一階微分方程在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的簡單應(yīng)用

1、一、一、微分方程在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用微分方程在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用 二、小結(jié)二、小結(jié) 第三節(jié)第三節(jié) 一階微分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中一階微分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中 的綜合應(yīng)用的綜合應(yīng)用 分析商品的市場(chǎng)價(jià)格與需求量分析商品的市場(chǎng)價(jià)格與需求量( (供應(yīng)量供應(yīng)量) ) 之間的函數(shù)關(guān)系之間的函數(shù)關(guān)系 解解 d ln3 d px p xp 由由已已知知 一、微分方程在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用一、微分方程在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用 d ln3 d x x p 即即 分分離離變變量量解解此此微微分分方方程程 d ln3d x p x 兩邊積分得兩邊積分得 Cpxln3lnln 3lnp Cex 12001200, 0 Cxp得得，再再由由 p x 31200 )

2、(40031200 1 1 公公斤斤 的的需需求求量量為為元元時(shí)時(shí)，市市場(chǎng)場(chǎng)上上對(duì)對(duì)該該商商品品當(dāng)當(dāng)價(jià)價(jià)格格為為 x 解解 d () d p DS t 由由已已知知 d (d)()() d p cpabpacbd p t 即即 d ()() d p bd pac t 即即 ( )d( )d ( )d) p ttp tt peq t etc 其其通通解解為為 )()(),()(catqdbtp 這這里里 tdbtdbtdb ee db ca cep )()()( )( )( 所所以以 0 pce db ca ce tdbtdb )()( ppcpp 00 )0(代入上式，得代入上式，得由由 的的

3、函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系為為與與時(shí)時(shí)間間故故所所求求價(jià)價(jià)格格tp peppp tdb )( 0 )( .,即即價(jià)價(jià)格格趨趨于于平平衡衡價(jià)價(jià)格格顯顯然然當(dāng)當(dāng)ppt 解：解： 程程據(jù)題意，可建立微分方據(jù)題意，可建立微分方 d ( ) ( )( ), d x t kx tx tk t 其其中中 為為比比例例因因子子 d ( ) :d ( )( ) x t k t x tx t 分分離離變變量量 0t x a 111 d ( )d ( )( ) x tk t x tx t )( )( )( ln 11 為為任任意意常常數(shù)數(shù)CCkt txa tx )( )( )( 22 1 為為任任意意常常數(shù)數(shù)CeCe tx

4、tx ktCkt 從從而而可可得得通通解解為為 )( 11 )( 2 2 為為任任意意常常數(shù)數(shù)C CeeC eC tx ktkt kt 例例 4 4 在在某某池池塘塘內(nèi)內(nèi)養(yǎng)養(yǎng)魚魚，由由于于條條件件限限制制最最多多只只能能養(yǎng)養(yǎng) 1 10 00 00 0 條條. .在在時(shí)時(shí)刻刻 t t 的的魚魚數(shù)數(shù) y y 是是時(shí)時(shí)間間 t t 的的函函數(shù)數(shù) y= =y y( (t t) )，其其變變化化 率率與與魚魚數(shù)數(shù) y y 和和 1 10 00 00 0- -y y 的的乘乘積積成成正正比比.現(xiàn)現(xiàn)已已知知池池塘塘內(nèi)內(nèi)放放養(yǎng)養(yǎng) 魚魚 1 10 00 0 條條，3 3 個(gè)個(gè)月月后后池池塘塘內(nèi)內(nèi)有有魚魚 2 2

5、5 50 0 條條，求求 t t 月月后后池池塘塘 內(nèi)內(nèi)魚魚數(shù)數(shù) y y( (t t) )的的公公式式.問問 6 6 個(gè)個(gè)月月后后池池塘塘中中有有魚魚多多少少？ 解：解： 03 d (1000),100,250 d tt y kyyyy t 由由已已知知 解解此此微微分分方方程程 分析產(chǎn)量、收入、成本及利潤之間的函分析產(chǎn)量、收入、成本及利潤之間的函 數(shù)關(guān)系數(shù)關(guān)系 kt ce y y 1000 1000 代代入入得得將將250,100 30 tt yy k ce c 3000 2501000 250 1001000 100 3000 3ln , 9 1 kC解解得得 關(guān)系為關(guān)系為月后魚數(shù)與時(shí)間的

6、函數(shù)月后魚數(shù)與時(shí)間的函數(shù)即即t 3 3 9 1 1000 t y y 3 3 39 31000 t t y 即即 個(gè)個(gè)月月后后魚魚塘塘中中魚魚數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)放放養(yǎng)養(yǎng) 6 )(500 39 31000 2 2 條條 y 解：解： 0 0 d () d X L k AL x LL 由由題題意意列列出出方方程程 d d , L k x AL 分分離離變變量量兩兩邊邊積積分分 ) 1 (,ln)ln( 1 1 C CCeLACkxLA kx 其其中中 kx CeAL 00 0 LACLL x 解解得得由由初初始始條條件件 函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系為為所所以以純純利利潤潤與與廣廣告告費(fèi)費(fèi)的的 kx eLAAL )(

7、0 例例 6 6 某某商商場(chǎng)場(chǎng)銷銷售售成成本本 y y 和和存存儲(chǔ)儲(chǔ)費(fèi)費(fèi)用用 s s 均均是是時(shí)時(shí)間間 t t 的的函函數(shù)數(shù)，隨隨時(shí)時(shí)間間 t t 的的增增長長, ,銷銷售售成成本本的的變變化化率率等等于于 存存儲(chǔ)儲(chǔ)費(fèi)費(fèi)用用的的倒倒數(shù)數(shù)與與常常數(shù)數(shù) 5 5 的的和和；而而存存儲(chǔ)儲(chǔ)費(fèi)費(fèi)用用的的變變 化化率率為為存存儲(chǔ)儲(chǔ)費(fèi)費(fèi)用用的的 3 1 ，若若當(dāng)當(dāng) t t= =0 0 時(shí)時(shí)，銷銷售售成成本本 y y= =0 0，存存儲(chǔ)儲(chǔ)費(fèi)費(fèi)用用 S S= =1 10 0. .試試求求銷銷售售成成本本與與時(shí)時(shí)間間 t t 的的函函 數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系及及存存儲(chǔ)儲(chǔ)費(fèi)費(fèi)用用與與時(shí)時(shí)間間 t t 的的函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系. .

8、 解：解：d1 5 d d1 d3 y tS S S t 由由已已知知 )2( )1( 得得解解)2(10100. 3 cStceS t 解解出出時(shí)時(shí)由由 的的函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系為為于于是是存存儲(chǔ)儲(chǔ)費(fèi)費(fèi)用用與與時(shí)時(shí)間間t 3 10 t eS 得得將將上上式式代代入入方方程程)1( 3 d1 5 d10 t y e t 解此方程得解此方程得 000,5 10 3 11 3 cytctey t 解解出出時(shí)時(shí)由由 的的函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系為為即即銷銷售售成成本本與與時(shí)時(shí)間間 t .5 10 3 3 tey t 解：解： 11 d , 103 d y Sy I t 由由已已知知 11 d 103 d y S

9、Iy t 當(dāng)當(dāng)有有 關(guān)于國民收入、儲(chǔ)蓄與投資關(guān)系關(guān)于國民收入、儲(chǔ)蓄與投資關(guān)系 解此微分方程得解此微分方程得 550 10 3 cytcey t 得得時(shí)時(shí)由由 t ey 10 3 5 即即國國民民函函數(shù)數(shù)為為 為為而儲(chǔ)蓄函數(shù)和投資函數(shù)而儲(chǔ)蓄函數(shù)和投資函數(shù) t eIS 10 3 2 1 解：解： d1 d10 y t 由由已已知知 cty 10 1 所所以以得得國國民民收收入入函函數(shù)數(shù) 關(guān)于國民收入與國民債務(wù)問題關(guān)于國民收入與國民債務(wù)問題 ，于于是是國國民民收收入入函函數(shù)數(shù)為為得得時(shí)時(shí)由由550 cyt 5 10 1 ty d111 (5) d2020 10 D yt t 又又由由已已知知 1 2

10、 4 1 400 1 cttD 解此方程得解此方程得 ，故故國國民民債債務(wù)務(wù)函函數(shù)數(shù)為為得得時(shí)時(shí)由由1 . 01 . 00 1 cDt 10 1 4 1 400 1 2 ttD 關(guān)于流動(dòng)收入、流動(dòng)消費(fèi)和流動(dòng)投資問題關(guān)于流動(dòng)收入、流動(dòng)消費(fèi)和流動(dòng)投資問題 解：解： yyyyy 10 , 5, 3且且 于于是是流流動(dòng)動(dòng)函函數(shù)數(shù)為為 t eyyyy )( 0 )( t e )1 4 1 3 1 ( 2 1 )53(5 t e 24 5 25 1 1111111 d111 ,() 34d2 y Cy IyCIy t )(751. 410億元億元時(shí)，則流動(dòng)收入時(shí)，則流動(dòng)收入 yt )(5 億元億元時(shí)，流動(dòng)

11、收入時(shí)，流動(dòng)收入顯然當(dāng)顯然當(dāng) yt )7128. 2( e這里取這里取 )(2949. 45,億元億元時(shí)，則流動(dòng)收入時(shí)，則流動(dòng)收入若若此題中此題中 yt 解：解： d () d x Ax t 由由解解此此微微分分方方程程得得 關(guān)于商品存儲(chǔ)過程中的基本衰減問題關(guān)于商品存儲(chǔ)過程中的基本衰減問題 d d x t Ax t AxCe 即即 ACxt 代代入入得得時(shí)時(shí)，00 的的函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系為為腐腐敗敗數(shù)數(shù)量量與與時(shí)時(shí)間間 t)1( t eAx 解：解： 2 d281 d yy xxx 由由已已知知 在其他方面的應(yīng)用在其他方面的應(yīng)用 2 d281 d y y xxx 改改寫寫為為 代入通解公式代入通

12、解公式 22 dd 2 81 (d) xx xx yeexC x ) 27 ( 3 ln2 C x ey x 即即： ) 27 ( 3 2 C x x 2 27 Cx x 2 1 5 .271 Cyx，解解出出時(shí)時(shí)又又由由 的的函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系為為與與大大修修的的時(shí)時(shí)間間間間隔隔即即總總維維修修成成本本xy 2 2 127 x x y 30 27 2 xx x y解解得得令令 .3, 01 54 3 有有最最小小值值時(shí)時(shí)，故故因因yx x y . 3 最最低低 成成本本年年大大修修一一次次可可使使總總維維修修即即每每輛輛汽汽車車 解：解： d2 d d1 d3 y tS S S t 由由已已知

13、知 )2( )1( 得得解解微微分分方方程程)2( 5 . 45 . 40, 3 CStCeS t ，得得時(shí)時(shí)由由 的的函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系為為與與時(shí)時(shí)間間汽汽車車轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)賣賣值值tS 3 5 . 4 t eS 得得將將此此式式代代入入方方程程)1( 3 d4 d9 t y e t 解此方程得解此方程得 1 3 3 4 Cey t 得得時(shí)時(shí)由由00 yt 3 4 1 C 的的函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系為為與與時(shí)時(shí)間間即即汽汽車車運(yùn)運(yùn)行行成成本本ty ).1( 3 4 3 t ey 例例 1 13 3 關(guān)關(guān)于于消消費(fèi)費(fèi)者者的的收收入入與與消消費(fèi)費(fèi)需需求求的的關(guān)關(guān)系系問問題題： xy，消消費(fèi)費(fèi)者者的的收收入入為為設(shè)

14、設(shè)消消費(fèi)費(fèi)者者的的需需求求量量為為 d d ( ),( ) d d y xy y xx x yx x 即即 入入的的彈彈性性為為則則需需求求量量對(duì)對(duì)消消費(fèi)費(fèi)者者的的收收 d( )( ) d ,( ) yxx xx yxx 于于是是有有稱稱為為平平均均彈彈性性 d ( )d y xx y 則則 解此微分方程得：解此微分方程得： 為為定定常常數(shù)數(shù)若若平平均均彈彈性性 )(x x cey 為為定定常常數(shù)數(shù)若若彈彈性性函函數(shù)數(shù) )(x d :d y x yx 則則有有 . cxy 解此微分方程得：解此微分方程得： .3 , 15 . 0 . 時(shí)時(shí)的的消消費(fèi)費(fèi)需需求求量量人人收收入入為為數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系，并

15、并求求消消費(fèi)費(fèi)者者個(gè)個(gè) 之之間間的的函函與與個(gè)個(gè)人人收收入入求求消消費(fèi)費(fèi)需需求求量量費(fèi)費(fèi)需需求求量量 時(shí)時(shí)，消消，且且當(dāng)當(dāng)消消費(fèi)費(fèi)者者收收入入為為比比的的平平均均彈彈性性為為 率率之之對(duì)對(duì)消消費(fèi)費(fèi)者者個(gè)個(gè)人人收收入入增增長長測(cè)測(cè)算算：消消費(fèi)費(fèi)需需求求增增長長率率 經(jīng)經(jīng)有有關(guān)關(guān)費(fèi)費(fèi)者者的的個(gè)個(gè)人人收收入入條條件件下下，需需求求量量只只與與消消 時(shí)時(shí)，發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)在在價(jià)價(jià)格格穩(wěn)穩(wěn)定定的的量量如如某某地地區(qū)區(qū)研研究究消消費(fèi)費(fèi)需需求求 xyey x x y 解：解： 0.5 d 0.5d, x y xyce y 由由有有 ,c1eeyx 有有：時(shí)時(shí)，由由 :的的函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系為為與與個(gè)個(gè)人人收收入入即即需需求求量量xy x eey 5 . 0 4 . 7,3 5 . 1 eeyx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) . 4 . 73時(shí)時(shí)，消消費(fèi)費(fèi)需需求求約約為為即即當(dāng)當(dāng)消消費(fèi)費(fèi)者者個(gè)個(gè)人人收收入入為為 二、小結(jié)二、小結(jié) 1.1.理解函數(shù)關(guān)系；理解函數(shù)關(guān)系； 2.2.建立微分方程；建立微分方程； 3.3.確定初始條件；確定初始條件； 4.4.求解求解. . 掌握一類經(jīng)濟(jì)問題建立數(shù)學(xué)模型的方法：掌握一類經(jīng)濟(jì)問題建立數(shù)學(xué)模型的方法： 練習(xí)題 練習(xí)題答案練習(xí)題答案 ；萬萬元元，)(125)10(2520.5 ;100.4 4) 6 3 sin32 6 3 (cos)(.3 )3( ;)1()()2( ;)()1.