第四章級數(shù)(研究生)

1、第四章級數(shù)第四章級數(shù) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 1 復(fù)數(shù)項級數(shù)復(fù)數(shù)項級數(shù) 2 冪級數(shù)冪級數(shù)（復(fù)數(shù)項級數(shù)中最簡單的級數(shù)）（復(fù)數(shù)項級數(shù)中最簡單的級數(shù)） 3 泰勒級數(shù)泰勒級數(shù) 4 洛朗級數(shù)洛朗級數(shù) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 1 復(fù)數(shù)項級數(shù)復(fù)數(shù)項級數(shù) 一一. 復(fù)數(shù)項數(shù)列復(fù)數(shù)項數(shù)列 1. 定義定義1.1: 設(shè)設(shè)zn= an+i bn (n = 1,2,), 則稱則稱z1, z2, zn, 為復(fù)數(shù)項數(shù)列為復(fù)數(shù)項數(shù)列. . 其中其中an , bn 是實數(shù)是實數(shù), 2. 定理定理1.1: 設(shè)設(shè)z0 = a+ib0 lim n n zz lim lim n n n

2、 n aa bb 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 【例【例1】下列數(shù)列是否收斂下列數(shù)列是否收斂?如果收斂如果收斂,求出其極限求出其極限 . 1 (1)(1) n i n ze n 解解:(1)由由 1 (1) n i n ze n 1 (1) (cossin)i nnn 1 (1)cos 1 (1)sin n n a nn b nn lim1 lim0 n n n n a b 收斂且收斂且 lim1 n n z (2)cos n znin (2)由由cos n znin, 2 nn ee n 顯然顯然 lim n n z 發(fā)散發(fā)散 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束

3、結(jié)束 1. 定義定義1.2: (復(fù)數(shù)項級數(shù)的基本概念復(fù)數(shù)項級數(shù)的基本概念) 稱為復(fù)數(shù)項級數(shù)稱為復(fù)數(shù)項級數(shù) . (2). 如果如果 收斂于收斂于z0 , 否則稱發(fā)散否則稱發(fā)散 . 二二. 復(fù)數(shù)項級數(shù)復(fù)數(shù)項級數(shù) 12 1 (1). nn n zzzz 1 n n z 稱為稱為 的部分和的部分和. 0 1 , n n zzaib 12 1 (3). n nkn k szzzz 設(shè)設(shè)z1, z2,zn是復(fù)數(shù)項數(shù)列，則是復(fù)數(shù)項數(shù)列，則 則稱此復(fù)數(shù)項級數(shù)則稱此復(fù)數(shù)項級數(shù) 1 lim nn n n zs 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2. 定理定理1.2 (復(fù)數(shù)項級數(shù)的基本定理復(fù)數(shù)項級數(shù)

4、的基本定理) 設(shè)設(shè)zn = an + i bn , z0 = a +i b, n = 1,2, (3). 級數(shù)收斂的必要條件為級數(shù)收斂的必要條件為lim0 n n z (1). 1 n n zaib lim n n sabi 11 ()1,2, nnn nn zaibn (2). 1 n n zaib 1 1 n n n n aa bb 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 3. 絕對收斂與條件收斂絕對收斂與條件收斂 若若收斂，則稱收斂，則稱 1 | n n z 絕對收斂絕對收斂 . 1 n n z 若若發(fā)散，而發(fā)散，而 1 | n n z 收斂收斂 . 1 n n z 條件收斂條

5、件收斂 . 1 n n z 則稱則稱 (1). 定義定義1.3 (2). 定理定理1.3 11 |,| nn nn ab 收斂收斂收斂收斂 1 | n n z 若若 收斂收斂, 則則 1 | n n z 1 n n z 收斂收斂 . 反之不成立反之不成立 . 級數(shù)收斂的一個充分條件級數(shù)收斂的一個充分條件 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 11 111 1 1 | : | nn nn nnn nnn n n n n 收收斂斂絕絕對對收收斂斂 收收斂斂條條件件收收斂斂 發(fā)發(fā)散散 發(fā)發(fā)散散 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 證明定理證明定理1.3 若若收斂收斂, 則則

6、 1 | n n z 1 n n z 收斂收斂 . Proof : 22 ,| nnnnnn aibab 由由 收斂收斂, 及及 22 11 | nnn nn ab 22 22 | | nnn nnn aab bab 所以所以 收斂收斂, 故故 11 |,| nn nn ab 收斂收斂, 11 , nn nn ab 從而從而 收斂收斂. 11 () nnn nn aib 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 【例【例2】判斷下列級數(shù)的斂散性判斷下列級數(shù)的斂散性 1 1 (1)1 n i nn 1 (34 ) (2) ! n n i n 1 (3) n n i n 2 11 11 n

7、n i nn (1) 原式原式=發(fā)散發(fā)散 , 因為因為 1 1 n n (2) 1 (34 ) ! n n i n 22 1 (34 ) ! n n n 1 5 ! n n n 由比值判別法由比值判別法 1 lim n n n a a 1 5(1)! lim 5! n n n n n 5 lim01 1 n n 1 n n a 級數(shù)級數(shù) 1 5 ! n n n 收斂收斂 , 所以原級數(shù)發(fā)散所以原級數(shù)發(fā)散 . 所以原級數(shù)絕對收斂所以原級數(shù)絕對收斂 . 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 1n n i n (3) 11 1 | nn n n i n 發(fā)散發(fā)散 1 1 (1) 2 n

8、n n 因為因為 1 11 11 (1),( 1) 221 nn nn nn 收斂收斂 所以原級數(shù)條件收斂所以原級數(shù)條件收斂 . 1 1 1 ( 1) 21 n n i n 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2 冪級數(shù)冪級數(shù)（復(fù)變函數(shù)項級數(shù)中最簡單的級數(shù)）（復(fù)變函數(shù)項級數(shù)中最簡單的級數(shù)） 一一 . 冪級數(shù)的概念冪級數(shù)的概念 1. 定義定義2.1: 形如下列的級數(shù)稱為冪級數(shù)形如下列的級數(shù)稱為冪級數(shù) 2 0010200 0 ()()()(), nn nn n czzcc zzczzczz 其中其中z 是復(fù)變量是復(fù)變量 zo, cn 是復(fù)常數(shù)是復(fù)常數(shù) 注注: 當(dāng)當(dāng)zo= 0 時，冪級

9、數(shù)為時，冪級數(shù)為 0 , n n n c z 00 00 ,()n n nn nn zzczzc 令令則則 0 n n n c z 故故只只需需討討論論形形如如的的冪冪級級數(shù)數(shù). . 當(dāng)當(dāng) zo 0 時時, 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2. 冪級數(shù)在一點冪級數(shù)在一點 z0 的收斂性的收斂性 000 00 . nn nn nn c zzc z 1 若若收收斂斂，則則 的的稱稱為為的的收收斂斂點點. . 0 0 00 n n n zcc 特特別別：當(dāng)當(dāng)時時, ,有有收收斂斂， 0 0. n n n c z 故故顯顯然然 為為的的收收斂斂點點 和函數(shù)和函數(shù)在收斂域中冪級數(shù)收斂于

10、一個函數(shù)，在收斂域中冪級數(shù)收斂于一個函數(shù)， (2). 收斂域收斂域收斂點的全體收斂點的全體 該函數(shù)稱為和函數(shù)該函數(shù)稱為和函數(shù). 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 1. 定理定理2.1: (Abel定理定理) 二二 . 收斂半徑與收斂圓盤收斂半徑與收斂圓盤 0 n n n c z 如果冪級數(shù)如果冪級數(shù)在在z1收斂收斂, 那么它在圓盤那么它在圓盤 |z| |z2|外發(fā)散外發(fā)散 ； 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2. 定義定義2.2: (收斂圓和收斂半徑的定義收斂圓和收斂半徑的定義) 由由Abel定理必存在一個正實數(shù)定理必存在一個正實數(shù)R， 0 1 z x y 2

11、 z R 當(dāng)當(dāng) |z| R 時發(fā)散時發(fā)散 . 則稱則稱: (1) R為收斂半徑為收斂半徑; (2) |z| R 為收斂圓域為收斂圓域 . 注意：注意： 在圓周在圓周 |z| = R上有時收斂上有時收斂 ( 條件收斂條件收斂), 有時發(fā)散；有時發(fā)散； 如果在如果在 |z| = R上某個點上某個點 z 0 絕對收斂，則在整個絕對收斂，則在整個 閉圓盤上都絕對收斂閉圓盤上都絕對收斂. 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 3. 冪級數(shù)的三種收斂情況：冪級數(shù)的三種收斂情況： (1). 只在原點只在原點z=0處收斂處收斂, R=0, 收斂圓域為點圓；收斂圓域為點圓； (2). 在整個復(fù)平面上

12、處處收斂在整個復(fù)平面上處處收斂, R=+； (3). 在復(fù)平面上有時收斂，有時發(fā)散，則在復(fù)平面上有時收斂，有時發(fā)散，則R為一個為一個 確定的正實數(shù)確定的正實數(shù) . 4. 冪級數(shù)冪級數(shù) 收斂半徑的求法：收斂半徑的求法： 0 n n n c z (1). 比值法：比值法： 1 lim n n n c c l (2). 根值法：根值法： lim| n n n lc 1 R l 收斂半徑為收斂半徑為 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 【例【例3】求下列冪級數(shù)的收斂半徑求下列冪級數(shù)的收斂半徑 0 (1)! n n n z 解解: (1)! lim ! n n l n 0R 0 1 (2)

13、 ! n n z n 1/(1)! lim0 1/ ! n n l n 0 (3) n n z R lim11, n l 1R 收斂圓域為點圓收斂圓域為點圓z=0. 解解: 收斂圓域為整個復(fù)平面收斂圓域為整個復(fù)平面. 解解: 收斂圓域為收斂圓域為|z|1. 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 0 (4)(cos) n n in z 2 1 (1) (5) n n z n 解解: 令令=z-1 , (1)1 () 2 lim () 2 nn nn n ee le ee 1 R e 22 11 (1) nn nn z nn 2 2 1/(1) lim1 1/ n n l n 1R 解

14、解: 收斂圓域為收斂圓域為 1 |.z e 收斂圓域為收斂圓域為| |1| 1.z 【作業(yè)作業(yè)】 Ex-4 1（1，3，5） 3（2，3） 6（1，3，4） 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 三三 .冪級數(shù)的運算冪級數(shù)的運算 1. 加減法、乘法加減法、乘法: 設(shè)設(shè) 0 ( ) n n n f za z 的收斂半徑為的收斂半徑為r1 0 ( ) n n n g zb z 的收斂半徑為的收斂半徑為r2 則在則在|z|內(nèi)有內(nèi)有: (: (其中其中R = min(r1, r2) ) 000 ( )( )() nnn nnnn nnn f

15、 zg za zb zab z 01 10 000 ( )( )() nnn nnnnn nnn f zg za zb za baba b z 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 冪級數(shù)的和函數(shù)冪級數(shù)的和函數(shù) 0 ( ) n n n f zc z 1 01 ( )() nn nn nn fzczc nz (1). 逐項求導(dǎo)逐項求導(dǎo) 2. 逐項求導(dǎo)逐項求導(dǎo)、逐項積分逐項積分 且在收斂圓域內(nèi)有如下運算：且在收斂圓域內(nèi)有如下運算： (2). 逐項積分逐項積分 1 00 00 ( ) 1 zz nn n n nn c fdcdz n 是解析的是解析的 , 在收斂圓域內(nèi)在收斂圓域內(nèi) 目錄目

16、錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 【例【例4】討論等比討論等比 (幾何幾何) 級數(shù)的級數(shù)的 收斂性收斂性, 并在收斂并在收斂 0 n n z 解解: 1 1 1 1 n n n z szz z 所以當(dāng)所以當(dāng)|z|1時時, 1 0 11 limlim 11 n n n nn n z zs zz 1 lim0 n n z 且且 圓內(nèi)求和函數(shù)圓內(nèi)求和函數(shù). 此時部分和此時部分和 推廣推廣:當(dāng)當(dāng)|z|1時時, 發(fā)散發(fā)散 當(dāng)當(dāng)|z|1時時, 絕對收斂且絕對收斂且 0 1 1 n n z z 1 lim1 n n n C l C 0 n n z 當(dāng)當(dāng)|z|1時時, 絕對收斂絕對收斂;1R 目錄目

17、錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 【例【例5】將函數(shù)將函數(shù) 展開成展開成 的冪級數(shù)的冪級數(shù). 1 ( )f z z b 解解: 0 ()n n n cza 1 ( )f z z b 111 () () 1 z a a bz aa b a b 1 z a a b 0 1 ( 1) n n n z a a ba b 1 0 ( 1) () () n n n n z a a b 收斂圓域為收斂圓域為| |z aa b 利用例利用例4 做以下兩題做以下兩題 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 【例【例6】將函數(shù)將函數(shù) 展開成展開成 的冪級數(shù)的冪級數(shù). 1 ( ) 32 f z

18、z 解解: 0 (2)n n n cz 111 3(2) 3(2) 44 1 4 z z 3(2) 1 4 z 0 13(2) ( 1) 44 n n n z 1 0 3 ( 1)(2) 4 n nn n n z 收斂圓域為收斂圓域為 4 |2| 3 z 1 ( ) 32 f z z 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 一一 . 解析函數(shù)的泰勒級數(shù)展開解析函數(shù)的泰勒級數(shù)展開 1. 定理定理3.1: 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (z) 在在D內(nèi)解析內(nèi)解析, z0 為為 3、泰勒級數(shù)、泰勒級數(shù) 0 00 () ( )()() 1! fz f zf zzz D內(nèi)一點內(nèi)一點, R為為z0 到到D的

19、邊界各點的最小距離的邊界各點的最小距離, 則在圓盤則在圓盤U: |z- z0|R內(nèi)可以展開成冪級數(shù)內(nèi)可以展開成冪級數(shù) ( ) 0 0 () () ! n n fz zz n 稱為稱為f (z)在在|z- z0|R 內(nèi)的泰勒級數(shù)內(nèi)的泰勒級數(shù) 且展開式唯一且展開式唯一 . z0 z R D U 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Proof: “存在性存在性” 0 |zrR 設(shè)設(shè)zU, 由于當(dāng)由于當(dāng)C 時時 使得使得z 屬于其內(nèi)區(qū)域?qū)儆谄鋬?nèi)區(qū)域 , 以以z0為圓心在為圓心在U內(nèi)作一個內(nèi)作一個 1( ) ( ) 2 C f f zd iz 0 0 1 zz q z , 于是有于是有 圓

20、周圓周C： 則由柯西積分公式則由柯西積分公式 ： z0 z RC D r U 0 0 0 11 1 zz z z 0 1 0 0 () () n n n zz z 00 11 ()zzzz 0 1 0 0 ( )()1 2() n n C n fzz d iz 0 1 0 0 1( ) () 2() () n n C n f zzd iz 1( ) ( ) 2 C f f zd iz ( ) 00 0 12 ()() 2! nn n i zzfz in ( ) 0 0 0 () () ! n n n fz zz n 逐項積分逐項積分 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 目錄目錄

21、上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 “唯一性唯一性”反證法反證法 如果如果f (z)能展開成另一種形式的冪級數(shù)能展開成另一種形式的冪級數(shù) 0 0 ( )()n n n f zczz ( ) 10 ( )!(1)3 2() n nn fzn cnnczz 2 20 (2) (1)4 3() n nnnczz ( ) 0 ()! n n fzn c ( ) 0 () ! n n fz c n 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 若若f(z)在在D內(nèi)有奇點內(nèi)有奇點, a b c R z0 則則f(z)在在z0的泰勒級數(shù)的收斂半徑的泰勒級數(shù)的收斂半徑 如如: :a, b, c為奇點，

22、則收斂半徑為為奇點，則收斂半徑為 000 min(|,|,|)Rzazbzc 收斂圓域為：收斂圓域為： 0 |.zzR 等于等于z0到到f(z)的離的離z0最近一個奇點的距離最近一個奇點的距離. 2. 泰勒級數(shù)的收斂半徑泰勒級數(shù)的收斂半徑 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 1. 直接展開法直接展開法: 求求 ( ) 0 1 () ! n n cfz n 二二. 函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)(泰勒級數(shù)泰勒級數(shù))的方法的方法 2. 間接展開法間接展開法: 利用已知級數(shù)再用利用已知級數(shù)再用 適當(dāng)變形適當(dāng)變形 逐項積分逐項積分 逐項微分逐項微分 【例【例7】求下列函數(shù)在求下列函數(shù)在

23、z=0處的泰勒展式處的泰勒展式 (1). ez 0 zn n n ea z 0 1 ! n n z n 2 11 1,() 2! n zzzR n ( ) 0 () ! zn z e n 解解: (1) ( ) (0) ! n n f c n 0 1 ! e nn 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 sin 2 iziz ee z i (2). sinz (3). cosz 解解: (2) 00 ( )() ! 2 nn nn iziz nn i 3521 111 ( 1) 3!5!(21)! nn zzzz n 21 0 sin( 1), () (21)! n n n z zR

24、 n cos(sin )z z 解解: (3) 2 0 cos( 1), () (2 )! n n n z zR n 21 0 () ( 1) (21)! n n n z n 2 0 ( 1) (2 )! n n n z n 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 已知級數(shù)已知級數(shù) 解解: (4) 在在 |z| 1 內(nèi)內(nèi) ln(1+z ) 解析解析 1 0 1 ln(1)( 1),| 1 1 nn n zzz n 0 1 ln(1) 1 z zdz z 0 1 ,| 1 1 n n zz z 0 1 ( 1),| 1 1 nn n zz z (4). f (z) = ln(1+z )

25、 y 1 -1 0 x 0 ( 1) z nn o n z dz 1 0 1 ( 1) 1 nn n z n 0 0 ( 1) z nn n z dz 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 3. 常用的泰勒展式常用的泰勒展式 0 1 , 1 n n z z 0 1 ( 1) 1 nn n z z (| 1,1)zR 21 0 sin( 1) (21)! n n n z z n ()R 2 0 cos( 1) (2 )! n n n z z n ()R 0 ! n z n z e n 1 0 1 ln(1)( 1) 1 nn n zz n ()R (| 1,1)zR (| 1,1)z

26、R 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 【例【例8】求下列函數(shù)在指定處的泰勒級數(shù)求下列函數(shù)在指定處的泰勒級數(shù) 在在 z = 4 處展開處展開(1)( )ln( )f zz ( )ln( )ln4(4)f zzz 44 ln 4(1)ln4ln(1) 44 zz 1 1 0 ( 1) ln4(4) (1)4 n n n n z n 解解: 顯然顯然 R = 4, 在在| z - 4 | 4 內(nèi)內(nèi) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 在在 z = 1 處展開處展開 解解: 顯然顯然 R = 3, 在在| z - 1 | 3內(nèi)內(nèi) 22 11 223(1) z zzz 21

27、 1 1 3 1 3 z 0 121 ( 1) () 333 nn n z 1 0 12( 1) (1) 33 n n n n z (2) 2 z z 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 解解: 顯然顯然 R = 1, 在在| z | 1內(nèi)內(nèi) (3) 1 z e z 2 (1) n zzz 1 z e z 2 11 (1) 2! n zzz n 1 1(1) 1! z 2 11 (1) 1!2! z 3 111 (1) 1!2!3! z 在在 z = 0 處展開處展開 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 (4)sin z ez 解解: 顯然顯然 R = +, 在整個

28、復(fù)平面上在整個復(fù)平面上 sin 2 iziz zz ee eze i (1)(1) 1 () 2 i zi z ee i 0 1(1)(1) 2! nn n n ii z in 在在 z = 0 處展開處展開 在在 z = 0 處展開處展開 22 1 (5)( ) (1) f z z 解解: 顯然顯然 R = 1, 在在| z | 1內(nèi)內(nèi) 222 111 ( ) (1)21 f z zzz 2 0 1 ( 1) () 2 nn n z z 12(1) 1 ( 1)n n n nz 21 1 1 ( 1) 2 2 nn n nz z 2 0 ( 1) (1) nn n nz 目錄目錄 上頁上頁

29、下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 4 洛朗級數(shù)洛朗級數(shù) 11 ( ) 1 f z zz 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 (1).0|z|1內(nèi)展開成內(nèi)展開成z的冪級數(shù)的冪級數(shù)(z=0為奇點 為奇點); 0 1 n n z z 1 0 n n zz x y 0 1 x y 0 12 (2).0|z-1|R2時時, ,沒有公共部分沒有公共部分, ,所以處處發(fā)散所以處處發(fā)散; ; 當(dāng)當(dāng)R1R2時時, ,在在R1|z-z0|R2內(nèi)收斂內(nèi)收斂; ; 當(dāng)當(dāng)R1=R2時時, ,如收斂如收斂, ,則在圓周上收斂則在圓周上收斂, ,需進一步討論需進一步討論. . x y R1 R2 z0 目錄目錄

30、上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2. 定理定理4.1: 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(z)在圓環(huán)在圓環(huán)D:R1|z-z0|R2內(nèi)解析內(nèi)解析, 則在圓環(huán)則在圓環(huán)D內(nèi)可唯一展開成洛朗級數(shù)內(nèi)可唯一展開成洛朗級數(shù) 0 ( )()n n f zczz 其中其中 1 0 1( ) , 2() n n C f z cdz izz (0, 1, 2,)n C為圓環(huán)為圓環(huán)R1|z-z0|R2內(nèi)任一閉域的正向內(nèi)任一閉域的正向, 注注:一個很重要的用途一個很重要的用途:求積分求積分 1 1( ) 21 C f z cdz i 所以所以 1 ( )2 C f z dzci 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束

31、3. f(z)在在z=z0處展開成洛朗級數(shù)的方法處展開成洛朗級數(shù)的方法 假設(shè)假設(shè) f(z)有三個奇點有三個奇點z1, z2, z3 , f(z)可在如下區(qū)域展開成可在如下區(qū)域展開成z-z0的冪級數(shù)的冪級數(shù): 010 (1)0 | |zzzz 10020 (2)| | |zzzzzz 20030 (3)| | |zzzzzz 300 (4)| |zzzz 不管不管z0是否為奇點是否為奇點 泰勒級數(shù)泰勒級數(shù), 它為洛朗級數(shù)的一個特例它為洛朗級數(shù)的一個特例) (如如z0不為奇點不為奇點, 此時為此時為 0 z 1 z 2 z 3 z x y o 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 【例

32、【例9】將將 在在1|z|2及及1|z-1|+處展開處展開 1 ( ) (1)(2) f z zz 成洛朗級數(shù)成洛朗級數(shù). 解解: (1)當(dāng)當(dāng)1|z|2時時, 有有 1 | 1,| 1 2 z z , 于是于是 11 ( ) 21 f z zz 111 1 2(1)1 2 z z z 00 111 ( )( ) 22 nn nn z zz (1) 1 00 2 n n n nn z z 21x y 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 1 1 1z 解解: (2) 在在 1|z-1|+時時, 有有, 于是于是 1111 ( ) 1211 1 f z zzzz 111 1 11 1 1 zz z 2 0 (1)(1) n n zz (2) 0 (1) n n z 21 x y 【例【例9】將將 在在1|z|2及及1|z-1|+處展開處展開 1 ( ) (1)(2) f z zz 成洛朗級數(shù)成洛朗級數(shù). 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 【例【例10】將將 在在0|z|+處展開成洛朗級數(shù)處展開成洛朗級數(shù), 1 3 ( ) z f zz e 并求并求 (C為圓環(huán)域內(nèi)任一條正向閉區(qū)域為圓環(huán)域內(nèi)任一條正向閉區(qū)域) 1 3 z C z e dz 解解:因為因為 1 3 ( ) z