公式間的聯(lián)系，掌握常見(jiàn)的公式變形，倍角公公式間的聯(lián)系，掌握常見(jiàn)的公式變形，倍角公 式應(yīng)用是重點(diǎn)，涉及倍角或半角的都可以利用式應(yīng)用是重點(diǎn)，涉及倍角或

27、半角的都可以利用 倍角公式及其變形倍角公式及其變形. . 失誤與防范失誤與防范 1.1.運(yùn)用公式時(shí)要注意審查公式成立的條件，要注運(yùn)用公式時(shí)要注意審查公式成立的條件，要注 意和、差、倍角的相對(duì)性，要注意升次、降次意和、差、倍角的相對(duì)性，要注意升次、降次 的靈活運(yùn)用，要注意的靈活運(yùn)用，要注意“1”1”的各種變通的各種變通. . 2.2.在在(0,)(0,)范圍內(nèi)，范圍內(nèi)，sin(sin(+ +)= )= 所對(duì)應(yīng)的所對(duì)應(yīng)的 角角+ +不是唯一的不是唯一的. . 3.3.在三角求值時(shí)，往往要估計(jì)角的范圍后求值在三角求值時(shí)，往往要估計(jì)角的范圍后求值. . 2 2 一、選擇題一、選擇題 1.sin 451

28、.sin 45cos 15cos 15+cos 225+cos 225sin 15sin 15的值的值 為為 （ ） A. B. C. D.A. B. C. D. 解析解析 原式原式=sin 45=sin 45cos 15cos 15-cos 45-cos 45 sin 15 sin 15 2 3 2 1 2 1 2 3 . 2 1 30sin C 定時(shí)檢測(cè)定時(shí)檢測(cè) 2.2., 5 5 )45sin(已知 （ ） 5 4 .D 5 3 .C 5 3 .B 5 4 .A 解析解析, 5 5 2 2 )cos(sin)45sin( . 5 3 2sin . 5 2 2sin1, . 5 10 co

29、ssin 得兩邊平方 B 等于則2sin 3.3. 則已知, 3 3 ) 6 cos( 的值是 （ ） 3 32 .D 3 32 .C 3 32 .B 3 32 .A 解析解析 . 3 32 ) 6 cos() 6 (cos1 ) 6 5 cos() 6 (sin 2 2 A ) 6 5 cos() 6 (sin 2 4.4.已知向量已知向量),1), 6 (sin( a 等于則若) 3 4 sin(, ba ( )( ) 4 1 .D 4 3 .C 4 1 .B 4 3 .A 解析解析 . 4 1 ) 3 sin() 3 4 sin( . 4 1 ) 3 sin( , 03) 3 sin(3

30、43cos6sin32 3cos4) 6 sin(4 ba B ),3cos4 , 4(b 5.5. 3 2 cos(, 3 1 ) 6 sin( 則已知的值是)2 （ ） 9 7 .D 3 1 .C 3 1 .B 9 7 .A 解析解析 . 9 7 ) 6 (sin21) 6 (2cos )2 3 cos()2 3 2 cos( 2 A 6.6.在在ABCABC中中, ,角角C C=120=120,tan ,tan A A+tan +tan B B= = ，則，則 tan tan A Atan tan B B的值為的值為 ( )( ) A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析

31、 tan(tan(A A+ +B B)=-tan )=-tan C C=-tan 120=-tan 120= ,= , 3 3 2 4 1 3 1 2 1 3 5 3 . 3 1 tantan, 3 tantan1 3 3 2 , 3 tantan1 tantan )tan( BA BA BA BA BA 解得即 B 二、填空題二、填空題 7.7. . . 解析解析 )tan(, 3 cossin cossin 若 . 2tan, 3 1tan 1tan cossin cossin . 3 4 tan)tan(1 tan)tan( )tan()2tan( . 2)tan(, 2)tan( 故又

32、 3 4 )2tan(, 2則 8. 8. . . 解析解析 10cos2 70sin3 2 . 2 20cos3 )20cos3(2 20cos3 )70sin3(2 2 20cos1 2 70sin3 10cos2 70sin3 2 2 2 9.9. 已知已知 , 5 3 )sin(), 4 3 (, ) 4 cos(, 13 12 則 . 解析解析 . 65 56 13 12 ) 5 3 () 13 5 ( 5 4 ) 4 sin()sin() 4 cos()cos( ) 4 ()cos() 4 cos( , 13 5 ) 4 cos(, 5 4 )cos( , 4 3 42 ,2 2 3 ), 4 3 ( 、 65 56 ) 4 sin( 三、解答題三、解答題 10.10.化簡(jiǎn)：化簡(jiǎn)： ) 4 sin(2) 1 (x . ) 4 (sin) 4 tan(2 1cos2 )2( 2 2 解解 ) 4 cos( 2 3 ) 4 sin( 2 1 22) 1 (xx 原式 ). 12 cos(22) 46 cos(22 ) 4 cos( 6 cos) 4 si