2.1定積分概念與性質(zhì)ppt課件

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第一節(jié) 一、定積分問題舉例一、定積分問題舉例 二、二、 定積分的定義定積分的定義 三、三、 定積分的近似計算定積分的近似計算 定積分的概念及性質(zhì) 四、四、 定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、定積分問題舉例一、定積分問題舉例 1. 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線 )0)()(xfxfy ，軸及x 以及兩直線 bxax, 所圍成 , 求其面積 A . ?A )(xfy a h b 梯形面積)( 2 ba h y O x a b 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1 x i x 1i xxa b y O 解決步驟解決步驟 :

2、1) 分割分割.在區(qū)間 a , b 中任意插入 n 1 個分點(diǎn) bxxxxxa nn 1210 , 1iii xx 用直線 i xx 將曲邊梯形分成 n 個小曲邊梯形; 2) 近似求和近似求和. 在第i 個窄曲邊梯形上任取 作以, 1ii xx 為底 ,)( i f 為高的小矩形, 并以此小 矩形面積近似代替相應(yīng) 窄曲邊梯形面積, i A得 )()( 1 iiiiii xxxxfA ),2, 1,ni i 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 n i i AA 1 n i ii xf 1 )( 3) 取極限取極限. 令, max 1 i ni x 則曲邊梯形面積 n i i AA 1 0 lim n

3、i ii xf 1 0 )(lim 1 x i x 1i xxa b y O i 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 變速直線運(yùn)動的路程變速直線運(yùn)動的路程 設(shè)某物體作直線運(yùn)動, ,)( 21 TTCtvv且 ,0)(tv 求在運(yùn)動時間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程 s. 解決步驟解決步驟: 1) 分割分割. , , 1iii tt 任取 將它分成 , ),2, 1(, 1 nitt ii 在每個小段上物體經(jīng) 2) 近似求和近似求和. ,)(代替變速以 i v 得 iii tvs)( ,1, 21 個分點(diǎn)中任意插入在nTT ),2, 1(nis i ), 2, 1(ni 已知速度 n 個小段 過的路程為 目

4、錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 i n i i tvs 1 )( 4) 取極限取極限 . i n i i tvs 1 0 )(lim )max( 1 i ni t 上述兩個問題的共性: 解決問題的方法步驟相同 : “分割 , 近似求和 , 取極限 ” 所求量極限結(jié)構(gòu)式相同: 特殊乘積和式的極限 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 O ab x 二、定積分二、定積分 ,)(上定義在設(shè)函數(shù)baxf的若對,ba 任一種分法 , 210 bxxxxa n , 1 iii xxx令任取 , , 1 iii xx i 時只要0max 1 i ni x i n i i xf 1 )( 總趨于確定的極限 I , 則稱此

5、極限 I 為函數(shù))(xf在區(qū)間 ,ba上的定積分, 1 x i x 1i x b a xxfd)( 即 b a xxfd)( i n i i xf 1 0 )(lim 此時稱 f ( x ) 在 a , b 上可積 . 記作 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 b a xxfd)( i n i i xf 1 0 )(lim 積分上限 積分下限 被積函數(shù) 被積表達(dá)式 積分變量 積分和 稱為積分區(qū)間,ba 定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān) , 而與積分 變量用什么字母表示無關(guān) , 即 b a xxfd)( b a ttfd)( b a uufd)( 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定積分的幾何意義定積分的

6、幾何意義: Axxfxf b a d)(,0)(曲邊梯形面積 b a xxfxfd)(,0)( 曲邊梯形面積的負(fù)值 a b y x 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 54321 d)(AAAAAxxf b a 各部分面積的代數(shù)和 A O 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 O 1 x y n i 可積的充分條件可積的充分條件: n i x 1 , n i i 取),2, 1(ni 定理定理1.上連續(xù)在函數(shù),)(baxf.,)(可積在baxf 定理定理2. ,)(上有界在函數(shù)baxf且只有有限個間斷點(diǎn) 例例1. 利用定義計算定積分利用定義計算定積分.d 1 0 2 xx 解解: 將 0,1 n

7、等分, 分點(diǎn)為 n i i x ), 1 ,0(ni .,)(可積在baxf 2 xy iiii xxf 2 )(則 3 2 n i 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ii n i xf )( 1 n i i n 1 2 3 1 ) 12)(1( 6 11 3 nnn n ) 1 2)( 1 1 ( 6 1 nn i n i i xxx 1 2 0 1 0 2 limd n lim 3 1 ) 1 2)( 1 1 ( 6 1 nn 注 O 1 x y n i 2 xy 注. 當(dāng)n 較大時, 此值可作為 的近似值 xx d 1 0 2 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 用定積分表示下列極限用定

8、積分表示下列極限: n i nn i n 1 1 1 lim) 1 ( 1 21 lim)2( p ppp n n n 解解: n i nn i n 1 1 1 lim) 1 ( nn i n i n 1 1lim 1 i i x xxd1 1 0 O x 1 n i 1 n i 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三三. 定積分的近似計算定積分的近似計算 , ,)(baCxf設(shè) ,d)(存在則 b a xxf 根據(jù)定積分定義 可得如下近似計算方法: ), 1 ,0(nixiaxi , n ab x ), 1 ,0()(niyxf ii 記 b a xxfd)(xyxyxy n 110 )( 110

9、 n n ab yyy 將 a , b 分成 n 等份: O a b x y i x 1i x 1. 左矩形公式 )( 21n n ab yyy b a xxfd)(xyxyxy n 21 2. 右矩形公式 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 b a xxfd)( xyy ii 2 1 1 )()( 2 1 110 nn yyyy n ab 1 1 n ia b xO y i x 1i x a y O b x 12 i x i x2 22 i x m x2 0 x b a xxfd)( i m i i m i m yyyy m ab 2 1 1 12 1 20 24 6 3. 梯形公式 4. 拋物線

10、法公式 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 用梯形公式和拋物線法公式用梯形公式和拋物線法公式 x x Id 1 4 1 0 2 解解: :計算計算yi(yi(見右表見右表) ) 的近似值. 13993. 3I 14159. 3I ixiyi 00.04.00000 10.13.96040 20.23.84615 30.33.66972 40.43.44828 50.53.20000 60.62.94118 70.72.68456 80.82.43902 90.92.20994 101.02.00000 (取 n = 10, 計算時取5位小數(shù)) 用梯形公式得 用拋物線法公式得 積分準(zhǔn)確值為

11、1415926. 3d 1 4 1 0 2 x x I 計算定積分 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 四、定積分的性質(zhì)四、定積分的性質(zhì)(設(shè)所列定積分都存在) a b b a xxfxxfd)(d)(. 1 0d)( a a xxf b a xd. 2 xxfkxxfk b a b a d)(d)(. 3 ( k 為常數(shù)) b a b a b a xxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(. 4 ab b c c a b a xxfxxfxxfd)(d)(d)(. 5 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 6. 若在若在 a , b 上上 0)( 1 ii n i xf 那么.0d)( xxf b a 證

12、證: ,0)(xf b a xxfd)(0)(lim 1 0 ii n i xf 推論推論1. 若在若在 a , b 上上, )()(xgxf那 么 xxf b a d)( xxg b a d)( 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 推論推論2.xxf b a d)( xxf b a d)( 證證:)( xf)(xf)(xf )(ba xxfxxfxxf b a b a b a d)(d)(d)( 即xxfxxf b a b a d)(d)( 7. 設(shè)設(shè), )(min, )(max , xfmxfM baba 那么 )(d)()(abMxxfabm b a )(ba 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 8. 積分中值定理積分中值定理 , ,)(baCxf若則至少存在一點(diǎn) , ,ba 使 )(d)(abfxxf b a 證證: :,)(Mmbaxf別為上的最小值與最大值分在設(shè) 則由性質(zhì)7 可得 Mxxf ab m b a d)( 1 根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)介值定理,上至少存在一在,ba , ,ba點(diǎn)使 xxf ab f b a d)( 1 )( 因此定理成立. 性質(zhì)7 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Oxba y )(xfy 說明說明: .都成立或baba 可把 )( d)( f ab xxf b a .,)(上的平均