滿秩矩陣及矩陣滿秩分解畢業(yè)論文

1、滿秩矩陣及矩陣滿秩分解引言矩陣是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的基本概念,是代數(shù)學(xué)的一個(gè)主要研究對(duì)象,也是數(shù)學(xué)研究和應(yīng)用的一個(gè)重要工具.“矩陣”這個(gè)詞是由西爾維斯特首先使用的,他是為了將數(shù)字的矩形陣列區(qū)別于行列式而發(fā)明了這個(gè)述語(yǔ).而實(shí)際上,矩陣這個(gè)課題在誕生之前就已經(jīng)發(fā)展的很好了. 一 矩陣的秩定義1.11 一個(gè)矩陣中不等于零的子式的最大階數(shù)叫做這個(gè)矩陣的秩.記作. 利用定義1.1計(jì)算矩陣的秩運(yùn)算量很大,故而給出矩陣秩的第二定義.定義1.22 矩陣的秩等于的行秩,也等于的列秩,即行秩等于列秩.行秩指矩陣行向量組的秩,列秩指矩陣列向量組的秩.定理1.1 定義1.1和定義1.2等價(jià).證明 設(shè)的秩為,則有不等于零

2、的階子式.不妨設(shè)位于的左上角,設(shè)的前個(gè)列向量為.設(shè),使得考慮線性方程組因?yàn)椋?）的系數(shù)矩陣 中有一個(gè)不等于零的階子式,所以的秩為,從而線性方程組的（2）只有零解.因此滿足（1）式的,也即證明了線性無(wú)關(guān).設(shè)是的任意個(gè)列向量.考慮線性方程組 因?yàn)榉匠探M(3)的系數(shù)矩陣的秩小于,所以（3）有非零解,也即有.二 滿秩矩陣2.1滿秩矩陣的概念定義2.1.1 設(shè)上的一個(gè)矩陣,若,則稱為滿秩矩陣.定義2.1.2 設(shè)上的一個(gè)矩陣,若,則稱為行滿秩矩陣;若,則稱為列滿秩矩陣.命題2.1.1 若上的一個(gè)滿秩矩陣,則.命題2.1.2 若矩陣的個(gè)行向量線性無(wú)關(guān),則稱此矩陣為行滿秩矩陣;若矩陣的個(gè)列向量線性無(wú)關(guān),則稱此

3、矩陣為列滿秩矩陣.例 2.1.1 ,則的三個(gè)列向量可知線性無(wú)關(guān).由命題2.1.2可知,為列滿秩矩陣,且.而的三個(gè)行向量易知線性無(wú)關(guān). 由命題2.1.2可知,為行滿秩矩陣,且.2.2滿秩矩陣的性質(zhì)性質(zhì)2.2.1 設(shè)上的一個(gè)矩陣,若為行滿秩矩陣,則;若為列滿秩矩陣,則.證法 若為行滿秩矩陣,則,即存在的一個(gè)不為的階子式.當(dāng),則不存在不為的階子式,故.同理可證,若為列滿秩矩陣,則.證法 若為行滿秩矩陣,則,由命題2.1.2知,有個(gè)行向量線性無(wú)關(guān);當(dāng),則有個(gè)列向量線性無(wú)關(guān).由此可得的行秩為,列秩為.但這與“的行秩等于的列秩”矛盾,因此,即.同理可證,若為列滿秩矩陣,則.引理2.2.13 設(shè)那么:其中稱

4、為“sylvester不等式”.性質(zhì)2.2.2 設(shè)若為列滿秩矩陣,則;若為行滿秩矩陣,則.證明 若為列滿秩矩陣,則,由“sylvester不等式”知,再由引理2.2.1知,從而.同理可證,若為行滿秩矩陣,則. 引理2.2.2 設(shè),則存在數(shù)域上非零的矩陣,使得的充分必要條件為.其逆否命題可表述為設(shè),則存在數(shù)域上非零的矩陣,使得的充分必要條件為 定理2.2.1 設(shè)且,若,則為列滿秩矩陣. 證明 由于,故,從而,由引理2.2.2的逆否命題知,又,故,從而,即為列滿秩矩陣. 定理2.2.2 設(shè)且,若,則為行滿秩矩陣. 證明 由于,故,從而,由引理2.2.2的逆否命題知,又,故,從而,即為行滿秩矩陣.引

5、理2.2.31 設(shè)為矩陣,即通過(guò)行初等變換和第一種列初等變換能把化成如下形式 進(jìn)而再利用一系列第三種列初等變換能把化成如下形式 這里性質(zhì)2.2.3 若為的列滿秩矩陣,則存在行列的行滿秩矩陣,使得;若為的行滿秩矩陣,則存在行列的列滿秩矩陣,使得. 證明 因?yàn)闉榱袧M秩矩陣,顯然,由引理2.2.3知,則存在可逆的階方陣將在行和行之間劃分成塊則為矩陣, 為矩陣,則知.又由于,而知,故為行滿秩矩陣.同理可證,對(duì)于的行滿秩矩陣,必存在行列的列滿秩矩陣,使得性質(zhì)2.2.4 設(shè),且上的一個(gè)列滿秩矩陣,若,則左消去律成立即.證明 因?yàn)?由,則即設(shè) , , 從而有 ,故有 由于為列滿秩矩陣,線性無(wú)關(guān),從而即.性質(zhì)

6、2.2.5 設(shè),且上的一個(gè)行滿秩矩陣,若,則右消去律成立即.證明 因?yàn)?又為行滿秩矩陣,由性質(zhì)2.2.3知必存在一列滿秩矩陣,使得;由條件知,給等式兩邊同乘得到. 定理2.2.3 設(shè)為矩陣, ,則 (1) 存在行列的列滿秩矩陣和行列的行滿秩矩陣,使得.(2) 若,其中與為行列的列滿秩矩陣,與為行列的行滿秩矩陣,則必存在非奇異矩陣使得.證明 （1）由于,當(dāng)時(shí),是的一個(gè)滿秩分解;當(dāng)時(shí),是的一個(gè)滿秩分解;當(dāng)時(shí),我們知道,可通過(guò)行初等變換將化形式,也即存在階可逆矩陣和階可逆矩陣有令則 （2）因?yàn)槭切辛械男袧M秩矩陣,所以由性質(zhì)2.2.3知,存在行列的列滿秩矩陣,使得,于是在,兩邊右乘,有.令知是階方陣,

7、下證可逆.由于是行列的列滿秩矩陣,所以存在行列的行滿秩矩陣,使,從而,所以是階可逆矩陣.又因故而三 矩陣的滿秩分解3.1矩陣滿秩分解的概念定義3.1.14 設(shè),若存在的列滿秩矩陣和的行滿秩矩陣,使得,則稱此分解為矩陣的滿秩分解.推論3.1.1 任意矩陣都存在滿秩分解.根據(jù)定理2.2.3顯然易證.3.2初等變換法基于定理2.2.3,我們可以得知,對(duì)任意矩陣都能利用初等變換法進(jìn)行滿秩分解.初等變換法包括行初等變換和列初等變換.行初等變換有三種變換形式,1交換兩行記作,表示將第行與第行交換;2某一行乘一非零常數(shù)記作,表示給第行乘一非零常數(shù);3某一行乘一非零常數(shù)加到另一行記作,表示給第行乘一非零常數(shù)加

8、到第行.對(duì)應(yīng)的初等矩陣為1 交換兩行2 第行乘一非零常數(shù)3 第行乘一非零常數(shù)加到第行列初等變換也有三種變換形式,1變換兩列記作,表示將第列與第列交換;2給某一列乘一非零常數(shù)記作,表示給第列乘一非零常數(shù);3給某一列乘一非零常數(shù)加到另一列記作,表示給第列乘一非零常數(shù)加到第列.實(shí)際上,對(duì)任意一個(gè)矩陣,進(jìn)行一系列相應(yīng)行或列的初等變換后都可以化成 形式;另外,給矩陣左乘或右乘若干個(gè)對(duì)應(yīng)初等矩陣也可以將其化成形式.例3.2.1 求矩陣的滿秩分解.解則存在3階可逆矩陣存在4階可逆矩陣使得 其中 其中 進(jìn)而得,其中為列滿秩矩陣,為行滿秩矩陣.3.3 一類特殊矩陣的滿秩分解定義3.3.14 設(shè),矩陣的行轉(zhuǎn)置矩陣

9、與列轉(zhuǎn)置矩陣分別為 若則稱為行（列）對(duì)稱矩陣.定理3.3.15 設(shè),則,其中表示次對(duì)角線元素全為1,其余元素全為0的階方陣; 表示次對(duì)角線元素全為1,其余元素全為0的階方陣.證明 將矩陣按行、列分塊為 則行對(duì)稱矩陣只有兩種類型 1當(dāng)行對(duì)稱矩陣行數(shù)為偶數(shù)行時(shí),可表示為;2當(dāng)行對(duì)稱矩陣行數(shù)為奇數(shù)行時(shí),可表示為其中，為次對(duì)角矩陣.列對(duì)稱矩陣也有兩種類型 1當(dāng)列對(duì)稱矩陣列數(shù)為偶數(shù)列時(shí),可表示為2當(dāng)列對(duì)稱矩陣列數(shù)為奇數(shù)列時(shí),可表示為其中定理3.3.2（行對(duì)稱矩陣分解定理）設(shè)的滿秩分解為則 行對(duì)稱矩陣的滿秩分解為 行對(duì)稱矩陣的滿秩分解為證明 由條件知 使得由條件知待添加的隱藏文字內(nèi)容2,使 定理3.3.3

10、（列對(duì)稱矩陣分解定理）設(shè)的滿秩分解為,則 列對(duì)稱矩陣的滿秩分解為 列對(duì)稱矩陣的滿秩分解為證明 由條件知 由條件知 使得 四 總結(jié)首先,本文通過(guò)導(dǎo)入矩陣的秩,引出一類特殊矩陣滿秩矩陣,并深入研究了它的一些重要性質(zhì);特別地,給出了這些性質(zhì)的詳細(xì)證明以及強(qiáng)調(diào)了它們之間的聯(lián)系.這樣加深了我們對(duì)滿秩矩陣的了解.其次,提出矩陣的滿秩分解,重點(diǎn)介紹了一種矩陣滿秩分解的方法初等變換法,并通過(guò)舉例對(duì)其進(jìn)行了強(qiáng)化.這樣幫助我們掌握了矩陣的滿秩分解.最后,強(qiáng)調(diào)一類特殊矩陣滿秩分解的形式,并對(duì)其展開(kāi)了深入探討.這部分作為對(duì)一般矩陣滿秩分解內(nèi)容的補(bǔ)充,有效地提高了我們分析矩陣滿秩分解問(wèn)題的能力.致謝本論文是在邵海琴老師

11、的悉心指導(dǎo)下完成的,感謝邵老師對(duì)我的辛勤培育.從論文的立題到論文的撰寫整個(gè)過(guò)程無(wú)不浸透著老師的心血,她廣博的學(xué)識(shí),嚴(yán)肅的科學(xué)態(tài)度，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)精神,靈活的思維方式,耐心細(xì)致的言傳身教深深感染激勵(lì)著我,將使我終身受益.導(dǎo)師不但在學(xué)習(xí)上給予我耐心細(xì)致的指導(dǎo),在生活中也給了我莫大的關(guān)懷,這份師恩我將終身難忘.同時(shí),我要感謝我們學(xué)院給我們授課的各位老師,正是由于他們的傳道、授業(yè)、解惑,讓我學(xué)到了專業(yè)知識(shí),讓我的大學(xué)生活豐富多姿. 最后,感謝數(shù)應(yīng)06四班的同學(xué)和我的舍友給予我的幫助.我為自己能夠在這樣一個(gè)溫馨和諧的班級(jí)體中學(xué)習(xí)生活,深感愉快和幸福. 參考文獻(xiàn) 劉仲奎,楊永保.高等代數(shù)m. 北京:高教出版社,2005:74-75,111-112. 王萼芳,石名生.高等代數(shù)（第三版）