高中數學蘇教版選修2-1學案：2.4.2拋物線的幾何性質Word版含解析

1、2.4.2拋物線的幾何性質1掌握拋物線的簡單幾何性質(重點)2會用拋物線的幾何性質處理簡單問題(難點)3直線與拋物線的公共點問題(易錯點)基礎初探教材整理1拋物線的幾何性質閱讀教材P52表格的部分，完成下列問題.類型y22px(p0)y22px(p0)x22py (p0)x22py(p0)圖象性質焦點FFFF準線xxyy范圍x0，yRx0，yRxR，y0xR，y0對稱軸x軸y軸頂點O(0,0)離心率e1開口方向向右向左向上向下1判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)拋物線是中心對稱圖形()(2)拋物線的范圍是xR.()(3)拋物線是軸對稱圖形()(4)過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦長是p.

2、()(5)拋物線x22py(p0)上任意一點P(x0，y0)到其焦點的距離是x0.()【答案】(1)(2)(3)(4)(5)2拋物線y2px2(p0)的開口方向是_【解析】法一：y2px2(p0)可以看作是二次函數，2p0，開口方向向上法二：拋物線y2px2(p0)的標準方程是x2y，0，開口方向向上【答案】向上教材整理2拋物線的焦點弦、通徑閱讀教材P52例1上面的部分，完成下列問題拋物線的焦點弦即為過焦點F的直線與拋物線所成的相交弦弦長公式為ABx1x2p，在所有的焦點弦中以垂直于對稱軸的焦點弦弦長最短，A0B02p，稱為拋物線的通徑1過拋物線y24x的焦點F做垂直于拋物線對稱軸的直線，交拋

3、物線于A，B兩點，則線段AB的長為_【解析】易知線段AB為拋物線的通徑，所以AB4.【答案】42如圖242，過拋物線x24y的焦點作直線垂直于y軸，交拋物線于A，B兩點，O為拋物線的頂點，則OAB的面積是_圖242【解析】F(0，1)，將y1代入得xA2，AB4，SOAB412.【答案】2質疑手記預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：小組合作型拋物線的幾何性質(1)已知雙曲線C1：1(a0，b0)的離心率為2.若拋物線C2：x22py (p0)的焦點到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程為_(2)已知拋物線的焦點F在x軸正

4、半軸上，直線l過F且垂直于x軸，l與拋物線交于A，B兩點，O是坐標原點，若OAB的面積等于4，則此拋物線的標準方程為_【自主解答】(1)雙曲線C1：1(a0，b0)的離心率為2，2，ba，雙曲線的漸近線方程為xy0，拋物線C2：x22py(p0)的焦點到雙曲線的漸近線的距離為2，p8.所求的拋物線方程為x216y.(2)不妨設拋物線的方程為y22px，如圖所示，AB是拋物線的通徑，AB2p，又OFp，SOABABOF2ppp24，故p2.所以拋物線的方程為y24x.【答案】(1)x216y(2)y24x利用拋物線幾何性質可以解決的問題1對稱性：解決拋物線的內接三角形問題2焦點、準線：解決與拋物

5、線的定義有關的問題3范圍：解決與拋物線有關的最值問題4焦點：解決焦點弦問題再練一題1(2016全國卷改編)設F為拋物線C：y24x的焦點，曲線y(k0)與C交于點P，PFx軸，則k_.【解析】y24x，F(1,0)又曲線y(k0)與C交于點P，PFx軸，P(1,2)將點P(1,2)的坐標代入y(k0)得k2.【答案】2拋物線的最值問題求拋物線yx2上的點到直線4x3y80的最小距離. 【導學號：09390044】【精彩點撥】本題的解法有兩種：法一，設P(t，t2)為拋物線上一點，點P到直線的距離為d，再利用二次函數求最小距離；法二，設直線4x3ym0與直線4x3y80平行且與拋物線相切，求出m

6、的值后，再利用兩平行線間的距離公式求最小距離【自主解答】法一：設P(t，t2)為拋物線上的點，它到直線4x3y80的距離d2.當t時，d有最小值.法二：如圖，設與直線4x3y80平行的拋物線的切線方程為4x3ym0，由消去y得3x24xm0，1612m0，m.最小距離為.拋物線中最值的求解策略1可借助于拋物線的有關知識轉化為函數的最值求解，但要注意拋物線的范圍2當條件中有關于拋物線上的點P到焦點F的距離問題一定要考慮拋物線的定義，注意點P到F的距離與點P到準線距離的轉化再練一題2已知直線l1：4x3y60和直線l2：x1，拋物線y24x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是_【解析

7、】因為拋物線的方程為y24x，所以焦點坐標F(1,0)，準線方程為x1，所以設P到準線的距離為PB，則PBPF，P到直線l1：4x3y60的距離為PA，所以PAPBPAPFFD，其中FD為焦點到直線4x3y60的距離，所以FD2，所以距離之和最小值是2.【答案】2探究共研型拋物線的幾何性質探究1從幾何性質上看，拋物線與雙曲線有何區(qū)別和聯系？【提示】(1)拋物線的幾何性質和雙曲線幾何性質比較起來，差別較大，它的離心率為1，只有一個焦點、一個頂點、一條對稱軸、一條準線，它沒有對稱中心(2)拋物線與雙曲線的一支，盡管它們都是不封閉的有開口的光滑曲線，但是它們的圖象性質是完全不同的事實上，從開口的變化

8、規(guī)律來看，雙曲線的開口是越來越闊，而拋物線開口越來越趨于扁平探究2如何認識拋物線的焦點弦？【提示】如圖，AB是拋物線y22px(p0)過焦點F的一條弦，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點M(x0，y0)，相應的準線為l.(1)以AB為直徑的圓必與準線l相切；(2)AB2(焦點弦長與中點關系)；(3)ABx1x2p；(4)若直線AB的傾斜角為，則AB；如當90時，AB叫拋物線的通徑，是焦點弦中最短的；(5)A，B兩點的橫坐標之積、縱坐標之積為定值，即x1x2，y1y2p2；(6).探究3設拋物線上任意一點P(x0，y0)，焦點弦端點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則四種標準形式

9、下的焦半徑PF、焦點弦AB，如何表示【提示】標準方程y22px(p0)y22px(p0)x22py (p0)x22py(p0)焦半徑PFPFx0PFx0PFy0PFy0焦點弦ABABx1x2pABpx1x2ABy1y2pABpy1y2已知過拋物線y22px(p0)的焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，且ABp，求AB所在的直線方程【精彩點撥】求AB所在直線的方程的關鍵是確定直線的斜率k，利用直線AB過焦點F，ABx1x2pp求解【自主解答】由題意可知，拋物線y22px(p0)的準線為x.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B到拋物線準線的距離分別為dA，dB.由拋物線的定義，知AFdAx1

10、，BFdBx2，于是ABx1x2pp，x1x2p.當x1x2時，AB2p0)，如何判斷直線與拋物線的交點個數？【提示】直線與拋物線交點的個數等價于方程組的解的個數，也等價于方程ky22py2bp0的解的個數(1)若k0，當0時，直線和拋物線相交，有兩個公共點；當0時，直線和拋物線相切，有一個公共點；當0)相交，有一個公共點特別地，當直線l的斜率不存在時，設直線l的方程為xm，則當m0時，l與拋物線相交，有兩個公共點；當m0時，l與拋物線相切，有一個公共點；當m0，得2b10，即b0)的所有焦點弦中，弦長的最小值為_【解析】通徑長為2p.【答案】2p2過拋物線y24x的焦點作直線與拋物線相交于P

11、(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點，若x1x28，則PQ的值為_. 【導學號：09390046】【解析】PQx1x2210.【答案】103直線l：yxb與拋物線C：x24y相切于點A，則實數b的值為_【解析】由得x24x4b0，因為直線l與拋物線C相切，所以(4)24(4b)0，解得b1.【答案】14已知拋物線C：yx2，則過拋物線焦點F且斜率為的直線l被拋物線截得的線段長為_【解析】由題意得l的方程為yx1，即x2(y1)代入拋物線方程，得y(y1)2，即y23y10.設線段端點坐標為(x1，y1)，(x2，y2)，則線段長度為y1y2p5.【答案】55若拋物線y24x的焦點為F，過F且斜

12、率為1的直線交拋物線于A，B兩點，動點P在曲線y24x(y0)上，求PAB的面積的最小值【解】由題意，得p2，直線AB過拋物線的焦點(1,0)，所以直線AB的方程為yx1，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由可得x26x10，所以x1x26，x1x21，則AB8.設P，則點P到直線AB的距離為d，PAB的面積SABd2，即PAB的面積的最小值是2. 我還有這些不足：(1)(2)我的課下提升方案：(1)(2)學業(yè)分層測評(建議用時：45分鐘)學業(yè)達標一、填空題1拋物線焦點在x軸上，直線y3與拋物線交于點A，AF5，則該拋物線的方程是_【解析】設拋物線的標準方程為y22ax(a0)，設A(m，

13、3)由拋物線定義得5AF，又(3)22am，a1或a9，故所求拋物線的標準方程為y22x或y218x.【答案】y22x或y218x2拋物線y24x的弦AB垂直于x軸，若AB4，則焦點到弦AB的距離為_【解析】由題意我們不妨設A(x,2)，則(2)24x，x3，直線AB的方程為x3，拋物線的焦點為(1,0)，焦點到弦AB的距離為2.【答案】23在拋物線y216x內，過點(2,1)且被此點平分的弦AB所在直線的方程是_. 【導學號：09390047】【解析】顯然斜率不存在時的直線不符合題意設直線斜率為k，則直線方程為y1k(x2)，由消去x得ky216y16(12k)0，y1y22(y1，y2分別

14、是A，B的縱坐標)，k8，代入得y8x15.【答案】y8x154已知過拋物線：x的焦點F的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，若x1x27，則AB的值為_【解析】因為x，所以y22x，所以拋物線的準線方程為x，根據拋物線的定義知AFx1，BFx2，所以ABAFBF1(x1x2)1(7)8.【答案】85直線yk(x1)與拋物線y28x有兩個交點，則實數k的取值范圍是_【解析】聯立直線與拋物線方程，得所以ky28y8k0.由題意得解得k，且k0.所以實數k的取值范圍是(，0)(0，)【答案】(，0)(0，)6已知拋物線E：y24x的焦點為F，P是E的準線l上一點，Q是直線PF與E

15、的一個交點若，則直線PF的方程為_. 【導學號：09390048】【解析】拋物線E：y24x的焦點F(1,0)，設Q到l的距離為d，則QFd.，|d，直線的傾斜角為45或135，直線的斜率為1，直線的方程為xy10或xy10.【答案】xy10或xy107如圖243是拋物線形拱橋，當水面在l時，拱頂離水面2 m，水面寬4 m水位下降1 m后，水面寬_ m.圖243 【解析】建立如圖平面直角坐標系，設拋物線方程為x22py(p0)由題意A(2，2)，代入x22py，得p1，故x22y.設B(x，3)，代入x22y中，得x，故水面寬為2 m.【答案】28設點A的坐標為(a,0)(aR)，則曲線y22

16、x上的點到A點的距離的最小值為_. 【導學號：09390049】【解析】設拋物線上的點到A點的距離為d，拋物線上任一點的坐標為(x，y)，則d2(xa)2y2x2(2a2)xa2x(a1)2(2a1)因為x0，)，所以當a10，即a1時，d2a1，dmin；當a10，即a1時，當x0時，da2，dmin|a|.【答案】(a1)或|a|(a0)有一個內接直角三角形，直角頂點在原點，兩直角邊OA與OB的長分別為1和8，求拋物線的方程【解】設直線OA的方程為ykx，k0，則直線OB的方程為yx，由得x0(舍)或x，A點坐標為，B點坐標為(2pk2，2pk)，由|OA|1，|OB|8，可得解方程組得k

17、664，即k24.則p2，又p0，則p，故所求拋物線方程為y2x.10已知過拋物線y22px(p0)的焦點，斜率為2的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)兩點，且|AB|9.(1)求該拋物線的方程；(2)O為坐標原點，C為拋物線上一點，若，求的值【解】(1)直線AB的方程是y2，與y22px聯立，從而有4x25pxp20，所以x1x2，由拋物線定義得，|AB|x1x2pp9，所以p4，從而拋物線方程為y28x.(2)由于p4,4x25pxp20可化簡為x25x40，從而x11，x24，y12，y24，從而A(1，2)，B(4，4)；設C(x3，y3)，則(x3，y3)(

18、1，2)(4,4)(41,42)，又y8x3，即2(21)28(41)，即(21)241，解得0或2.能力提升1等腰直角三角形AOB內接于拋物線y22px(p0)，O為拋物線的頂點，OAOB，則AOB的面積為_【解析】由條件，不妨設lOA為yx，解方程組得x2p，所以A(2p,2p)故SAOB2(2p)(2p)4p2.【答案】4p22過拋物線yax2(a0)的焦點F作一條直線交拋物線于P，Q兩點，若線段PF與FQ的長分別為m，n，則_.【解析】由焦點弦性質，知，拋物線的標準方程為x2y(a0)，2p，p，4a，即4a.【答案】4a3已知拋物線yx2與雙曲線x21(a0)有共同的焦點F，O為坐標原點，P在x軸上方且在雙曲線，