中考數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)幾何題中的“定值型”問(wèn)題賞析

1、中考數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)幾何題中的“定值型”問(wèn)題賞析在動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題中，當(dāng)一些元素按照一定的規(guī)律在確定的范圍內(nèi)變化時(shí)，與它相關(guān)的另一些幾何元素的某些量或其數(shù)量關(guān)系保持不變，這類(lèi)問(wèn)題稱為幾何定值問(wèn)題。定值問(wèn)題由于有時(shí)甚至不知道定值的結(jié)果，而使人難以下手，給問(wèn)題解決帶來(lái)困難。解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，要善于運(yùn)用辯證的觀點(diǎn)去思考分析，在“可變”的元素中尋求“不變”的量一般可采用特殊值或特殊的位置，探得定值，如果需要的話再考慮證明；或直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算中消去變量，從而得到定值。以下以2010年中考題為例說(shuō)明具體的求解策略一、長(zhǎng)度定值例1（2010山東聊城）如圖，點(diǎn)p是矩形abcd的邊ad的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，矩形的兩條邊ab、b

2、c的長(zhǎng)分別為3和4，那么點(diǎn)p到矩形的兩條對(duì)角線ac和bd的距離之和是（ ）a b c d不確定解析：因?yàn)樗倪呅蝍bcd是矩形，由勾股定理得ac=bd=5.過(guò)點(diǎn)p分別作ac、bd的垂線pe、pf，容易得pdfbda，即，同理，pe+pf故答案為a。點(diǎn)評(píng)：本題屬于矩形中動(dòng)點(diǎn)定值問(wèn)題，在選擇題中，可以采取特殊點(diǎn)法求解，譬如p與a重合、p與b重合或p為ad的中點(diǎn)等特殊情形下，求出pepf的值探求答案二、角度定值例2（2010年廣東廣州）如圖，o的半徑為1，點(diǎn)p是o上一點(diǎn)，弦ab垂直平分線段op，點(diǎn)d是上任一點(diǎn)（與端點(diǎn)a、b不重合），deab于點(diǎn)e，以點(diǎn)d為圓心、de長(zhǎng)為半徑作d，分別過(guò)點(diǎn)a、b作d的切

3、線，兩條切線相交于點(diǎn)c（1）求弦ab的長(zhǎng)；（2）判斷acb是否為定值，若是，求出acb的大??；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）略分析：（1）連接oa，op與ab的交點(diǎn)為f，則oaf為直角三角形，且oa1，of，借助勾股定理可求得af的長(zhǎng)，根據(jù)垂徑定理求得ab；（2）要判斷acb是否為定值，只需判定cababc的值是否是定值，由于d是abc的內(nèi)切圓，所以ad和bd分別為cab和abc的角平分線，因此只要daedba是定值，而daedba等于弧ab所對(duì)的圓周角，這個(gè)值等于aob值的一半，只需看aob值即可。解：（1）連接oa，取op與ab的交點(diǎn)為f，則有oa1弦ab垂直平分線段op，ofop，afbf在r

4、toaf中，af，ab2af（2）acb是定值.理由：由（1）易知，aob120，因?yàn)辄c(diǎn)d為abc的內(nèi)心，所以，連結(jié)ad、bd，則cab2dae，cba2dba，因?yàn)閐aedbaaob60，所以cabcba120，所以acb60；（3）略點(diǎn)評(píng)：本題是圓為載體的角度定值問(wèn)題，考查了三角形內(nèi)切圓、角平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和、同弧所對(duì)的圓周角與圓心角之間的關(guān)系及整體思想綜合運(yùn)用，采用了直接推理、計(jì)算得到定值。三、周長(zhǎng)定值例3（2010重慶）已知：如圖（1），在平面直角坐標(biāo)xoy中，邊長(zhǎng)為2的等邊oab的頂點(diǎn)b在第一象限，頂點(diǎn)a在x軸的正半軸上另一等腰oca的頂點(diǎn)c在第四象限，ocac，c120現(xiàn)有

5、兩動(dòng)點(diǎn)p、q分別從a、o兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)q以每秒1個(gè)單位的速度沿oc向點(diǎn)c運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)p以每秒3個(gè)單位的速度沿aob運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨即停止.（1）（2）略圖（3）如圖（2），現(xiàn)有mcn60，其兩邊分別與ob、ab交于點(diǎn)m、n，連接mn將mcn繞著c點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（0旋轉(zhuǎn)角60），使得m、n始終在邊ob和邊ab上試判斷在這一過(guò)程中，bmn的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？若沒(méi)有變化，請(qǐng)求出其周長(zhǎng)；若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由解：（1）（2）略（3）的周長(zhǎng)不發(fā)生變化延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連結(jié)（如圖）， 又 的周長(zhǎng)不變，其周長(zhǎng)為4點(diǎn)評(píng)：本題是定角（60）在等邊三角形內(nèi)旋轉(zhuǎn)的動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題，探究運(yùn)用過(guò)程中的的周長(zhǎng)是否

6、定值，解題時(shí)通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換，將三角形的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為直線段上線段和差，直接計(jì)算證明了周長(zhǎng)為定值。解題時(shí)，也可讓mcn運(yùn)動(dòng)到mn平行于oa或m與o重合或n與a重合（退化的三角形）這幾種特殊情形，探求不變的周長(zhǎng)的值。三、面積定值例3（2010廣州）如圖所示，四邊形oabc是矩形，點(diǎn)a、c的坐標(biāo)分別為（3，0），（0，1），點(diǎn)d是線段bc上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)b、c不重合），過(guò)點(diǎn)d作直線交折線oab于點(diǎn)e（1）略（2）當(dāng)點(diǎn)e在線段oa上時(shí)，若矩形oabc關(guān)于直線de的對(duì)稱圖形為四邊形o1a1b1c1，試探究o1a1b1c1與矩形oabc的重疊部分的面積是否發(fā)生變化，若不變，求出該重疊部分的面積；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理

7、由.cdbaeo思路點(diǎn)撥：（2）重疊部分是一個(gè)平行四邊形，由于這個(gè)平行四邊形上下邊上的高不變，因此決定重疊部分面積是否變化的因素就是看這個(gè)平行四邊形落在oa邊上的線段長(zhǎng)度是否變化解：（1）略（2）如圖3，設(shè)o1a1與cb相交于點(diǎn)m，oa與c1b1相交于點(diǎn)n，則矩形o1a1b1c1與矩形oabc的重疊部分的面積即為四邊形dnem的面積。由題意知，dmne，dnme，四邊形dnem為平行四邊形根據(jù)軸對(duì)稱知，medned又mdened，medmde，mdme，平行四邊形dnem為菱形過(guò)點(diǎn)d作dhoa，垂足為h，因?yàn)橹本€de的解析式中，比例系數(shù)k，所以tanden，因?yàn)閐h1，he2，設(shè)菱形dnem

8、的邊長(zhǎng)為a，則在rtdhm中，由勾股定理知：，s四邊形dnemnedh矩形o1a1b1c1與矩形oabc的重疊部分的面積不發(fā)生變化，面積始終為 點(diǎn)評(píng)：本題是點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)相結(jié)合的平面直角坐標(biāo)系中的動(dòng)態(tài)幾何題，通過(guò)運(yùn)動(dòng)時(shí)所形成的不同位置，考查了矩形、一次函數(shù)、直角三角形勾股定理、方程、面積、軸對(duì)稱變換、銳角三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。第（2）小題是以面積為載體的動(dòng)態(tài)探究題，從面積的角度探求動(dòng)態(tài)過(guò)程中的不變量，解題的關(guān)鍵是找出動(dòng)態(tài)過(guò)程中的不變量，通過(guò)直接計(jì)算求得定值。五、比值定值例5（2010湖北咸寧）如圖，直角梯形abcd中，abdc，動(dòng)點(diǎn)m以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度，從點(diǎn)a沿線段ab向點(diǎn)b運(yùn)

9、動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)p以相同的速度，從點(diǎn)c沿折線c-d-a向點(diǎn)a運(yùn)動(dòng)當(dāng)點(diǎn)m到達(dá)點(diǎn)b時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)過(guò)點(diǎn)m作直線lad，與線段cd的交點(diǎn)為e，與折線a-c-b的交點(diǎn)為q點(diǎn)m運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）（1）、（2）略（3）當(dāng)t2時(shí)，連接pq交線段ac于點(diǎn)r請(qǐng)?zhí)骄渴欠駷槎ㄖ担羰?，試求這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由abcd（備用圖1）abcd（備用圖2）qabcdlmp（第24題）e分析：（3）當(dāng)t2時(shí)，確定動(dòng)點(diǎn)p、q、m在圖形上的位置，點(diǎn)p在ad上，點(diǎn)q在bc上，畫(huà)出圖形，觀察、分析線段cq、rq與已知線段有沒(méi)有關(guān)系，是否存在相似三角形abcd（備用圖2）mqrfp解：（1）（2）略 （3）為定值 當(dāng)2時(shí)，如備

10、用圖2，作cfabcfad4 四邊形amqp為矩形 crqcab點(diǎn)評(píng)：本題是一道以直角梯形為框架的動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題，考查了相似三角形、矩形、梯形的常用輔助線方法等知識(shí)點(diǎn)，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的思想。第（3）問(wèn)是關(guān)于線段比的定值探究題，解題時(shí)，需要畫(huà)出當(dāng)t2時(shí)的圖形，把“動(dòng)態(tài)”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“靜態(tài)”問(wèn)題，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例，將轉(zhuǎn)化為其他線段的比，探明線段比是否為定值六、積定值例6.（2010廣東深圳）如圖1，以點(diǎn)m（1,0）為圓心的圓與y軸、x軸分別交于點(diǎn)a、b、c、d，直線y x 與m相切于點(diǎn)h，交x軸于點(diǎn)e，交y軸于點(diǎn)f （1）請(qǐng)直接寫(xiě)出oe、m的半徑r、ch的長(zhǎng)；（2）略（3）如圖3，點(diǎn)k為線段ec上一動(dòng)點(diǎn)（不與e、c重合），連接bk交m于點(diǎn)t，弦at交x軸于點(diǎn)n是否存在一個(gè)常數(shù)a，始終滿足mnmka，如果存在，請(qǐng)求出a的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由f圖4解：（1）如圖4，oe=5，ch=2（2）略（3）如圖6，連接ak，am，延長(zhǎng)am，與圓交于點(diǎn)g，連接tg，則f圖61，由于，故，；而，故在和中，；故；所以;即：故存在常數(shù)，始終滿足mnmka，常數(shù)點(diǎn)評(píng)：本題是平面直角坐