2020版第8章第4節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

1、第四節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系考綱傳真1能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓的位置關(guān)系；能根據(jù)給定兩個(gè)圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系 2能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問題.3.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想.1. 直線與圓的位置關(guān)系(1) 三種位置關(guān)系：相交、相切、相離.(2) 兩種研究方法：代數(shù)法聯(lián)立方程組消去xy得一元二次方程,c 0?相交二0?相切V 0?相離幾何法I71 d二8相切.(/r相離2. 圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓 Oi： (x ai)2 + (y bi)2= ri(ri0),圓 02： (x a2)2 + (y b2)2= r2(r20).位置關(guān)系幾何法：圓心距d與ri,

2、 r2的關(guān)系代數(shù)法：兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況外離dr1 + r2無解外切d = r1 + r2一組實(shí)數(shù)解相交|r1 r2|dr1 + r2兩組不同的實(shí)數(shù)解內(nèi)切d =r1 r2(r1 工一組實(shí)數(shù)解內(nèi)含o d|r1 2|(門工 r2)無解常用結(jié)論1. 圓的切線方程常用結(jié)論過圓x2 + y2 = r2上一點(diǎn)P(xo, yo)的圓的切線方程為xox+yoy= r2(2) 過圓(x a)2 + (y b)2= r2 上一點(diǎn) P(xo, yo)的圓的切線方程為(xo a)(x a)2+ (yo b)(y b) = r .(3) 過圓x2 + y2=r2外一點(diǎn)M(xo, yo)作圓的兩條切線，則兩切

3、點(diǎn)所在直線方2程為 xox+yoy= r .2. 圓與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論(1) 兩圓的位置關(guān)系與公切線的條數(shù)：內(nèi)含：0條；內(nèi)切：1條；相交： 2條；外切：3條；外離：4條.(2) 當(dāng)兩圓相交時(shí)，兩圓方程(x2, y2項(xiàng)系數(shù)相同)相減便可得公共弦所在直線 的方程.基礎(chǔ)自測(cè)1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“V”，錯(cuò)誤的打“x”)“k= T是“直線x y+ k= O與圓x2 + y2= 1相交”的必要不充分條件.()(2) 如果兩個(gè)圓的方程組成的方程組只有一組實(shí)數(shù)解，則兩圓外切.()(3) 如果兩圓的圓心距小于兩半徑之和，則兩圓相交.()(4) 若兩圓相交，則兩圓方程相減消去二次項(xiàng)

4、后得到的二元一次方程是公共弦所在直線的方程.()(5) 過圓0: x2 + y2 = r2上一點(diǎn)P(xo，yo)的圓的切線方程是xox+ yoy= r2.()答案X (2)X (3)X VV2 .直線x y+ 1 = 0與圓(x+ 1)2 +寸=1的位置關(guān)系是()A .相切B. 直線過圓心C. 直線不過圓心，但與圓相交00,D. 相離依題意知圓心為(1,0),到直線x y+ 1 = 0的距離d =所以直線過圓心.3. (教材改編)圓(x+ 2)2 + y2= 4與圓(x2)2 + (y 1)2= 9的位置關(guān)系為()A .內(nèi)切B.相交 C.外切D .相離B兩圓圓心分別為(2,0), (2,1),

5、半徑分別為2和3,圓心距d=；42+ 1=17. : 3 2d3+ 2,二兩圓相交.4. 已知直線I: y= k(x+ 3)和圓C: x2+ (y 1)2= 1,若直線I與圓C相切,則 k=()A. 0B. 3C.f 或 0D. .3或 0因?yàn)橹本€I與圓C相切，所以圓心C到直線I的距離d =匕+仝=11 + k2解得k= 0或k= , 3,故選D.5. 直線x + 2y = 0被圓C: x2 + y2 6x 2y 15= 0所截得的弦長(zhǎng)等于由已知圓心C(3,1)，半徑r =5.又圓心C到直線I的距離d =|3+ 2|.5,則弦長(zhǎng)=2 ；r2 d2 = 4 5.直線與圓的位置關(guān)系1.若直線x+

6、my= 2+ m與圓X + y2-2x2y+ 1= 0相交，則實(shí)數(shù)m的取值 范圍為()A. ( x,+x )B . ( x, 0)C. (0,+x)D . ( x, o)u (0,+x)D 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x 1)2+ (y 1)2= 1,圓心C(1,1),半徑r = 1.|1+ m 2 m|因?yàn)橹本€與圓相交，所以d= 0或m0.故選D.冷1 + m22 .圓 x2 + y2 2x+4y= 0 與直線 2tx y 2 2t = 0(t R)的位置關(guān)系為()A .相離C.相交B .相切D .以上都有可能C 直線 2tx y 2 2t= 0 恒過點(diǎn)(1, 2), v 12+ ( 2)2 2X 1

7、+ 4X ( 2)=50, 點(diǎn)(1, 2)在圓 x2 + y2 2x + 4y= 0 內(nèi)，直線 2tx y 2 2t = 0 與圓x2+ y2 2x+ 4y= 0 相交，故選 C.3. 圓(x 3)2 + (y 3)2 = 9上到直線3x+4y 11 = 0的距離等于1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)C. 3C 如圖所示，因?yàn)閳A心到直線的距離為|9+ 12- 11|5=2,又因?yàn)閳A的半徑為3,所以直線與圓相交，故圓上到直線的距離為1的點(diǎn)有3個(gè).規(guī)律方法判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法1幾何法：利用d與r的關(guān)系.2代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用 判斷.3點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓 相交.

8、,上述方法中最常用的是幾何法，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法適用于動(dòng)直線問題圓與圓的位置關(guān)系【例 1】 已知圓 C1： (xa)2 + (y+ 2)2=4 與圓 C2： (x+ b)2 + (y+ 2)2= 1 相外切，則ab的最大值為（）B2C.9 D. 2 3C 由圓Ci與圓C2相外切，可得 J a+ b2+ 2 + 22 = 2+ 1 = 3,即（a+b）2 = 9,根據(jù)基本（均值）不等式可知aba+ b 2 9 可=4,當(dāng)且僅當(dāng)a= b時(shí)等號(hào)成立.故選C.拓展探究把本例中的“外切”變?yōu)椤皟?nèi)切”，求 ab的最大值.解由 Ci 與 C2 內(nèi)切得-a+ b 2+ 2 + 2 2= 1.2a + b 2

9、1即（a+ b）2= 1,又ab 廠 =4,當(dāng)且僅當(dāng)a= b時(shí)等號(hào)成立，故ab的最1大值為玄.規(guī)律方法判斷圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，一般用幾何法，其步驟是1確定兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑長(zhǎng)；2利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式求出圓心距d和r1 + r2, |r1 r2|的值；3比較d, r1+ r2,1 切的大小，寫出結(jié)論.已知兩圓 C1： x2 + y2 2x 6y 1=0 和 C2： x2 + y2 10x 12y+ 45= 0.求證：圓Cl和圓C2相交；(2)求圓Ci和圓C2的公共弦所在直線的方程和公共弦長(zhǎng).解證明：圓Ci的圓心為Ci(1,3),半徑ri= . 11,圓C2的圓心為C2(5,6), 半徑2

10、= 4,兩圓圓心距 d= |CiC2|= 5, ri + r2= 11 + 4, |ri-r2= 4- , 11, |ri r2|v dv ri+ r2,圓Ci和C2相交.(2)圓Ci和圓C2的方程左、右兩邊分別相減，得 4x+ 3y 23= 0, 兩圓的 公共弦所在直線的方程為4x+ 3y 23= 0.|20+ 18 23|圓心C2(5,6)到直線4x+ 3y 23= 0的距離=3,彳16+ 9故公共弦長(zhǎng)為2 ；16 9= 2.7.直線與圓的綜合問題?考法1圓的切線問題【例2】(1)已知圓的方程為x2+ y2= 1,則在y軸上截距為一 2的切線方程為()A. y=x+ 2B. y= x+ 2

11、C. y=x+ 2或 y= x+ 2D. x= 1 或 y= x+ 2(2)(2019惠州第一次調(diào)研)過點(diǎn)A(3,4)作圓C: (x 2)2 + (y 3)2= 2的切線I, 則切線I的方程為.C(2)x + y 7= 0 (1)在y軸上截距為.2且斜率不存在的直線顯然不是切線，故設(shè)切線方程為y= kx+/2,則 能= 1,所以k= 1，故所求切線方 屮2+ 1程為 y=x+ ,2或 y= x + 2.(2)設(shè)切線I的方程為y= kx+ b,點(diǎn)A(3,4)在切線I上，故4 = 3k+ b.圓C: (x22|2k+ b 3| k+1|2)2 + (y 3)2= 2的圓心(2,3)到切線I的距離d

12、 = =羽，可得=寸 1 + k2p 1 + k2.2,解得k= 1,故b= 7,切線I的方程為x+y 7= 0.?考法2直線與圓相交的弦長(zhǎng)問題【例3】(1)直線x+ 3y 2 = 0與圓x2 +=4相交于A, B兩點(diǎn)，則弦AB的長(zhǎng)為.(2)設(shè)圓x2 + y2 2x 2y 2 = 0的圓心為C,直線I過(0,3)與圓C交于A, B兩點(diǎn)，若AB| = 2 ,3則直線I的方程為()A. 3x+ 4y 12 = 0 或 4x 3y+ 9= 0B. 3x+ 4y 12= 0 或 x = 0C. 4x 3y+ 9 = 0 或 x= 0D. 3x 4y+ 12 = 0 或 4x+ 3y+ 9= 0(1)

13、2 3 QB (1) 圓x2 + y2= 4的圓心為點(diǎn)(0,0)，半徑r = 2, a圓心到直線 x+ 3y 2 = 0 的距離1, a 弦長(zhǎng) |AB|= 2 4 1 = 23.(2) 當(dāng)直線I的斜率不存在，即直線I的方程為x= 0時(shí)，弦長(zhǎng)為23,符合題意；當(dāng)直線I的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線I的方程為y= kx+ 3,由弦長(zhǎng)為2 3,半徑為2可知，圓心到該直線的距離為1, 從而有= 1,解得k= 3綜/k2+14上，直線I的方程為x= 0或3x+ 4y 12= 0,選B.?考法3直線、圓與相關(guān)知識(shí)的交匯【例4】(2015全國(guó)卷I )已知過點(diǎn)A(0,1)且斜率為k的直線I與圓C: (x 2)2 +

14、(y 3尸=1交于M, N兩點(diǎn).(1)求k的取值范圍；若OM ON= 12,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|MN|.解(1)由題設(shè)可知直線I的方程為y= kx+1.|2k 3+ 1|因?yàn)橹本€I與圓C交于兩點(diǎn)，所以 2 1,寸1 + k24 74+ .7解得k0的前提下，利用根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng).(2) 幾何方法：若弦心距為d,圓的半徑長(zhǎng)為r，貝U弦長(zhǎng)I = 2 r(1)過點(diǎn)(3,1)作圓(x 2)2+ (y 2)2=4的弦，其中最短弦的長(zhǎng)為.(2)若直線I: x+ y= m與曲線C: y= 1 x2有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，則 m的 取值范圍是. 2 2 1,2)設(shè) P(3,1)，圓心 C(2,

15、2)，則 |PC|= 2 半徑 r= 2，由題意知最短的弦過P(3,1)且與PC垂直，所以最短弦長(zhǎng)為2；22 2 2= 2 2. 畫出圖象如圖，當(dāng)直線I經(jīng)過點(diǎn)A，B時(shí)，m= 1,此時(shí)直線I與曲線y= 1 x2有兩個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)直線I與曲線相切時(shí)， m二 2, 因此當(dāng)K m 2時(shí)， 直線I: x+ y= m與曲線y=- ：1 x2有且只有兩個(gè)公共點(diǎn). d2.1. （2018全國(guó)卷川）直線x+ y+ 2= 0分別與x軸，y軸交于A, B兩點(diǎn)，點(diǎn)P 在圓（x-2）2 + y2= 2上，則 ABP面積的取值范圍是（）A. 2,6B . 4,8C. 2, 3 2D. 2 2，3 2A 由題意知圓心的坐標(biāo)為

16、(2,0)，半徑r = .2,圓心到直線x + y+ 2 = 0的距離d=弓旦 =2么，所以圓上的點(diǎn)到直線的最大距離是 d+ r = 3邁，最小距W+1離是 d-r = 2.易知 A( 2,0)，B(0，- 2)，所以 |AB|= 2 2,所以 2 8abpW 6.故選A.2. (2018全國(guó)卷I )直線y= x+ 1與圓x2 + y2 + 2y 3= 0交于A, B兩點(diǎn)，則|AB| =.2 2 由題意知圓的方程為x2 + (y+ 1)2 = 4，所以圓心坐標(biāo)為(0, 1),半 徑為2,則圓心到直線y=x+ 1的距離d = 121|= 2 ，所以 AB|= 222 . 22 =2 2.3. (

17、2016全國(guó)卷I )設(shè)直線y=x+ 2a與圓C: x2 + y2 2ay 2= 0相交于A,B兩點(diǎn)，若AB|= 2質(zhì)，則圓C的面積為.4 n 圓 C: x2 + y2 2ay 2= 0 化為標(biāo)準(zhǔn)方程是 C: x2 + (y a)2= a2 + 2,所以圓心C(0, a)，半徑r = ；a2+ 2JAB|= 2 3,點(diǎn)C到直線y=x+ 2a即x y+ 2a=0的距離d =|0 丁司，由勾股定理得今2+ l0譽(yù)2 + 2, 解得a2= 2,所以r = 2,所以圓C的面積為nX 22 = 4 n .4. (2017全國(guó)卷川)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線y=x2 + mx 2與x軸交于A, B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,1).當(dāng)m變化時(shí)，解答下列問題：(1) 能否出現(xiàn)AC丄BC的情況？說明理由；(2) 證明過A, B, C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為定值.解(1)不能出現(xiàn)AC丄BC的情況.理由如下：設(shè) A(x1,0), B(x2,0)，則 x1, x2 滿足 x2 + m