秋九級數(shù)學上冊特殊平行四邊形菱形的性質(zhì)與判定新版北師大版

1、生活觀察 很多服裝設計者在設計服裝的時候，往很多服裝設計者在設計服裝的時候，往 往青睞于菱形圖案的設計往青睞于菱形圖案的設計.這是因為菱形的這是因為菱形的 特殊因素能給人一種舒服的感覺特殊因素能給人一種舒服的感覺. 那么那么,我們怎樣判斷一個四邊形是否是菱我們怎樣判斷一個四邊形是否是菱 形呢形呢? 溫故知新 邊邊:兩組對邊分兩組對邊分 別平行；兩組別平行；兩組 對邊分別相等；對邊分別相等； 一組對邊平行一組對邊平行 且相等且相等. 角角:兩組對角分兩組對角分 別相等的四邊別相等的四邊 形是平行四邊形是平行四邊 形形. 對角線：對角線互相平分的四邊形 對角線對角線:對角線對角線 互相平分的四互相

2、平分的四 邊形是平行四邊形是平行四 邊形邊形. 平行四邊形平行四邊形菱形菱形 有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形. 學學 習習 新新 知知 證明證明:四邊形四邊形ABCDABCD是平行四邊形是平行四邊形 OA=OC 又ACBD BDBD是線段是線段ACAC的垂直平分線的垂直平分線 BA=BCBA=BC 四邊形四邊形ABCDABCD是菱形是菱形( (菱形定義菱形定義) ) 菱形的判定（菱形的判定（1） 學習活動 用一長一短兩根細木條,在它們的中點處固 定一個小釘,做成一個可動的十字,四周圍上 一根橡皮筋,做成一個四邊形. (1)轉(zhuǎn)動木條,這個四邊形 總有什么特征?

3、對角線互相平分對角線互相平分 學習活動 （2）繼續(xù)轉(zhuǎn)動木條）繼續(xù)轉(zhuǎn)動木條,觀察什么時候橡皮筋觀察什么時候橡皮筋 圍成的四邊形變成菱形圍成的四邊形變成菱形? 當木條互相垂直時當木條互相垂直時 學生活動 （3）你的猜想是什么）你的猜想是什么? 如果一個平行四邊形的兩條對角線互相垂直如果一個平行四邊形的兩條對角線互相垂直, 那么這個平行四邊形是菱形那么這個平行四邊形是菱形. 證明猜想證明猜想 已知:在 ABCD中,對角線AC,BD互相垂直. 求證 ABCD是菱形. ABCD是菱形(有一組鄰邊相 等的平行四邊形是菱形). 證明:四邊形ABCD是平行四邊形, OA=OC(平行四邊形的對角線 互相平分).

4、又ACBD, BD所在的直線是線段AC的垂直平分線, AB=BC, 畫一畫畫一畫 畫兩條等長的線段AB,AD,然后分別以B,D為圓 心,AB長為半徑畫弧,得到兩弧的交點C,連接 BC,CD,就得到了一個四邊形,猜一猜,這是什么四 邊形? 做一做做一做 我們?nèi)绾萎嬕粋€菱形呢我們?nèi)绾萎嬕粋€菱形呢? 通常先畫兩條等長的線段AB,AD,然后 分別以B,D為圓心,AB長為半徑畫弧,得 到兩弧交點C,連接BC,CD即可. 想一想想一想 小明是這樣做的：將一張長方形的紙對小明是這樣做的：將一張長方形的紙對 折、再對折，然后沿圖中的虛線剪下，打開折、再對折，然后沿圖中的虛線剪下，打開 即可即可.你知道其中的道

5、理嗎？你知道其中的道理嗎？ 菱形的判定定理演示 定理：對角線互相垂直的平行四定理：對角線互相垂直的平行四 邊形是菱形邊形是菱形. 定理：四邊相等的四邊形是菱形定理：四邊相等的四邊形是菱形. 例題講解 例例1 猜想:四條邊相等的四邊形是菱形. 如圖所示,在四邊形ABCD,已知 AB=BC=CD=DA. 求證四邊形ABCD是菱形. 證明:AB=CD,BC=AD, 四邊形ABCD是平行四邊形(兩組對 邊分別相等的四邊形是平行四邊形). 又AB=BC, 平行四邊形ABCD是菱形(有一組鄰邊相 等的平行四邊形是菱形). 例題講解例題講解 例例2 在 ABCD中,已知對角線AC與BD相 交于點O,AB=

6、,OA=2,OB=1. 求證 ABCD是菱形. 5 5 ABCD是菱形(對角線互相垂 直的平行四邊形是菱形). 證明:在AOB中,AB= ,OA=2,OB=1, 222 ABAOOB AOB是直角三角形,即AOB是直角. ACBD. 知識拓展 (1)菱形的判斷可以從兩個基本 圖形(四邊形或平行四邊形)考 慮,進行證明. (2)菱形的性質(zhì)定理和菱形的判 定定理是互逆定理. 四條邊都相等四條邊都相等 菱形菱形 一組鄰邊相等一組鄰邊相等 對角線互相垂直對角線互相垂直 對角線互相平分對角線互相平分 一組對邊平行且相等一組對邊平行且相等 兩組對邊分別平行或相等兩組對邊分別平行或相等 四邊形四邊形 平行四

7、邊形平行四邊形 兩組對角分別相等兩組對角分別相等 每條對角線平分一組對角每條對角線平分一組對角 1.下列命題正確的是 ( ) A.對角線互相平分的四邊形是菱形 B.對角線互相平分且相等的四邊形是菱形 C.對角線互相垂直的四邊形是菱形 D.對角線互相垂直平分的四邊形是菱形 D D 檢測反饋檢測反饋 2.用兩個邊長為a的等邊三角形紙片拼成的四 邊形是() A.等腰梯形 B.正方形 C.長方形 D.菱形 3.如圖所示如圖所示,在在ABC中中,ADBC于于D, 點點D,E,F分別是分別是BC,AB,AC的中點的中點.求證求證 四邊形四邊形AEDF是菱形是菱形. 解析解析:首先判定四邊形首先判定四邊形

8、AEDFAEDF是平行四邊形是平行四邊形, ,然后然后 連接連接EF ,EF ,證明證明EFEFADAD, ,利利 用對角線互相垂直的平用對角線互相垂直的平 行四邊形是菱形來判定行四邊形是菱形來判定. . 證明:點D,E,F分別是BC,AB,AC的中點, DEAC,DFAB, 四邊形AEDF是平行四邊形. 連接EF,如圖所示, 點E,F分別是AB和AC的中點, EFBC. 又ADBC,ADEF, 平行四邊形AEDF是菱形. 生活觀察 很多服裝設計者在設計服裝的時候，往很多服裝設計者在設計服裝的時候，往 往青睞于菱形圖案的設計往青睞于菱形圖案的設計.這是因為菱形的這是因為菱形的 特殊因素能給人一

9、種舒服的感覺特殊因素能給人一種舒服的感覺. 那么那么,我們怎樣判斷一個四邊形是否是菱我們怎樣判斷一個四邊形是否是菱 形呢形呢? 證明猜想證明猜想 已知:在 ABCD中,對角線AC,BD互相垂直. 求證 ABCD是菱形. ABCD是菱形(有一組鄰邊相 等的平行四邊形是菱形). 證明:四邊形ABCD是平行四邊形, OA=OC(平行四邊形的對角線 互相平分).又ACBD, BD所在的直線是線段AC的垂直平分線, AB=BC, 畫一畫畫一畫 畫兩條等長的線段AB,AD,然后分別以B,D為圓 心,AB長為半徑畫弧,得到兩弧的交點C,連接 BC,CD,就得到了一個四邊形,猜一猜,這是什么四 邊形? 想一想想一想 小明是這樣做的：將一張長方形的紙對小明是這樣做的：將一張長方形的紙對 折、