第4章根軌跡PPT

1、第四章根 軌 跡 法 第四章 根 軌 跡 法 4.1 根軌跡的概念根軌跡的概念 4.2 繪制根軌跡的依據(jù)繪制根軌跡的依據(jù) 4.3 繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則 4.4 參數(shù)根軌跡和多回路系統(tǒng)根軌跡參數(shù)根軌跡和多回路系統(tǒng)根軌跡 4.5 正反饋根軌跡正反饋根軌跡 4.6 滯后系統(tǒng)的根軌跡滯后系統(tǒng)的根軌跡 4.7 根軌跡的應(yīng)用根軌跡的應(yīng)用 4.8 計(jì)算機(jī)繪制根軌跡計(jì)算機(jī)繪制根軌跡 小結(jié)小結(jié) 第四章根 軌 跡 法 )()(1 )( )( )( )( 1 1 sHsG sG sR sC sG 41 根軌跡的基本概念根軌跡的基本概念 一、根軌跡的定義一、根軌跡的定義 如圖所示一般閉環(huán)系統(tǒng)的閉如

2、圖所示一般閉環(huán)系統(tǒng)的閉 環(huán)傳遞函數(shù)為環(huán)傳遞函數(shù)為 閉環(huán)控制系統(tǒng)的性能取決于閉環(huán)零、極點(diǎn)閉環(huán)控制系統(tǒng)的性能取決于閉環(huán)零、極點(diǎn) 閉環(huán)零點(diǎn)閉環(huán)零點(diǎn)G 1(s)中的零點(diǎn)和中的零點(diǎn)和H(s)中的極點(diǎn)，很容易求得中的極點(diǎn)，很容易求得 閉環(huán)極點(diǎn)由特征方程：閉環(huán)極點(diǎn)由特征方程：1+ G1 (s) H(s)0 求出，很難求得求出，很難求得 R(s) G1(S) H(S) C(s) 第四章根 軌 跡 法 ) 3( 10 )(; )2( ) 1( )( 1 s sH ss s sG 則閉環(huán)傳遞函數(shù)則閉環(huán)傳遞函數(shù) 為為 ) 1(10)3)(2( )3)(1( )3( 10 )2( ) 1( 1 )2( ) 1( )(

3、 ssss ss sss s ss s sG 例如例如 閉環(huán)零點(diǎn)閉環(huán)零點(diǎn)： G 1(s) 中的零點(diǎn)中的零點(diǎn)z 11 和和 H(s) 中的極點(diǎn)中的極點(diǎn) z 23 閉環(huán)極點(diǎn)由：閉環(huán)極點(diǎn)由： s (s+2) (s+3)+10 (s+1)0 求出求出，這是一，這是一 個(gè)一元三次方程，用解析的方法求解是很困難的。個(gè)一元三次方程，用解析的方法求解是很困難的。 第四章根 軌 跡 法 根軌跡法的優(yōu)點(diǎn)：根軌跡法的優(yōu)點(diǎn)：不用求解高階方程，通過(guò)圖解的方法不用求解高階方程，通過(guò)圖解的方法 找出閉環(huán)極點(diǎn)，并且知道閉環(huán)極點(diǎn)的變化趨勢(shì)，可以方便地找出閉環(huán)極點(diǎn)，并且知道閉環(huán)極點(diǎn)的變化趨勢(shì)，可以方便地 實(shí)現(xiàn)高階系統(tǒng)的性能分析和

4、設(shè)計(jì)。實(shí)現(xiàn)高階系統(tǒng)的性能分析和設(shè)計(jì)。 根軌跡的定義：根軌跡的定義：開環(huán)傳遞函數(shù)中某一參數(shù)從開環(huán)傳遞函數(shù)中某一參數(shù)從0變化時(shí)，變化時(shí)， 閉環(huán)極點(diǎn)的變化軌跡稱為根軌跡。閉環(huán)極點(diǎn)的變化軌跡稱為根軌跡。 第四章根 軌 跡 法 式中 m zz, 1 開環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)；開環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)； n pp, 1 開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)；開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)； 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)表達(dá)式為系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)表達(dá)式為 K1 根軌跡放大系數(shù)。常規(guī)根軌跡根軌跡放大系數(shù)。常規(guī)根軌跡 )()( )()( )()()( 21 211 10 n m pspsps zszszsK sGsHsG 計(jì)算機(jī)繪根軌跡可使用 n n

5、n m mm asas bsbsK sGsHsG 1 1 1 11 10 )( )()()( 第四章根 軌 跡 法 確定閉環(huán)極點(diǎn)的特征方程為確定閉環(huán)極點(diǎn)的特征方程為 0)()(1)(1 10 sGsHsG 0)()()()( 21211 nm pspspszszszsK 若令若令 K1 由由 00連續(xù)變化，則連續(xù)變化，則 n 個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)個(gè)閉環(huán)極點(diǎn) 都將都將連續(xù)變化，在連續(xù)變化，在SS平面上將各繪出一條變平面上將各繪出一條變 化軌跡，即共有化軌跡，即共有n條特征根的軌跡；這些軌跡條特征根的軌跡；這些軌跡 就是系統(tǒng)的根軌跡。就是系統(tǒng)的根軌跡。 或者寫為或者寫為 第四章根 軌 跡 法 二、根軌跡的示

6、例二、根軌跡的示例 設(shè)系統(tǒng)如圖設(shè)系統(tǒng)如圖42 42 所示，它的所示，它的開環(huán)傳遞函數(shù)為開環(huán)傳遞函數(shù)為 )4( )( 1 0 ss K sG 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 1 2 1 0 0 4)(1 )( )( Kss K sG sG sG 第四章根 軌 跡 法 由此可得系統(tǒng)的特征方程式為由此可得系統(tǒng)的特征方程式為 求解得出兩個(gè)特征根為求解得出兩個(gè)特征根為 令參數(shù)令參數(shù)K1 在在 00范圍內(nèi)變化范圍內(nèi)變化 ，就可在復(fù)平面上得到根軌跡圖，就可在復(fù)平面上得到根軌跡圖 。 04 1 2 Kss 12 11 42 42 Ks Ks 從圖中可看出系統(tǒng)性能隨從圖中可看出系統(tǒng)性能隨K1變化變化而

7、變化的趨勢(shì)：而變化的趨勢(shì)： 當(dāng)當(dāng)K10 0時(shí)，系統(tǒng)始終是穩(wěn)定的時(shí)，系統(tǒng)始終是穩(wěn)定的 當(dāng)當(dāng)K144時(shí)，系統(tǒng)有兩個(gè)負(fù)實(shí)根，對(duì)應(yīng)的過(guò)渡過(guò)程無(wú)振蕩時(shí)，系統(tǒng)有兩個(gè)負(fù)實(shí)根，對(duì)應(yīng)的過(guò)渡過(guò)程無(wú)振蕩 當(dāng)當(dāng)K144時(shí)，系統(tǒng)有一對(duì)共軛復(fù)根，系統(tǒng)是衰減振蕩的。時(shí)，系統(tǒng)有一對(duì)共軛復(fù)根，系統(tǒng)是衰減振蕩的。 第四章根 軌 跡 法 42 繪制根軌跡的依據(jù)和條件繪制根軌跡的依據(jù)和條件 根軌跡的繪制依據(jù)是特征方程，根軌跡的繪制依據(jù)是特征方程，根據(jù)特征方程可以得出比根據(jù)特征方程可以得出比 較詳細(xì)的繪制條件和規(guī)則。較詳細(xì)的繪制條件和規(guī)則。 根軌跡的繪制條件根軌跡的繪制條件 對(duì)于圖對(duì)于圖4-14-1所示一般系統(tǒng)，其特征方程為所示一般系

8、統(tǒng)，其特征方程為 0)()(1)(1 10 sGsHsG 1)( 0 sG 寫成復(fù)指數(shù)形式為寫成復(fù)指數(shù)形式為 也就是也就是 2 , 1 , 01)( )12()( 0 0 qeesG qjsGj 第四章根 軌 跡 法 1)( 0 sG 210 ) 12(180)( 0 、qqsG )()( )()( )()()( 21 211 10 n m pspsps zszszsK sGsHsG 1 1 1 m j j n i i zs ps K 2 , 1 , 0 ) 12(180)()( 11 qqpszs n i i m j j 相角條件相角條件 幅值條件幅值條件 對(duì)于零極點(diǎn)形式的開環(huán)傳遞函數(shù)對(duì)于零

9、極點(diǎn)形式的開環(huán)傳遞函數(shù) 相角條件相角條件 幅值條件幅值條件 第四章根 軌 跡 法 相角條件是點(diǎn)相角條件是點(diǎn)Sd 在根軌跡上的充要條件，滿足相角條件，在根軌跡上的充要條件，滿足相角條件， Sd 必在根軌跡上必在根軌跡上。 幅值條件可計(jì)算根軌跡上任意一點(diǎn)的幅值條件可計(jì)算根軌跡上任意一點(diǎn)的根軌跡增益根軌跡增益K1。 43 繪制根軌跡的基本規(guī)則繪制根軌跡的基本規(guī)則 根據(jù)根軌跡的繪制條件和特征方程的性質(zhì)可推出一些規(guī)則根據(jù)根軌跡的繪制條件和特征方程的性質(zhì)可推出一些規(guī)則 ，利用這些規(guī)則，可以幫助我們迅速、方便地繪出根軌跡。，利用這些規(guī)則，可以幫助我們迅速、方便地繪出根軌跡。 規(guī)則一、根軌跡的形狀規(guī)則一、根軌

10、跡的形狀 根軌跡是連續(xù)的，且對(duì)稱于實(shí)軸，根軌跡是連續(xù)的，且對(duì)稱于實(shí)軸， 共有共有 n 條。它們從開環(huán)極點(diǎn)出發(fā)，其中，條。它們從開環(huán)極點(diǎn)出發(fā)，其中，m 條終止于開環(huán)零條終止于開環(huán)零 點(diǎn)，點(diǎn)，nm 條趨向無(wú)窮遠(yuǎn)。條趨向無(wú)窮遠(yuǎn)。 其中其中 n開環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)；開環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)；m開環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)開環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù) 第四章根 軌 跡 法 例例4.1 開環(huán)傳遞函數(shù)為開環(huán)傳遞函數(shù)為 k1 (s+5) G0(s) s(s+4)(s2+2s+2) 逐步繪制出系統(tǒng)的根軌跡。逐步繪制出系統(tǒng)的根軌跡。 解解 起點(diǎn)：起點(diǎn)：p1=0，p2= - -4，p3= - -1+j1，p4= - -1- -j1，共四條根軌跡，共四條根軌跡 終點(diǎn)：

11、終點(diǎn)：z1= - -5，另外三條趨向于無(wú)窮遠(yuǎn)，另外三條趨向于無(wú)窮遠(yuǎn) 用用MATLAB指令：指令： s=tf(s);G=(s+5) /s*(s+4)*(s*s+2*s+2);rlocus(G) 繪出繪出精確的根軌跡如圖。與規(guī)則一吻合。精確的根軌跡如圖。與規(guī)則一吻合。 第四章根 軌 跡 法 規(guī)則二、實(shí)軸上的根軌跡規(guī)則二、實(shí)軸上的根軌跡 在復(fù)平面中，實(shí)軸上的在復(fù)平面中，實(shí)軸上的 線段是根軌跡的條件是，在這些線段的右邊的開環(huán)零、線段是根軌跡的條件是，在這些線段的右邊的開環(huán)零、 極點(diǎn)的個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)。極點(diǎn)的個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)。 用相角條件證明：用相角條件證明： 1.實(shí)軸上的點(diǎn)到兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)的相角之合為零實(shí)軸

12、上的點(diǎn)到兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)的相角之合為零 2.實(shí)軸上的點(diǎn)到該點(diǎn)左邊實(shí)軸上的零極點(diǎn)的相角為零實(shí)軸上的點(diǎn)到該點(diǎn)左邊實(shí)軸上的零極點(diǎn)的相角為零 3.實(shí)軸上的點(diǎn)到該點(diǎn)右邊實(shí)軸上的零極點(diǎn)的相角為實(shí)軸上的點(diǎn)到該點(diǎn)右邊實(shí)軸上的零極點(diǎn)的相角為180，所以，所以， 實(shí)軸上某段右邊零極點(diǎn)個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，該段實(shí)軸是根軌跡。實(shí)軸上某段右邊零極點(diǎn)個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，該段實(shí)軸是根軌跡。 第四章根 軌 跡 法 規(guī)則三、根軌跡的漸近線規(guī)則三、根軌跡的漸近線 無(wú)窮遠(yuǎn)處根軌跡的切線稱為根軌無(wú)窮遠(yuǎn)處根軌跡的切線稱為根軌 跡的漸近線。漸近線與實(shí)軸正方向的夾角稱為漸近線的傾角，跡的漸近線。漸近線與實(shí)軸正方向的夾角稱為漸近線的傾角， 傾角的計(jì)算公式傾角

13、的計(jì)算公式如下：如下： 2 , 1 , 0 ) 12(180 q mn q 證明：證明：無(wú)窮遠(yuǎn)的無(wú)窮遠(yuǎn)的 s點(diǎn)與所有開環(huán)零、極點(diǎn)的連線可近似點(diǎn)與所有開環(huán)零、極點(diǎn)的連線可近似 為同一條線，設(shè)該線與實(shí)軸正方向的夾角為為同一條線，設(shè)該線與實(shí)軸正方向的夾角為 ,由相角條由相角條 件可知件可知 ) 12(180qnm 解之，就能得到傾角的計(jì)算公式。解之，就能得到傾角的計(jì)算公式。 第四章根 軌 跡 法 則則漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)為漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)為 證明：設(shè)任一漸近線與實(shí)軸交于證明：設(shè)任一漸近線與實(shí)軸交于點(diǎn)，則無(wú)窮遠(yuǎn)處的點(diǎn)，則無(wú)窮遠(yuǎn)處的s點(diǎn)與所點(diǎn)與所 有開環(huán)零、極點(diǎn)的連線長(zhǎng)度都近似相等。由幅值條件可得有開環(huán)零、

14、極點(diǎn)的連線長(zhǎng)度都近似相等。由幅值條件可得 mn zp n j m i ij 11 1 1 1 1 )( 1 )( 1 )( )( 1 mnmnmn n j j m i i smnss ps zs K 所有的漸近線與實(shí)軸共交于一點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為所有的漸近線與實(shí)軸共交于一點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(，j0) 第四章根 軌 跡 法 而把幅值條件直接展開可得而把幅值條件直接展開可得 由于由于s，所以忽略以上兩式中的低階項(xiàng)，并將兩式對(duì)比，所以忽略以上兩式中的低階項(xiàng)，并將兩式對(duì)比 可得可得 得證。得證。 n j m i mn ij mn n j n j n m i m i m n j j m i i szpssps

15、 szs ps zs K 11 1 1 1 1 1 1 1 1 )( 1 )( )( )( )( 1 n j m i ij zpmn 11 )( 第四章根 軌 跡 法 例例4.1的漸近線的漸近線 180,60 14 ) 12(180 ) 12(180q mn q 333. 0 14 )5() 111140( 11 jj mn zp n j m i ij 第四章根 軌 跡 法 第四章根 軌 跡 法 規(guī)則四、根軌跡的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)規(guī)則四、根軌跡的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn) 由特征方程解出由特征方程解出K1f(s) ，通過(guò)令導(dǎo)數(shù)等于零，可求出分，通過(guò)令導(dǎo)數(shù)等于零，可求出分 離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)。即離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)。即 說(shuō)明

16、：在說(shuō)明：在分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)處分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)處，K1是一定條件下的極限值，是一定條件下的極限值， 因此，可以因此，可以通過(guò)令導(dǎo)數(shù)等于零，可求出分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)。通過(guò)令導(dǎo)數(shù)等于零，可求出分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)。 0 1 ds dK 另外，必須指出，另外，必須指出，用上式求出的點(diǎn)不一定都是分離點(diǎn)或用上式求出的點(diǎn)不一定都是分離點(diǎn)或 會(huì)合點(diǎn)，還必須滿足特征方程或用相應(yīng)的規(guī)則來(lái)檢驗(yàn)。會(huì)合點(diǎn)，還必須滿足特征方程或用相應(yīng)的規(guī)則來(lái)檢驗(yàn)。 第四章根 軌 跡 法 例例4.1的分離點(diǎn)和匯合點(diǎn)的分離點(diǎn)和匯合點(diǎn) )5( )22)(4( 2 1 s ssss k syms s;k=-1*s*(s+4)*(s2+2*s+2)/(s+5

17、)%符號(hào)表達(dá)式符號(hào)表達(dá)式 dk=diff(k) %對(duì)對(duì)k求導(dǎo)求導(dǎo) dk=simple(dk) %化簡(jiǎn)化簡(jiǎn) n,d=numden(dk) %提取分子和分母多項(xiàng)式提取分子和分母多項(xiàng)式 num=sym2poly(n) %提取分子多項(xiàng)式系數(shù)向量提取分子多項(xiàng)式系數(shù)向量 roots(num) %用數(shù)值求根指令求根用數(shù)值求根指令求根 執(zhí)行程序得到：執(zhí)行程序得到：ans=-5.93,-3.38,-0.67+j0.46,-0.67-j0.46 第四章根 軌 跡 法 其中，其中，s= -5.93是匯合點(diǎn)是匯合點(diǎn),s= -3.38是分離點(diǎn)，兩個(gè)復(fù)數(shù)不是分離點(diǎn)，兩個(gè)復(fù)數(shù)不 在根軌跡上，舍去。在根軌跡上，舍去。 第四章

18、根 軌 跡 法 規(guī)則五、根軌跡的出射角與入射角規(guī)則五、根軌跡的出射角與入射角 出射角：根軌跡在復(fù)數(shù)開環(huán)極點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸方向的夾角出射角：根軌跡在復(fù)數(shù)開環(huán)極點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸方向的夾角 入射角：根軌跡在復(fù)數(shù)開環(huán)零點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸方向的夾角入射角：根軌跡在復(fù)數(shù)開環(huán)零點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸方向的夾角 在復(fù)數(shù)開環(huán)極點(diǎn)處的出射角為在復(fù)數(shù)開環(huán)極點(diǎn)處的出射角為 在復(fù)數(shù)開環(huán)零點(diǎn)處的入射角為在復(fù)數(shù)開環(huán)零點(diǎn)處的入射角為 )(180 1 11 n j j m i ip )(180 1 1 1 n j j m i iz 第四章根 軌 跡 法 證明：設(shè)想在離開環(huán)極點(diǎn)證明：設(shè)想在離開環(huán)極點(diǎn)p1處很近的處很近的 地方找一

19、點(diǎn)地方找一點(diǎn)S d ，若該點(diǎn)在根軌跡上，則，若該點(diǎn)在根軌跡上，則 應(yīng)滿足相角條件，即應(yīng)滿足相角條件，即 因此可解出因此可解出p1處的出射角處的出射角 ) 12(180 211 q ppz 211 ) 12(180 pzp q 其中，其中， pz 21 同理，可證明入射角的計(jì)算公式。同理，可證明入射角的計(jì)算公式。 第四章根 軌 跡 法 例例4.1的出射角的出射角 180)3/1 (90135)4/1 (arctgarctg 49 第四章根 軌 跡 法 規(guī)則六、根軌跡與虛軸的交點(diǎn)規(guī)則六、根軌跡與虛軸的交點(diǎn) 用用 s = j代入特征方程求解，代入特征方程求解， 或利用勞斯判據(jù)可求出根軌跡與虛軸的交點(diǎn)

20、?；蚶脛谒古袚?jù)可求出根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。 例例4.1的根軌跡與虛軸的交點(diǎn)的根軌跡與虛軸的交點(diǎn) 系統(tǒng)特征方程為系統(tǒng)特征方程為 05)8(106 11 234 ksksss 0 )22)(4( )5( 1 2 1 ssss sk 第四章根 軌 跡 法 使用勞斯判據(jù)，列勞斯表 1 0 2 1 1 1 2 1 3 1 4 5 52 136416 5 6 52 86 5101 ks k kk s k k s ks ks 令勞斯表第一列與k1有關(guān)的項(xiàng)為零，解出k1=3，-139舍去。 k1=52時(shí)，第四行為，系統(tǒng)不穩(wěn)定舍去。 第四章根 軌 跡 法 根據(jù)勞斯表第三行的系數(shù)組成輔助方程根據(jù)勞斯表第三行的系數(shù)

21、組成輔助方程 05 6 52 1 2 1 ks k 將將k1=3代入，得代入，得09049 2 s 解方程得解方程得 s =j1.36，即為與虛軸的交點(diǎn)。，即為與虛軸的交點(diǎn)。 最后繪出根軌最后繪出根軌 跡，藍(lán)色部分需跡，藍(lán)色部分需 要用相角條件再要用相角條件再 找一些點(diǎn)，準(zhǔn)確找一些點(diǎn)，準(zhǔn)確 性才能達(dá)到要求。性才能達(dá)到要求。 第四章根 軌 跡 法 44 參數(shù)根軌跡和多回路根軌跡 一、參數(shù)根軌跡 參數(shù)根軌跡：系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)隨K1 1以外的參數(shù)變化而變化的 軌跡。 繪制方法：把特征方程作等效處理，把要研究的參數(shù)換到 原來(lái)K1的位置，借助常規(guī)根軌跡的繪制方法，進(jìn)行繪制。 例例4.24.2 單位反饋系統(tǒng)開

22、環(huán)傳遞函數(shù)為 繪制以a為變量的根軌跡。并分析a與系統(tǒng)性能的關(guān)系。 )2( )1(5 )( 0 ss as sG 第四章根 軌 跡 法 解解 系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為 asss as s 552 ) 1(5 )( 2 開環(huán)零點(diǎn)：開環(huán)零點(diǎn)：z1=0，開環(huán)極點(diǎn)：，開環(huán)極點(diǎn)：p1= - -1+j2，p2= - -1- -j2 閉環(huán)極點(diǎn)由特征方程閉環(huán)極點(diǎn)由特征方程 確定。確定。0552 2 asss 分別繪出閉環(huán)零、極點(diǎn)隨分別繪出閉環(huán)零、極點(diǎn)隨a變化而變化的軌跡。變化而變化的軌跡。 閉環(huán)零點(diǎn)：閉環(huán)零點(diǎn)：Sz- -1/a 0 52 5 1 2 ss as 特征方程可變?yōu)樘卣鞣匠炭勺優(yōu)?對(duì)照特征

23、方程為：對(duì)照特征方程為：1+G0(s)=0，則，則等效開環(huán)傳遞函數(shù)等效開環(huán)傳遞函數(shù) 的根軌跡，就是閉環(huán)極點(diǎn)隨的根軌跡，就是閉環(huán)極點(diǎn)隨a變化的軌跡。變化的軌跡。 aK ss sK sG5 52 )( 1 2 1 / 0 第四章根 軌 跡 法 實(shí)軸上的根軌跡：實(shí)軸上的根軌跡：整個(gè)負(fù)實(shí)軸整個(gè)負(fù)實(shí)軸 匯合點(diǎn)：匯合點(diǎn)： s ss K 52 2 1 0 )52()22( 2 2 1 s ssss ds dK 出射角：出射角： 6 .20690) 2 1 90(180 1 arctg p a=0.494 rlocus(tf(1 0,1 2 5) 由幅值條件，求出匯合點(diǎn)處的由幅值條件，求出匯合點(diǎn)處的K1及及a

24、 47. 2 24. 2 224. 1224. 1 5 2222 1 aK 解得匯合點(diǎn)為解得匯合點(diǎn)為 , s=2.24不在根軌跡上舍棄不在根軌跡上舍棄. 24. 25s 第四章根 軌 跡 法 1. 無(wú)論無(wú)論a取何值，系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。取何值，系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。 2. a較小時(shí)，系統(tǒng)有超調(diào)，且較小時(shí)，系統(tǒng)有超調(diào)，且a越小越小 ，超調(diào)量越大。，超調(diào)量越大。 3. a0.494后，系統(tǒng)變得非常平穩(wěn)。后，系統(tǒng)變得非常平穩(wěn)。 4. a 越大，零點(diǎn)與一個(gè)極點(diǎn)抵消，主越大，零點(diǎn)與一個(gè)極點(diǎn)抵消，主 導(dǎo)極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸，上升速性快。導(dǎo)極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸，上升速性快。 a=0.494 Z=-1/a 系統(tǒng)性能分析： a=.01;

25、step(tf(5*a ,5,1 ,2+5*a ,5) a=0.01、0.4、0.494、9、30 軟實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證以上分析結(jié)果：軟實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證以上分析結(jié)果： 第四章根 軌 跡 法 a 例例4.34.3 求圖示雙環(huán)系統(tǒng)的根軌跡，分析系統(tǒng)性能與求圖示雙環(huán)系統(tǒng)的根軌跡，分析系統(tǒng)性能與a的關(guān)的關(guān) 系，并求系，并求a3/83/8時(shí)，系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)。時(shí)，系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)。 二、多回路根軌跡二、多回路根軌跡 系統(tǒng)具有多個(gè)反饋環(huán)時(shí)的根軌跡。系統(tǒng)具有多個(gè)反饋環(huán)時(shí)的根軌跡。 從內(nèi)到外，逐一繪制，內(nèi)環(huán)的閉環(huán)極點(diǎn)是外環(huán)的部分開環(huán)極從內(nèi)到外，逐一繪制，內(nèi)環(huán)的閉環(huán)極點(diǎn)是外環(huán)的部分開環(huán)極 點(diǎn)，因此，外環(huán)的根軌跡的起點(diǎn)有一部分在內(nèi)環(huán)的

26、根軌跡上。點(diǎn)，因此，外環(huán)的根軌跡的起點(diǎn)有一部分在內(nèi)環(huán)的根軌跡上。 解解 外環(huán)的傳遞函數(shù)：外環(huán)的傳遞函數(shù)： )873()873( 8 )( 23 1 23 0 ssss K ssss a sG：開環(huán) assss a s 8873 8 )( 234 閉環(huán)： 第四章根 軌 跡 法 的根軌跡，根軌跡上的根軌跡，根軌跡上 K11=8 的地方是外環(huán)的的地方是外環(huán)的部分部分開環(huán)極點(diǎn)。開環(huán)極點(diǎn)。 )73( )( 2 11 1 sss K sG 1.開環(huán)極點(diǎn)：開環(huán)極點(diǎn)：0，- -1.5j2.18 j 0 2 1 求求 的根較困難，所以，先繪出內(nèi)環(huán)的根較困難，所以，先繪出內(nèi)環(huán)0873 23 sss 繪制內(nèi)環(huán)的根軌

27、跡：繪制內(nèi)環(huán)的根軌跡： a 第四章根 軌 跡 法 解得解得=2.64 rad/s，K11=21 3.出射角：出射角： 5 .3490) 18. 2 5 . 1 90(180 1 arctg p 2.漸近線：漸近線： 180,60 1 03 18. 25 . 118. 25 . 10 jj 4.與虛軸的交點(diǎn)：與虛軸的交點(diǎn)： 0)(7)(3)( 11 23 Kjjj 第四章根 軌 跡 法 用長(zhǎng)除法可得下式：用長(zhǎng)除法可得下式： 解得另外兩個(gè)根為：解得另外兩個(gè)根為：0.660.66j 2.12.1 )78. 4325. 1)(675. 1(873 223 ssssss aK ssss K sG8, )

28、78. 4325. 1)(67. 1( )( 1 2 1 0 外環(huán)的開環(huán)傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)形式為外環(huán)的開環(huán)傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)形式為 繪制外環(huán)的根軌跡：繪制外環(huán)的根軌跡： 1.開環(huán)極點(diǎn)：開環(huán)極點(diǎn)：0，- -1.67，- -0.66j2.1 用幅值條件，求得用幅值條件，求得s = - -1.675 為為 K11=8 時(shí)的一個(gè)根時(shí)的一個(gè)根 第四章根 軌 跡 法 75. 0 04 ) 1 . 266. 01 . 266. 067. 10( 11 jj mn zp n j m i ij 3.出射角：出射角： 82 66. 067. 1 1 . 2 ) 1 . 2 66. 0 90(90180 1 arctg

29、arctg p 2.漸近線：漸近線： 135,45 04 ) 12(180 ) 12(180q mn q j 0 2 -1 -2 -2 第四章根 軌 跡 法 4.分離點(diǎn)：分離點(diǎn)：從特征方程從特征方程 中解出中解出K1 令令K1對(duì)對(duì)s的導(dǎo)數(shù)為零，得分離點(diǎn)為：的導(dǎo)數(shù)為零，得分離點(diǎn)為：s=- -0.87,K1=3.06 )873( 234 1 ssssK 5.與虛軸的交點(diǎn)：與虛軸的交點(diǎn)： 1 0 1 1 1 2 3 1 4 69. 08 3 . 4 83 71 Ks Ks Ks s Ks 令勞斯表第一列、第四行為零，求得令勞斯表第一列、第四行為零，求得K1=11.56，由，由輔輔 助方程：助方程：4

30、.3s2+K1=0，求得交點(diǎn)，求得交點(diǎn)s=j1.63 0873 1 234 Kssss 第四章根 軌 跡 法 用幅值條件試探求得用幅值條件試探求得 S1= -= -1 1和和 S2= - -0.740.74為為a =3/8,=3/8,K1= =3時(shí)的兩個(gè)時(shí)的兩個(gè) 實(shí)數(shù)根，用長(zhǎng)除法降階后，可得另實(shí)數(shù)根，用長(zhǎng)除法降階后，可得另 外兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)根外兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)根 92. 163. 0 4, 3 js 1. K1. K1 111.6,11.6,a 1.451.45系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)不穩(wěn)定。 2. K2. K1 13.06,3.06,a 0.380.38系統(tǒng)出現(xiàn)超調(diào)。系統(tǒng)出現(xiàn)超調(diào)。 系統(tǒng)不能近似為低階系統(tǒng)

31、。系統(tǒng)不能近似為低階系統(tǒng)。 rlocus(tf(1,1 3 7 8 0)， r=rlocus(tf(1,1 3 7 8 0),3), rlocus(tf(1,1 3 7 8 0),3) 系統(tǒng)性能：系統(tǒng)性能： 第四章根 軌 跡 法 45 正反饋系統(tǒng)的根軌跡正反饋系統(tǒng)的根軌跡 一、正反饋系統(tǒng)的特征方程一、正反饋系統(tǒng)的特征方程 )()(1 )( )( )( )( 1 1 sHsG sG sX sY sG 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) 特征方程特征方程 0)(1)()(1 01 sGsHsG 簡(jiǎn)寫為簡(jiǎn)寫為 1)( 0 sG X(s) G1(S) H(S) Y(s) 第四章根 軌 跡 法 二、正反饋系統(tǒng)根軌跡的繪制

32、條件二、正反饋系統(tǒng)根軌跡的繪制條件 2 , 1 , 01)( 2)( 0 0 qeesG qjsGj 1 1 1 m j j n i i zs ps K 2 , 1 , 0 )2(180)()( 11 qqpszs n i i m j j 相角條件相角條件 幅值條件幅值條件 正反饋根軌跡的幅值條件與常規(guī)根軌跡相同正反饋根軌跡的幅值條件與常規(guī)根軌跡相同 正反饋根軌跡的相角條件為相角之和為正反饋根軌跡的相角條件為相角之和為360的倍數(shù)。的倍數(shù)。 第四章根 軌 跡 法 三、三、 零度根軌跡的零度根軌跡的繪制規(guī)則繪制規(guī)則 把常規(guī)根軌跡的繪制規(guī)則中與相角條件有關(guān)的規(guī)則稍把常規(guī)根軌跡的繪制規(guī)則中與相角條件

33、有關(guān)的規(guī)則稍 作修改就可以用來(lái)繪制零度根軌跡。作修改就可以用來(lái)繪制零度根軌跡。 實(shí)軸右邊開環(huán)零極點(diǎn)的個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)，則該段實(shí)軸右邊開環(huán)零極點(diǎn)的個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)，則該段 實(shí)軸是根軌跡。實(shí)軸是根軌跡。 2. 漸近線的相角為漸近線的相角為 2 , 1 , 0 )2(180 q mn q 3. 出射角、入射角出射角、入射角 )()2(180 1 11 n j pj m i zip q )()2(180 1 1 1 n j pj m i ziz q 第四章根 軌 跡 法 例例4.4 單位單位正反饋正反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 ) 1( )( 1 0 ss K sG 繪制根軌跡。繪制根軌跡。

34、解解 1.開環(huán)極點(diǎn)：開環(huán)極點(diǎn)：s=0;s=- -1 實(shí)軸上的根軌跡：除實(shí)軸上的根軌跡：除(- -1，0)外外 2.漸近線：漸近線： j 0 1 -1 -1 180 0-2 2180 )2(180 mn q 負(fù)反饋 正反饋 負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡與正反饋系統(tǒng)的根軌跡具有一負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡與正反饋系統(tǒng)的根軌跡具有一 定的互補(bǔ)性定的互補(bǔ)性 第四章根 軌 跡 法 46 滯后系統(tǒng)的根軌跡滯后系統(tǒng)的根軌跡 滯后時(shí)間為滯后時(shí)間為的開環(huán)傳遞函數(shù)為的開環(huán)傳遞函數(shù)為 )()()()( 01 sGesHsGesG ss 閉環(huán)特征方程為閉環(huán)特征方程為 1)( 0 sGe s 令令s=+j，即，即 )(js ee 2 ,

35、 1 , 01)( )12()( 0 0 qeesGe qjsGj 第四章根 軌 跡 法 1 1 1 m j j n i i e zs ps K 2 , 1 , 0 ) 12()()( 11 qqpszs n i i m j j 相角條件相角條件 幅值條件幅值條件 第四章根 軌 跡 法 說(shuō)明：說(shuō)明： 1.滯后系統(tǒng)有無(wú)數(shù)條滯后系統(tǒng)有無(wú)數(shù)條根軌跡根軌跡，且平行于實(shí)軸。其中對(duì)系，且平行于實(shí)軸。其中對(duì)系 統(tǒng)性能影響最大的是實(shí)軸附近的根軌跡。統(tǒng)性能影響最大的是實(shí)軸附近的根軌跡。 2.根軌跡起點(diǎn)除開環(huán)極點(diǎn)外，還有許多無(wú)窮遠(yuǎn)的起點(diǎn)。根軌跡起點(diǎn)除開環(huán)極點(diǎn)外，還有許多無(wú)窮遠(yuǎn)的起點(diǎn)。 3.根軌跡終點(diǎn)除開環(huán)零點(diǎn)外，

36、還有許多無(wú)窮遠(yuǎn)的終點(diǎn)。根軌跡終點(diǎn)除開環(huán)零點(diǎn)外，還有許多無(wú)窮遠(yuǎn)的終點(diǎn)。 4.實(shí)軸上的根軌跡與常規(guī)根軌跡系統(tǒng)相同。因?qū)嵼S上的根軌跡與常規(guī)根軌跡系統(tǒng)相同。因=0 時(shí)，時(shí)， 相角條件相同。相角條件相同。 5.常規(guī)根軌跡漸近線的計(jì)算方法對(duì)滯后根軌跡不適用。常規(guī)根軌跡漸近線的計(jì)算方法對(duì)滯后根軌跡不適用。 6.分離點(diǎn)滿足：分離點(diǎn)滿足： 0 )()( 1 ds sHsGed s 第四章根 軌 跡 法 7.出射角、入射角，由滯后系統(tǒng)相角條件確定。出射角、入射角，由滯后系統(tǒng)相角條件確定。 8.與虛軸的交點(diǎn)只能令與虛軸的交點(diǎn)只能令s=j，代入特征方程求解，代入特征方程求解。勞斯。勞斯 判據(jù)法失效。判據(jù)法失效。 近似

37、處理近似處理 s1 1 ! 2 1 s1 1 22 s e s s1 )()( )( 1 0 sHsG sG 按下式用常規(guī)根軌跡的繪制方法可繪制出滯后系統(tǒng)按下式用常規(guī)根軌跡的繪制方法可繪制出滯后系統(tǒng) 的近似根軌跡的近似根軌跡 第四章根 軌 跡 法 例例4.5 單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 js s eK sG s , 1 )( 1 0 繪制根軌跡，并分析滯后環(huán)節(jié)對(duì)系統(tǒng)性能的影響。繪制根軌跡，并分析滯后環(huán)節(jié)對(duì)系統(tǒng)性能的影響。 解解 幅值條件和相角條件為幅值條件和相角條件為 s esK) 1( 1 2 , 1 , 0 ) 12( ) 1(qqs 實(shí)軸上（實(shí)軸上（0）的根軌跡

38、：）的根軌跡：s 1，滿足相角條件是根軌跡，滿足相角條件是根軌跡， 并且并且 s 和和s1（K10）為根軌跡起點(diǎn)。）為根軌跡起點(diǎn)。 s時(shí)，只要時(shí)，只要 ，3均滿足相角條件，為均滿足相角條件，為 無(wú)數(shù)條根軌跡的終點(diǎn)和漸近線。無(wú)數(shù)條根軌跡的終點(diǎn)和漸近線。 j 0 j 1 j2 -j 第四章根 軌 跡 法 s時(shí)，時(shí)，0，2 ，4 。均滿足。均滿足 相角條件，為無(wú)數(shù)條根軌跡的起點(diǎn)和漸近線。相角條件，為無(wú)數(shù)條根軌跡的起點(diǎn)和漸近線。 分離點(diǎn)：分離點(diǎn)： 0 ) 1( )2( )( 2 1 0 s esK sG s 與虛軸的交點(diǎn)：令與虛軸的交點(diǎn)：令s=j代入特征方程代入特征方程 1 1 1 j eK j )1

39、2()( 2 1 1 1 qjarctgj ee K j 0 j 1 j2 -j j3 K1 0 K1 K1=8 K1=2.26 0 K1 K1=2.26 s=- -2， 135. 0) 1( 2 1 s s esK 第四章根 軌 跡 法 j 0 j 1 j2 -j j3 K1 0 K1 K1=8 K1=2.26 0 K1 K1=2.26 性能分析：性能分析： 1.滯后的加入使系統(tǒng)穩(wěn)定性變差。滯后的加入使系統(tǒng)穩(wěn)定性變差。 K1 2.26 系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)不穩(wěn)定。 2.主導(dǎo)極點(diǎn)在主根軌跡上。主導(dǎo)極點(diǎn)在主根軌跡上。 3.K10.135系統(tǒng)出現(xiàn)超調(diào)。系統(tǒng)出現(xiàn)超調(diào)。 解得：解得： 2.03，K1=2.

40、26； 7. 98，K1=8 k,w=solve(w+atan(w)=pi,k=sqrt(w*w+1) 第四章根 軌 跡 法 47根軌跡的應(yīng)用根軌跡的應(yīng)用 繪制出根軌跡后，可用根軌跡進(jìn)行系統(tǒng)的分析、校正和設(shè)繪制出根軌跡后，可用根軌跡進(jìn)行系統(tǒng)的分析、校正和設(shè) 計(jì)。計(jì)。 一、用根軌跡分析系統(tǒng)性能一、用根軌跡分析系統(tǒng)性能 1. 穩(wěn)定性穩(wěn)定性 根軌跡在復(fù)平面的左半平面時(shí)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，根軌跡在復(fù)平面的左半平面時(shí)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，反之，系統(tǒng)反之，系統(tǒng) 就不穩(wěn)定。就不穩(wěn)定。閉環(huán)極點(diǎn)離虛軸越遠(yuǎn)，穩(wěn)定裕量越大。閉環(huán)極點(diǎn)離虛軸越遠(yuǎn)，穩(wěn)定裕量越大。 第四章根 軌 跡 法 2.2.暫態(tài)性能暫態(tài)性能 用幅值條件找出指定K1

41、的閉環(huán)極點(diǎn)，根據(jù)第三章時(shí)域分析的 方法，求出主導(dǎo)極點(diǎn)，進(jìn)行暫態(tài)性能分析。 a.a.主導(dǎo)極點(diǎn)在實(shí)軸上，則系統(tǒng)很平穩(wěn)無(wú)超調(diào)。主導(dǎo)極點(diǎn)在實(shí)軸上，則系統(tǒng)很平穩(wěn)無(wú)超調(diào)。 b.b.主導(dǎo)極點(diǎn)在復(fù)數(shù)區(qū)域，則系統(tǒng)出現(xiàn)振蕩，且阻尼角越大，振主導(dǎo)極點(diǎn)在復(fù)數(shù)區(qū)域，則系統(tǒng)出現(xiàn)振蕩，且阻尼角越大，振 蕩越利害。蕩越利害。 c.c.主導(dǎo)極點(diǎn)離虛軸越近，系統(tǒng)快速性越差。主導(dǎo)極點(diǎn)離虛軸越近，系統(tǒng)快速性越差。 d.d.若主導(dǎo)位置確定，從根軌跡圖中量出若主導(dǎo)位置確定，從根軌跡圖中量出、nn、等，可定等，可定 量計(jì)算系統(tǒng)暫態(tài)性能指標(biāo)。量計(jì)算系統(tǒng)暫態(tài)性能指標(biāo)。 第四章根 軌 跡 法 j 0 加偶極子 3.穩(wěn)態(tài)性能穩(wěn)態(tài)性能 在坐標(biāo)原點(diǎn)處

42、的開環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)越多，穩(wěn)態(tài)精度越高。在坐標(biāo)原點(diǎn)處的開環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)越多，穩(wěn)態(tài)精度越高。 二、用根軌跡設(shè)計(jì)系統(tǒng)二、用根軌跡設(shè)計(jì)系統(tǒng) 增加開環(huán)零、極點(diǎn)，改變根軌跡走向。增加開環(huán)零、極點(diǎn)，改變根軌跡走向。 怎么加？根據(jù)根軌跡的不同，而有所不同。怎么加？根據(jù)根軌跡的不同，而有所不同。 j 0 加開環(huán)零點(diǎn) 如圖，如圖，加開環(huán)零點(diǎn)加開環(huán)零點(diǎn)（綠線）。穩(wěn)定性變好（綠線）。穩(wěn)定性變好 如圖，如圖，加偶極子加偶極子（綠線）。暫態(tài)性能不變（綠線）。暫態(tài)性能不變 穩(wěn)態(tài)精度提高。穩(wěn)態(tài)精度提高。 05. 0 1 . 0 )( s s sGc增加的零、極點(diǎn)： 第四章根 軌 跡 法 例例4-64-6 單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為單

43、位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 繪制根軌跡繪制根軌跡, ,分析系統(tǒng)性能分析系統(tǒng)性能, ,求求 K1 1= 4 = 4 時(shí)系統(tǒng)的暫態(tài)性能指標(biāo)。時(shí)系統(tǒng)的暫態(tài)性能指標(biāo)。 解解 運(yùn)行仿真軟件，輸入開環(huán)傳遞函數(shù)，繪出根軌跡如圖。運(yùn)行仿真軟件，輸入開環(huán)傳遞函數(shù)，繪出根軌跡如圖。 )22)(3( )( 2 1 0 ssss K sG 性能分析：性能分析： 1. 根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為j1.1，交點(diǎn)處，交點(diǎn)處 K1 = 8.2，即，即K1 8. 2時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定。時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定。 rlocus(tf(1,1 3 0)*tf(1,1 2 2);axis(-3.2,1,-2 2) 第四章根 軌 跡 法 2

44、.2.分離點(diǎn)為分離點(diǎn)為2.32.3，此處的，此處的K K1 1 = 4.33= 4.33，因此，因此，當(dāng)當(dāng)K K1 14.334.33后，后， 系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為兩對(duì)共軛復(fù)數(shù)，系統(tǒng)出現(xiàn)超調(diào)，系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為兩對(duì)共軛復(fù)數(shù)，系統(tǒng)出現(xiàn)超調(diào)，且且K K1 1越大，越大， 超調(diào)量越大。超調(diào)量越大。 3.3.當(dāng)當(dāng)K K1 14.334.33后，系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)和兩個(gè)負(fù)實(shí)后，系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)和兩個(gè)負(fù)實(shí) 數(shù)，數(shù)，當(dāng)當(dāng)K K1 1遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于4.334.33，則主導(dǎo)極點(diǎn)為負(fù)實(shí)數(shù)，系統(tǒng)無(wú)超調(diào)，則主導(dǎo)極點(diǎn)為負(fù)實(shí)數(shù)，系統(tǒng)無(wú)超調(diào)， 但是調(diào)節(jié)時(shí)間但是調(diào)節(jié)時(shí)間3/3/（主導(dǎo)極點(diǎn)到虛軸的距離），因?yàn)?/p>

45、主導(dǎo)極點(diǎn)到虛軸的距離），因?yàn)?很小，所以調(diào)節(jié)時(shí)間很長(zhǎng)。很小，所以調(diào)節(jié)時(shí)間很長(zhǎng)。 4.4.在在K K1 12 2的附近，系統(tǒng)近似為三階系統(tǒng)，性能指標(biāo)較難求的附近，系統(tǒng)近似為三階系統(tǒng)，性能指標(biāo)較難求。 第四章根 軌 跡 法 5.5.用幅值條件試探得用幅值條件試探得s = -2和和s = -2.52是系統(tǒng)是系統(tǒng)K1=4的的兩兩 個(gè)實(shí)數(shù)閉環(huán)極點(diǎn)。個(gè)實(shí)數(shù)閉環(huán)極點(diǎn)。 002. 001. 0 98. 357. 379. 0 458. 379. 0 42. 217. 248. 0 46 96. 2 48. 0 04. 552. 4 79. 0 48. 0 4 6 8 5 04. 552. 4 2 2 23 2

46、3 234 2 2342 s ss ss sss sss sss ss ssssss 第四章根 軌 跡 法 解得解得兩個(gè)復(fù)數(shù)閉環(huán)極點(diǎn)為兩個(gè)復(fù)數(shù)閉環(huán)極點(diǎn)為S3、4= -0.24j0.86 。由于由于S3、4距虛距虛 軸的距離遠(yuǎn)小于軸的距離遠(yuǎn)小于S1、2距虛軸的距離，距虛軸的距離，所以所以S3、4是系統(tǒng)的主導(dǎo)極是系統(tǒng)的主導(dǎo)極 點(diǎn)。點(diǎn)。由由 解出解出n0.890.89，0.2680.268，用二，用二 階系統(tǒng)指標(biāo)計(jì)算公式算得：階系統(tǒng)指標(biāo)計(jì)算公式算得： =41.7%，ts12.5s。 用仿真軟件得系統(tǒng)的準(zhǔn)確階躍響應(yīng)曲用仿真軟件得系統(tǒng)的準(zhǔn)確階躍響應(yīng)曲 線如圖。準(zhǔn)確的性能指標(biāo)為：線如圖。準(zhǔn)確的性能指標(biāo)為：

47、 =31.2%，ts12.4s 估算值還是比較準(zhǔn)確。估算值還是比較準(zhǔn)確。 79. 0 48. 0 2 ss 第四章根 軌 跡 法 48 MATLAB繪制根軌跡繪制根軌跡 在在MATLAB中提供了繪制系統(tǒng)根軌跡的中提供了繪制系統(tǒng)根軌跡的rlocus(Go)函數(shù)。函數(shù)。 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的形式已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的形式, 利用此函數(shù)可以方便地繪制出利用此函數(shù)可以方便地繪制出 系統(tǒng)的根軌跡。系統(tǒng)的根軌跡。 例例 4-7 設(shè)一單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下設(shè)一單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下: ) 3)(2( ) 1( )( 1 0 sss sK sG 試?yán)L制該系統(tǒng)的根軌跡。試?yán)L制該系統(tǒng)的根軌跡

48、。 第四章根 軌 跡 法 解解 使用使用MATLAB繪制此根軌跡的程序如下繪制此根軌跡的程序如下: s=tf(s); G= (s+1) /s*(s+2)*(s+3); rlocus(G) 指令指令 r=rlocus(G,K1)，給出指定，給出指定K1的所有特征根的所有特征根 指令指令 rlocus(G,K1)，繪出指定，繪出指定K1的所有特征根的所有特征根 指令指令 rlocfind(G)，標(biāo)出指定點(diǎn)對(duì)應(yīng)的所有閉環(huán)極點(diǎn)，標(biāo)出指定點(diǎn)對(duì)應(yīng)的所有閉環(huán)極點(diǎn)， 給出指定點(diǎn)的給出指定點(diǎn)的K1和閉環(huán)極點(diǎn)值。和閉環(huán)極點(diǎn)值。 第四章根 軌 跡 法 8 6 4 2 0 2 4 6 8 3 2.5 2 1.5 1 0.50 Re Im 第四章根 軌 跡 法 例例 4-8 設(shè)單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 )