注冊巖土工程師基礎考試數(shù)學

1、注冊巖土工程師基礎考試數(shù)學 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 一、數(shù)項級數(shù) 二、冪級數(shù) 討論斂散性 求收斂范圍，將函數(shù)展開為冪級數(shù)，求和。 注冊巖土工程師基礎考試數(shù)學 1.數(shù)項級數(shù)及收斂定義數(shù)項級數(shù)及收斂定義： 給定一個數(shù)列, 321n uuuu將各項依 , 1 n n u 即 1n n u n uuuu 321 稱上式為無窮級數(shù)， 其中第 n 項 n u叫做級數(shù)的一般項, 級數(shù)的前 n 項和 n k kn uS 1 稱為級數(shù)的部分和. n uuuu 321 次相加, 簡記為 ,lim存在若SSn n 收斂收斂 , 則稱無窮級數(shù) 并稱 S 為級數(shù)的和和。 注冊巖土工程師基礎考試數(shù)學 時當1q ppp n 1

2、3 1 2 1 1 等比級數(shù)(又稱幾何級數(shù)) )0( 2 0 aqaqaqaaqa n n n ( q 稱為公比 ). 級數(shù)收斂 , ; 1 q a ,1時當q級數(shù)發(fā)散 . 其和為 發(fā)散。收斂，當11pp P-級數(shù)級數(shù) 注冊巖土工程師基礎考試數(shù)學 2.無窮級數(shù)的基本性質無窮級數(shù)的基本性質 , 1 n n uS 1n n v )( 1 n n n vu 性質性質1.設 c 是非零常數(shù)，則級數(shù) 1n n u 收斂于 S ,則 , 1 n n uS 有相同的斂散性。若 1n n uc與 收斂于 c S . 性質性質2. 設有兩個收斂級數(shù) 則級數(shù) 也收斂, 其和為.S 1n n u 1n n uc 注

3、冊巖土工程師基礎考試數(shù)學 說明說明: (2) 若兩級數(shù)中一個收斂一個發(fā)散 , 則 )( 1 n n n vu 必發(fā)散 . 但若二級數(shù)都發(fā)散 ,)( 1 n n n vu 不一定發(fā)散. (1) 性質2 表明收斂級數(shù)可逐項相加或減 . (用反證法可證) 注冊巖土工程師基礎考試數(shù)學 性質性質3. , 1 n n uS 在級數(shù)前面加上或去掉有限項有限項, 不會影響級數(shù) 的斂散性. 性質性質5：設收斂級數(shù)則必有 .0lim n n u 可見: 若級數(shù)的一般項不趨于若級數(shù)的一般項不趨于0 , 則級數(shù)必發(fā)散則級數(shù)必發(fā)散 . 注冊巖土工程師基礎考試數(shù)學 *例例1.判斷下列級數(shù)的斂散性: 1 12 (1)()

4、23 nn n 1 1 (2) 2 n n 1 (3) 1 n n n 1 1 (4) (1) n n n 注冊巖土工程師基礎考試數(shù)學 (比較審斂法比較審斂法) 設 , 1 n n u 1n n v 且存在, ZN 對一切,Nn 有 (1) 若強級數(shù) 1n n v則弱級數(shù) 1n n u (2) 若弱級數(shù) 1n n u則強級數(shù) 1n n v 則有 收斂 ,也收斂 ; 發(fā)散 , 也發(fā)散 . nn vku 是兩個正項級數(shù), (常數(shù) k 0 ), 3.正項級數(shù)審斂法正項級數(shù)審斂法 注冊巖土工程師基礎考試數(shù)學 的斂散性。判別級數(shù)例 1 ) 1( 1 2 n nn 1 1 ) 1( 1 ) 1( 1 2

5、n n nn 注冊巖土工程師基礎考試數(shù)學 (比較審斂法的極限形式) , 1 n n u 1n n v ,liml v u n n n 則有 兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散 ; (2) 當 l = 0 , 1 收斂時且 n n v ; 1 也收斂 n n u (3) 當 l = , 1 發(fā)散時且 n n v . 1 也發(fā)散 n n u 設兩正項級數(shù) 滿足 (1) 當 0 l 時, 注冊巖土工程師基礎考試數(shù)學 的斂散性. n 1 例例3. 判別級數(shù) 1 1 sin n n 解解: n lim 1 根據(jù)比較審斂法的極限形式知 2 1 n 1 sin 1 n n 1 1 sin n n 發(fā)散 注冊巖土工程師基

6、礎考試數(shù)學 比值審斂法 ( Dalembert 判別法) 設 n u為正項級數(shù), 且 ,lim 1 n n nu u 則 (1) 當1 (2) 當1 時, 級數(shù)收斂 ; 或時, 級數(shù)發(fā)散 . . 根值審斂法 ( Cauchy判別法)設 1n n u為正項 ,lim n n n u ;,1) 1(級數(shù)收斂時當 .,1)2(級數(shù)發(fā)散時當 級數(shù), 且 則 時上述定理失效。注：1 注冊巖土工程師基礎考試數(shù)學 n n nu u 1 lim lim n 1 2 ) 1( n e n n e n 2 2 11 lim n n e n 1 1 e 因此級數(shù) 1 2 n n e n 收斂. . 4 1 2 的斂

7、散性判別級數(shù)例 n n e n 解解: 注冊巖土工程師基礎考試數(shù)學 4.交錯級數(shù)及其審斂法交錯級數(shù)及其審斂法 則各項符號正負相間的級數(shù) n n uuuu 1 321 ) 1( 稱為交錯級數(shù)交錯級數(shù) . ( Leibnitz 判別法 ) 若交錯級數(shù)滿足條件: 則級數(shù) ; ),2, 1() 1 1 nuu nn ,0lim)2 n n u n n n u 1 1 ) 1(收斂 。 ,2, 1,0nun設 注冊巖土工程師基礎考試數(shù)學 5.絕對收斂與條件收斂絕對收斂與條件收斂 定義定義: 對任意項級數(shù) , 1 n n u 若 若原級數(shù)收斂, 但取絕對值以后的級數(shù)發(fā)散, 則稱原級 1n n u收斂 ,

8、1n n u 數(shù) 1n n u 絕對收斂 ； 則稱原級 數(shù) 條件收斂 . 絕對收斂的級數(shù)一定收斂 . 注冊巖土工程師基礎考試數(shù)學 由絕對收斂概念和萊布尼茲定理知由絕對收斂概念和萊布尼茲定理知: 交錯級數(shù) 1 1 ) 1( n p n n .1;10絕對收斂當條件收斂當pp 注冊巖土工程師基礎考試數(shù)學 例例5. 證明下列級數(shù)絕對收斂 : 證證: , 1sin 44 nn n 而 1 4 1 n n 收斂 , 1 4 sin n n n 收斂 因此 1 4 sin n n n 絕對收斂 . 1 4 sin n n n 注冊巖土工程師基礎考試數(shù)學 判斷數(shù)項級數(shù)斂散的方法判斷數(shù)項級數(shù)斂散的方法 1、利

9、用已知結論：等比級數(shù)、P-級數(shù)及級數(shù)性質 2、利用必要條件：主要判別發(fā)散 3、求部分和數(shù)列的極限 4、正項級數(shù)的審斂法 1）比值審斂法（根值審斂法） 2）比較審斂法（或極限形式） 5、交錯級數(shù)審斂法：萊布尼茲定理 6、一般級數(shù)審斂法：先判斷是否絕對收斂，如果絕 對收斂則一定收斂；否則判斷是否條件收斂 注冊巖土工程師基礎考試數(shù)學 ox發(fā) 散發(fā) 散 收 斂 收斂 發(fā)散 1.Abel定理定理 若冪級數(shù) 0n n nx a, 0 點收斂在xx 則對滿足不等式 0 xx 的一切 x 冪級數(shù)都絕對收斂. 反之, 若當 0 xx 0 xx 的一切 x , 該冪級數(shù)也發(fā)散 . 時該冪級數(shù)發(fā)散 ,則對滿足不等式

10、 二、求冪級數(shù)收斂域二、求冪級數(shù)收斂域 注冊巖土工程師基礎考試數(shù)學 *例例6.已知冪級數(shù) 0n n nx a 在3x 處收斂，則該級數(shù) 在1x 處是收斂還是發(fā)散？若收斂，是條件收斂 還是絕對收斂？ 解：由Abel定理 ，該冪級數(shù)在3x 處絕對收斂， 故在1x 絕對收斂。 注冊巖土工程師基礎考試數(shù)學 例例7. 已知 n n nx a 0 0 xx 在處條件收斂 , 問該級數(shù)收斂 半徑是多少 ? 答答:根據(jù)Abel 定理可知, 級數(shù)在 0 xx 收斂 , 0 xx 時發(fā)散 . 故收斂半徑為. 0 xR 注冊巖土工程師基礎考試數(shù)學 若 0n n nx a 0n n nx a 的系數(shù)滿足 ,lim 1

11、 n n na a ; 1 R ;R .0R 1) 當 0 時, 2) 當 0 時, 3) 當 時, 則 的收斂半徑為 1 lim n n na a R 2.求收斂半徑求收斂半徑 注冊巖土工程師基礎考試數(shù)學 對端點 x =1, 1 lim n n na a R n xxx x n n 1 32 ) 1( 32 的收斂半徑及收斂域. 解解: 1 1 n n 1 1 對端點 x = 1, 級數(shù)為交錯級數(shù), 1 ) 1( 1 1 n n n 收斂; 級數(shù)為, 1 1 n n 發(fā)散 . . 1, 1( 故收斂域為 例例8.8.求冪級數(shù) lim n 注冊巖土工程師基礎考試數(shù)學 例例9. 1 2 ) 1(

12、 n n n n x 求冪級數(shù) 的收斂域. 解解: 令 ,1 xt級數(shù)變?yōu)?n n n t n 1 2 1 n n n na a Rlimlim 1 n n 2 1 ) 1(2 1 1 n n n n n n n 2 ) 1(2 lim 1 2 當 t = 2 時, 級數(shù)為, 1 1 n n 此級數(shù)發(fā)散; 當 t = 2 時, 級數(shù)為, ) 1( 1 n n n 此級數(shù)條件收斂; 因此級數(shù)的收斂域為 ,22t 故原級數(shù)的收斂域為 ,212x即.31x 注冊巖土工程師基礎考試數(shù)學 三、求函數(shù)的冪級數(shù)展開式三、求函數(shù)的冪級數(shù)展開式 1、對函數(shù)作恒等變形（如果需要的話） 2、利用已知結論，用變量代換

13、或求導積分得所求 函數(shù)的冪級數(shù) 3、寫出收斂范圍 x1 1 n xxxx 32 1) 1 , 1( x e ! 2 1 2 n xx x n ),( xsin )!12( ) 1( ! 5! 3 12 12 53 n xxx x n n ),( )1ln(x 1 ) 1( 32 132 n xxx x n n 1 , 1( 注冊巖土工程師基礎考試數(shù)學 的冪級數(shù)展開式展開成 解： 例例10.求函數(shù)求函數(shù) 1 y x 2x 11 22) y xx （ 11 2 2 1 2 x 0 12 ( 1) () 22 nn n x 1 0 (2) ( 1) 2 n n n n x 2 12204 2 x x

14、x 注冊巖土工程師基礎考試數(shù)學 四、求冪級數(shù)的和函數(shù)四、求冪級數(shù)的和函數(shù) 這是冪級數(shù)展開問題的逆問題，利用已知結論或求 導積分，求冪級數(shù)在收斂域內(nèi)的和函數(shù)。 0 1 1 n n x x ( 1,1)x 0 ! n x n x e n (,)x 注冊巖土工程師基礎考試數(shù)學 微分方程微分方程 一、微分方程的基本概念一、微分方程的基本概念 二、解微分方程二、解微分方程 注冊巖土工程師基礎考試數(shù)學 含未知函數(shù)及其導數(shù)的方程叫做微分方程微分方程 . 方程中所含未知函數(shù)導數(shù)的最高階數(shù)叫做微分方程 一、微分方程的基本概念一、微分方程的基本概念 的階階. 例如：例如： 一階微分方程 yxyx 2)1( 2 二

15、階微分方程 2 (12 ) x e y x y 注冊巖土工程師基礎考試數(shù)學 使方程成為恒等式的函數(shù). 通解通解 解中所含獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與方程 確定通解中任意常數(shù)的條件. 初始條件初始條件( (或邊值條件或邊值條件) ): 的階數(shù)相同. 特解特解 微分方程的解解 不含任意常數(shù)的解, 定解條件定解條件 其圖形稱為積分曲線積分曲線. . 注冊巖土工程師基礎考試數(shù)學 例例1. 驗證函數(shù) 是微分方程 tkCtkCxsincos 21 的解. 解解: t kkCsin 2 2 2 k x tkCtkCxsincos 21 是方程的解 . ),( 21 為常數(shù)CC t kkCcos 2 1 2 2 2

16、 d x k x dt 2 k x 2 0kx 2 2 2 0 d x k x dt 注冊巖土工程師基礎考試數(shù)學 二、解微分方程二、解微分方程 1. 一階微分方程 可分離變量，一階線性 2. 高階微分方程 可降階微分方程，二階線性微分方程解的結構， 二階線性常系數(shù)齊次微分方程求解。 注冊巖土工程師基礎考試數(shù)學 分離變量方程的解法分離變量方程的解法: xxfyygd)(d)( (2)兩邊積分 yygd)( xxfd)( CxFyG)()( )(yG )(xF (3)得到通解 稱為方程的隱式通解, 或通積分. (1)分離變量 注冊巖土工程師基礎考試數(shù)學 *例例2. 求微分方程yx x y 2 3

17、d d 的通解. 解解: 分離變量得 xx y y d3 d 2 兩邊積分xx y y d3 d 2 得Cxylnln 3 即 3 x eCy ( C 為任意常數(shù) ) 因此可能增、 減解. 注冊巖土工程師基礎考試數(shù)學 一階線性微分方程一階線性微分方程 一階線性微分方程標準形式:)()( d d xQyxP x y 若 Q(x) 0, 若 Q(x) 0, 稱為非齊次方程非齊次方程 . 稱為齊次方程齊次方程 ; CxexQey xxPxxP d)( d)(d)( 注冊巖土工程師基礎考試數(shù)學 . sin1 的通解求方程 x x y x y , 1 )( x xP, sin )( x x xQ Cdx

18、e x x ey dx x dx x 11 sin Cdxe x x e xxlnln sin Cxdx x sin 1 .cos 1 Cx x 解解 * *例例3.3. 利用一階線性方程的通解公式得：利用一階線性方程的通解公式得： 注冊巖土工程師基礎考試數(shù)學 )( )( xfy n 令, ) 1( n yz )( d d n y x z 則 因此 1 d)(Cxxfz 即 1 ) 1( d)(Cxxfy n 同理可得 2 )2( d Cxy n 1 d)(Cxxf xd xxfd)( 依次通過 n 次積分, 可得含 n 個任意常數(shù)的通解 . , )(xf 21 CxC 型的微分方程型的微分方

19、程 注冊巖土工程師基礎考試數(shù)學 例例5.求解求解 解解: 2 1 cos x yex dxC 2 1 1 sin 2 x exC 2 1 4 x yexcos 12 C xC 2 cos x yex 注冊巖土工程師基礎考試數(shù)學 ),(yxfy 型的微分方程型的微分方程 設, )(xpy ,py 則 原方程化為一階方程 ),(pxfp 設其通解為),( 1 Cxp 則得),( 1 Cxy 再一次積分, 得原方程的通解 21 d),(CxCxy 注冊巖土工程師基礎考試數(shù)學 例例6. 求解 yxyx 2)1( 2 ,1 0 x y3 0 x y 解解: ),(xpy 設,py 則代入方程得 pxpx

20、2)1( 2 分離變量 )1( d2d 2 x xx p p 積分得,ln)1(lnln 1 2 Cxp )1( 2 1 xCp即 ,3 0 x y利用, 3 1 C得 于是有)1(3 2 xy 兩端再積分得 2 3 3Cxxy 利用 ,1 0 x y, 1 2 C得 13 3 xxy 因此所求特解為 注冊巖土工程師基礎考試數(shù)學 ),(yyfy 型的微分方程型的微分方程 令 ),(ypy x p y d d 則 x y y p d d d d y p p d d 故方程化為),( d d pyf y p p 設其通解為),( 1 Cyp即得 ),( 1 Cyy 分離變量后積分, 得原方程的通解

21、 2 1) ,( d Cx Cy y 注冊巖土工程師基礎考試數(shù)學 例例7. 求解.0 2 yyy 代入方程得,0 d d 2 p y p py y y p pdd 即 兩端積分得,lnlnln 1 Cyp , 1y Cp 即 yCy 1 故所求通解為 xC eCy 1 2 解解: ),(ypy 設 x p y d d 則 x y y p d d d d y p p d d 注冊巖土工程師基礎考試數(shù)學 定理定理 1. )(),( 21 xyxy若是二階線性齊次方程的兩個線 性無關特解, 則)()( 2211 xyCxyCy 數(shù)) 是該方程的通解. 例如例如, 方程0 yy有特解,cos 1 xy ,sin 2 xy 且 常數(shù), 故方程的通解為 xCxCysi