第6章：動力有限元法

1、STDUDYNAMICS OF STRUCTURES 結(jié)構(gòu)動力學(xué)結(jié)構(gòu)動力學(xué) Dynamics of Structures 武蘭河 QQ:281017372 TelSTDUDYNAMICS OF STRUCTURES Chapter 6 Finite Element Method 6-1 有限元法的基本概念 6-3 梁的彎曲振動 6-2 桿的縱向振動 STDUDYNAMICS OF STRUCTURES 6.1 有限元法的基本概念 有限元法(The finite element method)是20世紀(jì)五六十年代發(fā) 展起來的一種數(shù)值近似方法，最初用于求解飛機(jī)的應(yīng)力問題

2、特點(diǎn):兼有集中質(zhì)量法和假設(shè)模態(tài)法的優(yōu)點(diǎn) 方法:將復(fù)雜結(jié)構(gòu)分割為有限個單元(element)，單元的端點(diǎn)稱 為節(jié)點(diǎn)(node)，將節(jié)點(diǎn)的位移作為廣義坐標(biāo)，并將單元的質(zhì)量 和剛度集中到節(jié)點(diǎn)上 每個單元作為彈性體，單元內(nèi)各點(diǎn)的位移用節(jié)點(diǎn)位移的插 值函數(shù)來表示，這種插值函數(shù)實際就是單元的假設(shè)模態(tài) STDUDYNAMICS OF STRUCTURES 二. 有限元法的主要特點(diǎn) 1.以簡單逼近復(fù)雜 2.采用矩陣表達(dá)，便于編制計算機(jī)程序 3.比較容易處理邊界條件，可解決復(fù)雜域問題 4.適應(yīng)性強(qiáng)，應(yīng)用范圍廣泛 一. 有限元法的基本步驟 1.求解區(qū)域離散化 2.選擇插值函數(shù) 3.分析單元的力學(xué)特性（建立單元的動

3、力學(xué)方程） 4.集合各單元的平衡方程，建立結(jié)構(gòu)的平衡方程 5.求解結(jié)構(gòu)的平衡方程 STDUDYNAMICS OF STRUCTURES 6.2 桿的縱向振動 一. 結(jié)構(gòu)的離散化 將桿件劃分為多個單元 取出其中一個長度為l的單元 設(shè)單元兩端的節(jié)點(diǎn)位移為 1( ) u t 2( ) u t 和 用一個向量表示 e12 u T uu 12 T e FFF 相應(yīng)的兩端桿端力向量為 與多自由度系統(tǒng)類似，該單元的運(yùn)動方程可以寫成 M u +K u =F eeeee STDUDYNAMICS OF STRUCTURES 二. 位移插值 該單元內(nèi)x點(diǎn)處的位移表示為 2 1 ( , )( )( ) ii i u

4、 x tNx u t 12 ( ),( )NxNx稱為形函數(shù)(插值函數(shù)） 通常取一個節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)有單位位移而其余節(jié)點(diǎn)位移為零時單元的 靜變形函數(shù)為形函數(shù) 單元的假設(shè)模態(tài) 1( ) 1 x Nx l 2( ) x Nx l 顯然有 1(0) 1N 1( ) 0N l 2(0) 0N 2( ) 1Nl STDUDYNAMICS OF STRUCTURES 2 1 ( , )( )( ) ii i u x tNx u t 代入式 構(gòu)成單元內(nèi)部連續(xù)的位移場 寫成矩陣形式 T e ( , )N uu x t 12 N T NN e12 u T uu 其中 形函數(shù)矩陣 單元位移列矩陣 三. 單元剛度矩陣和質(zhì)量

5、矩陣 因為軸力單元只有軸向變形，其微段的勢能為 2 11 d(d )d 22 e VESuuxESux 2 0 1 d 2 l e VESux 積分可以得到該單元的勢能 2T eee 0 11 du K u 22 l e VESux 將位移插值代入此式，整理后得到 STDUDYNAMICS OF STRUCTURES T e 0 KN N d l ESx 其中單元剛度矩陣 N1 T xx ll 11 N T ll 單元剛度矩陣的各元素為 0 Kd l ijij ESN Nx 2 1 dd 2 e TSux 若單元的材料常數(shù)和橫截面積為常數(shù),則有 e 11 K 11 ES l 類似地，單元微段的

6、動能為 積分可以得到該單元的動能 2 0 1 d 2 l e TSux STDUDYNAMICS OF STRUCTURES 2T eee 0 11 du M u 22 l e TSux T e 0 MNN d l Sx 單元質(zhì)量矩陣 e 21 M 612 Sl 將位移插值代入此式，整理后得到 其中 單元剛度矩陣的各元素為 0 d l ijij MSN Nx 若單元的材料常數(shù)和橫截面積為常數(shù),則有 顯然，單元剛度矩陣和質(zhì)量矩陣均是對稱的 STDUDYNAMICS OF STRUCTURES 設(shè)單元上作用有分布力 ( , )f x t 計算其對虛位移 ( , )u x t 的虛功 0 ( , )

7、( , )d l Wf x tu x tx T ee F u T e 0 ( , ) (N u )d l f x tx T e 0 ( , )Nu d l f x tx T e 0 ( , )N du l f x tx l 0 ( , ) d e f x tx FN 與節(jié)點(diǎn)位移相對應(yīng)的單元廣義力向量 若單元上作用有分布力 ( , )f x t 為常數(shù) 則等效結(jié)點(diǎn)力為 /2 1 1F T e fl 如此可將單元上的力等效轉(zhuǎn)化到結(jié)點(diǎn)上 四. 單元動力平衡方程的建立 由Lagrange方程，可以建立單元的動力平衡方程 M u +K u =F eeeee STDUDYNAMICS OF STRUCTU

8、RES 五. 系統(tǒng)的動力平衡方程 lll ,ES 2 ,2ES 1 2 3 1 q 2 q 3 q 以圖所示的變截面桿的縱向振動 為例來說明綜合的一般規(guī)律 將桿劃分為三個單元 各單元的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣 分別為 12 21 mm 312 Sl 3 21 m 612 Sl 12 112 KK 11 ES l 3 11 K 11 ES l 各單元的節(jié)點(diǎn)位移為 112 T uuu 234 T uuu 356 T uuu STDUDYNAMICS OF STRUCTURES 組合為全部節(jié)點(diǎn)的位移列陣 123123456 Uuuu T T TTT uuuuuu 各節(jié)點(diǎn)位移之間有以下的約束關(guān)系 12345

9、 0,uuu uu 因此6個位移分量只有3個是獨(dú)立的 定義以下的獨(dú)立廣義結(jié)點(diǎn)位移 123 quu 245 quu 36 qu 123 q T qqq 并令結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)位移列陣 則單元的節(jié)點(diǎn)位移與結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)位移有如下關(guān)系 Uq 011000 000110 000001 其中 STDUDYNAMICS OF STRUCTURES 計算整個系統(tǒng)的動能 33 TTTT 11 111 u m uU MUq Mq 222 eeee ei TT 其中 1 2 3 m00 M =0m0 00m T M = M 整個系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣 系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣也可以直接由單元質(zhì)量矩陣組集而成 做法: 將各單元質(zhì)量矩陣 i m (

10、1,2,3)i 的各元素按照 (1,2,3) i q i 的下標(biāo)編號,放入與編號相對應(yīng)的行和列 然后將各個位置的元素相疊加即得到 M 矩陣 對號入座 STDUDYNAMICS OF STRUCTURES 1 21 m 312 Sl 3 21 m 612 Sl 2 21 m 312 Sl 0 1 01 12 1 2 23 2 3 4420 M =2421 6 012 Sl 820 261 6 012 Sl 1 2 3 123 得到 類似地,整個系統(tǒng)的勢能 33 TTTT 11 111 u K uU KUq Kq 222 eeee ee VV STDUDYNAMICS OF STRUCTURES

11、其中 1 2 3 K00 K =0K0 00K T K = K 2220420 K =2211231 011011 ESES ll 整個系統(tǒng)的剛度矩陣 系統(tǒng)的剛度矩陣也可以直接由單元剛度矩陣組集而成 1 112 K 11 ES l 3 11 K 11 ES l 2 112 K 11 ES l 0 1 01 12 1 2 23 2 3 當(dāng)桿上有常值力f作用時 123 FFF/2 11 T fl 各單元的等效結(jié)點(diǎn)力為 STDUDYNAMICS OF STRUCTURES 將3個桿單元的廣義力組合為系統(tǒng)的廣義力F 123 T TTT FFFF 作用力的總虛功為 3 TT 1 F UQ q T ee

12、e WFu T Q F 與廣義位移q對應(yīng)的廣義力列陣 實際計算時,也可以由對號入座的方法,將各單元的結(jié)點(diǎn)力列 陣元素按總體編碼組集而得 1 1 F/2 1 fl 2 1 F/2 1 fl 3 1 F/2 1 fl 0 1 1 2 2 3 Q11111221 22 TTflfl 將整個系統(tǒng)的動能、勢能和虛功代入拉格郎日方程，得系 統(tǒng)的動力學(xué)方程 STDUDYNAMICS OF STRUCTURES 2 Q2 2 1 fl 420 K =231 011 ES l 820 M261 6 012 Sl Mq+Kq = Q 以上對桿的縱向振動的計算方法也完全適用于軸的扭轉(zhuǎn)振動等 同一類型的振動。對于梁的

13、彎曲振動，步驟完全相同，只是插 值函數(shù)不同，未節(jié)點(diǎn)位移數(shù)目不同而已，有興趣的同學(xué)請參照 課本自學(xué)，由于學(xué)時關(guān)系，這里就不講了 得到動力平衡方程之后，其他求解過程不須詳述 STDUDYNAMICS OF STRUCTURES 6.3 梁的彎曲振動 一. 結(jié)構(gòu)的離散化 將梁劃分為多個單元取出其中一個長度為l的單元 設(shè)單元兩端的節(jié)點(diǎn)位移為 1( ) u t 2( ) u t 用一個向量表示 e1234 u T uuuu 1234 T e FFFFF 相應(yīng)的桿端力向量為 3( ) u t 4( ) u t 其中 1( ) u t 3( ) u t 節(jié)點(diǎn)的橫向位移 2( ) u t 4( ) u t 節(jié)

14、點(diǎn)的截面轉(zhuǎn)角 STDUDYNAMICS OF STRUCTURES 二. 位移插值 該單元內(nèi)x點(diǎn)處的位移表示為 4 1 ( , )( )( ) ii i u x tNx u t ( )(1,2,3,4) i Nxi 稱為單元的形函數(shù)(插值函數(shù)） 單元的假設(shè)模態(tài) 通常取一個節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)有單位位移而其余節(jié)點(diǎn)位移為零時單元的 靜變形函數(shù)為形函數(shù) 單元形函數(shù)應(yīng)滿足的邊界條件： 111 (0)( )( )0NNlNl 23 0123 ( ) i Nxaa xa xa x 2(0) 1 N 1(0) 1N 22 ( )(0)0Nl N 2(0) 0N 33 (0)(0)0N N 3( ) 1Nl 3( ) 0

15、Nl 44 (0)(0)0N N 4( ) 0Nl 4( ) 1Nl STDUDYNAMICS OF STRUCTURES 23 123 32 ( )1 xx Nx ll 滿足此邊界條件的形函數(shù)為： 23 22 2 ( ) xx Nxx ll 23 323 32 ( ) xx Nx ll 23 42 ( ) xx Nx ll 各形函數(shù)曲線如下圖： 1 x x x 1 ()Nx 2 ()Nx 4 ()Nx 3 ()Nx x STDUDYNAMICS OF STRUCTURES 4 1 ( , )( )( ) ii i u x tNx u t 代入式 寫成矩陣形式得 4 T e 1 ( , )(

16、)( )N u ii i u x tNx u t 1234 N T NNNN e1234 u T uuuu 其中 形函數(shù)矩陣 單元位移列矩陣 三. 單元剛度矩陣和質(zhì)量矩陣 因為只考慮彎曲變形，其微段的勢能為 21111 ddd(d )d 2222 e VMMuEIuuxEI ux 2 0 1 d 2 l e VEI ux 積分可以得到該單元的勢能 STDUDYNAMICS OF STRUCTURES 2 T eee 0 11 du K u 22 l e VEI ux 將位移插值代入此式，整理后得到 T e 0 KN Nd l EIx 其中 單元剛度矩陣 單元剛度矩陣的各元素為 若單元的材料常數(shù)

17、和橫截面積為常數(shù),則有 22 e3 22 126126 6462 K 126126 6264 ll llllEI lll llll 0 Kd l ijij EIN Nx STDUDYNAMICS OF STRUCTURES 2 1 dd 2 e TSux 類似地，單元微段的動能為 積分可以得到該單元的動能 2 0 1 d 2 l e TSux 2T eee 0 11 du M u 22 l e TSux T e 0 MNN d l Sx 單元質(zhì)量矩陣 22 e 22 156225413 224133 M 420541315622 133224 ll llllSl ll llll 將位移插值代入

18、此式，整理后得到 其中 單元剛度矩陣的各元素為 0 d l ijij MSN Nx 若單元的材料常數(shù)和橫截面積為常數(shù),則有 STDUDYNAMICS OF STRUCTURES 設(shè)單元上作用有橫向分布力 ( , )f x t 計算其對虛位移 ( , )u x t 的虛功 0 ( , )( , )d l Wf x tu x tx T ee F u T e 0 ( , ) (N u )d l f x tx T e 0 ( , )Nu d l f x tx T e 0 ( , )N du l f x tx l 0 ( , ) d e f x tx FN 與節(jié)點(diǎn)位移相對應(yīng)的單元廣義力向量 四. 單元動力平衡方程的建立 STDUDYNAMICS OF STRUCTURES 若單元上作用有分布力 ( , )f x t為常數(shù) 則等效結(jié)點(diǎn)力為 /2 1/61/6 T e flllF 如此可將單元上的力等效轉(zhuǎn)化到結(jié)點(diǎn)上 由Lagrange方程，可以建立單元的動力平衡方程 M u +K u =F eeeee 五 系統(tǒng)的動力平衡方程 與桿的縱向振動類似，我們也可以組集得到整個結(jié) 構(gòu)的動力學(xué)平衡方程。這里我們只用直接剛度法， 將各單元的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣按照單元的定位向 量“對號入座”，形成結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣， 并得到結(jié)構(gòu)的動力方程。 Mq+