高中數學橢圓經典例題解析解析

1、橢圓標準方程典型例題例1橢圓的一個頂點為 a2。），其長軸長是短軸長的2倍，求橢圓的標準方程.說明：橢圓的標準方程有兩個，給出一個頂點的坐標和對稱軸的位置，是不能確定 橢圓的橫豎的，因而要考慮兩種情況.已知橢圓1.1的離心率e = 2,求k的值.說明：本題易出現漏解.排除錯誤的辦法是：因為 k+8與9的大小關系不定，所以 橢圓的焦點可能在x軸上，也可能在y軸上.故必須進行討論.x2y2例3已知方程三十二=一1表示橢圓,求k的取值范圍k-50,解：由 3-k0, 得 3k5,且 k#4.、k - 5 二 3 - k,.滿足條件的k的取值范圍是3k5,且k=4.k -5 0說明：本題易出現如下錯解

2、：由工0,得3k5,故k的取值范圍是3k3. 6 2m又 c = 2 ,所以 2m - 6 = 22, m=5適合.故m=5.例5已知橢圓的中心在原點，且經過點p（3,0）, a = 3b ,求橢圓的標準方程.分析：因橢圓的中心在原點，故其標準方程有兩種情況.根據題設條件，運用待定系數法，求出參數a和b （或a2和b2）的值，即可求得橢圓的標準方程.22解：當焦點在x軸上時，設其方程為 j+4=1（ab0）. a2 b2由橢圓過點p（3,0）,知圣+烏=1.又a = 3b,代入得b2=1 , a2 =9, a b2故橢圓的方程為l+y2=1.922當焦點在y軸上時，設其方程為 4 += 1（a

3、ba0 ）. ./-ia b由橢圓過點p（3,0 ）,知3+g =1 .又a = 3b,聯立解得a2 =81, b2=9, a b22故橢圓的方程為l+=1.819例6已知p點在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，點p到兩焦點的距離分別為 5和3歧，過p點作焦點所在軸的垂線，它恰好過橢圓的一個焦點，求橢圓方程.f2 ,且 pfi =45 ,3解：設兩焦點為fi、從橢圓定義知 2a=|pf1 +|pf2|=2v5 ,即 a=v5.從pfi |pf2知pf2垂直焦點所在的對稱軸,所以在 rupf2f1 中，sin zpf1f2 =pf2pfi12i-可求出.pf1f2=6,一 -2 2v5川工 222 1

4、02c = pf1 cos =l ,從而 b =a - c =.6 v1332222所求橢圓方程為 人+里=1或+e=i.51010522例7已知橢圓方程2 + -y2=1ab0）,長軸端點為a, a2,焦點 a b為 fi, f2, p 是橢圓上一點，/ apa2epf2 = 0 .求：afipf2的面積（用a、b、”表示）.分析：求面積要結合余弦定理及定義求角a的兩鄰邊，從而利用s = 1absinc求面積.2解：如圖，設p(x, y),由橢圓的對稱性，不妨設p在第一象限.由余弦定理知：fif2/ = pfi2+|pf2|2-2pf1 pf2 88a =4c2.由橢圓定義知：pe十pf2

5、=2a ,則2得pfi pf2 =1 c 0 8故 s.f1pf21 kl-l .一 pf1 pf2 sina212b2sin ;21 cos：,2:=b tan .2例8已知動圓p過定點a(-3,0),且在定圓b:(x-3)2 + y2 =64的內部與其相內切,求動圓圓心p的軌跡方程.分析：關鍵是根據題意，列出點p滿足的關系式.解：如圖所示，設動圓p和定圓b內切于點m .動點p到兩定點，即定點aj3q )和定圓圓心b(3,0)距離之和恰好等于定圓半徑，即pa+1pb = pm + pb = bm| = 8. .,點p的軌跡是以a , b為兩焦點,22半長軸為4,半短軸長為b =。42 -32

6、 =j7的橢圓的方程:上+工=1.167說明：本題是先根據橢圓的定義，判定軌跡是橢圓，然后根據橢圓的標準方程，求 軌跡的方程.這是求軌跡方程的一種重要思想方法.例9 已知圓x2 + y2 = 1 ,從這個圓上任意一點p向y軸作垂線段, 求線段中點m的軌跡.分析：本題是已知一些軌跡，求動點軌跡問題.這種題目一般利用中間變量（相關點）求軌跡方程或軌跡.解：設點m的坐標為（x , y）,點p的坐標為（x0 , y0），則x = x0 , y = y0 -2因為 p(x , y)在圓 x2 +y2 =1 上，所以 x。2 + yo2 =1 將 x0 =2x , y0 = y 代入方程 x02 + y0

7、2 =1得 4x2 + y2 = 1 所以點m的軌跡是一個橢圓4x2 +y2 =1 .說明：此題是利用相關點法求軌跡方程的方法，這種方法具體做法如下：首先設動點的坐標為（x , y）,設已知軌跡上的點的坐標為（x。，y。），然后根據題目要求，使x, y與x。，y。建立等式關系,從而由這些等式關系求出x。和y。代入已知的軌跡方程，就可以求出關于 x, y的方程， 化簡后即我們所求的方程.這種方法是求軌跡方程的最基本的方法，必須掌握.22y (或x),得到關于x (或y)例18已知p(4,2)是直線l被橢圓 上+2_ =1所截得的線段的中點，求直線 l的方程. 369分析：本題考查直線與橢圓的位置

8、關系問題.通常將直線方程與橢圓方程聯立消去的一元二次方程，再由根與系數的關系，直接求出x1+x2, x1x2(或y1+y2, y1y2)的值代入計算即得.并不需要求出直線與橢圓的交點坐標，這種“設而不求”的方法，在解析幾何中是經常采用的.解：方法一：設所求直線方程為 y -2 = k(x 4) .代入橢圓方程，整理得(4k4(2)設直線與橢圓的兩個交點的橫坐標為x1, x2，由(1)得x1 +x2 = -:，x1x2 =-.55 + 1)x2 -8k(4k -2)x+4(4k -2)2 -36=0 設直線與橢圓的交點為a(x1，),b(x2, 斗，則x、x2是的兩根，xi+x2 = 8k(4k

9、-2)4k 1 p(4,2)為 ab 中點，. 4 = x1 +x2 =4k(4k -2) , k =二.所求直線方程為 x + 2y8=0. 2 4k 12方法二：設直線與橢圓交點a(x1，y)，b(x2,y2).p(4,2)為 ab 中點，x+x2=8,必 + 丫2=4.2.2222222又二 a, b 在橢圓上，x1+4y1=36,x2+4y2=36 兩式相減得(-x2)+4(y1 y2) = 0 ,即(x1 +x2)(x1x2)+4(y1+y2)(y1 y2)=0. .比坐=二1二二辿=一 1 ，直線方程為 x + 2y8=0.x x24(y1 丫2)2方法三：設所求直線與橢圓的一個交

10、點為a(x , y),另一個交點b(8-x,4-y). a、b 在橢圓上，x2+4y2=36。(8 x)2+4(4 y)2 = 36從而a, b在方程的圖形 x + 2y -8=0上，而過a、b的直線只有一條，直線方程為x + 2y8 = 0.說明：直線與圓錐曲線的位置關系是重點考查的解析幾何問題，“設而不求”的方法是處理此類問題的有效方法.若已知焦點是(3j3,0)、(3j3,0)的橢圓截直線x + 2y8 = 0所得弦中點的橫坐標是 4,則如何求橢圓方程？例8已知橢圓4x2 +y2 =1及直線y =x+m ./ix(1)當m為何值時，直線與橢圓有公共點？/ 卜、_2.10(2)若直線被橢圓

11、截得的弦長為 10,求直線的方程.解：(1)把直線方程y=x+m代入橢圓方程4x2+y2=1得 4x2+(x + m2=1,一 _ 2_2222. 5. 5即 5x +2mx+m 1=0. =(2m j 4 m5m (m 1)=16m +20 之 0,解得wmw.22根據弦長公式得：v1+12 i -2m_4mm _1 = 20 .解得m = 0 .方程為y = x .v 5 j 55說明：處理有關直線與橢圓的位置關系問題及有關弦長問題，采用的方法與處理直線和圓的有所區(qū)別.這里解決直線與橢圓的交點問題，一般考慮判別式;解決弦長問題，一般應用弦長公式.用弦長公式，若能合理運用韋達定理(即根與系數

12、的關系)，可大大簡化運算過程.22例9以橢圓 l+l=1的焦點為焦點，過直線 l： x-y十9=0上一點m作橢圓，要使所作橢圓的長軸最短, 123點m應在何處？并求出此時的橢圓方程.分析：橢圓的焦點容易求出，按照橢圓的定義，本題實際上就是要在已知直線上找一點, 使該點到直線同側的兩已知點(即兩焦點)的距離之和最小，只須利用對稱就可解決.22解：如圖所示，橢圓 +l=i的焦點為f1(_3,0 ), f2(3,0).123點fi關于直線l： xy+9=0的對稱點f的坐標為(一9, 6),直線ff2的方程為x + 2y-3 = 0.x +2y3 =0 ,解萬程組3, 得交點m的坐標為（5, 4）.此

13、時mf1 + mf2最小.、x _y +9 = 0所求橢圓的長軸：2a = mf1 + mf2 = ff2 =60 , n 0),且不必去考慮焦點在哪個坐標軸上，直接可求出方程.解：設所求橢圓方程為 mx2 +ny2 =1(m 0 , n 0),由a(j3 , 2)和b(2j3,1)兩點在橢圓上可得m （?。? +n （-2）2 =1, m （-2v3）2 +n 12 =1,3m +4n =1,即）12m + n =1,1 所以m =一151n =一.故所求的橢圓方程為 522x y155it例14已知長軸為12,短軸長為6,焦點在x軸上的橢圓，過它對的左焦點f1作傾斜解為一的直線交橢圓于a

14、,3b兩點，求弦ab的長.分析：可以利用弦長公式 ab =/十一%x2 =t（1+k2）（x1+x2）2 4x1x2求得,也可以利用橢圓定義及余弦定理，還可以利用焦點半徑來求.解：（法1）利用直線與橢圓相交的弦長公式求解.ab 八1 +kxi-x2 =c(1+k2)(xi+x2)24x1x2.因為 a =6, b=3,所以 c = 33 .因為焦點在 x軸上,22所以橢圓方程為二十匕=i ,左焦點f（73,0）,從而直線方程為 y = j3x+9.369由直線方程與橢圓方程聯立得:13x2+72j3x+36m8=0.設x1，x2為方程兩根，所以人2 : 一31336 8x1x213從而 ab

15、=j1+k2|x1x2 = j(1 + k2)( x1+x2)24x1x24813（法2）利用橢圓的定義及余弦定理求解由題意可知橢圓方程為22| + =1 ,設 |af1 =m, |bf1 =n,則 |af2 = 12 m , |bf2 =12 n .在 mf1f2 中，af22=af1f1f2|2 -2 af1| f1f2 cos；,即(12 m)2 = m2 + 36 3-2 m 6m 1；.48ab = m + n =1366所以m=尸.同理在abfif2中，用余弦定理得 n =廣，所以4 一 “34 .3（法3）利用焦半徑求解.先根據直線與橢圓聯立的方程 13x2+72j3x+36x8

16、 = 0求出方程的兩根x1 , x2，它們分別是a , b的橫坐標.再根據焦半徑 aejna+ex, bf1| =a+ex2,從而求出 ab =|af1 + bf1 .x2 y2例15 橢圓 +y =1上的點m到焦點f1的距離為2, n為mf1的中點，則 on （o為坐標原點）的值為 2593a. 4 b. 2c. 8d. 一2解：如圖所示，設橢圓的另一個焦點為f2 ,由橢圓第一定義得mf1 +|mf2 =2a=10,所以 mf2| = 10 mf1 =10 2=8,又因為on為amff2的中位線，所以 on|mf2 4 ,故答案為a.2oyf tf1f2 ）的點的軌跡叫做橢圓.說明：（1）橢

17、圓定義：平面內與兩定點的距離之和等于常數（大于(2)橢圓上的點必定適合橢圓的這一定義，即mfi +|mf2.=2a,利用這個等式可以解決橢圓上的點與焦點的有關距離.22x y例16已知橢圓c:+l=1,試確定m的取值范圍，使得對于直線 l: y=4x + m,橢圓c上有不同的兩點 43關于該直線對稱.分析：若設橢圓上 a, b兩點關于直線l對稱，則已知條件等價于：(1)直線ab_ll ; (2)弦ab的中點m在l上. 利用上述條件建立 m的不等式即可求得 m的取值范圍.解：(法1)設橢圓上a(xi , yi) , b(x2 , y2)兩點關于直線l對稱，直線ab與l交于m (x , y)點.

18、l的斜率kl =4, .設直線ab的方程為1-y = -x+n.由方程組41y : 一4 22土 .上x n,消去y得二1,1131 ,、yo = -xom =(-m)444 a, b為橢圓上的兩點， m點在橢圓的內部,(-m)2 (-3m)22.132.13-+- 1 .解得 一 m 0.解得13 mm生八 r 一，m = -3m ,即 m 點坐標為(m , -3m).131313413(法 2)同解法 1 得出 n = - 1m ,xo =13(一4m) = -m，ab與l的交點m的坐標為(xo , yo).即 3 -2xo(xi x2) +4 2yo(yi y2) =0 .(法3)設a(xi , yi) , b(x2, y2)是橢圓上關于l對稱的兩點，直線2222,a, b 在橢圓上，遼+江=1, x_+七_ =1 .兩式相減得 3(x1 +x2)(x1x2)+4(y + y2)(y1 _ y2) = 0 , 4343y1 一