版本3-理論力學(xué)2_3—平面匯交力系與平面力偶系1

1、 2.1 平面匯交力系合成與平衡的幾何法 2.1.1 平面匯交力系合成的幾何法、力多邊形法則 F3 F2 F1 F4 A F1 F2 F3 F4 FR a b cd e ab c d e F1 F2 F4 F3 FR 各力矢與合力矢構(gòu)成的多邊形稱為力多邊形。 用力多邊形求合力的作圖規(guī)則稱為力的多邊形法則。 力多邊形中表示合力矢量的邊稱為力多邊形的封閉邊。 2.1.1 平面匯交力系合成的幾何法、力多邊形法則 結(jié)論：平面匯交力系可簡(jiǎn)化為一合力，其 合力的大小與方向等于各分力的矢量和 (幾何和)，合力的作用線通過匯交點(diǎn)。 用 矢量式表示為： R12n FFFFF 如果一力與某一力系等效，則此力稱為該

2、 力系的合力。 在平衡的情形下，力多邊形中最后一力的 終點(diǎn)與第一力的起點(diǎn)重合，此時(shí)的力多邊形稱 為封閉的力多邊形。于是，平面匯交力系平衡 的必要與充分條件是：該力系的力多邊形自行 封閉，這是平衡的幾何條件。 0i F 2.1.2 平面匯交力系平衡的幾何條件 平面匯交力系平衡的必要與充分條件是： 該力系的合力等于零。用矢量式表示為： 例例1 已知壓路機(jī)碾子重已知壓路機(jī)碾子重P=20kN, r=60cm, 欲拉過欲拉過h=8cm的障礙的障礙 物。求：在中心作用的水平力物。求：在中心作用的水平力F的大小和碾子對(duì)障礙物的壓力。的大小和碾子對(duì)障礙物的壓力。 選碾子為研究對(duì)象選碾子為研究對(duì)象 取分離體畫受

3、力圖取分離體畫受力圖 解：解： 當(dāng)碾子剛離地面時(shí)當(dāng)碾子剛離地面時(shí)NA=0,拉力拉力F最大最大, 這時(shí)拉力這時(shí)拉力F和自重及支反力和自重及支反力NB構(gòu)成一平衡力系。構(gòu)成一平衡力系。 由平衡的幾何條件，力多邊形封閉，故由平衡的幾何條件，力多邊形封閉，故 由作用力和反作用力的關(guān)系，碾子對(duì)障礙物的壓力等于由作用力和反作用力的關(guān)系，碾子對(duì)障礙物的壓力等于23.1kN23.1kN。 此題也可用力多邊形方法用比例尺去量。此題也可用力多邊形方法用比例尺去量。 F=11.5kN , NB=23.1kN 所以所以 577. 0 )( tg 22 hr hrr 又由幾何關(guān)系又由幾何關(guān)系： tgPF cos P N

4、B 2.2 平面匯交力系合成與平衡的解析法 2.2.1 力在坐標(biāo)軸上的投影 cos x FF cos y FF F x y Fx Fy O 2.2.2 力的正交分解與力的解析表達(dá)式 F Fx Fy x y i j xy xy FF FFFij O 2.2.3 合力投影定理 Rxxi FF 平面匯交力系的合力在某軸上的投影，等 于力系中各個(gè)分力在同一軸上投影的代數(shù)和。 Ryyi FF 2.2.4 平面匯交力系合成的解析法 2222 RRR ()() xyxiyi FFFFF R R R cos(, ) x F F Fi R R R cos(, ) y F F Fj 2.2.4 平面匯交力系的平衡

5、方程 22 R ()()0 xiyi FFF 0 xi F 0 yi F 平面匯交力系平衡的必要和充分條件是：各力在 作用面內(nèi)兩個(gè)任選的坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和等于零。 上式稱為平面匯交力系的平衡方程。 0 X 0 Y 045coscos 0 CDASR 045sinsin 0 CDA SRP 例例2 已知已知 P=2kN 求求SCD , RA 解解: : 1. 取取ABAB桿為研究對(duì)象桿為研究對(duì)象 2. 2. 畫畫ABAB的受力圖的受力圖 3. 3. 列平衡方程列平衡方程 由由EB=BC=0.4mEB=BC=0.4m， 3 1 2.1 4.0 tg AB EB 解得：解得： kN 24. 4 t

6、g45cos45sin 00 P SCDkN 16. 3 cos 45cos 0 CDA SR ； 4. 4. 解方程解方程 3.1平面力對(duì)點(diǎn)之矩的概念及計(jì)算 MO(F) Oh r F A B 3.1.1 力對(duì)點(diǎn)之矩（力矩） 力F與點(diǎn)O位于同一平面內(nèi)， 點(diǎn)O稱為矩心，點(diǎn)O到力的作用 線的垂直距離h稱為力臂。 力對(duì)對(duì)點(diǎn)之矩是一個(gè)代數(shù)量，它的絕對(duì)值等于力的大小與力 臂的乘積，它的正負(fù)可按下法確定：力使物體繞矩心逆時(shí)針轉(zhuǎn) 動(dòng)時(shí)為正，反之為負(fù)。 ()2 OOAB MFhA F 力矩的單位常用Nm或kNm。 3.1.2 合力矩定理與力矩的解析表達(dá)式 平面匯交力系的合力對(duì)于平面內(nèi)任一點(diǎn)之矩等于 所有各分力

7、對(duì)于該點(diǎn)之矩的代數(shù)和。 R 1 ()() n i OO i MM FF F Fx Fy x y O q x y A ()sincos O yx MxFyF xFyF qq F (1) 合力矩定理 (2) 力矩的解析表達(dá)式 例1 已知F1400 N, r60 mm, a20，求力Fn對(duì)O點(diǎn)的矩。 ()cos78.93 N m O MF hFr F rtt()()()()cos OOOO MMMMFr FFFF Fn Fr Ft Fn 3.2 平面力偶 由兩個(gè)大小相等、方向相反且不共線的平行力組成的力系， 稱為力偶，記為(F, F)。力偶的兩力之間的垂直距離d稱為力臂， 力偶所在的平面稱為力偶作用

8、面。 力偶不能合成為一個(gè)力，也不能用一個(gè)力來平衡。力和力 偶是靜力學(xué)的兩個(gè)基本要素。 3.2.1力偶與力偶矩 3.2.1 力偶與力偶矩 F F d D A B C 力偶是由兩個(gè)力組成的特殊力系，它的作用只改變物體的 轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)。力偶對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)用力偶矩來度量。平面力偶 對(duì)物體的作用效應(yīng)由以下兩個(gè)因素決定： (1) 力偶矩的大??； (2) 力偶在作用面內(nèi)的轉(zhuǎn)向。 平面力偶可視為代數(shù)量，以M 或M(F, F)表示， 2 ABC MFdA 平面力偶矩是一個(gè)代數(shù)量，其絕對(duì)值等于力的大小與力偶 臂的乘積，正負(fù)號(hào)表示力偶的轉(zhuǎn)向：一般以逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?反之則為負(fù)。力偶的單位與力矩相同。 3.2.2 同平

9、面內(nèi)力偶的等效定理定理 定理：在同平面內(nèi)的兩個(gè)力偶，如果力偶矩相等，轉(zhuǎn)向相同,則 兩力偶彼此等效。 推論： (1) 任一力偶可以在它的作用面內(nèi) 任意移轉(zhuǎn)，而不改變它對(duì)剛體的作 用。因此，力偶對(duì)剛體的作用與力 偶在其作用面內(nèi)的位置無關(guān)。 (2) 只要保持力偶矩的大小和力偶 的轉(zhuǎn)向不變，可以同時(shí)改變力偶中 力的大小和力偶臂的長(zhǎng)短，而不改 變力偶對(duì)剛體的作用。 3.2.2 同平面內(nèi)力偶的等效定理定理 力偶的臂和力的大小都不是力偶的特征量，只有 力偶矩才是力偶作用的唯一量度。今后常用如圖所示 的符號(hào)表示力偶。M為力偶的矩。 1113 MFdF d 2224 MF dF d M1(F1, F1)， M2

10、(F2, F2) 3434 FFFFFF 343412 ()MFdFF dF dF dMM 在同平面內(nèi)的任意幾個(gè)力偶可以合成為一個(gè)合力 偶，合力偶矩等于各個(gè)力偶矩的代數(shù)和。 1 n i i MM 3.2.3 平面力偶系的合成 3.2.4 平面力偶系的平衡條件 所謂力偶系的平衡，就是合力偶的矩等于零。因此， 平面力偶系平衡的必要和充分條件是：所有各力偶矩 的代數(shù)和等于零，即 1 0 n i i M 思考題1 剛體上A、B、C、D四點(diǎn)組成一個(gè)平行四邊形，如在其 四個(gè)頂點(diǎn)作用有四個(gè)力，此四力沿四個(gè)邊恰好組成封閉 的力多邊形，如圖所示。此剛體是否平衡？ F1 F3 B A C D F2 F4 思考題2

11、 P O R M 從力偶理論知道，一力不能與力偶平衡。圖示輪子上的 力P為什么能與M平衡呢？ FO 例例3 在一鉆床上水平放置工件在一鉆床上水平放置工件,在工件上同時(shí)鉆四個(gè)等直徑在工件上同時(shí)鉆四個(gè)等直徑 的孔的孔,每個(gè)鉆頭的力偶矩為每個(gè)鉆頭的力偶矩為 ,求工件的求工件的 總切削力偶矩和總切削力偶矩和A 、B端水平反力端水平反力? mN15 4321 mmmm mN60)15(4 4321 mmmmM 02 . 0 4321 mmmmNB N300 2 . 0 60 B N N 300 BA NN 解解: 各力偶的合力偶矩為各力偶的合力偶矩為 根據(jù)平面力偶系平衡方程有根據(jù)平面力偶系平衡方程有:

12、由力偶只能與力偶平衡的性質(zhì)，由力偶只能與力偶平衡的性質(zhì)， 力力NA與力與力NB組成一力偶。組成一力偶。 例例4 圖示結(jié)構(gòu)，已知圖示結(jié)構(gòu)，已知M=800N.m，求，求A、C兩點(diǎn)的約束反力。兩點(diǎn)的約束反力。 ).(255. 0mNRdRM CCAC 0 i M 0 MM AC NRC3137 例例5圖示桿系，已知圖示桿系，已知m，l。求。求A、B處約束力。處約束力。 解：解： 1、研究對(duì)象二力桿：、研究對(duì)象二力桿：AD AD N C R 2、研究對(duì)象：、研究對(duì)象： 整體整體 AD N B R l m RN BAD 思考：思考：CB桿受力情況如何？桿受力情況如何？ B R C R m 練習(xí)：練習(xí)：

13、解：解：1、研究對(duì)象二力桿： 、研究對(duì)象二力桿：BC 2、研究對(duì)象：、研究對(duì)象： 整體整體 AD N B R B R C R AD N m C R l m l m RN BAD 2 45sin 0 例例66不計(jì)自重的桿不計(jì)自重的桿AB與與DC在在C處為光滑接觸處為光滑接觸,它們分別受力它們分別受力 偶矩為偶矩為M1與與M2的力偶作用的力偶作用 ，轉(zhuǎn)向如圖。問，轉(zhuǎn)向如圖。問M1與與M2的比值為的比值為 多大，結(jié)構(gòu)才能平衡多大，結(jié)構(gòu)才能平衡? 60o 60o A B C D M1M2 解解: 取桿取桿AB為研究對(duì)象畫受力圖。為研究對(duì)象畫受力圖。 桿桿A B只受力偶的作用而平衡且只受力偶的作用而平衡且C處為光處為光 滑面約束，則滑面約束，則A處約束反力的方位可定。處約束反力的方位可定。 A B C M1 RA RC Mi = 0 RA = RC = R, AC = a a R - M1 = 0 M1 = a R (1) 60o 60o A B