第6章 數(shù)字控制器直接設(shè)計(jì)1

1、第六章 數(shù)字控制器的直接設(shè)計(jì) 方法之一 內(nèi)容提要 n概述 n參數(shù)優(yōu)化的低階控制算法 n最少拍隨動(dòng)系統(tǒng)的設(shè)計(jì) n最少拍無(wú)波紋隨動(dòng)系統(tǒng)的設(shè)計(jì) n慣性因子法 n非最少的有限拍控制 n大林算法 n小結(jié) 概述 n數(shù)字PID控制算法，是基于模擬系統(tǒng)PID調(diào)節(jié)器的設(shè)計(jì)，并 在計(jì)算機(jī)上數(shù)字模擬實(shí)現(xiàn)的，這種方法稱為模擬化設(shè)計(jì)。 該方法對(duì)一般的調(diào)節(jié)系統(tǒng)是完全可行的，但它要求較小的 采樣周期，只能實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單的控制算法 n由于控制任務(wù)需要，當(dāng)所選擇的采樣周期較大或?qū)刂瀑|(zhì) 量要求較高時(shí)，就需要從被控對(duì)象的特性出發(fā)，直接根據(jù) 采樣理論來(lái)設(shè)計(jì)數(shù)字控制器，這種方法稱為直接數(shù)字設(shè)計(jì)。 它完全根據(jù)采樣系統(tǒng)的特點(diǎn)進(jìn)行分析與綜合，并

2、導(dǎo)出相應(yīng) 的控制規(guī)律，比模擬化設(shè)計(jì)更具有一般性。無(wú)論采樣周期 大小，直接數(shù)字設(shè)計(jì)都適用 概述（2） n采樣系統(tǒng)的Z變換 Z變換的定義 對(duì)連續(xù)信號(hào)x(t)進(jìn)行周期為T(mén)的采樣，可以得到采樣信號(hào) x*(t)，它也可以看作是連續(xù)信號(hào)對(duì)脈沖系列的調(diào)制，即 對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換，可以得到 引入記號(hào) 由上式可以定義一種新的變換 它稱為采樣信號(hào)的Z變換 0 * )()()2()2()()()()0()( i iTtiTxTtTxTtTxtxtx 0 * )()( i iTs eiTxtxL Ts eZ 0 * )()()( i i ziTxtxZzX 概述（3） Z傳遞函數(shù) 設(shè)離散系統(tǒng)的輸入脈沖系列為xi，輸出

3、脈沖系列為 yi，它們的Z變換分別為X(z)和Y(z)，則可定義該離散 系統(tǒng)的Z傳遞函數(shù)為 它表征了離散系統(tǒng)對(duì)采樣信號(hào)的輸入輸出傳遞性能 )( )( )( zX zY zG 概述（4） Z傳遞函數(shù)的求解步驟（已知系統(tǒng)的連續(xù)傳遞函數(shù)G(s)） 根據(jù)G(s)求出系統(tǒng)脈沖響應(yīng)函數(shù) 確定系統(tǒng)脈沖響應(yīng)函數(shù)在采樣時(shí)刻 的值 根據(jù)Z變換定義得到系統(tǒng)的Z傳遞函數(shù) )()( 1 sGLtg i g iTt 0 )( i i iz gzG 概述（5） Z變換的性質(zhì) 線性性 延遲定理 超前定理 阻尼定理 微分定理 初值定理 終值定理 卷積定理 )()()()(zbGzaFtbgtafZ )()(zFzkTtfZ k

4、 1 0 ()( )() k ki i Z f tkTzF zf iT z )()( aTat zeFetfZ )()()()( 0 zGzFiTgiTkTfZ k i 0 lim()lim( ) kz f kTF z )() 1(lim)(lim 1 zFzkTf zk z zF TzttfZ d )(d )( 概述（6） 開(kāi)環(huán)和閉環(huán)系統(tǒng)的Z傳遞函數(shù)：注意采樣開(kāi)關(guān)的位置 概述（7） Z傳遞函數(shù)的計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn) 數(shù)字調(diào)節(jié)器的傳遞函數(shù)D(z)，一般可以寫(xiě)成如下形式： 為保證調(diào)節(jié)器的物理可實(shí)現(xiàn)性，要求 ， ， 通常取 1 01 1 01 ( ) ( ) ( ) m m l l aa za zU z D

5、 z E zbb zb z 0 0b 0 0,0aor 0 1b 概述（8） 直接數(shù)字實(shí)現(xiàn) 直接對(duì)Z傳遞函數(shù)取Z反變換(推導(dǎo))，即： 從而得到現(xiàn)時(shí)控制量 u(k) 的計(jì)算式 引入中間函數(shù) ，則 因此可得到算法 0101 ( )(1)()( )(1)() lm b u kbu kbu kla e ka e ka u km 01 0 1 ( )()() ml ij ij u kae kib u kj b 0 ( )( ) l i i i C zE zb z 0 ( )( ) m i i i U zC za z 1 0 0 1 ( )( )() ( )() l i i m i i c ke kbc

6、ki b u kac ki Z反變換推導(dǎo)? 11 0101 11 0101 0 1(1) 010 () ( )() ( ) ( )( )( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )(1)(1), ( )0,0, lm lm lm lm k k kkk kkk bb zb zU zaa za zE z bU zb z U zb z U za E za z E za zE z U zZ uu k z z U zu k zu kzu kzu kk 1 01 1 01 ( ) ( ) ( ) m m l l aa za zU z D z E zbb zb z 01 0 01 0 0101

7、 ( )(1)() ( )(1)() ( )(1)()( )(1)() k l k k m k lm b u kbu kbu kl z a e ka e ka e km z b u kbu kbu kla e ka e ka e km 1 00 ( )( )( ( ),( )(1)( (1), kk kk U zu k zZ u kz U zu kzZ u k 概述（9） 串接數(shù)字實(shí)現(xiàn) 將Z傳遞函數(shù)分解成一系列串接的離散傳遞環(huán)節(jié) 其中，每個(gè)環(huán)節(jié) 的Z傳遞函數(shù)都為簡(jiǎn)單的一階 或二階有理分式形式，從而可以用直接方法實(shí)現(xiàn)， 而整個(gè)計(jì)算可通過(guò)這些子環(huán)節(jié)串接而成(簡(jiǎn)單裝置) 1 ( )( ) p k k

8、 D zD z ( ) k D z 概述（10） 并行數(shù)字實(shí)現(xiàn) 將Z傳遞函數(shù)分解成一系列并聯(lián)的離散傳遞環(huán)節(jié) 其中，每個(gè)環(huán)節(jié) 的Z傳遞函數(shù)為常數(shù)、純時(shí)延或 易于用直接方法實(shí)現(xiàn)的簡(jiǎn)單的一階或二階形式，控制量 的計(jì)算可由他們給出分分量求和得到 1 ( )( ) p k k D zD z ( ) k D z 概述 Z-transfer Examples 概述 Zero Hold nZero Hold 零階保持器 模型建立方法 n激勵(lì)輸入(t) n響應(yīng)輸出 1(t)- 1(t-T) ns-變換, (1-e-Ts)/s e* Gh(s)e* 概述 Computer Control System 符號(hào)Um:

9、 manoeuvre Y c: controlled value 1 11 ( )(1) ( ) Ts pp e ZGszZGs ss Control System Example 1/13 Control System Example 2/ 1 11 ( )(1)( ) Ts pp e ZGszZGs ss Discrete Transfer Functions 3/ 1 2 1 1 1 2 11 ()(1) () (1) (1) Ts p p p k e ZkzZ sss Tz kz z Closed-Loop System Transfer Function 4/ Input 5/ Re

10、sponse to Given Command Input 6/ Transfer Function Reconstruction 7/ Response to Given Command Input 8/ Response to Given Command Input 9/ Response to Given Command Input 10/ Response to Given Command Input 11/ Response to Given Command Input 12/ Response to Given Command Input 13/ 穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)響應(yīng)的關(guān)系 1/20

11、采樣系統(tǒng)的極點(diǎn)與穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)響應(yīng)的關(guān)系 如果采樣系統(tǒng)Z傳遞函數(shù) G(z) 的極點(diǎn) zi 在Z平面的 單位圓內(nèi)，則采樣系統(tǒng)是穩(wěn)定的，對(duì)于有界的輸入， 系統(tǒng)的輸出收斂于某一有限值；如果某一極點(diǎn) zj 在單 位圓上，則系統(tǒng)處于穩(wěn)定的邊緣，對(duì)于有界的輸入， 系統(tǒng)的輸出持續(xù)地等幅振蕩；如果 G(z) 的極點(diǎn)至少有 一個(gè)在單位圓外，則采樣系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，對(duì)于有界 的輸入，系統(tǒng)的輸出發(fā)散 Control System S 1 11 ( )(1) ( ) Ts pp e ZGszZGs ss Characteristic Equation nRoots of Characteristic Equation n

12、Roots may be real nRoots may be complex conjugate pairs Roots affect of stability nStability can be assessed by examining the roots of the characteristic equation Unit Impulse Response Unit Impulse Response Unit Impulse Response Unit Impulse Response Unit Impulse Response Unit Impulse Response Unit

13、Impulse Response Unit Impulse Response 穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)響應(yīng)的關(guān)系 (2) 在采樣系統(tǒng)穩(wěn)定的情況下，對(duì)應(yīng)于單位圓內(nèi)或單位圓上 不同位置的極點(diǎn)，對(duì)同一輸入將有不同的動(dòng)態(tài)響應(yīng) Example : First-Order System Example : First-Order System Stability Analysis Stability Analysis Example : Second-Order System Stability Analysis Stability Analysis 數(shù)字控制器的直接設(shè)計(jì)方法 n數(shù)字控制器的直接設(shè)計(jì)方法 參數(shù)優(yōu)化方法

14、：首先確定D(z)的結(jié)構(gòu)，然后通過(guò)某一優(yōu) 化指標(biāo)求出D(z)中的參數(shù) 與對(duì)象結(jié)構(gòu)有關(guān)的設(shè)計(jì)：按照某一期望的閉環(huán)響應(yīng)(z) 或期望的誤差響應(yīng)等來(lái)設(shè)計(jì)D(z) ，D(z)的結(jié)構(gòu)依賴于對(duì)象 G(z)的結(jié)構(gòu) 參數(shù)優(yōu)化的低階控制算法 nD(z)結(jié)構(gòu)的確定 帶有零階保持器的對(duì)象的Z傳遞函數(shù)為： 所要直接設(shè)計(jì)的線性數(shù)字控制器的一般形式假定為： 從在線運(yùn)算的要求出發(fā)，通常期望數(shù)字控制器有較低 的階數(shù)，其中最簡(jiǎn)單的形式是令 ，這時(shí) 有 ，相當(dāng)于一比例控制作用 1 01 1 01 ( ) ( ) ( ) n d n n n qq zq zQ z G zz P zpp zp z 1 01 1 01 ( ) ( )

15、( ) m m l l aa za zA z D z B zbb zb z 0lm 0 ( )D za 參數(shù)優(yōu)化的低階控制算法（2） 如果(僅)要消除靜差，即在期望值發(fā)生階躍變化 （ ）時(shí)，偏差 ，即由終值定理 則有 ，即數(shù)字控制器D(z)有一個(gè)極點(diǎn)，因此，在 消除靜差的要求下，數(shù)字控制器的最簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)為 當(dāng) 時(shí)，得到一階控制器 其控制算法為 當(dāng) 時(shí)，得到二階控制器 其控制算法為 ( ) 1 z R z z 0e 111 ( )( )( ) lim(1)( )lim(1)lim 1( )( )( )( )( )( ) zzz R zP z B z ezE zzz D z G zP z B zQ z A z (1)0B 1 01 1 ( ) ( ) ( )1 m m aa za zA z D z B zz 1m 2m 1 01 1 ( ) 1 aa z D z z 01 ( )(1)( )(1)u ku ka e ka e k 12 012 1 ( ) 1 aa za z D z z 012 ( )(1)( )(1)(2)u ku ka e kae ka e k 1 1 ( ) 1 R z z 參數(shù)優(yōu)化的低階控