數(shù)分ch10 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用

1、四、四、 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積 (補(bǔ)充補(bǔ)充) 三、已知平行截面面積函數(shù)的三、已知平行截面面積函數(shù)的 立體體積立體體積 一、一、 平面圖形的面積平面圖形的面積 二、二、 平面曲線的弧長(zhǎng)平面曲線的弧長(zhǎng) 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用 1. 直角坐標(biāo)情形直角坐標(biāo)情形 設(shè)曲線)0()(xfy與直線 )(,babxax及 x 軸所圍曲 則 xxfAd)(d x bao y)(xfy x xxd xxfA b a d)( 邊梯形面積為 A , 右下圖所示圖形面積為 y o b xa )( 2 xfy )( 1 xfy xxfxfA b a d)()( 21 xxxd 22 ,xyxy在第一象限所圍 所圍圖

2、形的面積 . x xy 2 o y 2 xy x xxd 解解: 由 xy 2 2 xy 得交點(diǎn)) 1, 1 ( , )0,0( ) 1 , 1 ( 1 xxxAdd 2 2 3 3 2 x 0 1 3 3 1 x 3 1 1 0 A x xy2 2 o y 4 xy xy2 2 與直線 的面積 . 解解: 由 xy2 2 4 xy 得交點(diǎn) )4,8( , )2,2( )4,8( yyyAd)4(d 2 2 1 18 4 xy所圍圖形 )2,2( 2 2 1 yy4 4 2 3 6 1 y 為簡(jiǎn)便計(jì)算, 選取 y 作積分變量, 則有 y yyd 4 2 A a b xo y x 1 2 2 2

3、 2 b y a x 解解: 利用對(duì)稱性 , xyAdd 所圍圖形的面積 . 有 a xyA 0 d4 利用橢圓的參數(shù)方程 )20( sin cos t tby tax 應(yīng)用定積分換元法得 0 2 4 Atbsinttad)sin( 2 0 2 dsin4 ttba ba4 2 1 2 ba 當(dāng) a = b 時(shí)得圓面積公式 xxd o y xab ab o y x )( )( ty tx 給出時(shí), 按順時(shí)針方向規(guī)定起點(diǎn)和終點(diǎn)的參數(shù)值 21 ,tt 則曲邊梯形面積 2 1 d)()( t t tttA )( 1 axt對(duì)應(yīng))( 1 bxt對(duì)應(yīng) )cos1 (, )sin(tayttax)0( a

4、 的一拱與 x 軸所圍平面圖形的面積 . )cos1 (tadA解解:ttad)cos1 ( ttad)cos1 ( 2 0 22 t t ad 2 sin4 2 0 42 ) 2 ( t u 令uuadsin8 0 42 uuadsin16 2 0 42 2 16a 4 3 2 1 2 2 3 a 2 0 A x y o a2 ,0)(, ,)(C設(shè)求由曲線)(r 及 ,射線 圍成的曲邊扇形的面積 . )(r x d 在區(qū)間,上任取小區(qū)間d, 則對(duì)應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為 d)( 2 1 d 2 A 所求曲邊扇形的面積為 d)( 2 1 2 A 對(duì)應(yīng) 從 0 變 解解: )0( a

5、ar x a 2 o d d)( 2 1 2 a 2 0 A 2 2 a 3 3 1 0 2 23 3 4 a 點(diǎn)擊圖片任意處點(diǎn)擊圖片任意處 播放開始或暫停播放開始或暫停 到 2 所圍圖形面積 . ttadcos8 2 0 42 所圍圖形的 面積 . 解解: )0()cos1 (aar xa2 o d d)cos1 ( 2 1 22 a 0 2A 0 2 a d 2 cos4 4 (利用對(duì)稱性) 2 t令 2 8a 4 3 2 1 2 2 2 3 a 2 coscos21 )2cos1 ( 2 1 a a2 o x y d)cos1 ( 2 1 22 a 與圓 所圍圖形的面積 . 解解: 利用

6、對(duì)稱性 , )0()cos1 (aar 2 2 2 1 aA 2 22 2 1 aa d)2cos 2 1 cos2 2 3 ( 所求面積 )2 4 3 ( 2 1 22 aa 22 2 4 5 aa ar 2 a 2sin 2 a 所圍圖形面積 . 解解: 利用對(duì)稱性 , 2cos 22 ar d2cos 2 1 2 a 4 0 4 A 4 0 2 a)2(d2cos 0 則所求面積為 4 2 a 思考思考: 用定積分表示該雙紐線與圓 sin2ar 所圍公共部分的面積 . 2A dsin 2 0 2 6 a d2cos 2 1 4 6 2 a y ox 4 4 答案答案: 定義定義: 若在弧

7、 AB 上任意作內(nèi)接折線 , 0 M 1i M i M n M A B y o x 當(dāng)折線段的最大 邊長(zhǎng) 0 時(shí), 折線的長(zhǎng)度趨向于一個(gè)確定的極限 , 此極限為曲線弧 AB 的弧長(zhǎng) , 即 并稱此曲線弧為可求長(zhǎng)的. ii MM 1 定理定理: 任意光滑曲線弧都是可求長(zhǎng)的. (證明略) n i 1 0 lim s 則稱 sd y xab o )()(bxaxfy )(xfy 弧長(zhǎng)元素(弧微分) : xxxd xyd1 2 因此所求弧長(zhǎng) xys b a d1 2 xxf b a d)(1 2 22 )(d)(ddyxs )( )( )( t ty tx 弧長(zhǎng)元素(弧微分) : 因此所求弧長(zhǎng) ttt

8、sd)()( 22 tttd)()( 22 22 )(d)(ddyxs )()( rr ,sin)(,cos)(ryrx令 因此所求弧長(zhǎng) d)()( 22 rrs d)()( 22 yx d)()( 22 rr 則得 sd 弧長(zhǎng)元素(弧微分) : (自己驗(yàn)證) )ch( c x c c x c csh 1 )(chbxb c x cy 成懸鏈線 . 求這一段弧長(zhǎng) . 解解: xysd1d 2 x c x dsh1 2 x c x dch b x c x s 0 dch2 c x c sh2 0 b c b csh2 2 ch xx ee x ) (chx 2 sh xx ee x ) (sh

9、x xsh xch c xbb o y 下垂 懸鏈線方程為 tty x dcos 2 解解:,0cosx 22 x xysd1 2 2 2 的弧長(zhǎng). xxd)cos(12 2 0 2 x x d 2 cos22 2 0 0sin222 2 2 x 4 )cos1 ( )sin( tay ttax )0( a 一拱)20(t 的弧長(zhǎng) . 解解:ts t y t x d)()(d 2 d d2 d d )cos1 ( 22 tata 22 sintd ttad)cos1 (2 t t ad 2 sin2 t t asd 2 sin2 2 0 2 cos22 t a 0 2 a8 x y oa2 d

10、 222 aa 相應(yīng)于 02 一段的弧長(zhǎng) . 解解: )0( aar x a2 o ar d)()( 22 rrsd d1 2 a d1 2 0 2 as 2 1 2 a 2 1ln 2 1 0 2 )412ln( 2 41 22 a a 設(shè)所給立體垂直于x 軸的截面面積為A(x), ,)(baxA在 則對(duì)應(yīng)于小區(qū)間d,xxx的體積元素為 xxAVd)(d 因此所求立體體積為 xxAV b a d)( x a b xxxd )(xA 上連續(xù), x y oa bx y oa b )(xfy 2 )(xf 軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí), 有 軸繞xbxaxfy)()( xd b a V 當(dāng)考慮連續(xù)曲

11、線段 )()(dycyx 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí), 有 2 )(yyd d c V x x o y )(yx c d y a y x b 1 2 2 2 2 b y a x 所圍圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而 轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積. 解解: 方法方法1 利用直角坐標(biāo)方程 )( 22 axaxa a b y 則 xxa a b a d)(2 2 0 2 2 2 (利用對(duì)稱性) 32 2 2 3 1 2xxa a b 0 a 2 3 4 ab o a V 0 2xy d 2 x tby tax sin cos 則xyV a d2 0 2 ttabdsin2 32 2 2 ab 3 2 2 3 4

12、 ab 1 0 2 特別當(dāng)b = a 時(shí), 就得半徑為a 的球體的體積 . 3 4 3 a x y oa2 )cos1 ( )sin( tay ttax )0( a的一拱與 y0 所圍成的圖形分別繞 x 軸 , y 軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積 . 解解: 繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為 xyV a x d 2 0 2 利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性 2 0 22 )cos1 (tattad)cos1 ( ttad)cos1 (2 0 33 t t ad 2 sin16 0 63 uuadsin32 2 0 63 3 32 a 6 5 4 3 2 1 2 32 5a a y ) 2 ( t u 令 x y oa2a

13、 )cos1 ( )sin( tay ttax )0( aa2 yyxV a y d)( 2 0 2 2 22 )sin(ttattadsin 2 yyx a d)( 2 0 2 1 )( 2 yxx 22 )sin(ttattadsin 0 注意上下限 ! 2 0 23 dsin)sin(tttta 33 6a注注 )( 1 yxx 分部積分 對(duì)稱關(guān)于 2 2 0 2 dsin)sin(tttt 2 0 322 d)sinsin2sin(tttttt)( tu令 uuusin)2( 22 uu 2 sin)(2 uu dsin 3 (利用“偶倍奇 零”) 0 dsin4uuu 0 2 dsi

14、n4uu 2 4uudsin8 2 0 2 22 1 84 2 2 6 a2 柱殼體積 xxxd y 也可按柱殼法求出 y V yx2 柱面面積 xyxd2 )cos1 ( )sin( tay ttax xyxV a y d2 2 0 2 )sin(tta)cos1 (ta 22 td 0 2 偶函數(shù) y V ttattad)cos1 ()sin(2 22 2 0 2 0 43 d 2 sin)sin(8t t tta 2 t u 令 0 43 dsin)2sin2(16uuuua 2 uv令 vvvvadcos)2sin2(16 43 2 2 奇奇函數(shù) 33 6a 軸所圍圖及表示xtxxfy

15、tV)0(, )()( )(xfy 在 x0 時(shí)為連續(xù)的非負(fù)函數(shù), 且 ,0)0(f 形繞直線 xt 旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體體積 , 證明: . )(2)(tftV 證證: x )(xf xo y t xxd 利用柱殼法 xxfxtVd)()(2d 則 xxfxttV t d)()(2)( 0 xxft t d)(2 0 xxfx t d)(2 0 xxftV t d)(2)( 0 )(2tft)(2tft )(2)(tftV 故 并 與底面交成 角, 222 Ryx 解解: 如圖所示取坐標(biāo)系, 則圓的方程為 垂直于x 軸 的截面是直角三角形, 其面積為 tan)( 2 1 )( 22 xRxA)

16、(RxR R xxRV 0 22 dtan)( 2 1 2 32 3 1 tan2xxR 0 R tan 3 2 3 R 利用對(duì)稱性 計(jì)算該平面截圓柱體所得立體的體積 . o R x y x o R x y 此時(shí)截面面積函數(shù)是什么 ? 如何用定積分表示體積 ? ),(yx )(yA 提示提示: tan2yx 22 tan2yRy V R 0 tan2yyRyd 22 ab z x y c o 垂直 x 軸的截面是橢圓 1 )1 ()1 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 a x a x c z b y 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 所圍立體(橢球體) 解解: 它的面積為

17、)1 ()( 2 2 a x bcxA 因此橢球體體積為 xbc a x d)1 ( 2 2 bc2 0 a bca 3 4 特別當(dāng) a = b = c 時(shí)就是球體體積 . )(axa a V 0 2 x 2 3 3a x x 的體積. ox 1 2 y B C 3 A 13 2 xy 與 x 軸圍成的封閉圖形 繞直線 y3 旋轉(zhuǎn)得的旋轉(zhuǎn)體體積. (94 考研) 解解: 利用對(duì)稱性 , y 10 x,2 2 x 21 x,4 2 x 故旋轉(zhuǎn)體體積為 V432xxd)2(32 1 0 22 xxd)1 (236 1 0 22 xxd) 1(2 2 1 22 xxd) 1(2 2 0 22 15

18、448 在第一象限 xxd)4(32 2 1 22 x y oa b 設(shè)平面光滑曲線, ,)( 1 baCxfy 求 上的圓臺(tái)的側(cè)面積位于d,xxx sySd2d 積分后得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積 xxfxfS b a d)(1)(2 2 ,0)(xf且 它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積 . 取側(cè)面積元素: )(2xf xxfd)(1 2 x y oa b )(xfy a b x x y o )(xfy a b x sySd2d 側(cè)面積元素 xyd2 sd xd xyd2因?yàn)?的線性主部 . 若光滑曲線由參數(shù)方程 )( )( )( t ty tx 給出, 則它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的

19、不是薄片側(cè)面積S 的 )(2t tttd)()( 22 S 側(cè)面積為 xR y o 上繞在, 21 222 RRxxxRyx x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得的球臺(tái)的側(cè)面積 S . 解解: 對(duì)曲線弧 , 21 22 xxxxRy 應(yīng)用公式得 2 1 2 x x S 22 xR 2 1 22 xR x xd 2 1 d2 x x xR)(2 12 xxR 當(dāng)球臺(tái)高 h2R 時(shí), 得球的表面積公式 2 4RS 1 x 2 x o z y x 一周所得的旋轉(zhuǎn)體的表面積 S . 解解: 利用對(duì)稱性 2 0 22 Sta 3 sin 2 2 ttasincos3 2 td 2 0 42 dcossin12 ttta

20、ta 52 sin 5 1 12 0 2 2 5 12 a ttacossin3 2 繞 x 軸旋轉(zhuǎn) taytax 33 sin,cos taytax 33 sin,cos a 星形線是內(nèi)擺線的一種. t 點(diǎn)擊圖片任意處點(diǎn)擊圖片任意處 播放開始或暫停播放開始或暫停 大圓半徑 Ra 小圓半徑 4 a r 參數(shù)的幾何意義 (當(dāng)小圓在圓內(nèi)沿圓周滾動(dòng) 時(shí), 小圓上的定點(diǎn)的軌跡為是內(nèi)擺線) 1. 平面圖形的面積 邊界方程 參數(shù)方程 極坐標(biāo)方程 2. 平面曲線的弧長(zhǎng) 曲線方程參數(shù)方程方程 極坐標(biāo)方程 22 )(d)(ddyxs弧微分: d)()(d 22 rrs 直角坐標(biāo)方程 上下限按順時(shí)針方向 確定 直

21、角坐標(biāo)方程 注意注意: 求弧長(zhǎng)時(shí)積分上 下限必須上大下小 2 1 d)()( t t tttA d)( 2 1 2 A b a xxAVd)( 旋轉(zhuǎn)體的體積 2 )(yxA繞 x 軸 : 4. 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積 sySd2d側(cè)面積元素為 (注意在不同坐標(biāo)系下 ds 的表達(dá)式) yxxA2)( 繞 y 軸 : (柱殼法) )(xyy ,)(軸旋轉(zhuǎn)繞xxyy 1.用定積分表示圖中陰影部分的面積 A 及邊界長(zhǎng) s . 提示提示: 交點(diǎn)為, )3,9( , ) 1, 1 ( yAd 3 1 2 yx 032 yx y x o 1 3 y )32(y 2 y 3 32 yd 3 1 2 41y yd 3

22、1 2 21 弧線段部分直線段部分 )52ln()376ln( 4 1 55373 s 以 x 為積分變量 , 則要分 兩段積分, 故以 y 為積分變量. )()( 222 bRRbyx繞 x 軸 ox y R b R 上上 半圓為 22 xRby y 22 xR x 下下 222 )(xRb 222 )(xRb R V 0 2xd bR 22 2 求體積 : 提示提示: 方法方法1 利用對(duì)稱性 旋轉(zhuǎn)而成的環(huán)體體積 V 及表面積 S . R b R Vdy2x2yd Rb Rb V4 ox y ybyRyd)( 22 y bR 22 2 說(shuō)明說(shuō)明: 上式可變形為 2 RVb2d 2 bR 2

23、0 上上 半圓為, 22 xRby 下下 y 22 xR x 此式反映了環(huán)體微元的另一種取法(如圖所示). dd 2 bRV ox y R b R R 0 2 )(2 22 xRbxyd1 2 R 0 2)(2 22 xRbxyd1 2 相同二者 2 y R b 0 8xyd1 2 bR 2 4 利用對(duì)稱性 RS2b2 S 上式也可寫成 d2bR 2 0 上上 半圓為, 22 xRby 下下 y 22 xR x 它也反映了環(huán)面微元的另一種取法. 解：解： 1. 求曲線所圍圖形的面積.1lnlnyx 顯然1ln,1lnyx y ox e 1 e 1 e 1 1 e eyeexe 11 , xln ,ln x ,ln