避免分類討論的幾種策略

1、避免分類討論的幾種策略一些看似需要分類討論的數(shù)學(xué)問題，雖然表現(xiàn)形式可能較為復(fù)雜，但其本質(zhì)常存有簡單的一面。所以，如果能用簡單的觀點、簡化的方法對問題的各種情形實施綜合、排除、轉(zhuǎn)化等策略，則往往能找到解決問題的簡易途徑。例1 解關(guān)于x的不等式。解：因為x3，所以且。所以原不等式化為。即所以。解得x7。所以原不等式的解集為。例2 已知實數(shù)x滿足不等式。求x的取值范圍。解：因為所以x4或x4，此時所以原不等式可化為解得所以，所以原不等式的解集為例3 已知ABC中，角A、B、C成等差數(shù)列，求cosA的值。解：因為，所以。又因為角A、B、C成等差數(shù)列，所以。這樣是不可能的，所以。所以。所以二、將各種情形

2、給予綜合考慮，對問題實行整體處理例4 設(shè)函數(shù)。若0ab，且。證明：ab1。解：因為，即所以所以即因為，所以所以，所以。所以ab1。例5 圓的圓心C與拋物線的焦點F分居直線的兩側(cè)，求a的取值范圍。解：求得C和F的坐標(biāo)分別為C（a，1）、F（0，）因為圓心C與焦點F分居直線的兩側(cè)。所以C和F的坐標(biāo)代入直線方程的左側(cè)應(yīng)為異號。即化簡得所以。三、一些對稱性問題，因為參數(shù)的地位均等，能夠只考慮一種情形例6 （18屆全蘇中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽題）證明對任意實數(shù)a和任意正整數(shù)x、y有。證法1：因為，所以原不等式等價于。又因為a為任意實數(shù)所以不妨設(shè)所以，又因為所以。所以原不等式成立。證法2：左右。例7 已知銳角、滿足

3、等式。求證：。證明：不妨設(shè)，則。又因為所以當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立。所以。四、跳出常規(guī)思維，轉(zhuǎn)變考慮問題的角度例8 已知m、x為實數(shù)，且當(dāng)時，不等式恒成立，求x的范圍？解：令由題意可知，當(dāng)時，不等式恒成立。因為為關(guān)于m的一次函數(shù)。所以只要即解得。說明：若用分類的方法，需對的符號實行討論。例9 從6名短跑運動員中選出4個，參加4100米接力賽，如果甲、乙兩人不跑第一棒，則不同的參賽方案有幾種？解：第一棒由甲、乙以外的4人中選一人參加，共有種方法；另三棒由剩下的5人中選出三人參加，共有種方法。所以滿足條件的參賽方案共有種。說明：若對甲、乙是否入選實行討論，則需分4種情況。例10 已知關(guān)于x方程，問a為

4、何值時，方程至少有一個整數(shù)根？解：若，則原方程為，矛盾！所以時，故原方程可化為因為aN，所以解得又因為xZ，且當(dāng)x=0時，。所以x=3或x=1，此時a=1。所以當(dāng)a=1時，方程有兩個整數(shù)根3和1。說明：如果用求根公式解出x，再由a的值來討論根的情況，運算就較為復(fù)雜。用構(gòu)造法解三角求值題 用構(gòu)造法求值極具巧思，關(guān)鍵是根據(jù)題中信息恰當(dāng)創(chuàng)作一個新形式，使復(fù)雜問題簡捷獲解。本文舉例介紹幾種方法，供大家參考。一、構(gòu)造互余式例1. 求的值。解：設(shè)則二、構(gòu)造和差式例2. 求的值。解：設(shè)，則三、構(gòu)造方程（組）例3. 已知，求。解法一：將的兩邊平方，得：構(gòu)造方程，則與是此方程的兩個根。解此方程，得由知解法二：由

5、得，設(shè)，于是有，消去y，得：解之，得：四、構(gòu)造圖形例4. 已知，且，試求與的值。解：，且依數(shù)字特征，構(gòu)造RtABC（如圖）。由，知據(jù)圖形得五、構(gòu)造數(shù)列例5. 已知，試求的值。解：構(gòu)造等差數(shù)列，則（d為公差）兩式平方、相加，得解之，得由知即例6. 在銳角ABC中，已知ABC，且，試求的值。解：及，且構(gòu)造等比數(shù)列則，（q為公比，且）又，即解之，得（，舍）利用交點特征 研究圖象性質(zhì) 在三角函數(shù)圖象性質(zhì)的學(xué)習(xí)中往往會遇到直線ya與正、余弦型函數(shù)圖象相交的情形，以此為背景的題目有一定難度。準(zhǔn)確地利用圖象中的交點特征，是解決此類問題的關(guān)鍵，下面予以說明。1. 利用閉區(qū)間上的交點個數(shù)，來確定周期范圍例1.

6、要使函數(shù)的值在區(qū)間a，a3上出現(xiàn)的次數(shù)很多于4次，不多于8次（），則k的值是_。分析：使用圖形，知道與的圖象相交時，每個周期內(nèi)（半開半閉區(qū)間）都有兩個交點，根據(jù)已知，需保證f(x)在長度為3的閉區(qū)間上，至少出現(xiàn)2個周期，至多出現(xiàn)4個周期，于是故有解得又因為，所以k2或32. 當(dāng)交點為最值點時，可把相鄰兩點間的長度視為周期例2. 已知為偶函數(shù)（）其圖象與直線y2相鄰的兩交點，橫坐標(biāo)為x1，x2，則常數(shù)_，_。分析：因為函數(shù)為偶函數(shù)，易知因為，所以于是再根據(jù)最值點的特征，這樣求得3. 當(dāng)各個交點間隔相等時，要考慮直線的特殊位置例3. 已知，又的所有正根依次成等差數(shù)列，求f(x)的解析式，最小正周期

7、和單調(diào)減區(qū)間。分析：因為f(x)3可由方程有正根且依次成等差數(shù)列，再轉(zhuǎn)化成直線與的圖象相交，且使y軸右方交點間的距離相等?？紤]直線的特殊位置，顯然有以下三種情況：（1），此時f(x)的最小正周期為6，單調(diào)減區(qū)間為（2），結(jié)論同上；（3），無解4. 利用交點間隔，尋找相對應(yīng)周期，計算線段長度例4. 曲線和直線，在y軸右側(cè)交點，按橫坐標(biāo)從小到大依次記為P1、P2、P3、，則等于_。分析：因為可化為從而得到由與兩圖象交點知所以利用數(shù)學(xué)思想處理三角函數(shù)問題 1. 數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)在三角函數(shù)中是利用單位圓中三角函數(shù)線、三角函數(shù)圖象求三角函數(shù)定義域、解三角不等式、求單調(diào)區(qū)間、討論方程實根的個數(shù)、比較大小等

8、。例1. 從小到大的順序是_。解析：這些角都不是特殊角，求出值來再比較行不通，若注意到相差較大，容易利用單位圓上的三角函數(shù)線區(qū)分它們各自函數(shù)值的大小。設(shè)（如圖所示）可知b0a0，所以ab故選（A）。例4. 求函數(shù)的值域。解析：先切割化弦，統(tǒng)一函數(shù)名稱，得：令因為，所以于是求原函數(shù)的值域轉(zhuǎn)化為求函數(shù)，由的值域，易得，所以原函數(shù)的值域為。3. 函數(shù)與方程思想的應(yīng)用體現(xiàn)在三角函數(shù)中是用函數(shù)的思想求解范圍問題，用方程的思想解決求值、證明等問題。例5. 已知函數(shù)，當(dāng)有實數(shù)解時，求a的取值范圍。解析：由得分離a得：問題轉(zhuǎn)化為求a的值域。因為所以故當(dāng)時，有實數(shù)解。例6. 已知，求的值。解法1：只需求的某個三

9、角函數(shù)或的值，又只需用倍角公式把已知條件“縮角升冪”轉(zhuǎn)化為解三角方程。由倍角公式，原方程化為：分解因式得：由所以得解法2：能夠?qū)⒃匠膛浞睫D(zhuǎn)化得：即得因為則所以只有解得所以4. 分類討論思想體現(xiàn)在三角函數(shù)中是根據(jù)求值或求角的需要對角的范圍或參數(shù)的范圍展開有序的討論。例7. 已知：，求的值。解析：由已知條件得：即因為所以所以這里要求即求，需要去掉絕對值，從而對的符號要展開討論：（1）當(dāng)時，所以；（2）當(dāng)時，所以；綜上5. 分析與綜合的思想體現(xiàn)在三角函數(shù)中是把多邊形分割為三角形，把求某值轉(zhuǎn)化為求另外的值等，然后依據(jù)分析結(jié)果，綜合寫出求解過程。例8. 設(shè)，則arc cosx的取值范圍是_。解析：使用

10、分析與綜合的思想方法，先分析x的取值范圍，再綜合求arc cosx的取值范圍。因為則所以即所以填例9. 已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長分別為AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四邊形ABCD的面積。解析：先分析如何找到解題的突破口，再綜合寫出解題過程，如圖所示，連結(jié)BD，則四邊形ABCD的面積。而兩個三角形的兩邊已知，只須求得已知兩邊的夾角的正弦值，又，只需求得其中一個角的正弦值或余弦值，解題從求余弦值開始，連結(jié)BD，在ABD中，由余弦定理，得：在CBD中，同理得：所以化簡得2+cosA=3cosC又因為所以且sinA=sinC所以2cosC=3cosC則所以四邊形ABCD的面積：6. 整體

11、思想的應(yīng)用體現(xiàn)在三角函數(shù)中主要是整體代入、整體變形、整體換元、整體配對、整體構(gòu)造等實行化簡求值、研究函數(shù)性質(zhì)等。例10. 已知（1）求的值；（2）求的值。解析：由條件和問題聯(lián)想到公式，可實施整體代換求值。（1）由平方，得：即因為又因為所以故（2）影響高中數(shù)學(xué)成績的原因和解決方法 面對眾多初中學(xué)習(xí)的成功者淪為高中學(xué)習(xí)的失敗者，作者對他們的學(xué)習(xí)狀態(tài)實行了研究、調(diào)查表明，造成成績滑坡的主要原因有以下幾個方面。 1被動學(xué)習(xí)。很多同學(xué)進(jìn)入高中后，還像初中那樣，有很強(qiáng)的依賴心理，跟隨老師慣性運轉(zhuǎn)，沒有掌握學(xué)習(xí)主動權(quán)。表現(xiàn)在不定計劃，坐等上課，課前沒有預(yù)習(xí)，對老師要上課的內(nèi)容不了解，上課忙于記筆記，沒聽到“

12、門道”。沒有真正理解所學(xué)內(nèi)容。 2學(xué)不得法。老師上課一般都要講清知識的來龍去脈，剖析概念的內(nèi)涵，分析重點難點，突出思想方法。而一部分同學(xué)上課沒能專心聽課，對要點沒聽到或聽不全，筆記記了一大本，問題也有一大堆，課后又不能即時鞏固、總結(jié)、尋找知識間的聯(lián)系，僅僅趕做作業(yè)，亂套題型，對概念、法則、公式、定理一知半解，機(jī)械模仿，死記硬背。也有的晚上加班加點，白天無精打采，或是上課根本不聽，自己另搞一套，結(jié)果是事倍功半，收效甚微。 3不重視基礎(chǔ)。一些“自我感覺良好”的同學(xué)，常輕視基本知識、基本技能和基本方法的學(xué)習(xí)與訓(xùn)練，經(jīng)常是知道怎么做就算了，而不去認(rèn)真演算書寫，但對難題很感興趣，以顯示自己的“水平”，好

13、高鶩遠(yuǎn)，重“量”輕“質(zhì)”，陷入題海。到正規(guī)作業(yè)或考試中不是演算出錯就是中途“卡殼”。 4進(jìn)一步學(xué)習(xí)條件不具備。高中數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)相比，知識的深度、廣度，水平要求都是一次飛躍。這就要求必須掌握基礎(chǔ)知識與技能為進(jìn)一步學(xué)習(xí)作好準(zhǔn)備。高中數(shù)學(xué)很多地方難度大、方法新、分析水平要求高。如二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，函數(shù)值域的求法，實根分布與參變量方程，三角公式的變形與靈活使用，空間概念的形成，排列組合應(yīng)用題及實際應(yīng)用問題等?？陀^上這些觀點就是分化點，有的內(nèi)容還是高初中教材都不講的脫節(jié)內(nèi)容，如不采取補(bǔ)救措施，查缺補(bǔ)漏，分化是不可避免的。 高中學(xué)生僅僅想學(xué)是不夠的，還必須“會學(xué)”，要講究科學(xué)的學(xué)習(xí)方法，提升

14、學(xué)習(xí)效率，才能變被動為主動。針對學(xué)生學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的上述情況，教師理應(yīng)采取以增強(qiáng)學(xué)法指導(dǎo)為主，化解分化點為輔的對策： 1增強(qiáng)學(xué)法指導(dǎo)，培養(yǎng)良好學(xué)習(xí)習(xí)慣。良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣包括制定計劃、課前自學(xué)、專心上課、即時復(fù)習(xí)、獨立作業(yè)、解決疑難、系統(tǒng)小結(jié)和課外學(xué)習(xí)幾個方面。 制定計劃使學(xué)習(xí)目的明確，時間安排合理，不慌不忙，穩(wěn)扎穩(wěn)打，它是推動學(xué)生主動學(xué)習(xí)和克服困難的內(nèi)在動力。但計劃一定要切實可行，既有長遠(yuǎn)打算，又有短期安排，執(zhí)行過程中嚴(yán)格要求自己，磨煉學(xué)習(xí)意志。 課前自學(xué)是學(xué)生上好新課，取得較好學(xué)習(xí)效果的基礎(chǔ)。課前自學(xué)不但能培養(yǎng)自學(xué)水平，而且能提升學(xué)習(xí)新課的興趣，掌握學(xué)習(xí)主動權(quán)。自學(xué)不能搞走過場，要講究質(zhì)量，力爭在

15、課前把教材弄懂，上課著重聽老師講課的思路，把握重點，突破難點，盡可能把問題解決在課堂上。 上課是理解和掌握基本知識、基本技能和基本方法的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。“學(xué)然后知不足”，課前自學(xué)過的同學(xué)上課更能專心聽課，他們知道什么地方該詳，什么地方可略；什么地方該精雕細(xì)刻，什么地方能夠一帶而過，該記的地方才記下來，而不是全抄全錄，顧此失彼。 即時復(fù)習(xí)是高效率學(xué)習(xí)的重要一環(huán)，通過反復(fù)閱讀教材，多方查閱相關(guān)資料，強(qiáng)化對基本概念知識體系的理解與記憶，將所學(xué)的新知識與相關(guān)舊知識聯(lián)系起來，實行分析比較，一邊復(fù)習(xí)一邊將復(fù)習(xí)成果整理在筆記上，使對所學(xué)的新知識由“懂”到“會”。 獨立作業(yè)是學(xué)生通過自己的獨立思考，靈活地分析問題、

16、解決問題，進(jìn)一步加深對所學(xué)新知識的理解和對新技能的掌握過程。這個過程是對學(xué)生意志毅力的考驗，通過使用使學(xué)生對所學(xué)知識由“會”到“熟”。 解決疑難是指對獨立完成作業(yè)過程中暴露出來對知識理解的錯誤，或因為思維受阻遺漏解答，通過點撥使思路暢通，補(bǔ)遺解答的過程。解決疑難一定要有鍥而不舍的精神，做錯的作業(yè)再做一遍。對錯誤的地方?jīng)]弄清楚要反復(fù)思考，實在解決不了的要請教老師和同學(xué)，并要經(jīng)常把易錯的地方拿出來復(fù)習(xí)強(qiáng)化，作適當(dāng)?shù)闹貜?fù)性練習(xí)，把求老師問同學(xué)獲得的東西消化變成自己的知識，長期堅持使對所學(xué)知識由“熟”到“活”。 系統(tǒng)小結(jié)是學(xué)生通過積極思考，達(dá)到全面系統(tǒng)深刻地掌握知識和發(fā)展理解水平的重要環(huán)節(jié)。小結(jié)要在系

17、統(tǒng)復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上以教材為依據(jù)，參照筆記與相關(guān)資料，通過度析、綜合、類比、概括，揭示知識間的內(nèi)在聯(lián)系。以達(dá)到對所學(xué)知識融會貫通的目的。經(jīng)常實行多層次小結(jié)，能對所學(xué)知識由“活”到“悟”。 課外學(xué)習(xí)包括閱讀課外書籍與報刊，參加學(xué)科競賽與講座，走訪高年級同學(xué)或老師交流學(xué)習(xí)心得等。課外學(xué)習(xí)是課內(nèi)學(xué)習(xí)的補(bǔ)充和繼續(xù)，它不但能豐富學(xué)生的文化科學(xué)知識，加深和鞏固課內(nèi)所學(xué)的知識，而且能滿足和發(fā)展他們的興趣愛好，培養(yǎng)獨立學(xué)習(xí)和工作水平，激發(fā)求知欲與學(xué)習(xí)熱情。 2循序漸進(jìn)，防止急躁 因為學(xué)生年齡較小，閱歷有限，為數(shù)很多的高中學(xué)生容易急躁，有的同學(xué)貪多求快，囫圇吞棗，有的同學(xué)想靠幾天“沖刺”一蹴而就，有的取得一點成績便洋洋自得，遇到挫折又一蹶不振。針對這些情況，教師要讓學(xué)生懂得學(xué)習(xí)是一個長期的鞏固舊知識、發(fā)現(xiàn)新知識的積累過程，決非一朝一夕能夠完成，為什么高中要上三年而不是三天！很多優(yōu)秀的同學(xué)能取得好成績，其中一個重要原因是他們的基本功扎實，他們的閱讀、書寫、運算技能達(dá)到了自動化或半自動化的熟練水準(zhǔn)。 3研究學(xué)科特點，尋找最佳學(xué)習(xí)方法 數(shù)學(xué)學(xué)科擔(dān)負(fù)著培養(yǎng)學(xué)生運算水平、邏輯思維水平、空間想象水平，以及使用所學(xué)知識分析問題、解決問題的水平的重任。它的特點是具有高度的抽象性、邏輯性和廣泛的適用性，對水平要求較高。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)一定要講究“活”，只看書不做題不行，埋