第五講二次根式

1、第第5講講 二次根式二次根式 禹城市華奧學(xué)校中學(xué)數(shù)學(xué)組禹城市華奧學(xué)校中學(xué)數(shù)學(xué)組 一、二次根式的相關(guān)概念一、二次根式的相關(guān)概念 1 1二次根式二次根式: :形如形如_(_)_(_)的代數(shù)式的代數(shù)式 2 2二次根式的性質(zhì)：二次根式的性質(zhì)： (1) (a0)(1) (a0)是是_數(shù)；數(shù)；(2) (a0)(2) (a0)_；(3)( )(3)( )2 2 _(a0)_(a0) aa0a0 a 非負(fù)非負(fù) 2 a a a a a a 基礎(chǔ)知識導(dǎo)航基礎(chǔ)知識導(dǎo)航 二、二次根式的運(yùn)算二、二次根式的運(yùn)算 1 1最簡二次根式：最簡二次根式： 最簡二次根式要同時(shí)具備下列兩個(gè)條件：最簡二次根式要同時(shí)具備下列兩個(gè)條件：

2、(1)(1)被開方數(shù)中不含被開方數(shù)中不含_.(2)_.(2)被開方數(shù)中不含被開方數(shù)中不含_的的 因數(shù)或因式因數(shù)或因式 2 2二次根式的乘除：二次根式的乘除： (1) (1) _(a0_(a0，b0).(2) =_(a0b0).(2) =_(a0，b b0)0) 分母分母能開得盡方能開得盡方 ab ab a b a b 3 3積、商平方根的性質(zhì)：積、商平方根的性質(zhì)： (1) (1) _(a0_(a0，b0).(2) b0).(2) _(a0_(a0，b b0)0) 4 4二次根式的加減：先將二次根式化成二次根式的加減：先將二次根式化成_，再將，再將 _相同的二次根式合并相同的二次根式合并 a b

3、 ab a b a b 最簡二次根式最簡二次根式 被開方數(shù)被開方數(shù) 【思維診斷】【思維診斷】( (打打“”或或“”)”) 1. 1. 是二次根式是二次根式.( ).( ) 2. ( )2. ( ) 3. ( )3. ( ) 4. ( )4. ( ) 2 x22 2 2525. 2 2a12a1. 1 323. 2 5. 5. 是最簡二次根式是最簡二次根式.( ).( ) 6. 6. 可以合并，則可以合并，則a a的值是的值是3.( )3.( ) 7. ( )7. ( ) 8. ( )8. ( ) 22 4a4b 27a與 2 2 34 592. 1252038. 考點(diǎn)一考點(diǎn)一 二次根式有意義的

4、條件二次根式有意義的條件 【例【例1 1】(2014(2014巴中中考巴中中考) )要使式子要使式子 有意義，則有意義，則m m的取值的取值 范圍是范圍是( )( ) A.m-1 B.m-1A.m-1 B.m-1 C.m-1C.m-1且且m1 D.m-1m1 D.m-1且且m1m1 【思路點(diǎn)撥】【思路點(diǎn)撥】根據(jù)二次根式有意義的條件建立關(guān)于根據(jù)二次根式有意義的條件建立關(guān)于x x的不等式的不等式 組，求出不等式組的解集組，求出不等式組的解集. . m1 m 1 考點(diǎn)突破導(dǎo)航考點(diǎn)突破導(dǎo)航 【自主解答】【自主解答】選選D.D.根據(jù)題意得：根據(jù)題意得： 解得：解得：m-1m-1且且m1m1 m10 m

5、10 ， ， 【規(guī)律方法】【規(guī)律方法】二次根式有無意義的條件需注意的兩個(gè)問題二次根式有無意義的條件需注意的兩個(gè)問題 1.1.如果一個(gè)式子中含有多個(gè)二次根式，那么它們有意義的條件如果一個(gè)式子中含有多個(gè)二次根式，那么它們有意義的條件 是：各個(gè)二次根式中的被開方數(shù)都必須是非負(fù)數(shù)是：各個(gè)二次根式中的被開方數(shù)都必須是非負(fù)數(shù). . 2.2.如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)外，如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)外， 還必須保證分母不為零還必須保證分母不為零. . 考點(diǎn)二考點(diǎn)二 二次根式的性質(zhì)二次根式的性質(zhì) 【例【例2 2】(2014(2014連云港中考連云港中考) )計(jì)算計(jì)

6、算 的結(jié)果是的結(jié)果是( )( ) A A-3 B-3 B3 C3 C-9 D-9 D9 9 【思路點(diǎn)撥】【思路點(diǎn)撥】先把二次根式化為含有絕對值的代數(shù)式，再把其先把二次根式化為含有絕對值的代數(shù)式，再把其 中的絕對值符號去掉，化簡即得結(jié)果中的絕對值符號去掉，化簡即得結(jié)果 【自主解答】【自主解答】選選B. =|-3|=3.B. =|-3|=3. 2 3 2 3 【規(guī)律方法】【規(guī)律方法】理解二次根式的性質(zhì)需注意的兩個(gè)問題理解二次根式的性質(zhì)需注意的兩個(gè)問題 1. (a0)1. (a0)的雙重非負(fù)性：的雙重非負(fù)性： (1)(1)被開方數(shù)被開方數(shù)a a非負(fù)非負(fù). . (2) (2) 本身非負(fù)本身非負(fù). .

7、2. 2. 的異同：的異同： 中的中的a a可以取任何實(shí)數(shù)，而可以取任何實(shí)數(shù)，而 中的中的a a必須取非負(fù)數(shù)，只有必須取非負(fù)數(shù)，只有 當(dāng)當(dāng)a a取非負(fù)數(shù)時(shí)，取非負(fù)數(shù)時(shí)， a a 2 2 aa與 2 a 2 a 2 2 aa. 1.(20121.(2012黔西南中考黔西南中考) )計(jì)算：計(jì)算： -|2-|-|2-|_ 【解析】【解析】 |2|2|3.14|3.14|2|2| 3.143.14(2)2)1.141.14 答案：答案：1.141.14 2 3.14 2 3.14 2.2.實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)a,ba,b在數(shù)軸上的位置如圖所示，在數(shù)軸上的位置如圖所示， 則則 的化簡結(jié)果為的化簡結(jié)果為_._. 2

8、aba 【解析】【解析】根據(jù)題意可知根據(jù)題意可知a a0 0，b b0 0，且，且a ab b， a+ba+b+a=+a=a ab+a=b+a=b.b. 答案：答案：b b 2 aba 3.3.直線直線y=(3-a)x+b-2y=(3-a)x+b-2在直角坐標(biāo)系中的圖象在直角坐標(biāo)系中的圖象 如圖所示，化簡：如圖所示，化簡：|b-a|- |2-b|=_|b-a|- |2-b|=_ 2 a6a9 【解析】【解析】由一次函數(shù)的圖象知由一次函數(shù)的圖象知3 3a a0 0，b b2 20 0，a3,b3,bb. b-a0,2-b0. ab. b-a0,2-b0. |b-a|- |2-b|=|b-a|-

9、-|2-b|=|b-a|-|b-a|- |2-b|=|b-a|- -|2-b|=|b-a|- |a-3|-|2-b|=-(b-a)-(a-3)-(2-b)|a-3|-|2-b|=-(b-a)-(a-3)-(2-b) =-b+a-a+3=-b+a-a+32 2b=1.b=1. 答案：答案：1 1 2 a6a9 2 a3 【知識拓展】【知識拓展】 的區(qū)別與聯(lián)系的區(qū)別與聯(lián)系 1.1.區(qū)別區(qū)別 (1)(1)意義不同意義不同: : 表示非負(fù)數(shù)表示非負(fù)數(shù)a a的算術(shù)平方根的平方；的算術(shù)平方根的平方； 表表 示示a a2 2的算術(shù)平方根的算術(shù)平方根. . (2)(2)被開方數(shù)不同被開方數(shù)不同: : 的被開方

10、數(shù)是的被開方數(shù)是a a； 的被開方數(shù)是的被開方數(shù)是a a2 2. . (3)(3)運(yùn)算順序不同：運(yùn)算順序不同： 是先開方后平方是先開方后平方; ; 是先平方后開方是先平方后開方. . 2 2 aa與 2 a 2 a 2 a 2 a 2 a 2 a (4)(4)運(yùn)算依據(jù)、結(jié)果不同運(yùn)算依據(jù)、結(jié)果不同: =a(a0): =a(a0)是根據(jù)開平方與平方是根據(jù)開平方與平方 互為逆運(yùn)算得到的；互為逆運(yùn)算得到的； 是根據(jù)算術(shù)平方根的定義是根據(jù)算術(shù)平方根的定義 得到的得到的. . (5)(5)作用不同作用不同: =a(a0): =a(a0)正向運(yùn)用可化簡二次根式，逆向正向運(yùn)用可化簡二次根式，逆向 運(yùn)用可以將任

11、意一個(gè)非負(fù)數(shù)寫成一個(gè)數(shù)的平方的形式運(yùn)用可以將任意一個(gè)非負(fù)數(shù)寫成一個(gè)數(shù)的平方的形式; ; 正向運(yùn)用可以將根號內(nèi)的因式移到根號外，逆向正向運(yùn)用可以將根號內(nèi)的因式移到根號外，逆向 運(yùn)用可以將根號外的非負(fù)因數(shù)運(yùn)用可以將根號外的非負(fù)因數(shù)( (或因式或因式) )移到根號內(nèi)移到根號內(nèi). . 2 a 2 a,a0 a0,a0 a,a0 ， ， 2 a 2 a,a0 a0,a0 a,a0, ， ， 2.2.聯(lián)系聯(lián)系 (1)(1)含有兩種相同的運(yùn)算，兩者都要進(jìn)行平方和開方含有兩種相同的運(yùn)算，兩者都要進(jìn)行平方和開方. . (2)(2)結(jié)果的取值范圍相同，兩者的結(jié)果都是非負(fù)數(shù)結(jié)果的取值范圍相同，兩者的結(jié)果都是非負(fù)數(shù).

12、 . (3)(3)當(dāng)當(dāng)a0a0時(shí)，兩者時(shí)，兩者“合二為一合二為一”， 2 2 aa . 考點(diǎn)三考點(diǎn)三 二次根式的運(yùn)算二次根式的運(yùn)算 【例【例3 3】(1)(2014(1)(2014聊城中考聊城中考) )下列計(jì)算正確的是下列計(jì)算正確的是( )( ) (2)(2013(2)(2013濟(jì)寧中考濟(jì)寧中考) )計(jì)算：計(jì)算： A.2 3 3 36 3B. 235 6 C.5 52 23 3D. 23 3 2 0122 0130 3 23232|2. 2 【思路點(diǎn)撥】【思路點(diǎn)撥】(1)(1)根據(jù)二次根式運(yùn)算性質(zhì)，分別進(jìn)行計(jì)算根據(jù)二次根式運(yùn)算性質(zhì)，分別進(jìn)行計(jì)算 (2)(2)根據(jù)零指數(shù)冪、絕對值、整數(shù)指數(shù)冪、二

13、次根式的混合運(yùn)根據(jù)零指數(shù)冪、絕對值、整數(shù)指數(shù)冪、二次根式的混合運(yùn) 算分別進(jìn)行計(jì)算，再把所得的結(jié)果合并即可算分別進(jìn)行計(jì)算，再把所得的結(jié)果合并即可 【自主解答】【自主解答】(1)(1)選選D. D. 不是同類二次根式，不是同類二次根式， 不能合并；不能合并； 不是同類二次根式，不能合并；不是同類二次根式，不能合并； 2 33 31823； 與 5 52 2與 26 23. 33 2 0122 0130 2 012 3 223232|2 2 2323(23)3 1233 11. 【規(guī)律方法】【規(guī)律方法】二次根式運(yùn)算中需注意的三個(gè)問題二次根式運(yùn)算中需注意的三個(gè)問題 1.1.二次根式乘法、除法法則也可逆

14、用，二次根式乘法、除法法則也可逆用， (a0(a0， b0)b0)， (a0(a0，b0)b0)，利用這兩個(gè)等式可以化簡二次，利用這兩個(gè)等式可以化簡二次 根式根式. . 2.2.運(yùn)算結(jié)果應(yīng)盡可能化簡運(yùn)算結(jié)果應(yīng)盡可能化簡. .在解決實(shí)際問題時(shí)，二次根式的結(jié)在解決實(shí)際問題時(shí)，二次根式的結(jié) 果可按要求取近似值果可按要求取近似值( (將無理數(shù)轉(zhuǎn)化為有理數(shù)將無理數(shù)轉(zhuǎn)化為有理數(shù)).). 3.3.在二次根式的運(yùn)算或化簡過程中，乘法公式、因式分解等相在二次根式的運(yùn)算或化簡過程中，乘法公式、因式分解等相 關(guān)法則、方法均可使用關(guān)法則、方法均可使用. . abab aa bb 考點(diǎn)四考點(diǎn)四 二次根式的化簡求值二次根

15、式的化簡求值 【例【例4 4】(2013(2013襄陽中考襄陽中考) )先化簡，再求值：先化簡，再求值： 其中其中 【思路點(diǎn)撥】【思路點(diǎn)撥】先將分式按照運(yùn)算順序進(jìn)行化簡，再將字母的值先將分式按照運(yùn)算順序進(jìn)行化簡，再將字母的值 代入化簡后的式子求值代入化簡后的式子求值. . 222 ab2abb (a) aa ， a12b12. ， 【自主解答】【自主解答】原式原式 22 abab2abba () aaa 22 2 abababab2abbaa aaa ab ab . ab 121222 a12b12. 212 122 2 當(dāng)，時(shí)，原式 【規(guī)律方法】【規(guī)律方法】進(jìn)行化簡求值一定注意所給出的條件或題目中的進(jìn)行化簡求值一定注意所給出的條件或題目中的 隱含條件，有時(shí)也可運(yùn)用整體代入法，從而簡化計(jì)算過程隱含條件，有時(shí)也可運(yùn)用整體代入法，從而簡化計(jì)算過程. . 【真題專練】【真題專練】 先化簡，再求值先化簡，再求值: : 其中其中 【解析】【解析】原式原式 2 2 11xx (), x1x1x2x1 x21. 2 x1x1x1 x1 (x1) x(x1) 2 x12x2 ,x21,2. x1 (x1) x x1x1 當(dāng)時(shí) 原式 【典例】【典例】化簡化簡: : 錯解錯解: : 1 a3. 3a 【誤區(qū)警示】【誤區(qū)