第十二章一元二次方程

1、第十二章 一元二次方程 一、教學(xué)目的 1使學(xué)生理解并能夠掌握整式方程的定義 2使學(xué)生理解并能夠掌握一元二次方程的定義 3使學(xué)生理解并能夠掌握一元二次方程的一般表達(dá)式以及各種特殊形式 二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)：一元二次方程的定義 難點(diǎn)：一元二次方程的一般形式及其二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的識(shí)別 三、教學(xué)過(guò)程 復(fù)習(xí)提問(wèn) 1什么叫做方程？什么叫做一元一次方程？ 2指出下面哪些方程是已學(xué)過(guò)的方程？分別叫做什么方程？ (l)3x+4=l； (2)6x-5y=7； 3結(jié)合上述相關(guān)方程講解什么叫做“元”，什么叫做“次” 引入新課 1方程的分類： 通過(guò)上面的復(fù)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生答出： 學(xué)過(guò)的幾類方程是 沒(méi)學(xué)過(guò)的

2、方程是 x2-70x+825=0，x(x+5)=150 這類“兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式的方程，叫做整式方程”而在整式方程中，“只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，這樣的整式方程叫做一元二次方程” 據(jù)此得出復(fù)習(xí)中學(xué)生未學(xué)過(guò)的方程是 (4)一元二次方程：x2-70x+825=0，x(x+5)=150 同時(shí)指導(dǎo)學(xué)生把學(xué)過(guò)的方程分為兩大類： 2一元二次方程的一般形式 注意引導(dǎo)學(xué)生考慮方程 x2-70x+825=0 和方程x(x+5)=150，即x2+5x=150， 可化為：x2+5x-150=0 從而引導(dǎo)學(xué)生理解到：任何一個(gè)一元二次方程，經(jīng)過(guò)整理都能夠化為 ax2+bx+c=0(a0) 的形式

3、并稱之為一元二次方程的一般形式強(qiáng)調(diào)，其中ax2，bx，c分別稱為二次項(xiàng)、一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)；a，b分別稱為二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)要特別注意：二次項(xiàng)系數(shù)a是不等于0的實(shí)數(shù)(a=0時(shí)，方程化為bx+c=0，不再是二次方程了)；b，c可為任意實(shí)數(shù) 例 把方程5x(x+3)=3(x-1)+8化成一般形式并寫出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)講解例題課堂練習(xí) P5-6 1、2課堂小結(jié) 1方程分為兩大類： 判別整式方程與分式方程的關(guān)鍵是看分母中是否含有未知數(shù)；判別一元一次方程，一元二次方程的關(guān)鍵是看方程化為一般形式后，未知數(shù)的最高次數(shù)是一次還是二次 2一元二次方程的定義：一個(gè)整式方程，經(jīng)化簡(jiǎn)形成只含有一個(gè)未

4、知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，則這樣的整式方程稱一元二次方程其一般形式是ax2+bx+c=0(a0)，其中b，c均可為任意實(shí)數(shù)，而a不能等于零 作業(yè)：教材中相關(guān)習(xí)題 第2課 一元二次方程的解法(一) 一、教學(xué)目的 1使學(xué)生掌握用直接開平方法解一元二次方程 2引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)特殊情況下的解方程，小結(jié)、歸納出解一元二次方程ax2+c=0(a0，c0)的方法 二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)：準(zhǔn)確地求出方程的根 難點(diǎn)：準(zhǔn)確地表示方程的兩個(gè)根 三、教學(xué)過(guò)程 復(fù)習(xí)過(guò)程 回憶數(shù)的開方一章中的知識(shí)，請(qǐng)學(xué)生回答下列問(wèn)題，并說(shuō)明解決問(wèn)題的依據(jù) 求下列各式中的x： 1x2=225； 2x2-169=0；336x2=49； 44

5、x2-25=0 回答解題過(guò)程中的依據(jù) 解題的依據(jù)是：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，這兩個(gè)平方根互為相反數(shù) 即 一般地，如果一個(gè)數(shù)的平方等于a(a0)，那么這樣的數(shù)有兩個(gè)，它們是互為相反數(shù) 引入新課 我們已經(jīng)學(xué)過(guò)了一些方程知識(shí)，那么上述方程屬于什么方程呢？ 新課 例1 解方程 x2-4=0 解：先移項(xiàng)，得x2=4 即x1=2，x2=-2 這種解一元二次方程的方法叫做直接開平方法 例2 解方程 (x+3)2=2 講解例2 練習(xí)：P7 1、2 小結(jié) 1本節(jié)主要學(xué)習(xí)了簡(jiǎn)單的一元二次方程的解法直接法 2直接法適用于ax2+c=0(a0，c0)型的一元二次方程作業(yè)：習(xí)題12.1A組 1、2第3課 一元二次方程的解

6、法(二) 一、教學(xué)目的 1使學(xué)生掌握用配方法解一元二次方程的方法 2使學(xué)生能夠使用適當(dāng)變形的方法，轉(zhuǎn)化方程為易于用配方法求解的形式，來(lái)解某些一元二次方程并由此體會(huì)轉(zhuǎn)化的思想 二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)：掌握配方的法則 難點(diǎn)：湊配的方法與技巧 三、教學(xué)過(guò)程 復(fù)習(xí)過(guò)程 用開平方法解下列方程： (1)x2=441； (2)196x2-49=0； 引入新課 我們知道，形如x2-A=0的方程，可變形為x2=A(A0)，再根據(jù)平方根的意義，用直接開平方法求解那么，我們能否將形如ax2+bx+c=0(a0)的一類方程，化為上述形式求解呢？這正是我們這節(jié)課要解決的問(wèn)題 新課 我們研究方程x2+6x+7=0的解法

7、： 將方程視為：x2+2x3=-7， 即 x2+2x3+32=32-7， (x+3)2=2， 這種解一元二次方程的方法叫做配方法這種方法的特點(diǎn)是：先把方程的常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，再把左邊配成一個(gè)完全平方式，如果右邊是非負(fù)數(shù)，就能夠進(jìn)一步通過(guò)直接開平方法來(lái)求出它的解 例1 解方程x2-4x-3=0 配方法解之在解的過(guò)程中，介紹配方的法則 例2 解方程2x2+3=7x練習(xí)：P10 1、2 小結(jié)：應(yīng)用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的要點(diǎn)是： (1)化二次項(xiàng)系數(shù)為1； (2)移項(xiàng)，使方程左邊為二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，右邊為常數(shù)； (3)方程兩邊各加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方； 作業(yè)：習(xí)題12.1

8、 3 第4課 一元二次方程的解法(三) 一、教學(xué)目的 1使學(xué)生掌握一般一元二次方程的求根公式的推導(dǎo)過(guò)程，并由此培養(yǎng)學(xué)生的分析、綜合和計(jì)算水平 2使學(xué)生掌握公式法解一元二次方程的方法 二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)：要求學(xué)生準(zhǔn)確使用公式解方程 難點(diǎn)：求根公式的推導(dǎo)過(guò)程 三、教學(xué)過(guò)程 復(fù)習(xí)提問(wèn) 提問(wèn)：當(dāng)x2=c時(shí)，c0時(shí)方程才有解，為什么？ 練習(xí)：用配方法解下列一元二次方程 (1)x2-8x=20； (2)2x2-6x-1=0 引入新課 我們思考用配方法解一般形式的一元二次方程，應(yīng)如何配方來(lái)實(shí)行求解？ 新課 (引導(dǎo)學(xué)生討論)用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的步驟 解：a0，兩邊同除以a

9、，得 把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，并兩邊各加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，得 (a0)的求根公式用此公式解一元二次方程的方法叫做公式法 應(yīng)用求根公式解一元二次方程的關(guān)鍵在于：(1)將方程化為一般形式ax2+bx+c=0(a0)；(2)將各項(xiàng)的系數(shù)a，b，c代入求根公式 例1 解方程x2-3x+2=0 講解例1 例2 解方程2x2+7x=4 講解例2 練習(xí)P14 1 小結(jié) 1本節(jié)課我們推導(dǎo)出了一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的求根公式，即 要重點(diǎn)讓學(xué)生注意到應(yīng)用公式的大前提，即b2-4ac0 2應(yīng)注意把方程化為一般形式后，再用公式法求解 作業(yè)：習(xí)題12.1A組 4第5課 一元二次方程的解法(四)

10、一、教學(xué)目的 使學(xué)生進(jìn)一步熟練掌握利用求根公式解一元二次方程的方法 二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)：用求根公式求一元二次方程的根的方法 難點(diǎn)：含有字母參數(shù)的一元二次方程的公式解法 三、教學(xué)過(guò)程 復(fù)習(xí)提問(wèn) 1一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的求根公式是什么？ 2求根公式成立的前提是什么？ 引入新課 在用求根公式解一元二次方程時(shí)，是否會(huì)遇到一些特殊現(xiàn)象？可看下述幾例 新課 講解例3 例4 解方程x2+x-1=0(精確到0.001) 講解例4 例5 解關(guān)于x的方程 x2-m(3x-2m+n)-n2=0 講解例5練習(xí)：P14 2小結(jié)：2在解含有字母系數(shù)的一元二次方程時(shí)，應(yīng)注意化方程為一般形式，確定b

11、2-4ac0后，再用求根公式解之 作業(yè) 習(xí)題12.1 A組 5 6 第6課 一元二次方程的解法(五) 一、教學(xué)目的 使學(xué)生掌握應(yīng)用因式分解法解某些系數(shù)較為特殊的一元二次方程的方法 二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)：用因式分解法解一元二次方程 難點(diǎn)：將方程化為一般形式后，對(duì)左側(cè)二次三項(xiàng)式的因式分解 三、教學(xué)過(guò)程 復(fù)習(xí)提問(wèn) 1在初一時(shí)，我們學(xué)過(guò)將多項(xiàng)式分解因式的哪些方法？ 2方程x2=4的解是多少？ 引入新課 方程x2=4還有其他解法嗎？ 新課 眾所周知，方程x2=4還可用公式法解 此法要比開平方法繁冗本課，我們將介紹一種較為簡(jiǎn)捷的解一元二次方程的方法因式分解法 我們?nèi)砸苑匠蘹2=4為例 移項(xiàng)，得 x2-

12、4=0， 對(duì)x2-4分解因式，得 (x+2)(x-2)=0 我們知道： x+2=0，x-2=0 即 x1=-2，x2=2 由上述過(guò)程我們知道：當(dāng)方程的一邊能夠分解成兩個(gè)一次因式而另一邊等于0時(shí)，即可解之這種方法叫做因式分解法 例1 解下列方程：(1)x2-3x-10=0； (2)(x+3)(x-1)=5 在講例1(1)時(shí)，要注意講應(yīng)用十字相乘法分解因式； 講例1(2)時(shí)，應(yīng)突出講將方程整理成一般形式，然后再分解因式解之 例2 解下列方程： (1)3x(x+2)=5(x+2)；(2)(3x+1)2-5=0 在講本例(1)時(shí)，要突出講移項(xiàng)后提取公因式，形成(x+2)(3x-5)=0后求解； 再利用

13、平方差公式因式分解后求解 注意：在講完例1、例2后，可通過(guò)比較來(lái)講述因式分解的方法應(yīng)“因題而宜” 例3 解下列方程： (1)3x2-16x+5=0；(2)3(2x2-1)=7x依照教材中的解法介紹，此類題需用十字相乘法解之 練習(xí)：P20 1、2 小結(jié) 對(duì)上述三例的解法可做如下總結(jié)：因式分解法解一元二次方程的步驟是 1將方程化為一般形式； 2把方程左邊的二次三項(xiàng)式分解成兩個(gè)一次式的積；(用初一學(xué)過(guò)的分解方法) 3使每個(gè)一次因式等于0，得到兩個(gè)一元一次方程； 4解所得的兩個(gè)一元一次方程，得到原方程的兩個(gè)根 作業(yè)：習(xí)題12.2 A組 1 第7課 一元二次方程的解法(六) 一、教學(xué)目的 使學(xué)生進(jìn)一步鞏

14、固掌握一元二次方程的開平方法、配方法、公式法和因式分解法 二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)：一元二次方程的四種常見(jiàn)解法的復(fù)習(xí) 難點(diǎn)：選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠?三、教學(xué)過(guò)程 例1 解下列方程： 講解例1 例2 解下列方程： (1)5x(5x-2)=-1；(2)(x-2)2+10(x-2)+16=0 講解例2 例3 用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?講解例3 小結(jié) 在解一元二次方程時(shí)，要注意根據(jù)方程的特征，選擇適當(dāng)?shù)姆椒`活的解決問(wèn)題作業(yè) 習(xí)題12.2 A組 2第8課 一元二次方程的根的判別式(一) 一、教學(xué)目的 1使學(xué)生理解并掌握一元二次方程的根的判別式 2使學(xué)生掌握不解方程，使用判別式判斷一元二次方程根的

15、情況 二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)：一元二次方程根的判別式的應(yīng)用 難點(diǎn)：一元二次方程根的判別式的推導(dǎo) 三、教學(xué)過(guò)程 復(fù)習(xí)提問(wèn) 1一元二次方程的一般形式及其根的判別式是什么？ 2用公式法求出下列方程的解： (1)3x2x100；(2)x28x160；(3)2x26x50 引入新課 通過(guò)上述一組題，讓學(xué)生回答出：一元二次方程的根的情況有三種，即有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；沒(méi)有實(shí)數(shù)根 接下來(lái)向?qū)W生提出問(wèn)題：是什么條件決定著一元二次方程的根的情況？這條件與方程的根之間又有什么關(guān)系呢？能否不解方程就能夠明確方程的根的情況？這正是我們本課要探討的課題(板書本課標(biāo)題) 新課 先討論上述三個(gè)小題中b2

16、4ac的情況與其根的聯(lián)系再做如下推導(dǎo)： 對(duì)任意一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)，可將其變形為 a0，4a20 由此可知b24ac的值的“三岐性”，即正、零、負(fù)直接影響著方程的根的情況 (1)當(dāng)b24ac0時(shí)，方程右邊是一個(gè)正數(shù) (2)當(dāng)b24ac0時(shí)，方程右邊是0 通過(guò)以上討論，總結(jié)出：一元二次方程ax2bxc0的根的情況可由b24ac來(lái)判定故稱b24ac是一元二次方程ax2bxc0的根的判別式，通常用“”來(lái)表示 綜上所述，一元二次方程ax2bxc0(a0) 當(dāng)0時(shí)，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； 當(dāng)0時(shí)，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根； 當(dāng)0時(shí)，沒(méi)有實(shí)數(shù)根反過(guò)來(lái)也成立 注：“”讀作“delta” 例 不

17、解方程，判別下列方程根的情況： (1)2x23x40； (2)16y2924y； (3)5(x21)7x0 分析：要想確定上述方程的根的情況，只需算出“”，確定它的符號(hào)情況即可 練習(xí)：P26 1 2 3 小結(jié) 應(yīng)用判別式解題應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： 1應(yīng)先把已知方程化為一元二次方程的一般形式，為應(yīng)用判別式創(chuàng)造條件 2不必解方程，只須先求出，確定其符號(hào)即可，具體數(shù)值不一定要計(jì)算出來(lái) 3其逆命題也是成立的 作業(yè)：習(xí)題12.3 A組 1-4 第9課 一元二次方程的根的判別式(二) 一、教學(xué)目的 通過(guò)對(duì)含有字母系數(shù)方程的根的討論，培養(yǎng)學(xué)生使用一元二次方程根的判別式的論證水平和邏輯思維水平培養(yǎng)學(xué)生思考問(wèn)題的靈活

18、性和嚴(yán)密性 二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)：鞏固掌握根的判別式的應(yīng)用水平 難點(diǎn)：利用根的判別式實(shí)行相關(guān)證明 三、教學(xué)過(guò)程 復(fù)習(xí)提問(wèn) 1寫出一元二次方程ax2bxc0的根的判別式 2方程ax2bxc0(a0)的根有哪幾種情況？如何判斷？ 引入新課 教材中“想一想”提出了如下問(wèn)題： 已知關(guān)于x的方程 2x2-(4k+1)x+2k2-1=0， 其中=-(4k+1)2-42(2k2-1) =16k2+8k+1-16k2+8 =8k+9 想一想，當(dāng)k取什么值時(shí)，(1)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；(3)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根 新課 上述問(wèn)題，實(shí)際上是這樣一道題目 例1 當(dāng)k取什么值時(shí)，關(guān)于x

19、的方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0 (1)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根；(3)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根 講解例1 例2 求證關(guān)于x的方程(k2+1)x2-2kx+(k2+4)=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根 分析：要證明上述方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，只須證明其根的判別式0即可 例3 證明關(guān)于x的方程(x-1)(x-2)=m2有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 講解例3 例4 已知a，b，c是ABC的三邊的長(zhǎng)，求證方程a2x2-(a2+b2-c2)x+b2=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根 講解例4練習(xí)： 1若mn，求證關(guān)于x的方程2x2+2(m+n)x+m2+n2=0無(wú)實(shí)數(shù)根 2求證：關(guān)于x的方程x2+(2m+1)x-m2+m=0有兩個(gè)不

20、相等的實(shí)數(shù)根 小結(jié) 解決判定一元二次方程ax2+bx+c=0的方程根的情況應(yīng)依照下列步驟實(shí)行： 1計(jì)算； 2用配方法將恒等變形(或變成易于觀察其符號(hào)的情況)； 3判斷的符號(hào)，得出結(jié)論 作業(yè)：習(xí)題12.3 B組第10課 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系(一) 一、教學(xué)目的 1使學(xué)生掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系(即韋達(dá)定理)，并學(xué)會(huì)初步使用 2培養(yǎng)學(xué)生分析、觀察以及利用求根公式實(shí)行推理論證的水平 二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)：韋達(dá)定理的推導(dǎo)和初步使用 難點(diǎn)：定理的應(yīng)用 三、教學(xué)過(guò)程 復(fù)習(xí)提問(wèn) 1一元二次方程ax2bxc0的求根公式應(yīng)如何表述？ 2上述方程兩根之和等于什么？?jī)筛e呢？ 新課 一元二次方程

21、ax2bxc0(a0)的兩根為 由此得出，一元二次方程的根與系數(shù)之間存有如下關(guān)系：(又稱“韋達(dá)定理”) 如果ax2bxc0(a0)的兩個(gè)根是x1，x2，那么 我們?cè)賮?lái)看二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程x2pxq0的根與系數(shù)的關(guān)系 得出： 如果方程x2pxq0的兩根是x1，x2，那么x1x2p，x1x2q 由 x1x2p，x1x2q 可知p(x1x2)，qx1x2， 方程x2pxq0， 即 x2(x1x2)xx1x20 這就是說(shuō)，以兩個(gè)數(shù)x1，x2為根的一元二次方程(二次項(xiàng)系數(shù)為1)是 x2(x1x2)xx1x20 例1 已知方程5x2kx60的一個(gè)根是2，求它的另一根及k的值 講解例1 練習(xí) P3

22、2 1 2 小結(jié) 1本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系定理，應(yīng)在應(yīng)用過(guò)程中熟記定理 2要掌握定理的兩個(gè)應(yīng)用：一是不解方程直接求方程的兩根之和與兩根之積；二是已知方程一根求另一根及系數(shù)中字母的值 作業(yè)：習(xí)題12.4 A組 1 第11課 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系(二) 一、教學(xué)目的 1復(fù)習(xí)鞏固一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的定理 2學(xué)習(xí)定理的又一應(yīng)用，即“已知方程，求方程兩根的代數(shù)式的值” 3通過(guò)應(yīng)用定理，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和綜合使用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的水平 二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)：已知方程求關(guān)于根的代數(shù)式的值 難點(diǎn)：用兩根之和與兩根之積表示含有兩根的各種代數(shù)式 三、教學(xué)過(guò)程 復(fù)習(xí)提問(wèn) 1一元二

23、次方程根與系數(shù)關(guān)系的定理是什么？ 2下列各方程兩根之和與兩根之積各是什么？ (1)x23x180；(2)x25x45； (3)3x27x20；(4)2x23x0 引入新課 考慮下列兩個(gè)問(wèn)題； 1方程5x2kx60兩根互為相反數(shù)，k為何值？ 2方程2x27xk0的兩根中有一個(gè)根為0，k為何值？ 我們能夠從這兩題中看出，根與系數(shù)之間的運(yùn)算是十分巧妙的本課我們將深入探討這個(gè)問(wèn)題 新課例2 利用根與系數(shù)的關(guān)系，求一元二次方程2x23x10兩根的(1)平方和；(2)倒數(shù)和 在講本題時(shí)，要突出講使用韋達(dá)定理，尋求x2pxq0中的p，q的值 例4 已知兩個(gè)數(shù)的和等于8，積等于9，求這兩個(gè)數(shù) 這是一道“根與系

24、數(shù)的關(guān)系定理”的應(yīng)用題，要注意講此類題的解題步驟： (1)使用定理構(gòu)造方程； (2)解方程求兩根； (3)得出所欲求的兩個(gè)數(shù) 練習(xí)：P32 3、4、5小結(jié) 本課學(xué)習(xí)了利用根與系數(shù)關(guān)系解決三類問(wèn)題的方法：(1)已知方程求兩根的各種代數(shù)式的值；(2)已知兩根的代數(shù)式的值，構(gòu)造新方程；(3)已知兩根的和與積，構(gòu)造方程，解方程，求出與根對(duì)應(yīng)的數(shù) 作業(yè)：習(xí)題12.4 A組 2、3、4 第12課 二次三項(xiàng)式的因式分解(公式法)(一) 一、教學(xué)目的 1使學(xué)生理解二次三項(xiàng)式的意義及解方程和因式分解的關(guān)系 2使學(xué)生掌握用求根法在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)將二次三項(xiàng)式分解國(guó)式 二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)：用求根法分解二次三項(xiàng)式 難

25、點(diǎn)：方程的同解變形與多項(xiàng)式的恒等變形的區(qū)別 三、教學(xué)過(guò)程 復(fù)習(xí)提問(wèn) 解方程：1x2-x-60； 23x2-11x+100； 34x2+8x-10 引入新課 在解上述方程時(shí)，第1，2題均可用十字相乘法分解因式，迅速求解而第3題則只有采用其他方法此題給我們啟示，用十字相乘法分解二次三項(xiàng)式，有時(shí)是無(wú)法做到的是否存有新的方法能分解二次三項(xiàng)式呢？第3個(gè)方程的求解給我們以啟發(fā) 新課 二次三項(xiàng)式ax2+bx+c(a0)，我們已經(jīng)能夠用十字相乘法分解一些簡(jiǎn)單形式下面我們介紹利用一元二次方程的求根公式將之分解的方法 易知，解一元二次方程2x2-6x+40時(shí)，可將左邊分解因式，即2(x-1)(x-2)0， 求得其

26、兩根x11，x22. 反之，我們也可利用一元二次方程的兩個(gè)根來(lái)分解二次三項(xiàng)式即，令二次三項(xiàng)式為0，解此一元二次方程，求出其根，從而分解二次三項(xiàng)式具體方法如下： 如果一元二次方程ax2+bx+c0(a0)的兩個(gè)根是 ax2-(x1+x2)x+x1x2 a(x-x1)(x-x2) 從而得出如下結(jié)論 在分解二次三項(xiàng)式ax2+bx+c的因式時(shí)，可先用公式求出方程ax2+bx+c=0的兩根x1，x2，然后寫成ax2+bx+ca(x-x1)(x-x2) 例如，方程2x2-6x+40的兩根是x11，x22 則可將二次三項(xiàng)式分解因式，得2x2-6x+42(x-1)(x-2) 例1 把4x2-5分解因式 講解例

27、1 練習(xí)：P37 1 小結(jié)：用公式法解決二次三項(xiàng)式的因式分解問(wèn)題時(shí)，其步驟為： 1令二次三項(xiàng)式ax2+bx+c0； 2解方程(用求根公式等方法)，得方程兩根x1，x2； 3代入a(x-x1)(x-x2) 作業(yè)：習(xí)題12.5 A組 1第13 課 二次三項(xiàng)式的因式分解(公式法)(二) 一、教學(xué)目的 使學(xué)生進(jìn)一步鞏固和熟練掌握公式法將二次三項(xiàng)式因式分解的方法 二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)：用求根公式法分解二次三項(xiàng)式 難點(diǎn)：二元二次三項(xiàng)式的因式分解 三、教學(xué)過(guò)程 復(fù)習(xí)提問(wèn) 求根法分解二次三項(xiàng)式的因式的步驟有哪些？ 引入新課 上節(jié)課我們證明了：ax2+bx+ca(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2分別等

28、于什么？ 應(yīng)用這個(gè)結(jié)論，今天我們深入的探討一些問(wèn)題 新課 例2 把4x2+8x-1分解因式此題注意將二次項(xiàng)系數(shù)4分解乘入兩因式的必要性，即化簡(jiǎn)結(jié)論 例3 把2x2-8xy+5y2分解因式 注意視之為關(guān)于x的方程，視y為常數(shù)的重要性 練習(xí) P37 2小結(jié) 二次三項(xiàng)式ax2+bx+c(a0)分解因式的方法有三種，即 1利用完全平方公式； 2十字相乘法： 即x2+(a+b)x+ab(x+a)(x+b)； acx2+(ad+bc)x+bd(ax+b)(cx+d) 3求根法： ax2+bx+ca(x-x1)(x-x2)， (1)當(dāng)b2-4ac0時(shí)，可在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解；(2)當(dāng)b2-4ac0時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍

29、內(nèi)不能分解 作業(yè)：習(xí)題12.5 A組 2 第14課一元二次方程的應(yīng)用(一) 一、教學(xué)目的 1使學(xué)生會(huì)列出一元二次方程解應(yīng)用題 2使學(xué)生通過(guò)列方程解應(yīng)用題，進(jìn)一步提升邏輯思維水平和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的水平 二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)：由應(yīng)用問(wèn)題的條件列方程的方法 難點(diǎn)：設(shè)“元”的靈活性和解的討論 三、教學(xué)過(guò)程 復(fù)習(xí)提問(wèn) 1一元二次方程有哪些解法？(要求學(xué)生答出：開方法、配方法、公式法、因式分解法) 2回憶一元二次方程解的情況(要求學(xué)生按0，0，0三種情況回答問(wèn)題) 3我們已經(jīng)學(xué)過(guò)的列方程解應(yīng)用題時(shí)，有哪些基本步驟？(要求學(xué)生回答：審題；設(shè)未知數(shù)；根據(jù)等量關(guān)系列方程(組)；解方程(組)；檢驗(yàn)并寫出答

30、案) 引入新課 我們已經(jīng)涉及了一個(gè)與一元二次方程有聯(lián)系的應(yīng)用此類問(wèn)題還有嗎？回答是肯定的：還有很多！本課我們將深入研究相關(guān)一元二次方程的應(yīng)用題 新課 本章開始時(shí)，教材P3中我們提出了如下問(wèn)題：用一塊長(zhǎng)80cm，寬60cm的薄鋼片，在四個(gè)角上截去四個(gè)相同的小正方形，然后做成底面積為1500cm2的無(wú)蓋長(zhǎng)方形盒子試問(wèn)：應(yīng)如何求出截去的小正方形的邊長(zhǎng)？ 解：設(shè)小正方形邊長(zhǎng)為xcm，則盒子底面的長(zhǎng)、寬分別為(80-2x)cm及(60-2x)cm，依題意，可得(80-2x)(60-2x)1500， 即 x2-70x+8250 當(dāng)時(shí)，我們不會(huì)解此方程現(xiàn)在，可用求根公式解此方程了 x155，x215 當(dāng)x5

31、5時(shí)，80-2x-30，60-2x-50； 當(dāng)x15時(shí)，80-2x50，60-2X30 因?yàn)殚L(zhǎng)、寬不能取負(fù)值，故只能取x15，即小正方形的邊長(zhǎng)為15cm 我們?cè)倩貞洷菊碌?節(jié)中的一個(gè)應(yīng)用題： 剪一塊面積是150cm2的長(zhǎng)方形鐵片，使它的長(zhǎng)比寬多5cm，這塊鐵片應(yīng)怎樣剪？ 分析：要解決此問(wèn)題，需求出鐵片的長(zhǎng)和寬，因?yàn)殚L(zhǎng)比寬多5cm，可設(shè)寬為未知數(shù)來(lái)列方程 解：設(shè)這塊鐵片寬xcm，則長(zhǎng)是(x+5)cm依題意，得 x(x+5)150，即x2+5x-1500 x110，x2-15(舍去) x10，x+515 答：應(yīng)將之剪成長(zhǎng)15cm，寬10cm的形狀 練習(xí) P41 1 2小結(jié) 利用一元二次方程解應(yīng)用題

32、的主要步驟仍是：審題；設(shè)未知數(shù)；列方程；解方程；依題意檢驗(yàn)所得的根；得出結(jié)論并作答 作業(yè)：習(xí)題12.6 A組 1、2、3第15課 一元二次方程的應(yīng)用(二) 一、教學(xué)目的 使學(xué)生掌握相關(guān)面積和體積方面以及“藥液?jiǎn)栴}”的一元二次方程應(yīng)用題的解法提升學(xué)生化實(shí)際問(wèn)題為數(shù)學(xué)問(wèn)題的水平 二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)：用圖示法分析題意列方程 難點(diǎn)：方程的布列 三、教學(xué)過(guò)程 復(fù)習(xí)提問(wèn) 本小節(jié)第一課我們介紹了什么問(wèn)題？ 引入新課 今天我們進(jìn)一步研究相關(guān)面積和體積方面以及“藥液?jiǎn)栴}”的一元二次方程的應(yīng)用題及其解法 新課 例1 如圖1，有一塊長(zhǎng)25cm，寬15cm的長(zhǎng)方形鐵皮如果在鐵皮的四個(gè)角上截去四個(gè)相同的小正方形，

33、然后把四邊折起來(lái)，做成一個(gè)底面積為231cm2的無(wú)蓋長(zhǎng)方體盒子，求截去的小正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)是多少？ 分析：如圖1，考慮設(shè)截去的小正方形邊長(zhǎng)為xcm，則底面的長(zhǎng)為(25-2x)cm，寬為(15-2x)cm，由此，知由長(zhǎng)寬矩形面積，可列出方程 解：設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為xcm，依題意，得(25-2x)(15-2x)231， 即x2-20x+360， 解得x12，x218(舍去) 答：截去的小正方形的邊長(zhǎng)為2cm 例2 一個(gè)容器盛滿藥液20升，第一次倒出若干升，用水加滿；第二次倒出同樣的升數(shù)，這時(shí)容器里剩下藥液5升，問(wèn)每次倒出藥液多少升？ x10 答：第一、二次倒出藥液分別為10升，5升 練習(xí) P41 3

34、、4小結(jié) 1注意充分利用圖示列方程解相關(guān)面積和體積的應(yīng)用題 2要注意關(guān)于“藥液?jiǎn)栴}”應(yīng)用題，列方程要以“剩下藥液”為依據(jù)列式 作業(yè)：習(xí)題12.6 4、5、6、7 第16課 一元二次方程的應(yīng)用(三) 一、教學(xué)目的 使學(xué)生掌握列一元二次方程解關(guān)于增長(zhǎng)率的應(yīng)用題的方法并進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的水平 二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)：弄清相關(guān)增長(zhǎng)率的數(shù)量關(guān)系 難點(diǎn)：利用數(shù)量關(guān)系列方程的方法 三、教學(xué)過(guò)程 復(fù)習(xí)提問(wèn) 1問(wèn)題：(1)某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，產(chǎn)品總數(shù)為1600個(gè)，合格品數(shù)為1563個(gè)，合格率是多少？ (2)某種田農(nóng)戶用800千克稻谷碾出600千克大米，問(wèn)出米率是多少？ (3)某商店二月份的營(yíng)業(yè)額

35、為3.5萬(wàn)元，三月份的營(yíng)業(yè)額為5萬(wàn)元，三月份與二月份相比，營(yíng)業(yè)額的增長(zhǎng)率是多少？ 新課 例1 某鋼鐵廠去年一月份某種鋼的產(chǎn)量為5000噸，三月份上升到7200噸，這兩個(gè)月平均每月增產(chǎn)的百分率是多少？ 分析：用譯式法討論列式 一月份產(chǎn)量為5000噸，若月增長(zhǎng)率為x，則二月份比一月份增產(chǎn)5000x噸 二月份產(chǎn)量為(5000+5000x)5000(1+x)噸； 三月份比二月份增產(chǎn)5000(1+x)x噸， 三月份產(chǎn)量為5000(1+x)+5000(1+x)x5000(1+x)2噸再根據(jù)題意，即可列出方程 解：設(shè)平均每月增長(zhǎng)的百分率為x，根據(jù)題意， 得5000(1+x)27200，即(1+x)21.44

36、， 1+x1.2，x10.2，x2-2.2(不合題意，舍去) 答：平均每月增長(zhǎng)率為20 例2 某印刷廠一月份印刷了科技書籍50萬(wàn)冊(cè)，第一季度共印182萬(wàn)冊(cè)，問(wèn)二、三月份平均每月的增長(zhǎng)率是多少？ 解：設(shè)每月增長(zhǎng)率為x，依題意得 50+50(1+x)+50(1+x)2182， 答：二、三月份平均月增長(zhǎng)率為20 練習(xí)：P41 5小結(jié) 依題意，依增長(zhǎng)情況列方程是此類題目解題的關(guān)鍵 作業(yè)：習(xí)題12.6 A組 8 第17課 可化為一元二次方程的分式方程 教學(xué)目的 1使學(xué)生掌握可化為一元二次方程的分式方程的解法，會(huì)用去分母或換元法求方程的解 2使學(xué)生了解解分式方程產(chǎn)生增根的原因，掌握驗(yàn)根的方法 3結(jié)合教學(xué)對(duì)

37、學(xué)生實(shí)行化歸轉(zhuǎn)化思想的培養(yǎng) 教學(xué)重點(diǎn) 將分式方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程 教學(xué)難點(diǎn) 分式方程驗(yàn)根的必要性的理解 教學(xué)過(guò)程 一、復(fù)習(xí) 1我們學(xué)過(guò)度式方程，同學(xué)們還記得怎樣解分式方程嗎？ 2請(qǐng)同學(xué)們解下列方程： 3請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合上面兩個(gè)題，回答下列問(wèn)題： (1)什么是分式方程？解分式方程的一般方法與步驟是什么？ (2)在解分式方程過(guò)程中，容易犯的錯(cuò)誤是什么？理應(yīng)怎樣避免？ (3)解分式方程為什么必須驗(yàn)根，理應(yīng)怎樣驗(yàn)根？ 指出： 分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程解分式方程的一般思路是化分式方程為整式方程，解分式方程的一般步驟是： (1)把方程中各分式的分母因式分解，確定各分式的最簡(jiǎn)公分母 (2)用最簡(jiǎn)公分

38、母去乘方程兩邊，約去分母，使分式方程化為整式方程 (3)解這個(gè)整式方程，得到此整式方程的根 (4)檢驗(yàn) 解分式方程容易犯的錯(cuò)誤有： (1)去分母時(shí)，原方程的整式部分漏乘 (2)約去分母后，分子是多項(xiàng)式時(shí)，要注意添括號(hào) 根據(jù)方程同解原理：方程兩邊都乘以不等于零的同一個(gè)數(shù)，所得方程與原方程同解而我們?cè)诮夥质椒匠虝r(shí)，方程兩邊同時(shí)乘以最簡(jiǎn)公分母，它是一個(gè)整式，當(dāng)此整式為零時(shí)，就破壞了方程的同解原理，所以最后整式方程的根就不一定是原方程的根，所以解分式方程必須驗(yàn)根驗(yàn)根的一般方法是：把最后整式方程的根代入最簡(jiǎn)公分母，看結(jié)果是否為零，使最簡(jiǎn)公分母為零的根為原方程的增根，必須舍去，否則是原方程的根 二、新課

39、講解例1 講解例2 三、練習(xí) P49 1、2 四、小結(jié) 1分式方程的定義 2分式方程的一般解法及解方程步驟 3用換元法解分式方程時(shí)，方程具備的特點(diǎn)，驗(yàn)根的方法 五、作業(yè) 習(xí)題12.7 A組 1、2、3、4 第18課 可化為一元二次方程的分式方程的應(yīng)用 教學(xué)目的 1使學(xué)生掌握可化為一元二次方程的分式方程的解法，會(huì)用去分母或換元法求方程的解 2會(huì)列出可化為一元二次方程的分式方程，解應(yīng)用題 3在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的水平 教學(xué)重點(diǎn)：列方程 教學(xué)過(guò)程 一、復(fù)習(xí) 1什么叫分式方程？解分式方程的一般方法是什么？在不同的解法過(guò)程中應(yīng)分別注意什么？ 二、新課 今天我們學(xué)習(xí)利用分式方程解應(yīng)用題 例1

40、 甲乙二人同時(shí)從張莊出發(fā)，步行15千米來(lái)到李莊甲比乙每小時(shí)多走1千米，結(jié)果比乙早到半小時(shí)，二人每小時(shí)各走幾千米？講解例1 例2 某農(nóng)場(chǎng)開挖一條長(zhǎng)960m的渠道，開工后每天比原計(jì)劃多挖20m，結(jié)果提前4天完成任務(wù)，原計(jì)劃每天挖多少？講解例2 三、練習(xí) 1從甲站到乙站有150千米，一列快車和一列慢車同時(shí)從甲站開出，1小時(shí)后，快車在慢車前12千米；快車到達(dá)乙站此慢車早25分，快車和慢車每小時(shí)各走幾千米？ 2某工廠貯存350噸煤，因?yàn)楦倪M(jìn)爐灶和燒煤技術(shù)，每天能節(jié)約2噸煤，使貯存煤比原計(jì)劃多用20天，貯存的煤原計(jì)劃用多少天？每天燒少噸？ 3甲、乙兩隊(duì)學(xué)生綠化校園如果兩隊(duì)合作，6天能夠完成如果單獨(dú)工作，甲

41、隊(duì)比乙隊(duì)少用5天，兩隊(duì)單獨(dú)工作各需多少天完成？ 四、小結(jié) 1列方程解應(yīng)用題的一般步驟 2列分式方程解應(yīng)用題驗(yàn)根的兩個(gè)目的 五、作業(yè) 習(xí)題12.7A組 4、5 第19課 由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組(一) 一、教學(xué)目的 1使學(xué)生了解二元二次方程、二元二次方程組的概念 2使學(xué)生熟練掌握用代入法解由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程所組成的方程組 二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)：用代入法解二元二次方程組 難點(diǎn)：二元一次方程代入二元二次方程的技巧 三、教學(xué)過(guò)程 復(fù)習(xí)提問(wèn) 1我們學(xué)過(guò)哪些方程及其解法？ 2二元一次方程組有哪些解法，其解法步驟是什么？ 引入新課 我們已經(jīng)知道，方程就是含有未知數(shù)的等式方程 x2+2xy+y2+x+y+6=0 (*) 是一個(gè)含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的方程這樣的方程我們?cè)鯓臃Q呼它呢？ 新課 形如方程(*)和下述方程 (1)x2+3y2+4x+3y+6=0； (2)xy+3y+7=0； (3)x2+3xy+5=0； (4)x2+y2+4=0，等 含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做二元二次方程其中(*)中，x2，2xy，y2叫做這個(gè)方程的二次項(xiàng)，4x，3y叫