機(jī)械振動(dòng)學(xué)習(xí)題解答1

1、機(jī)械振動(dòng)學(xué)機(jī)械振動(dòng)學(xué)習(xí)題解答（一）習(xí)題解答（一） 陳一凡 郵箱 電話 189 172 17582 此課件已上傳至ftp:/ 用戶名 yfchen 密碼 public 2012-04-13 14 一簡(jiǎn)諧振動(dòng)頻率為10 Hz，最大速度為4.57 m/s， 求其振幅、周期和最大加速度。 解：解：簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位移 速度速度幅值 加速度加速度幅值 由題意， 所以，圓頻率圓頻率 振幅周期 最大加速度 ( )sin() n x tAt ( )cos() nn x tAt 2 ( )sin() nn x tAt maxn xA 2 maxn xA max 10 Hz, 4.57 m/s n fx max 0.0

2、72734 m n x A 1/0.1 s n Tf 22 maxmax 287.14 m/s nn xAx 220 nn f 16 一臺(tái)面以一定頻率作垂直正弦運(yùn)動(dòng)，如要求臺(tái) 面上的物體保持與臺(tái)面接觸，則臺(tái)面的最大振幅可 有多大？ 解：解：對(duì)物體受力分析 當(dāng) N = 0 時(shí)，物體開始脫離臺(tái)面， 此時(shí)臺(tái)面的加速度為最大值。即 又由于 所以 x mgNmx N mg max mgmx 2 maxn xA 2 / n Ag 物體物體 臺(tái)面臺(tái)面 17 計(jì)算兩簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) 和 之和。其中 。如發(fā)生拍的現(xiàn)象，求其振幅和 拍頻。 解：解： 當(dāng) 時(shí)， 拍振的振幅為2X，拍頻為 （不是（不是 ） tXxcos 1

3、2 cosxXt 12 2 2cos()cos() 22 xxXtt 12 2cos()cos 2 xxXtt 可變振幅可變振幅 12 =80=4510cos(2)cos(80)Xxxtt例：當(dāng)，時(shí)， 2 f 振幅為10 拍頻為2Hz 拍的周期為 0.5s（不是（不是1s） 4 00.511.52 -10 0 10 10cos(2) t 10cos(2) t 可變振幅 拍振的振幅為 （假設(shè)X2較?。?，拍頻為 補(bǔ)充補(bǔ)充 若兩簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)振幅和頻率都不同： 1212 1222 122122 coscos() coscoscoscos() cos2coscos2coscos 22 xxxXtXt XtX

4、tXtXt XXtXttXXXtt 2 f 振幅為13 拍頻為1Hz 122 ( )2cos 2 A tXXXt maxmin2 2AAX 可變振幅可變振幅 00.511.52 -13 0 13 12 12 =80=485 3 10cos(2) cos(80) XX xxtt 例：當(dāng)，時(shí)， 3 10cos(2) t 22 如圖所示，長(zhǎng)度為 L、質(zhì)量為 m 的均質(zhì)剛性桿 由兩根剛度為 k 的彈簧系住，求桿繞O點(diǎn)微幅振動(dòng)的 微分方程。 解解：（：（力法力法）假設(shè)桿順時(shí)針偏轉(zhuǎn)了角， 則桿受到重力 mg 和彈簧彈力 F 產(chǎn)生的 力矩（均為逆時(shí)針方向）,其中F為兩邊 彈簧彈力之和 由動(dòng)量矩定理 得 又由

5、于 上式可化簡(jiǎn)為 2sin 2 L Fk mg F i i JT 2 cossin 322 mLLL Fmg 1cos,sin 0 223 k L mgm （能量法能量法）設(shè)系統(tǒng)處于靜平衡位置時(shí)勢(shì)能為0。當(dāng) 桿順時(shí)針偏轉(zhuǎn)角時(shí) 勢(shì)能 動(dòng)能 由能量守恒原理 化簡(jiǎn)得 cos1 2 2 sin 22 1 2 L mg L kU 2 3 2 2 1 2 2 1 mL JV 0 3 2 sin 22 2 mLL mg kL 0 223 k L mgm 0)(VU dt d 列系統(tǒng)微分方程的一般步驟列系統(tǒng)微分方程的一般步驟 力法力法 1）設(shè)系統(tǒng)相對(duì)于平衡位置發(fā)生了廣義位移x（或）； 2）分析系統(tǒng)受到的所有力

6、 （或力矩 ）； 3）由牛頓第二定律 （或動(dòng)量矩定理 ） 列方程。 能量法能量法 1）設(shè)系統(tǒng)相對(duì)于平衡位置發(fā)生了廣義位移x（或）； 2）寫出系統(tǒng)勢(shì)能U（包括重力勢(shì)能mgh和彈簧彈性勢(shì) 能 ），動(dòng)能V= （或 ），耗散能P： 3）由能量守恒原理 列方程。 i F ()0 d UVP dt i T i i Fmx i i TJ 2 1 2 kx 2 1 2 mx 2 1 2 J 2 dP cx dt 25 求圖示彈簧質(zhì)量滑輪系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程。 解解：（：（力法力法）靜平衡時(shí)有： （為彈簧的伸長(zhǎng)量） 假設(shè)彈簧相對(duì)于平衡位置伸長(zhǎng)x，則圓 盤沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)過x/r角 質(zhì)量m 圓盤M 聯(lián)立得 mg F

7、x M, r k mgk mxmgF 2 () 2 Mrx Frk xr r 0 2 kxxm M 考慮考慮 若假設(shè)彈簧相對(duì)于平衡位置縮短x，會(huì)如何？ FF （能量法能量法）設(shè)系統(tǒng)處于靜平衡位置時(shí)勢(shì)能為0， 當(dāng)彈簧相對(duì)于平衡位置伸長(zhǎng)x時(shí) 勢(shì)能 動(dòng)能 由能量守恒原理 化簡(jiǎn)得 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 kxmgxkxkx mgxkxkU m x M, r k 2 2 1 2 2 2 2 1 xm r xMr V 0)(VU dt d 0 2 kxxm M kmg靜平衡關(guān)系注意：重物和彈簧滿足 可見，計(jì)算勢(shì)能時(shí)，若系統(tǒng)靜平衡時(shí)已有彈簧可見，計(jì)算勢(shì)能時(shí)，若系統(tǒng)靜平衡時(shí)已有彈簧 發(fā)

8、生靜變形，則參與靜平衡的質(zhì)量的重力勢(shì)能發(fā)生靜變形，則參與靜平衡的質(zhì)量的重力勢(shì)能 恰好與彈簧靜變形的彈性勢(shì)能抵消，可以不寫。恰好與彈簧靜變形的彈性勢(shì)能抵消，可以不寫。 解解：（：（力法力法）靜平衡時(shí)（假設(shè)此時(shí)彈簧被壓縮，即m3 的力矩大于m1的力矩） 假設(shè)L2桿順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角 由動(dòng)量矩定理 化簡(jiǎn)得 2 3 2 43434332211 2 433 2 2 2 2 1 1 cLLLkLLkLLgmgLmgLm LLmLmLm 26 圖示系統(tǒng)垂直放置，L2桿處于鉛垂位置時(shí)系統(tǒng) 靜平衡，求系統(tǒng)作微振動(dòng)的微分方程。（剛性桿質(zhì) 量忽略） TJ 1143433 gLmLLkLLgm 22 222 1122334

9、32234 0m Lm LmLLcLm gLk LL 注：阻尼元件的耗散能等于阻尼力所做的功，即注：阻尼元件的耗散能等于阻尼力所做的功，即 所以所以 （能量法能量法）設(shè)系統(tǒng)處于靜平衡位置時(shí)勢(shì)能為0 勢(shì)能 動(dòng)能 耗散能 由能量守恒原理 化簡(jiǎn)得 22 3 cLP dt d 0PVU dt d 22 222 112233432234 0m Lm LmLLcLm gLk LL 0 x Pcxdx 2 dPdP dx cx xcx dtdxdt m1和和m3參與靜平衡，參與靜平衡， 重力勢(shì)能抵消了彈重力勢(shì)能抵消了彈 簧靜變形的勢(shì)能?；伸o變形的勢(shì)能。 222 1122334 111 ()()() 222

10、Vm Lm LmLL 2 3422 1 () (1 cos ) 2 Uk LLm gL 27 求圖示系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程。（剛性桿質(zhì)量忽 略） 解解：（：（能量法能量法）設(shè)系統(tǒng)處于靜平衡位置時(shí)勢(shì)能為0 動(dòng)能 勢(shì)能 由能量守恒原理 化簡(jiǎn)得 2 2 2 122 11 22 r a Ukkr b 0)(VU dt d m1參與靜平衡，重力勢(shì)能抵消了彈簧參與靜平衡，重力勢(shì)能抵消了彈簧k1和和 k2靜變形的勢(shì)能。靜變形的勢(shì)能。 2 2222 21 1122 2 2 0 a JMrm rkrk r b 211 求圖所示系統(tǒng)對(duì)于廣義坐標(biāo) x 的等效剛度。 解解：對(duì)小車m沿x方向施加作用力F，使小車產(chǎn)生位移 x

11、。則彈簧k1伸長(zhǎng) ，彈簧k2伸長(zhǎng) 。小車受力 其中 所以等效剛度 cosx/ax b 11 22 22222 cos / / Fk x F bF ak ax b aFk xab 222 12 /cos/ e kFxkk ab 12 cosFFF 2 F F2 F F1 F2 212 一質(zhì)量為 m、長(zhǎng)度為 L 的均勻剛性桿，在距 左端O為 nL 處設(shè)一支承點(diǎn)，如圖所示。求桿對(duì)O點(diǎn) 的等效質(zhì)量。 解解：設(shè)彈簧k以速度 發(fā)生變形，則桿的質(zhì)心的運(yùn)動(dòng) 速度為 于是系統(tǒng)動(dòng)能： 而等效系統(tǒng)的動(dòng)能： 由Ve=V，得 繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)隨質(zhì)心平動(dòng) x 22 2 22 11111 2 222 1222 cc mLxn V

12、Jmxmx nLn 2 12 2 L c nLn xxx nLn 2 1 2 ee Vm x 2 11 1 3 e mm nn 213 如圖所示，懸臂梁長(zhǎng)度為L(zhǎng)，彎曲剛度為EI， 質(zhì)量不計(jì)。求系統(tǒng)的等效剛度和等效質(zhì)量。 解解：當(dāng)懸臂梁在自由端受到彎曲力F時(shí)，自由端的 位移為 ，所以懸臂梁自由端的等效剛度為 3 3 3 kLEI EIk b kk b kk e k 3 3 3 3 / L EI EI FL FxF b k 而系統(tǒng)的等效剛度相當(dāng)于懸臂 梁的等效剛度與彈簧k串聯(lián) 系統(tǒng)的等效質(zhì)量 e mm 3 3 FL x EI 計(jì)算系統(tǒng)等效剛度、等效質(zhì)量的方法計(jì)算系統(tǒng)等效剛度、等效質(zhì)量的方法 1）計(jì)

13、算等效剛度的原則是利用等效前后系統(tǒng)彈性勢(shì) 能不變。但通常只需根據(jù)剛度的定義即可算出。即： 在質(zhì)量上施加外力F，使其發(fā)生位移x，則ke=F/x。 2）計(jì)算等效質(zhì)量的原則是利用等效前后系統(tǒng)動(dòng)能不 變。即：令彈簧以速度 發(fā)生變形， 3）計(jì)算系統(tǒng)等效剛度時(shí)，也可“分部”計(jì)算，即： 把系統(tǒng)分成幾個(gè)部分，計(jì)算每部分的等效剛度，再把 各個(gè)剛度串聯(lián)或并聯(lián)起來。 x 31 如圖所示，設(shè)桿a和桿b為質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣矩可忽 略的剛性桿，并能在圖示平面內(nèi)自由移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)。 求質(zhì)量m上、下振動(dòng)的固有頻率。 解解：在a點(diǎn)施加豎直作用力Fa，使其產(chǎn)生位移 xa，并設(shè)此時(shí)k1變形x1，k2變形x2。由桿a受到 的力矩平衡，知 。所

14、以a點(diǎn)等效剛度 12 / 2 a xxx 1 12222 12122212 211 4 / 2/ 2 a a a Fk xk xk x k kkxxxk xkx 3 3123 11111 11 44 a a k kkkkk 1 122 k xk x ka與k3串聯(lián)后的等效剛度為 b點(diǎn)的等效剛度計(jì)算與a點(diǎn)類似： 于是質(zhì)量m的固有頻率/ nb km 341234 111111 44 44 b a k kkkkkk 33 如圖所示，一長(zhǎng)度為L(zhǎng)、質(zhì)量為m的均勻剛性桿 鉸接在O點(diǎn)，并以彈簧和粘性阻尼器支承。求：(1) 系統(tǒng)作微振動(dòng)的微分方程；(2) 系統(tǒng)的無阻尼固有頻 率；(3) 系統(tǒng)的臨界阻尼。 解解

15、：(1)（力法） 化簡(jiǎn)得 (2) (3)根據(jù)臨界阻尼時(shí)的條件 得到 注意：臨界阻尼是指阻尼元件注意：臨界阻尼是指阻尼元件c的的 臨界值，不是系統(tǒng)阻尼項(xiàng)的臨界值。臨界值，不是系統(tǒng)阻尼項(xiàng)的臨界值。 35 如圖所示，質(zhì)量為 m1的重物懸掛在剛度為 k 的彈簧上并處于靜平衡位置，質(zhì)量為 m2的重物從高 度為 h 處自由降落到m1 上而無彈跳，求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng) 規(guī)律。 解解：系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為簡(jiǎn)諧振動(dòng)： 且系統(tǒng)位于平衡位置處的彈簧伸長(zhǎng)量 所以系統(tǒng)的初始位移，即m1單獨(dú)懸掛時(shí)的彈簧 伸長(zhǎng)量減去平衡位置處彈簧伸長(zhǎng)量 而系統(tǒng)的初始速度可根據(jù)兩物體接觸瞬間所滿足的動(dòng)量定理得到 m2 m1 k 2 10 m g cx

16、k kmm gh m x c 21 2 2 0 2 21 mm k 12 /mmg k 2120 2mghmmx 52 一振動(dòng)系統(tǒng)具有下列參數(shù)：質(zhì)量m = 17.5kg， 彈簧剛度k = 70.0 N/cm，粘性阻尼系數(shù)c = 0.70 Ns/cm。求：(1)阻尼比；(2)有阻尼固有頻率；(3)對(duì) 數(shù)衰減率；(4)任意二相臨振幅比值。 解解：(1) (2) (3) (4) 1 . 0 70005 .172 70 ,2 c c c mk c c )/(9 .19 5 .17 7000 01. 01 2 1srad nd 631. 0 2 1 2 1 1.879 n n x e x 54 帶粘性阻尼的單自由度系統(tǒng)，等效質(zhì)量m = 5 kg，等效剛度k = 10 kN/m，其任意兩相鄰振