注冊(cè)巖土工程師基礎(chǔ)考試數(shù)學(xué)

1、注冊(cè)巖土工程師基礎(chǔ)考試數(shù)學(xué) 無(wú)窮級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù) 一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 二、冪級(jí)數(shù) 討論斂散性 求收斂范圍，將函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)，求和。 注冊(cè)巖土工程師基礎(chǔ)考試數(shù)學(xué) 1.數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及收斂定義數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及收斂定義： 給定一個(gè)數(shù)列, 321n uuuu將各項(xiàng)依 , 1 n n u 即 1n n u n uuuu 321 稱(chēng)上式為無(wú)窮級(jí)數(shù)， 其中第 n 項(xiàng) n u叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng), 級(jí)數(shù)的前 n 項(xiàng)和 n k kn uS 1 稱(chēng)為級(jí)數(shù)的部分和. n uuuu 321 次相加, 簡(jiǎn)記為 ,lim存在若SSn n 收斂收斂 , 則稱(chēng)無(wú)窮級(jí)數(shù) 并稱(chēng) S 為級(jí)數(shù)的和和。 注冊(cè)巖土工程師基礎(chǔ)考試數(shù)學(xué) 時(shí)當(dāng)1q ppp n 1

2、3 1 2 1 1 等比級(jí)數(shù)(又稱(chēng)幾何級(jí)數(shù)) )0( 2 0 aqaqaqaaqa n n n ( q 稱(chēng)為公比 ). 級(jí)數(shù)收斂 , ; 1 q a ,1時(shí)當(dāng)q級(jí)數(shù)發(fā)散 . 其和為 發(fā)散。收斂，當(dāng)11pp P-級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 注冊(cè)巖土工程師基礎(chǔ)考試數(shù)學(xué) 2.無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) , 1 n n uS 1n n v )( 1 n n n vu 性質(zhì)性質(zhì)1.設(shè) c 是非零常數(shù)，則級(jí)數(shù) 1n n u 收斂于 S ,則 , 1 n n uS 有相同的斂散性。若 1n n uc與 收斂于 c S . 性質(zhì)性質(zhì)2. 設(shè)有兩個(gè)收斂級(jí)數(shù) 則級(jí)數(shù) 也收斂, 其和為.S 1n n u 1n n uc 注

3、冊(cè)巖土工程師基礎(chǔ)考試數(shù)學(xué) 說(shuō)明說(shuō)明: (2) 若兩級(jí)數(shù)中一個(gè)收斂一個(gè)發(fā)散 , 則 )( 1 n n n vu 必發(fā)散 . 但若二級(jí)數(shù)都發(fā)散 ,)( 1 n n n vu 不一定發(fā)散. (1) 性質(zhì)2 表明收斂級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)相加或減 . (用反證法可證) 注冊(cè)巖土工程師基礎(chǔ)考試數(shù)學(xué) 性質(zhì)性質(zhì)3. , 1 n n uS 在級(jí)數(shù)前面加上或去掉有限項(xiàng)有限項(xiàng), 不會(huì)影響級(jí)數(shù) 的斂散性. 性質(zhì)性質(zhì)5：設(shè)收斂級(jí)數(shù)則必有 .0lim n n u 可見(jiàn): 若級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于若級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于0 , 則級(jí)數(shù)必發(fā)散則級(jí)數(shù)必發(fā)散 . 注冊(cè)巖土工程師基礎(chǔ)考試數(shù)學(xué) *例例1.判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性: 1 12 (1)()

4、23 nn n 1 1 (2) 2 n n 1 (3) 1 n n n 1 1 (4) (1) n n n 注冊(cè)巖土工程師基礎(chǔ)考試數(shù)學(xué) (比較審斂法比較審斂法) 設(shè) , 1 n n u 1n n v 且存在, ZN 對(duì)一切,Nn 有 (1) 若強(qiáng)級(jí)數(shù) 1n n v則弱級(jí)數(shù) 1n n u (2) 若弱級(jí)數(shù) 1n n u則強(qiáng)級(jí)數(shù) 1n n v 則有 收斂 ,也收斂 ; 發(fā)散 , 也發(fā)散 . nn vku 是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù), (常數(shù) k 0 ), 3.正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法 注冊(cè)巖土工程師基礎(chǔ)考試數(shù)學(xué) 的斂散性。判別級(jí)數(shù)例 1 ) 1( 1 2 n nn 1 1 ) 1( 1 ) 1( 1 2

5、n n nn 注冊(cè)巖土工程師基礎(chǔ)考試數(shù)學(xué) (比較審斂法的極限形式) , 1 n n u 1n n v ,liml v u n n n 則有 兩個(gè)級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)散 ; (2) 當(dāng) l = 0 , 1 收斂時(shí)且 n n v ; 1 也收斂 n n u (3) 當(dāng) l = , 1 發(fā)散時(shí)且 n n v . 1 也發(fā)散 n n u 設(shè)兩正項(xiàng)級(jí)數(shù) 滿(mǎn)足 (1) 當(dāng) 0 l 時(shí), 注冊(cè)巖土工程師基礎(chǔ)考試數(shù)學(xué) 的斂散性. n 1 例例3. 判別級(jí)數(shù) 1 1 sin n n 解解: n lim 1 根據(jù)比較審斂法的極限形式知 2 1 n 1 sin 1 n n 1 1 sin n n 發(fā)散 注冊(cè)巖土工程師基

6、礎(chǔ)考試數(shù)學(xué) 比值審斂法 ( Dalembert 判別法) 設(shè) n u為正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且 ,lim 1 n n nu u 則 (1) 當(dāng)1 (2) 當(dāng)1 時(shí), 級(jí)數(shù)收斂 ; 或時(shí), 級(jí)數(shù)發(fā)散 . . 根值審斂法 ( Cauchy判別法)設(shè) 1n n u為正項(xiàng) ,lim n n n u ;,1) 1(級(jí)數(shù)收斂時(shí)當(dāng) .,1)2(級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)當(dāng) 級(jí)數(shù), 且 則 時(shí)上述定理失效。注：1 注冊(cè)巖土工程師基礎(chǔ)考試數(shù)學(xué) n n nu u 1 lim lim n 1 2 ) 1( n e n n e n 2 2 11 lim n n e n 1 1 e 因此級(jí)數(shù) 1 2 n n e n 收斂. . 4 1 2 的斂

7、散性判別級(jí)數(shù)例 n n e n 解解: 注冊(cè)巖土工程師基礎(chǔ)考試數(shù)學(xué) 4.交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法 則各項(xiàng)符號(hào)正負(fù)相間的級(jí)數(shù) n n uuuu 1 321 ) 1( 稱(chēng)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù) . ( Leibnitz 判別法 ) 若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿(mǎn)足條件: 則級(jí)數(shù) ; ),2, 1() 1 1 nuu nn ,0lim)2 n n u n n n u 1 1 ) 1(收斂 。 ,2, 1,0nun設(shè) 注冊(cè)巖土工程師基礎(chǔ)考試數(shù)學(xué) 5.絕對(duì)收斂與條件收斂絕對(duì)收斂與條件收斂 定義定義: 對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù) , 1 n n u 若 若原級(jí)數(shù)收斂, 但取絕對(duì)值以后的級(jí)數(shù)發(fā)散, 則稱(chēng)原級(jí) 1n n u收斂 ,

8、1n n u 數(shù) 1n n u 絕對(duì)收斂 ； 則稱(chēng)原級(jí) 數(shù) 條件收斂 . 絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)一定收斂 . 注冊(cè)巖土工程師基礎(chǔ)考試數(shù)學(xué) 由絕對(duì)收斂概念和萊布尼茲定理知由絕對(duì)收斂概念和萊布尼茲定理知: 交錯(cuò)級(jí)數(shù) 1 1 ) 1( n p n n .1;10絕對(duì)收斂當(dāng)條件收斂當(dāng)pp 注冊(cè)巖土工程師基礎(chǔ)考試數(shù)學(xué) 例例5. 證明下列級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂 : 證證: , 1sin 44 nn n 而 1 4 1 n n 收斂 , 1 4 sin n n n 收斂 因此 1 4 sin n n n 絕對(duì)收斂 . 1 4 sin n n n 注冊(cè)巖土工程師基礎(chǔ)考試數(shù)學(xué) 判斷數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散的方法判斷數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散的方法 1、利

9、用已知結(jié)論：等比級(jí)數(shù)、P-級(jí)數(shù)及級(jí)數(shù)性質(zhì) 2、利用必要條件：主要判別發(fā)散 3、求部分和數(shù)列的極限 4、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法 1）比值審斂法（根值審斂法） 2）比較審斂法（或極限形式） 5、交錯(cuò)級(jí)數(shù)審斂法：萊布尼茲定理 6、一般級(jí)數(shù)審斂法：先判斷是否絕對(duì)收斂，如果絕 對(duì)收斂則一定收斂；否則判斷是否條件收斂 注冊(cè)巖土工程師基礎(chǔ)考試數(shù)學(xué) ox發(fā) 散發(fā) 散 收 斂 收斂 發(fā)散 1.Abel定理定理 若冪級(jí)數(shù) 0n n nx a, 0 點(diǎn)收斂在xx 則對(duì)滿(mǎn)足不等式 0 xx 的一切 x 冪級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂. 反之, 若當(dāng) 0 xx 0 xx 的一切 x , 該冪級(jí)數(shù)也發(fā)散 . 時(shí)該冪級(jí)數(shù)發(fā)散 ,則對(duì)滿(mǎn)足不等式

10、 二、求冪級(jí)數(shù)收斂域二、求冪級(jí)數(shù)收斂域 注冊(cè)巖土工程師基礎(chǔ)考試數(shù)學(xué) *例例6.已知冪級(jí)數(shù) 0n n nx a 在3x 處收斂，則該級(jí)數(shù) 在1x 處是收斂還是發(fā)散？若收斂，是條件收斂 還是絕對(duì)收斂？ 解：由Abel定理 ，該冪級(jí)數(shù)在3x 處絕對(duì)收斂， 故在1x 絕對(duì)收斂。 注冊(cè)巖土工程師基礎(chǔ)考試數(shù)學(xué) 例例7. 已知 n n nx a 0 0 xx 在處條件收斂 , 問(wèn)該級(jí)數(shù)收斂 半徑是多少 ? 答答:根據(jù)Abel 定理可知, 級(jí)數(shù)在 0 xx 收斂 , 0 xx 時(shí)發(fā)散 . 故收斂半徑為. 0 xR 注冊(cè)巖土工程師基礎(chǔ)考試數(shù)學(xué) 若 0n n nx a 0n n nx a 的系數(shù)滿(mǎn)足 ,lim 1

11、 n n na a ; 1 R ;R .0R 1) 當(dāng) 0 時(shí), 2) 當(dāng) 0 時(shí), 3) 當(dāng) 時(shí), 則 的收斂半徑為 1 lim n n na a R 2.求收斂半徑求收斂半徑 注冊(cè)巖土工程師基礎(chǔ)考試數(shù)學(xué) 對(duì)端點(diǎn) x =1, 1 lim n n na a R n xxx x n n 1 32 ) 1( 32 的收斂半徑及收斂域. 解解: 1 1 n n 1 1 對(duì)端點(diǎn) x = 1, 級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù), 1 ) 1( 1 1 n n n 收斂; 級(jí)數(shù)為, 1 1 n n 發(fā)散 . . 1, 1( 故收斂域?yàn)?例例8.8.求冪級(jí)數(shù) lim n 注冊(cè)巖土工程師基礎(chǔ)考試數(shù)學(xué) 例例9. 1 2 ) 1(

12、 n n n n x 求冪級(jí)數(shù) 的收斂域. 解解: 令 ,1 xt級(jí)數(shù)變?yōu)?n n n t n 1 2 1 n n n na a Rlimlim 1 n n 2 1 ) 1(2 1 1 n n n n n n n 2 ) 1(2 lim 1 2 當(dāng) t = 2 時(shí), 級(jí)數(shù)為, 1 1 n n 此級(jí)數(shù)發(fā)散; 當(dāng) t = 2 時(shí), 級(jí)數(shù)為, ) 1( 1 n n n 此級(jí)數(shù)條件收斂; 因此級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?,22t 故原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?,212x即.31x 注冊(cè)巖土工程師基礎(chǔ)考試數(shù)學(xué) 三、求函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式三、求函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式 1、對(duì)函數(shù)作恒等變形（如果需要的話） 2、利用已知結(jié)論，用變量代換

13、或求導(dǎo)積分得所求 函數(shù)的冪級(jí)數(shù) 3、寫(xiě)出收斂范圍 x1 1 n xxxx 32 1) 1 , 1( x e ! 2 1 2 n xx x n ),( xsin )!12( ) 1( ! 5! 3 12 12 53 n xxx x n n ),( )1ln(x 1 ) 1( 32 132 n xxx x n n 1 , 1( 注冊(cè)巖土工程師基礎(chǔ)考試數(shù)學(xué) 的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式展開(kāi)成 解： 例例10.求函數(shù)求函數(shù) 1 y x 2x 11 22) y xx （ 11 2 2 1 2 x 0 12 ( 1) () 22 nn n x 1 0 (2) ( 1) 2 n n n n x 2 12204 2 x x

14、x 注冊(cè)巖土工程師基礎(chǔ)考試數(shù)學(xué) 四、求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)四、求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù) 這是冪級(jí)數(shù)展開(kāi)問(wèn)題的逆問(wèn)題，利用已知結(jié)論或求 導(dǎo)積分，求冪級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)的和函數(shù)。 0 1 1 n n x x ( 1,1)x 0 ! n x n x e n (,)x 注冊(cè)巖土工程師基礎(chǔ)考試數(shù)學(xué) 微分方程微分方程 一、微分方程的基本概念一、微分方程的基本概念 二、解微分方程二、解微分方程 注冊(cè)巖土工程師基礎(chǔ)考試數(shù)學(xué) 含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的方程叫做微分方程微分方程 . 方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)叫做微分方程 一、微分方程的基本概念一、微分方程的基本概念 的階階. 例如：例如： 一階微分方程 yxyx 2)1( 2 二

15、階微分方程 2 (12 ) x e y x y 注冊(cè)巖土工程師基礎(chǔ)考試數(shù)學(xué) 使方程成為恒等式的函數(shù). 通解通解 解中所含獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程 確定通解中任意常數(shù)的條件. 初始條件初始條件( (或邊值條件或邊值條件) ): 的階數(shù)相同. 特解特解 微分方程的解解 不含任意常數(shù)的解, 定解條件定解條件 其圖形稱(chēng)為積分曲線積分曲線. . 注冊(cè)巖土工程師基礎(chǔ)考試數(shù)學(xué) 例例1. 驗(yàn)證函數(shù) 是微分方程 tkCtkCxsincos 21 的解. 解解: t kkCsin 2 2 2 k x tkCtkCxsincos 21 是方程的解 . ),( 21 為常數(shù)CC t kkCcos 2 1 2 2 2

16、 d x k x dt 2 k x 2 0kx 2 2 2 0 d x k x dt 注冊(cè)巖土工程師基礎(chǔ)考試數(shù)學(xué) 二、解微分方程二、解微分方程 1. 一階微分方程 可分離變量，一階線性 2. 高階微分方程 可降階微分方程，二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)， 二階線性常系數(shù)齊次微分方程求解。 注冊(cè)巖土工程師基礎(chǔ)考試數(shù)學(xué) 分離變量方程的解法分離變量方程的解法: xxfyygd)(d)( (2)兩邊積分 yygd)( xxfd)( CxFyG)()( )(yG )(xF (3)得到通解 稱(chēng)為方程的隱式通解, 或通積分. (1)分離變量 注冊(cè)巖土工程師基礎(chǔ)考試數(shù)學(xué) *例例2. 求微分方程yx x y 2 3

17、d d 的通解. 解解: 分離變量得 xx y y d3 d 2 兩邊積分xx y y d3 d 2 得Cxylnln 3 即 3 x eCy ( C 為任意常數(shù) ) 因此可能增、 減解. 注冊(cè)巖土工程師基礎(chǔ)考試數(shù)學(xué) 一階線性微分方程一階線性微分方程 一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式:)()( d d xQyxP x y 若 Q(x) 0, 若 Q(x) 0, 稱(chēng)為非齊次方程非齊次方程 . 稱(chēng)為齊次方程齊次方程 ; CxexQey xxPxxP d)( d)(d)( 注冊(cè)巖土工程師基礎(chǔ)考試數(shù)學(xué) . sin1 的通解求方程 x x y x y , 1 )( x xP, sin )( x x xQ Cdx

18、e x x ey dx x dx x 11 sin Cdxe x x e xxlnln sin Cxdx x sin 1 .cos 1 Cx x 解解 * *例例3.3. 利用一階線性方程的通解公式得：利用一階線性方程的通解公式得： 注冊(cè)巖土工程師基礎(chǔ)考試數(shù)學(xué) )( )( xfy n 令, ) 1( n yz )( d d n y x z 則 因此 1 d)(Cxxfz 即 1 ) 1( d)(Cxxfy n 同理可得 2 )2( d Cxy n 1 d)(Cxxf xd xxfd)( 依次通過(guò) n 次積分, 可得含 n 個(gè)任意常數(shù)的通解 . , )(xf 21 CxC 型的微分方程型的微分方

19、程 注冊(cè)巖土工程師基礎(chǔ)考試數(shù)學(xué) 例例5.求解求解 解解: 2 1 cos x yex dxC 2 1 1 sin 2 x exC 2 1 4 x yexcos 12 C xC 2 cos x yex 注冊(cè)巖土工程師基礎(chǔ)考試數(shù)學(xué) ),(yxfy 型的微分方程型的微分方程 設(shè), )(xpy ,py 則 原方程化為一階方程 ),(pxfp 設(shè)其通解為),( 1 Cxp 則得),( 1 Cxy 再一次積分, 得原方程的通解 21 d),(CxCxy 注冊(cè)巖土工程師基礎(chǔ)考試數(shù)學(xué) 例例6. 求解 yxyx 2)1( 2 ,1 0 x y3 0 x y 解解: ),(xpy 設(shè),py 則代入方程得 pxpx

20、2)1( 2 分離變量 )1( d2d 2 x xx p p 積分得,ln)1(lnln 1 2 Cxp )1( 2 1 xCp即 ,3 0 x y利用, 3 1 C得 于是有)1(3 2 xy 兩端再積分得 2 3 3Cxxy 利用 ,1 0 x y, 1 2 C得 13 3 xxy 因此所求特解為 注冊(cè)巖土工程師基礎(chǔ)考試數(shù)學(xué) ),(yyfy 型的微分方程型的微分方程 令 ),(ypy x p y d d 則 x y y p d d d d y p p d d 故方程化為),( d d pyf y p p 設(shè)其通解為),( 1 Cyp即得 ),( 1 Cyy 分離變量后積分, 得原方程的通解

21、 2 1) ,( d Cx Cy y 注冊(cè)巖土工程師基礎(chǔ)考試數(shù)學(xué) 例例7. 求解.0 2 yyy 代入方程得,0 d d 2 p y p py y y p pdd 即 兩端積分得,lnlnln 1 Cyp , 1y Cp 即 yCy 1 故所求通解為 xC eCy 1 2 解解: ),(ypy 設(shè) x p y d d 則 x y y p d d d d y p p d d 注冊(cè)巖土工程師基礎(chǔ)考試數(shù)學(xué) 定理定理 1. )(),( 21 xyxy若是二階線性齊次方程的兩個(gè)線 性無(wú)關(guān)特解, 則)()( 2211 xyCxyCy 數(shù)) 是該方程的通解. 例如例如, 方程0 yy有特解,cos 1 xy ,sin 2 xy 且 常數(shù), 故方程的通解為 xCxCysi