2003年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試北京卷

1、2003年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）數(shù)學(xué)（文史類）本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分.第I卷1至2頁，第n卷3至10頁，共150分，考試時間120分鐘.第I卷（選擇題共50 分）注意事項：1.答第I卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考試科目用鉛筆涂寫在答題卡上.2每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦 干凈后，再選涂其它答案，不能答在試題卷上.3考試結(jié)束，監(jiān)考人將本試卷和答題卡一并收回.參考公式：三角函數(shù)的和差化積公式sin ： cosJ4-2 -二sin（二 5 ） _sin（： _ -）2COS -： cosJsin 二

2、 sin ：二一 cos（j ，）cos（-：，）正棱臺、圓臺的側(cè)面積公式S臺側(cè)（c c）l其中c c分別表示上、下底面周長，l表示斜高或母線長球體的體積公式其中R表示球的半徑、選擇題：本大題共 10小題，第小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有 一項是符合題目要求的.(1)設(shè)集合 A=xx? _1 0 , B =x log2x：0，則 Anb 等于(A)xx1(C)xX -(2)設(shè)y=/ 0.9c 0.414, y2 =8,丫3 =(舟2(A)y3 y y2(C)y1 y y3(3)“ 8a=-”是“a =2k 兀2(A)必要非充分條件(C)充分必要條件(4)已知a、P是平面，m

3、、n是直線.(A)若m a, an B=n ,貝U m I(B)若m II n, m 丄 a,貝U n丄a(C)若m丄a, m丄P,則a I B(D)若m 丄 a, muP,則a丄Pn(5)丄5 ,則(B) xx 0頂點(6)(7)(D)(B)(D)x x ： -1 或 x 1y2y1y3%y3y2(B )充分非必要條件(D )既非充分又非必要條件F列命題中不正確的是如圖，直線I: x-2y *2=0過橢圓的左焦點F1和一個B該橢圓的離心率為(A)-5215(D)-5若z C且|z+ 2 2i|= 1，貝U |z 2- 2i|的最小值是(A) 2(B) 3(C) 4JBJ。丿(D) 5如果圓臺

4、的母線與底面成60角，那么這個圓臺的側(cè)面積與軸截面面積的比為-15 -(A) 2二（8）若數(shù)列an的通項公式是an3（一1廣3,n = 1, 2,則 lim (a1a2. an)njtzi等于（A）丄24（9）從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出(B)11（C）：（D）-623種，分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上，其中黃瓜必須種植，不同的種植方法共有(A) 24 種(B) 18 種(C) 12 種(B) 7.2（D） 6 種（10）某班試用電子投票系統(tǒng)選舉班干部候選人，全班k名同學(xué)都有選舉權(quán)和被選舉權(quán)，他們的編號分別為1，2, ,， k.規(guī)定：同意按“ 1”，不同意（含棄權(quán)）按“ 0”.令a

5、jJ ,第i號同學(xué)同意第j號同學(xué)當(dāng)選， ：0,第i號同學(xué)不同意第j號同學(xué)當(dāng)選,其中i = 1, 2, , , k.且j = 1, 2, , , k.則同時同意第1, 2號同學(xué)當(dāng)選的人數(shù)為(A) a11- a12-. -a1k- a21-a22-. -a2k(B) ana21-. -ak1- a12-a22- . -ak2(C)&1&12&2向22.ak2ak2(D) a11a21 a12a22. a1ka2k第H卷（非選擇題共100 分）注意事項：1 第H卷共9頁，用鋼筆或圓珠筆直接答在試題卷中.2 答卷前將密封線內(nèi)的項目填寫清楚.:、填空題：本大題共 4小題，每小題4分，共16分，把答案填在

6、題中橫線上.(11) 已知某球體的體積與其表面積的數(shù)值相等，則此球體的半徑為(12) 函數(shù) f (x) =lg(1+x2) , g(x)=2|x|, h(x)=tan2x 中，是偶函數(shù).2 2(13) 以雙曲線x 仝=1的右頂點為頂點，左焦點為焦點的拋物線的方程是169(14 )將長度為1的鐵絲分成兩段，分別圍成一個正方形和一個圓形，要使正方形與圓的面積之和最小，正方形的周長應(yīng)為 三、解答題：本大題共 6小題，共84分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.(15) (本小題滿分13分)已知函數(shù) f(x)二 cos x2sinxcosxsin x .(I)求f(x)的最小正周期；(n)求f

7、(x)的最大值、最小值.(16)(本小題滿分13分)已知數(shù)列an是等差數(shù)列，且a 2, a1 a2 a3 = 12.(I)求數(shù)列an的通項公式；(n)令bn二an 3n，求數(shù)列0前n項和的公式.(17)(本小題滿分15分)如圖，正三棱柱 ABC AiBiCi中，D是BC的中點，AB= (A)A(I)求證：AiD 丄 BiCi；(n)求點D到平面ACCi的距離；(川)判斷AiB與平面ADCi的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.(i8)(本小題滿分i5分)如圖，Ai、A為橢圓的兩個頂點，F(xiàn)i、的兩個焦點.(I)寫出橢圓的方程及其準(zhǔn)線方程;(n)過線段OA上異于O, A的任一點的垂線，交橢圓于 P, Pi兩

8、點點，直線 AiP與APi交于點M .2 2求證：點M在雙曲線-=1上.259(19)(本小題滿分14分)有三個新興城鎮(zhèn)，分別位于A, B, C三點處，且 AB = AC= 13km , BC= 10km .今計劃 合建一個中心醫(yī)院， 為同時方便三鎮(zhèn)，準(zhǔn)備建在BC的垂直平分線上的P點處.(建立坐標(biāo)系如圖)(I)若希望點 P到三鎮(zhèn)距離的平方和為最小，點P應(yīng)位于何處？(H)若希望點 P到三鎮(zhèn)的最遠距離為最小，點P應(yīng)位于何處？(20)(本小題滿分14分)設(shè)y二f(x)是定義在區(qū)間1, 1上的函數(shù)，且滿足條件:(i) f(_1)=f(1)=0 ；(ii) 對任意的 u, v - 1, 1，都有 | f

9、(U)-f(V)|W |U-V| .(I)證明：對任意的 x - 1, 1,都有 x_1 W f (x) W 1-x ；1 + x x e _1 0)(n)判斷函數(shù)g(x)=丿是否滿足題設(shè)條件；1 -x,0,1(川)在區(qū)間-1, 1上是否存在滿足題設(shè)條件的函數(shù)y = f(x)，且使得對任意的u,v - 1 , 1,都有 I f (u) - f (v)| = I U -V I .若存在，請舉一例；若不存在，請說明理由.2003年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(北京卷)數(shù)學(xué)參考答案(文史類)、選擇題：本題考查基本知識和基本運算每小題5分，滿分50分.(1 )A(2) D(3) A(4) A(5) D

10、(6) B(7) C(8) B(9) B(10) C二、填空題：本題考查基本知識和基本運算每小題4分，滿分16 分.(11)3(12)f(X), g(x)(13) y2 二 _36(x -4)4(14)/二 4三、解答題：本大題共 6小題，共84分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.(15)本小題主要考查三角函數(shù)的倍角、和角公式，以及三角函數(shù)的性質(zhì)等基本知識；考查運算能力滿分13 分.(I)解:因為f (x) = cos x -2sinxcosx - sin2 x二 cos2x -sin 2x所以f (x)(n)解:因為的最小正周期T =-=二.2f(x 2cos(2),所以f(x)的最

11、大值為 2 ,4最小值為-、.2 .(16) 本小題主要考查等差、 等比數(shù)列等基本知識； 考查綜合運用數(shù)學(xué)知識和方法解決問題的能力滿分13分.(I)解：設(shè)數(shù)列an的公差為d,則 a1 a2 a3a1 3d =12,又 a - 2,得 d = 2 .所以an =2n .(n)解：由 bn = an 3 =2n3，得Sn =2 3 4 32 (2n -2) 3nJ 2n 3n,3Sn-232432. - (2n- 2)3n2n3n 1 將式減去式，得一2& =2(3 323n) 一2n 3n 1= 3(3n -1)-2n 3n 13(1 -3n)n1所以Snn 3.2(17) 本小題主要考查直線與

12、平面的位置關(guān)系，正棱柱的性質(zhì)等基本知識， 考查空間想象能力和邏輯推理能力滿分 15分.(I)證法一：點 D是正 ABC中BC邊的中點， AD丄B ( C)又A1A丄底面ABC,： A1D丄B (C)/ BC / B1C1,二 AQ丄 B1C1.證法二：連結(jié)A1C,則A1C = A1.點D是等腰 A1C B的底邊BC的中點, A1D 丄 BC / BC / B1C1,二 Ap丄 B1C1.(n)解法一：作 DE丄AC于E,平面ACC1丄平面AB (C) DE丄平面ACC1于E,在 Rt ADC 中,AC =2CD 二 a , AD即DE的長為點D到平面ACC1的距離.所求距離DE二CDa.AC

13、4解法二：設(shè)點 D到平面ACC1的距離為x.體積 VC1 ACD =Vd ACC,.1 .3 211a CC1a CCi x ,3 83 23 3 x a，即點d到平面ACC1的距離為a 4 4(川)答：直線 AjB/平面ADC證明如下：證法一：如圖1，連結(jié)A1C交AC1于F,貝U F為A1C的中點./ D 是 BC 的中點， DF / A1 (B)又 DF 二平面 ADC1, A1 B 二平面 ADC1,- A1B/平面 ADC1.證法二：如圖 2,取 C1B1 的中點 D1,貝U AD / A1D1, C1D / D1 B, AD /平面 A1D1B，且 C1D /平面 A1D1B,平面

14、ADC 1 / 平面 A1D1 (B)A1B二平面 A1D1B,- AB/平面 ADC1.1圖1圖2(18) 本小題主要考查直線、 橢圓和雙曲線等基本知識； 考查分析問題和解決問題的能力.滿分15分.(I)解：由圖可知：a =5 , c =4，所以b ha2 -c2 =3 .2 2該橢圓的方程為11，準(zhǔn)線方程為259(n)證明：設(shè)K點坐標(biāo)為(x0,0).點P,Pi的坐標(biāo)分別記為(x0,y0),(x0, -y0)，其中 0 ： x : 5，則2Xo252y。9-ii -直線AiP, PiA的方程分別為:(Xo 5)y =y(x 5),” (5 -Xo)y 二 y(x -5).” 式除以式得x05

15、x55 - x。x - 5化簡上式得x =，代入式得y=y.X。X。于是，直線AiP與APi的交點M的從標(biāo)為(25 , 5.XoXo因為i /25、2 i/5y、225(訂(石)2 2 所以，直線AiP與APi的交點M在雙曲線 -= i上.259(i9)本小題主要考查函數(shù)， 不等式等基本知識； 考查運用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的 能力.滿分i4分.(I)解：設(shè) P的坐標(biāo)為(o , y)，貝U P至三鎮(zhèn)距離的平方和為f(y) =2(25 y2) (i2-y)2= 3(y-4)2 i46 ,所以，當(dāng)y = 4時，函數(shù)f（y）取得最小值.n）解法一：P至三鎮(zhèn)的最遠距離為答：點P的坐標(biāo)是（0,4）

16、g(yJK,當(dāng)更12沖jJ12-y| ,當(dāng)芒5 + y2 -20 -這時P到A, B, C三點的最遠距離為 PiC或P2A,且PiC MC , P2AMA，所以，點P與外心M重合時，P到三鎮(zhèn)的最遠距離最小.119答：點P的坐標(biāo)為(0 ,竺).24(20) 本小題主要考查函數(shù)和不等式等基本知識，考查綜合運用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力滿分14分.(I)證明：由題設(shè)條件可得，當(dāng)X，一1,1時，有|f(x)|=| f(x)-f(1)|E|x-1|=1-x即 x 1 乞 f(X)乞1 X(n)答：函數(shù) g(x)滿足題設(shè)條件驗證如下：g(-1) =0弋(1).對任意的u, v 1 , 1,當(dāng) u, v 0, 1時，有 | g(u) -g(v) |=|(1 -u) - (1 - v)| =|u -v| ；當(dāng) u, v 1, 0時，同理有 | g(u) - g(v) | = |