【步步高 通用（理）】2014屆高三二輪專題突破 專題三 第1講.doc

1、第1講等差數(shù)列、等比數(shù)列【高考考情解讀】高考對本講知識的考查主要是以下兩種形式：1.以選擇題、填空題的形式考查，主要利用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式及其性質(zhì)解決與項(xiàng)、和有關(guān)的計算問題，屬于基礎(chǔ)題；2.以解答題的形式考查，主要是等差、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式及其性質(zhì)等知識交匯綜合命題，考查用數(shù)列知識分析問題、解決問題的能力，屬低、中檔題1 an與Sn的關(guān)系Sna1a2an，an2 等差數(shù)列和等比數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列定義anan1常數(shù)(n2)常數(shù)(n2)通項(xiàng)公式ana1(n1)dana1qn1(q0)判定方法(1)定義法(2)中項(xiàng)公式法：2an1anan2(n1)an為等差

2、數(shù)列(3)通項(xiàng)公式法：anpnq(p、q為常數(shù))an為等差數(shù)列(4)前n項(xiàng)和公式法：SnAn2Bn(A、B為常數(shù))an為等差數(shù)列(5)an為等比數(shù)列，an0logaan為等差數(shù)列(1)定義法(2)中項(xiàng)公式法：aanan2(n1)(an0)an為等比數(shù)列(3)通項(xiàng)公式法：ancqn(c、q均是不為0的常數(shù)，nN*)an為等比數(shù)列(4)an為等差數(shù)列aan為等比數(shù)列(a0且a1)性質(zhì)(1)若m、n、p、qN*，且mnpq，則amanapaq(2)anam(nm)d(3)Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等差數(shù)列(1)若m、n、p、qN*，且mnpq，則amanapaq(2)anamqnm(3)等

3、比數(shù)列依次每n項(xiàng)和(Sn0)仍成等比數(shù)列前n項(xiàng)和Snna1d(1)q1，Sn(2)q1，Snna1考點(diǎn)一與等差數(shù)列有關(guān)的問題例1在等差數(shù)列an中，滿足3a55a8，Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和(1)若a10，當(dāng)Sn取得最大值時，求n的值；(2)若a146，記bn，求bn的最小值解(1)設(shè)an的公差為d，則由3a55a8，得3(a14d)5(a17d)，da1.Snna1a1n2a1na1(n12)2a1.a10，當(dāng)n12時，Sn取得最大值(2)由(1)及a146，得d(46)4，an46(n1)44n50，Sn46n42n248n.bn2n5225232，當(dāng)且僅當(dāng)2n，即n5時，等號成立故bn的最

4、小值為32. (1)在等差數(shù)列問題中其最基本的量是首項(xiàng)和公差，只要根據(jù)已知條件求出這兩個量，其他問題就可隨之而解，這就是解決等差數(shù)列問題的基本方法，其中蘊(yùn)含著方程思想的運(yùn)用(2)等差數(shù)列的性質(zhì)若m，n，p，qN*，且mnpq，則amanapaq；Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等差數(shù)列；aman(mn)dd(m，nN*)；(A2n1，B2n1分別為an，bn的前2n1項(xiàng)的和)(3)數(shù)列an是等差數(shù)列的充要條件是其前n項(xiàng)和公式Snf(n)是n的二次函數(shù)或一次函數(shù)且不含常數(shù)項(xiàng)，即SnAn2Bn(A2B20) (1)(2012浙江)設(shè)Sn是公差為d(d0)的無窮等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則下列命題

5、錯誤的是()A若d0，則數(shù)列Sn有最大項(xiàng)B若數(shù)列Sn有最大項(xiàng)，則d0D若對任意nN*，均有Sn0，則數(shù)列Sn是遞增數(shù)列(2)(2013課標(biāo)全國)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，Sm12，Sm0，Sm13，則m等于()A3 B4 C5 D6答案(1)C(2)C解析(1)利用函數(shù)思想，通過討論Snn2n的單調(diào)性判斷設(shè)an的首項(xiàng)為a1，則Snna1n(n1)dn2n.由二次函數(shù)性質(zhì)知Sn有最大值時，則d0，不妨設(shè)a11，d2，顯然Sn是遞增數(shù)列，但S110，d0，Sn必是遞增數(shù)列，D正確(2)am2，am13，故d1，因?yàn)镾m0，故ma1d0，故a1，因?yàn)閍mam15，故amam12a1(2m1)d

6、(m1)2m15，即m5.考點(diǎn)二與等比數(shù)列有關(guān)的問題例2(1)(2012課標(biāo)全國)已知an為等比數(shù)列，a4a72，a5a68，則a1a10等于()A7 B5 C5 D7(2)(2012浙江)設(shè)公比為q(q0)的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若S23a22，S43a42，則q_.答案(1)D(2)解析(1)利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解由解得或或a1a10a1(1q9)7.(2)利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式求解S4S2a3a43a22a3a43a42，將a3a2q，a4a2q2代入得，3a22a2qa2q23a2q22，化簡得2q2q30，解得q(q1不合題意，舍去) (1)證明數(shù)列是等比數(shù)列的

7、兩個方法：利用定義：(nN*)是常數(shù)，利用等比中項(xiàng)aan1an1(n2，nN*)(2)等比數(shù)列中的五個量：a1，an，q，n，Sn可以“知三求二”(3)an為等比數(shù)列，其性質(zhì)如下：若m、n、r、sN*，且mnrs，則amanaras；anamqnm；Sn，S2nSn，S3nS2n成等比數(shù)列(q1)(4)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sn能“知三求二”；注意討論公比q是否為1；a10. (1)(2013課標(biāo)全國)若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snan，則an的通項(xiàng)公式是an_.答案(2)n1解析當(dāng)n1時，a11；當(dāng)n2時，anSnSn1anan1，故2，故an(2)n1.(2)(2013湖北)已知Sn是等比數(shù)列an

8、的前n項(xiàng)和，S4，S2，S3成等差數(shù)列，且a2a3a418.求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；是否存在正整數(shù)n，使得Sn2 013？若存在，求出符合條件的所有n的集合；若不存在，說明理由解設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則a10，q0.由題意得即解得故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an3(2)n1.由有Sn1(2)n.假設(shè)存在n，使得Sn2 013，則1(2)n2 013，即(2)n2 012.當(dāng)n為偶數(shù)時，(2)n0.上式不成立；當(dāng)n為奇數(shù)時，(2)n2n2 012，即2n2 012，則n11.綜上，存在符合條件的正整數(shù)n，且所有這樣的n的集合為n|n2k1，kN，k5考點(diǎn)三等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用例3已知等差數(shù)列

9、an的公差為1，且a2a7a126.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an與前n項(xiàng)和Sn；(2)將數(shù)列an的前4項(xiàng)抽去其中一項(xiàng)后，剩下三項(xiàng)按原來順序恰為等比數(shù)列bn的前3項(xiàng)，記bn的前n項(xiàng)和為Tn，若存在mN*，使對任意nN*，總有SnTm恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍解(1)由a2a7a126得a72，a14，an5n，從而Sn.(2)由題意知b14，b22，b31，設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q，則q，Tm81()m，()m隨m增加而遞減，Tm為遞增數(shù)列，得4Tm8.又Sn(n29n)(n)2，故(Sn)maxS4S510，若存在mN*，使對任意nN*總有SnTm，則106. 等差(比)數(shù)列的綜合問題的常見類

10、型及解法(1)等差數(shù)列與等比數(shù)列交匯的問題，常用“基本量法”求解，但有時靈活地運(yùn)用性質(zhì)，可使運(yùn)算簡便(2)等差數(shù)列、等比數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式等的交匯問題，求解時用等差(比)數(shù)列的相關(guān)知識，將問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)、方程、不等式等問題求解即可 已知數(shù)列an滿足a13，an13an3n(nN*)，數(shù)列bn滿足bn3nan.(1)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列；(2)設(shè)Sn，求滿足不等式的所有正整數(shù)n的值(1)證明由bn3nan得an3nbn，則an13n1bn1.代入an13an3n中，得3n1bn13n1bn3n，即得bn1bn.所以數(shù)列bn是等差數(shù)列(2)解因?yàn)閿?shù)列bn是首項(xiàng)為b131a11，公差

11、為的等差數(shù)列，則bn1(n1)，則an3nbn(n2)3n1，從而有3n1，故Sn13323n1，則，由，得，即33n127，得1n4.故滿足不等式0an為遞增數(shù)列，Sn有最小值d0，由題意知a3a12a2，即a1q2a12a1q.因?yàn)閍10，所以有q22q10，由此解得q1，又q0，所以q1.所以q2(1)232.2 已知正項(xiàng)等比數(shù)列an滿足a7a62a5，若存在兩項(xiàng)am，an使得4a1，則的最小值為()A. B. C. D不存在答案A解析因?yàn)閍7a62a5，所以q2q20，解得q2或q1(舍去)又4a1，所以mn6.則(mn).當(dāng)且僅當(dāng)，即n2m時，等號成立此時m2，n4.3 已知等差數(shù)列

12、an的前n項(xiàng)的和為Sn，等比數(shù)列bn的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比是q，且滿足：a13，b11，b2S212，S2b2q.(1)求an與bn；(2)設(shè)cn3bn2，若數(shù)列cn是遞增數(shù)列，求的取值范圍解(1)由已知可得所以q2q120，解得q3或q4(舍)，從而a26，所以an3n，bn3n1.(2)由(1)知，cn3bn23n2n.由題意，得cn1cn對任意的nN*恒成立，即3n12n13n2n恒成立，亦即2n23n恒成立，即2n恒成立由于函數(shù)yn是增函數(shù)，所以min23，故3，即的取值范圍為(，3)(推薦時間：60分鐘)一、選擇題1 (2013江西)等比數(shù)列x,3x3,6x6，的第四項(xiàng)等于()A24

13、B0 C12 D24答案A解析由x,3x3,6x6成等比數(shù)列得，(3x3)2x(6x6)解得x3或x1(不合題意，舍去)故數(shù)列的第四項(xiàng)為24.2 (2013課標(biāo)全國)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知S3a210a1，a59，則a1等于()A. B C. D答案C解析設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由S3a210a1得a1a2a3a210a1，即a39a1，q29，又a5a1q49，所以a1.3 (2013課標(biāo)全國)設(shè)首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則()ASn2an1 BSn3an2CSn43an DSn32an答案D解析Sn32an.故選D.4 在等差數(shù)列an中，a50且a6|a

14、5|，Sn是數(shù)列的前n項(xiàng)的和，則下列說法正確的是()AS1，S2，S3均小于0，S4，S5，S6均大于0BS1，S2，S5均小于0，S6，S7，均大于0CS1，S2，S9均小于0，S10，S11均大于0DS1，S2，S11均小于0，S12，S13均大于0答案C解析由題意可知a6a50，故S100，而S99a50，且a1a2a1030，則a5a6的最大值等于_答案9解析由a1a2a1030得a5a66，又an0，a5a6229.10已知數(shù)列an的首項(xiàng)為a12，且an1(a1a2an) (nN*)，記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則Sn_，an_.答案2n1解析由an1(a1a2an) (nN*)，可

15、得an1Sn，所以Sn1SnSn，即Sn1Sn，由此可知數(shù)列Sn是一個等比數(shù)列，其中首項(xiàng)S1a12，公比為，所以Sn2n1，由此得an三、解答題11已知an是以a為首項(xiàng)，q為公比的等比數(shù)列，Sn為它的前n項(xiàng)和(1)當(dāng)S1，S3，S4成等差數(shù)列時，求q的值；(2)當(dāng)Sm，Sn，Sl成等差數(shù)列時，求證：對任意自然數(shù)k，amk，ank，alk也成等差數(shù)列(1)解由已知，得anaqn1，因此S1a，S3a(1qq2)，S4a(1qq2q3)當(dāng)S1，S3，S4成等差數(shù)列時，S4S3S3S1，可得aq3aqaq2，化簡得q2q10.解得q.(2)證明若q1，則an的各項(xiàng)均為a，此時amk，ank，alk顯

16、然成等差數(shù)列若q1，由Sm，Sn，Sl成等差數(shù)列可得SmSl2Sn，即，整理得qmql2qn.因此，amkalkaqk1(qmql)2aqnk12ank.所以amk，ank，alk成等差數(shù)列12已知數(shù)列an滿足a1，a2，an12anan1(n2，nN*)，數(shù)列bn滿足b1，3bnbn1n(n2，nN*)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)證明：數(shù)列bnan為等比數(shù)列，并求出數(shù)列bn的通項(xiàng)公式(1)解由an12anan1(n2，nN*)，可得an1ananan1(n2，nN*)所以數(shù)列an是首項(xiàng)為a1，公差為da2a1的等差數(shù)列所以ana1(n1)dn(nN*)，即ann(nN*)(2)證明由3bnbn1n，得bnbn1n(n2，nN*)所以bnanbn1nnbn1n(bn1an1)，又b1a10，所以bnan0(nN*)，得(n2，nN*)，即數(shù)列bnan是首項(xiàng)為b1a1，公比為的等比數(shù)列