2.1導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義北師大選修-ppt課件

1、1.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義 先來(lái)復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)的概念先來(lái)復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)的概念 定義：設(shè)函數(shù)定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處及其附近有定義處及其附近有定義,當(dāng)當(dāng) 自變量自變量x在點(diǎn)在點(diǎn)x0處有改變量處有改變量x時(shí)函數(shù)有相應(yīng)的改變量時(shí)函數(shù)有相應(yīng)的改變量 y=f(x0+ x)- f(x0).如果當(dāng)如果當(dāng)x0 時(shí)時(shí),y/x的極限存的極限存 在在,這個(gè)極限就叫做函數(shù)這個(gè)極限就叫做函數(shù)f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)(或變化率或變化率) 記作記作 即即: ,|)( 0 0 xx yxf 或 00 0 00 ()() ()limlim. xx f xxf xy fx xx )2( ),1( ),( ,)(1 2

2、 ffxfxxf求：設(shè)例 的值代入求得導(dǎo)數(shù)值。 再將自變量義求思路：先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定),( xf x x xxx x xxx x xfxxf xf x xx 2 )2( lim )( lim )()( lim)( 0 22 00 解：由導(dǎo)數(shù)的定義有 422)( )2( 2) 1(2)( ) 1( 2 1 x x xff xff 處的導(dǎo)數(shù)。在：求函數(shù)例12xxy x x x y xy 11 11解： 2 1 11 1 lim 0 x x 2 1 1 x y 11 1 x 下面來(lái)看導(dǎo)數(shù)的幾何意義: y=f(x) P Q M xx yy O x y P y=f(x) Q M xx yy O x y 如

3、圖如圖,曲線曲線C是函數(shù)是函數(shù)y=f(x) 的圖象的圖象,P(x0,y0)是曲線是曲線C上上 的的 任意一點(diǎn)任意一點(diǎn),Q(x0+x,y0+y) 為為P鄰近一點(diǎn)鄰近一點(diǎn),PQ為為C的割線的割線, PM/x軸軸,QM/y軸軸,為為PQ的的 傾斜角傾斜角. .tan ,: x y yMQxMP則則 y x 請(qǐng)問(wèn)：是割線PQ的什么? 斜 率! P Q ox y y=f(x) 割割 線線 切線切線 T 請(qǐng)看當(dāng)點(diǎn)請(qǐng)看當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線逐漸向點(diǎn)沿著曲線逐漸向點(diǎn)P接近時(shí)接近時(shí),割線割線PQ繞著繞著 點(diǎn)點(diǎn)P逐漸轉(zhuǎn)動(dòng)的情況逐漸轉(zhuǎn)動(dòng)的情況. 我們發(fā)現(xiàn)我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線無(wú)限接近點(diǎn)沿著曲線無(wú)限接近點(diǎn)P即即x0時(shí)時(shí)

4、,割線割線PQ 有一個(gè)極限位置有一個(gè)極限位置PT.則我們把直線則我們把直線PT稱(chēng)為曲線在點(diǎn)稱(chēng)為曲線在點(diǎn)P處的切線處的切線. 設(shè)切線的傾斜角為設(shè)切線的傾斜角為,那么當(dāng)那么當(dāng)x0時(shí)時(shí),割線割線PQ的斜率的斜率,稱(chēng)為稱(chēng)為 曲線在點(diǎn)曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率處的切線的斜率. 即即: 00 0 00 ()( ) ( )limlim xx f xxf xy kf x xx 切線 這個(gè)概念這個(gè)概念:提供了求曲線上某點(diǎn)切線的斜率的一種方法提供了求曲線上某點(diǎn)切線的斜率的一種方法; 切線斜率的本質(zhì)切線斜率的本質(zhì)函數(shù)在函數(shù)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù). 初中平面幾何中圓的切線的定義：直線和圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，初中平面幾何

5、中圓的切線的定義：直線和圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)， 叫做直線和圓相切。這時(shí)直線叫做圓的切線，唯一的公共點(diǎn)叫做直線和圓相切。這時(shí)直線叫做圓的切線，唯一的公共點(diǎn) 叫做切點(diǎn)。叫做切點(diǎn)。 割線趨近于確定的位置的直線定義為切線割線趨近于確定的位置的直線定義為切線. 曲線與直線相切，并不一定只有一個(gè)公共點(diǎn)。曲線與直線相切，并不一定只有一個(gè)公共點(diǎn)。 例例1:求曲線求曲線y=f(x)=x2+1在點(diǎn)在點(diǎn)P(1,2)處的切線方程處的切線方程. Q P y=x 2 +1 x y -1 1 1 O j M y x . 2 )(2 lim ) 11 (1)1 ( lim )()( lim: 2 0 2 0 00 0 x xx

6、x x x xfxxf k x x x 解解 因而因而,切線方程為切線方程為y-2=2(x-1), 即即y=2x. 求曲線在某點(diǎn)處的切線方程求曲線在某點(diǎn)處的切線方程 的基本步驟的基本步驟:先利用切線斜率先利用切線斜率 的定義求出切線的斜率的定義求出切線的斜率,然后然后 利用點(diǎn)斜式求切線方程利用點(diǎn)斜式求切線方程. 練習(xí)練習(xí):如圖已知曲線如圖已知曲線 ,求求: (1)點(diǎn)點(diǎn)P處的切線的斜率處的切線的斜率; (2)點(diǎn)點(diǎn)P處的切線方程處的切線方程. ) 3 8 , 2( 3 1 3 Pxy上一點(diǎn)上一點(diǎn) y x -2 -1 12 -2 -1 1 2 3 4 O P 3 1 3 yx .)(33lim 3

7、1 )()(33 lim 3 1 3 1 )( 3 1 limlim, 3 1 )1( 222 0 322 0 33 00 3 xxxxx x xxxxx x xxx x y yxy x x xx 解解： . 42| 2 2 x y 即點(diǎn)即點(diǎn)P處的切線的斜率等于處的切線的斜率等于4. (2)在點(diǎn)在點(diǎn)P處的切線方程是處的切線方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0. （1求出函數(shù)在點(diǎn)求出函數(shù)在點(diǎn)x0處的變化率處的變化率 ，得到曲，得到曲 線線 在點(diǎn)在點(diǎn)(x0,f(x0)的切線的斜率。的切線的斜率。 )( 0 x f （2根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程，即根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程，即 ).)()( 000 xxxfxfy 歸納歸納:求切線方程的步驟求切線方程的步驟 無(wú)限逼近的極限思想是建立導(dǎo)數(shù)無(wú)限逼近的極限思想是建立導(dǎo)數(shù) 概念