天體運動高中物理

1、天體運動問題模型探析運用萬有引力定律求解天體運動問題，是高考每年必考的重要內(nèi)容，通過對近幾年全國及各地高考試題的研究，發(fā)現(xiàn)天體問題可歸納為以下四種模型。 一、重力與萬有引力關系模型 1考慮地球（或某星球）自轉(zhuǎn)影響，地表或地表附近的隨地球轉(zhuǎn)的物體所受重力實質(zhì)是萬有引力的一個分力 由于地球的自轉(zhuǎn)，因而地球表面的物體隨地球自轉(zhuǎn)時需要向心力，向心力必來源于地球?qū)ξ矬w的萬有引力，重力實際上是萬有引力的一個分力，由于緯度的變化，物體作圓周運動的向心力也不斷變化，因而地球表面的物體重力將隨緯度的變化而變化，即重力加速度的值g隨緯度變化而變化；從赤道到兩極逐漸增大在赤道上，在兩極處，。例1如圖所示，、為質(zhì)量均

2、為m的兩個質(zhì)點，分別置于地球表面不同緯度上，如果把地球看成是一個均勻球體，、兩質(zhì)點隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運動，則以下說法中正確的是：（） ap、q做圓周運動的向心力大小相等 bp、q受地球重力相等 cp、q做圓周運動的角速度大小相等 dp、q做圓周運動的周期相等 解析：隨地球自轉(zhuǎn)的物體必與地球有相同的周期、角速度；質(zhì)量一樣的物體在地表不同緯度處所受地球萬有引力一般大,但重力和向心力不一般大正確選項是cd。 2忽略地球（星球）自轉(zhuǎn)影響，則地球（星球）表面或地球（星球）上方高空物體所受的重力就是地球（星球）對物體的萬有引力 例2蕩秋千是大家喜愛的一項體育活動隨著科技的迅速發(fā)展，將來的某一天，同學們也

3、許會在其它星球上享受蕩秋千的樂趣。假設你當時所在星球的質(zhì)量是、半徑為，可將人視為質(zhì)點，秋千質(zhì)量不計、擺長不變、擺角小于90，萬有引力常量為。那么， （1）該星球表面附近的重力加速度等于多少？ （2）若經(jīng)過最低位置的速度為,你能上升的最大高度是多少？ 解析：（1）設人的質(zhì)量為,在星球表面附近的重力等于萬有引力，有 解得 （2）設人能上升的最大高度為,由功能關系得 解得 二、衛(wèi)星（行星）模型 衛(wèi)星（行星）模型的特征是衛(wèi)星（行星）繞中心天體做勻速圓周運動，如圖2所示。 1衛(wèi)星（行星）的動力學特征 中心天體對衛(wèi)星（行星）的萬有引力提供衛(wèi)星（行星）做勻速圓周運動的向心力，即有：。 2衛(wèi)星（行星）軌道特征

4、 由于衛(wèi)星（行星）正常運行時只受中心天體的萬有引力作用，所以衛(wèi)星（行星）平面必定經(jīng)過中心天體中心。 3衛(wèi)星（行星）模型題型設計 1)討論衛(wèi)星（行星）的向心加速度、繞行速度、角速度、周期與半徑的關系問題。 由得，故越大，越小。 由得，故越大，越小。 由得，故越大，越小。 得，故越大，越長。 例3我國將要發(fā)射一顆繞月運行的探月衛(wèi)星“嫦娥1號”。設該衛(wèi)星的軌道是圓形的，且貼近月球表面已知月球的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的，月球的半徑約為地球半徑的,地球上的第一宇宙速度約為79km/s，則該探月衛(wèi)星繞月運行的速率約為（ ） a04km/s b18km/s c11km/s d36km/s 解析：由得，當衛(wèi)星半徑時

5、，稱之為該中心天體的第一宇宙速度所以有，解得，所以正確答案為b。 2)求中心天體的質(zhì)量或密度（設中心天體的半徑） 若已知衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運動的周期與半徑 根據(jù)得，則 若已知衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運動的線速度與半徑 由得，則 若已知衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運動的線速度與周期 由和得，則 若已知中心天體表面的重力加速度及中心天體的球半徑 由得，則 例4一飛船在某行星表面附近沿圓軌道繞該行星飛行，認為行星是密度均勻的球體，要確定該行星的密度，只需要測量（ ） a飛船的軌道半徑 b飛船的運行速度 c飛船的運行周期 d行星的質(zhì)量 解析：根據(jù)得，則由于飛船在某行星表面附近沿圓軌道繞該行星飛行，所

6、以上式中，即。 所以正確答案為c。 3)衛(wèi)星的變軌問題 衛(wèi)星繞中心天體穩(wěn)定運動時萬有引力提供了衛(wèi)星做勻速圓周運動的向心力，有當衛(wèi)星由于某種原因速度突然增大時，衛(wèi)星將做離心運動；當突然減小時，衛(wèi)星做向心運動。 例5“神舟六號”飛行到第圈時，在地面指揮控制中心的控制下，由近地點250km圓形軌道1經(jīng)橢圓軌道2轉(zhuǎn)變到遠地點350km的圓軌道3。設軌道2與1相切于q點，與軌道3相切于p點，如圖所示，則飛船分別在1、2、軌道上運行時（） a飛船在軌道3上的速率大于在軌道1上的速率 b飛船在軌道3上的角速度小于在軌道1上的角速度 c飛船在軌道1上經(jīng)過q點時的加速度大于在軌道2上經(jīng)過q點的加速度 d飛船在軌

7、道2上經(jīng)過p點時的加速度等于在軌道3上經(jīng)過p點的加速度 解析：設地球質(zhì)量為m，地球半徑為r，飛船質(zhì)量為m，軌道半徑為r，由牛頓第二定律得和，即，可見在r增大時，v和都將減小，故a錯b對。飛船在同一點受到地球的萬有引力相同，其加速度必相同，與其在哪個軌道上運動無關，所以c錯d對。正確選項為bd。 4)地球同步衛(wèi)星問題 地球同步衛(wèi)星是指相對地面靜止的、運行周期與地球的自轉(zhuǎn)周期相等的衛(wèi)星，這種衛(wèi)星一般用于通訊，又叫做同步通信衛(wèi)星，其特點可概括為“五個一定”即位置一定（必須位于地球赤道的上空）；周期一定（）；高度一定（）；速率一定（）；運行方向一定（自西向東運行）。 例6在地球上（看做質(zhì)量均勻分布的球

8、體）上空有許多同步衛(wèi)星，下面說法中正確的是（ ） a它們的質(zhì)量可能不同 b它們的速度可能不同 c它們的角速度可能不同 d它們離地心的距離可能不同 解析：由同步衛(wèi)星的“五個一定”可知bcd錯誤，正確答案為a。 5)衛(wèi)星的追及與相遇問題 兩衛(wèi)星在同一軌道繞中心天體同向運動，要使后一衛(wèi)星追上前一衛(wèi)星，我們稱之為追及問題。兩衛(wèi)星在不同軌道繞中心天體在同一平面內(nèi)做勻速圓周運動，當兩星某時相距最近時我們稱之為兩衛(wèi)星相遇問題。 例7如圖4所示，a、b、c是在地球大氣層外圓形軌道上運動的3顆衛(wèi)星，下列說法正確的是（） ab、c的線速度大小相等，且大于a的線速度 bb、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速

9、度 cc加速可追上同一軌道上的b，b減速可等候同一軌道上的c da衛(wèi)星由于某原因，軌道半徑緩慢減小，其線速度將增大 解析：因為b、c在同一軌道上運行，故其線速度大小、加速度大小均相等。又b、c軌道半徑大于a的軌道半徑，由知，故a選項錯；由加速度可知，故b選項錯。 當c加速時，c受到的萬有引力，故它將做離心運動；當b減速時，b受到的萬有引力,故它將做向心運動。所以無論如何c也追不上b，b也等不到c，故c選項錯。 對a衛(wèi)星，當它的軌道半徑緩慢減小時，在轉(zhuǎn)動一段較短時間內(nèi)，可近似認為它的軌道半徑未變，視為穩(wěn)定運行，由知，r減小時v逐漸增大，故d選項正確。 例8如圖5所示，a是地球的同步衛(wèi)星另一衛(wèi)星b

10、的圓形軌道位于赤道平面內(nèi)，離地面高度為h。已知地球半徑為r，地球自轉(zhuǎn)角速度為，地球表面的重力加速度為g，o為地球中心 （1）求衛(wèi)星b的運行周期。 （2）如衛(wèi)星b繞行方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同，某時刻a、b兩衛(wèi)星相距最近（o、b、a在同一直線上），則至少經(jīng)過多長時間，他們再一次相距最近？ 解析：（1）由萬有引力定律和向心力公式得 忽略地球自轉(zhuǎn)影響有 解得 （2）設a、b兩衛(wèi)星經(jīng)時間再次相距最近，由題意得，又有 解得 6)衛(wèi)星的發(fā)射能量問題 發(fā)射衛(wèi)星過程中，火箭帶著衛(wèi)星克服地球引力做功，將消耗大量能量，所以發(fā)射軌道越高的衛(wèi)星，耗能越多，難度越大。同步衛(wèi)星必須自西向東運行，才可以與地球保持相對靜止，故發(fā)

11、射階段，火箭在合適之時應盡量靠近赤道且自西向東輸送，以便利用地球自轉(zhuǎn)動能，節(jié)省火箭能量。 例9我中已經(jīng)擁有甘肅酒泉、山西太原和四川西昌三個衛(wèi)星發(fā)射中心，又計劃在海南建設一個航天發(fā)射場，預計2010年前投入使用關于我國在2010年用運載火箭發(fā)射一顆同步衛(wèi)星，下列說法正確的是（ ） a在海南發(fā)射同步衛(wèi)星可以充分利用地球自轉(zhuǎn)的能量，從而節(jié)省能源 b在酒泉發(fā)射同步衛(wèi)星可以充分利用地球自轉(zhuǎn)的能量，從而節(jié)省能源 c海南和太原相比，在海南的重力加速度略微小一點，同樣的運載火箭在海南可以發(fā)射質(zhì)量更大的同步衛(wèi)星 d海南和太原相比，在太原的重力加速度略微小一點，同樣的運載火箭在太原可以發(fā)射質(zhì)量更大的同步衛(wèi)星 解析

12、：我國海南離赤道較近，火箭隨地球自轉(zhuǎn)線速度較大，具有的動能較大，若沿自轉(zhuǎn)方向發(fā)射可以節(jié)省能源。離赤道越近，所需隨地球自轉(zhuǎn)的向心力越大，則重力加速度越小，發(fā)射時克服引力越容易，故在海南處可以發(fā)射質(zhì)量較大的衛(wèi)星。正確選項為ac。 三、雙星模型 宇宙中往往會有相距較近，質(zhì)量可以相比的兩顆星球，它們離其它星球都較遠，因此其它星球?qū)λ鼈兊娜f有引力可以忽略不計。在這種情況下，它們將各自圍繞它們連線上的某一固定點o做同周期的勻速圓周運動。如圖6所示，這種結構叫做雙星雙星問題具有以下兩個特點： 由于雙星和該固定點o總保持三點共線，所以在相同時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度必相等，即雙星做勻速圓周運動的角速度必相等，因此周期也

13、必然相同。 由于每顆星的向心力都是由雙星間相互作用的萬有引力提供的，因此大小必然相等，由可得，可得，即固定點o離質(zhì)量大的星較近。 列式時須注意：萬有引力定律表達式中的r表示雙星間的距離，按題意應該是l，而向心力表達式中的r表示它們各自做圓周運動的半徑，在本題中為r1、r2，千萬不可混淆。 例10神奇的黑洞是近代引力理論所預言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測雙星系統(tǒng)的運動規(guī)律天文學家觀測河外星系大麥哲倫云時，發(fā)現(xiàn)了lmcx3雙星系統(tǒng)，它由可見星a和不可見的暗星b構成。兩星視為質(zhì)點，不考慮其它天體的影響，a、b圍繞兩者連線上的o點做勻速圓周運動，它們之間的距離保持不變，如圖7所示。引力常量

14、為g，由觀測能夠得到可見星a的速率v和運行周期t。 （1）可見星a所受暗星b的引力fa可等效為位于o點處質(zhì)量為m的星體（視為質(zhì)點）對它的引力，設a和b的質(zhì)量分別為m1、m2，試求m（用m1、m2表示）； （2）求暗星b的質(zhì)量m2與可見星a的速率v、運行周期t和質(zhì)量m1之間的關系式； （3）恒星演化到末期，如果其質(zhì)量大于太陽質(zhì)量ms的2倍，它將有可能成為黑洞。若可見星a的速率v27105m/s，運行周期t47104s，質(zhì)量m16ms，試通過估算來判斷暗星b有可能是黑洞嗎？（g6671011nm2/kg2，ms201030kg） 解析：設a、b的圓軌道半徑分別為，由題意知，a、b做勻速圓周運動的角

15、速度相同，設其為。由牛頓運動定律，有， 設a、b間距離為，則 由以上各式解得 由萬有引力定律，有，代入得 令，通過比較得 （2）由牛頓第二定律，有 而可見星a的軌道半徑 將代入上式解得 （3）將代入上式得 代入數(shù)據(jù)得 設，將其代入上式得 可見，的值隨的增大而增大，試令，得 可見，若使以上等式成立，則必大于2，即暗星b的質(zhì)量必大于，由此可得出結論：暗星b有可能是黑洞。 四、三星模型（略講） 例11宇宙中存在一些離其它恒星較遠的、由質(zhì)量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng)，通常可忽略其它星體對它們的引力作用。已觀測到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構成形式：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑

16、為r的圓軌道上運行；另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個項點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行。設每個星體的質(zhì)量均為。 （1）試求第一種形式下，星體運動的線速度和周期。 （2）假設兩種形式星體的運動周期相同，第二種形式下星體之間的距離應為多少？ 解析：（1）星體運動的向心力是由另外兩星體對它的萬有引力提供，則有 解得， （2）設第二種情形下星體做圓周運動的半徑為，則相鄰兩星體間距離，相鄰兩星體之間的萬有引力 由星體做圓周運動可知 由以上各式解得萬有引力（高考題）(05)21土星周圍有美麗壯觀的“光環(huán)”，組成環(huán)的顆粒是大小不等、線度從1m到10m的巖石、塵埃，類似于衛(wèi)星，它們與土星中心的距

17、離從7.3104km延伸到1.4105km。已知環(huán)的外緣顆粒繞土星做圓周運動的周期約為14h，引力常量為6.6710-11nm2/kg2，則土星的質(zhì)量約為（估算時不考慮環(huán)中顆粒間的相互作用） 9.01016kg6.41017kg9.01025kg6.41026kg(07)12.我國繞月探測工程的預先研究和工程實施已取得重要進展。設地球、月球的質(zhì)量分別為m1、m2，半徑分別為r1、r2，人造地球衛(wèi)星的第一宇宙速度為v，對應的環(huán)繞周期為t，則環(huán)繞月球表面附近圓軌道飛行的探測器的速度和周期分別為a.， b. ，c. ，d. ，(10)6探測器繞月球做勻速圓周運動。變軌后在周期較小的軌道上仍做勻速圓周

18、運動，則變軌后與變軌前相比a軌道半徑變小 b向心加速度變小c線速度變小 d角速度變?。?1）8 質(zhì)量為m的探月航天器在接近月球表面的軌道上飛行，其運動視為勻速圓周運動。已知月球質(zhì)量為m，月球半徑為r，月球表面重力加速度為g，引力常量為g，不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響，則航天器的a線速度 b角速度 c運行周期 d向心加速度答案：ac解析：萬有引力提供衛(wèi)星做圓周運動的向心力，代入相關公式即可萬有引力綜合 (06)25神奇的黑洞是近代引力理論所預言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測雙星系統(tǒng)的運動規(guī)律。天文學家觀測河外星系大麥哲倫云時，發(fā)現(xiàn)了lmcx3雙星系統(tǒng)，它由可見星a和不可見的暗星b構成。兩星視為

19、質(zhì)點，不考慮其它天體的影響，a、b圍繞兩者連線上的o點做勻速圓周運動，它們之間的距離保持不變，如圖所示。引力常量為g，由觀測能夠得到可見星a的速率v和運行周期t（1）可見星a所受暗星b的引力fa可等效為位于o點處質(zhì)量為m/的星體（視為質(zhì)點）對它的引力，設a和b的質(zhì)量分別為m1、m2，試求m/（用m1、m2表示）；（2）求暗星b的質(zhì)量m2與可見星a的速率v、運行周期t和質(zhì)量m1之間的關系式；（3）恒星演化到末期，如果其質(zhì)量大于太陽質(zhì)量ms的2倍，它將有可能成為黑洞。若可見星a的速率v2.7105m/s，運行周期t4.7104s，質(zhì)量m16ms，試通過估算來判斷暗星b有可能是黑洞嗎？（g6.671

20、011nm2/kg2，ms2.01030kg） 萬有引力求中心天體質(zhì)量，雙星系統(tǒng) (09)12. 2008年12月，天文學家們通過觀測的數(shù)據(jù)確認了銀河系中央的黑洞“人馬座a*”的質(zhì)量與太陽質(zhì)量的倍數(shù)關系。研究發(fā)現(xiàn)，有一星體s2繞人馬座a*做橢圓運動，其軌道半長軸為9.50102天文單位（地球公轉(zhuǎn)軌道的半徑為一個天文單位），人馬座a*就處在該橢圓的一個焦點上。觀測得到s2星的運行周期為15.2年。（1）若將s2星的運行軌道視為半徑r=9.50102天文單位的圓軌道，試估算人馬座a*的質(zhì)量ma是太陽質(zhì)量ms的多少倍(結果保留一位有效數(shù)字)；（2）黑洞的第二宇宙速度極大，處于黑洞表面的粒子即使以光速運動，其具有的動能也不足以克服黑洞對它的引力束縛。由于引力的作用，黑洞表面處質(zhì)量為m的粒子具有勢能為ep=-g(設粒子在離黑洞無限遠處的勢能為零)，式中m、r分別表示黑洞的質(zhì)量和半徑。已知引力常量g=6.710-11nm2/kg2，光速c=3.