高中數(shù)學(xué) 考點(diǎn)26 空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖、空間幾何體的表面積與體積（含2016高考試題）

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精考點(diǎn)26 空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖、空間幾何體的表面積與體積1、 選擇題1。(2016全國(guó)卷高考文科t7)同(2016全國(guó)卷高考理科t6）如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑.若該幾何體的體積是,則它的表面積是（)a.17b.18c。20d.28【解析】選a.該幾何體是一個(gè)球體挖掉剩余的部分，如圖所示,依題意得r3=，解得r=2，所以該幾何體的表面積為422+22=17.2。（2016全國(guó)卷文科t7）同（2016全國(guó)卷理科t6)如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為(）a.20b。24c。28d。32

2、【解題指南】觀察三視圖,確定圓柱和圓錐的底面半徑和高,再利用表面積是各個(gè)面的和進(jìn)行計(jì)算.【解析】選c.幾何體是圓錐與圓柱的組合體，設(shè)圓柱底面圓半徑為r,周長(zhǎng)為c，圓錐母線長(zhǎng)為,圓柱高為h.由圖得r=2,c=2r=4,h=4,由勾股定理得： =4,s表=r2+ch+c=4+16+8=28。3.(2016全國(guó)卷文科t4）體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為()a.12b。c.8d。4【解題指南】利用正方體的體對(duì)角線就是球的直徑求解?！窘馕觥窟xa.因?yàn)檎襟w的體積為8,所以正方體的棱長(zhǎng)為2，其體對(duì)角線長(zhǎng)為2，所以正方體的外接球的半徑為，所以球的表面積為4()2=12.4.(2016

3、全國(guó)卷文科t10）與(2016全國(guó)卷3理科t9)相同如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫(huà)出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為（）a。18+36b。54+18c.90d.81【解題指南】根據(jù)三視圖作出原幾何體是關(guān)鍵.【解析】選b。根據(jù)三視圖可知原幾何體是一個(gè)斜四棱柱,上下底面為邊長(zhǎng)為3的正方形，左右為底邊長(zhǎng)為3,側(cè)棱為3的矩形，前后為底邊為3,側(cè)棱為3的平行四邊形，且底邊上的高為6，所以s=9+9+18+18+9+9=54+18.5.(2016全國(guó)卷文科t11)與(2016全國(guó)卷3理科t10)相同在封閉的直三棱柱abc-a1b1c1內(nèi)有一個(gè)體積為v的球。若abbc,ab=6,bc=

4、8,aa1=3,則v的最大值是（）a.4b。c。6d。【解題指南】注意當(dāng)球和直三棱柱的三個(gè)側(cè)面內(nèi)切時(shí),球已不在直三棱柱內(nèi)。【解析】選b.當(dāng)球的半徑最大時(shí),球的體積最大。在直三棱柱內(nèi)，當(dāng)球和三個(gè)側(cè)面都相切時(shí),因?yàn)閍bbc,ab=6,bc=8，所以ac=10,底面的內(nèi)切圓的半徑即為此時(shí)球的半徑r=2,直徑為4側(cè)棱。所以球的最大直徑為3,半徑為,此時(shí)體積v=.6.（2016山東高考文科t5)同(2016山東高考理科t5）一個(gè)由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示。則該幾何體的體積為()a.+ b。+c.+ d。1+【解題指南】充分利用三視圖各測(cè)度的數(shù)值，還原幾何體本身各測(cè)度的數(shù)值,進(jìn)而求其體積

5、?！窘馕觥窟xc.由三視圖可知,半球的半徑為，四棱錐底面正方形邊長(zhǎng)為1，高為1，所以該組合體的體積=+111=+。7。（2016天津高考文科t3）將一個(gè)長(zhǎng)方體沿相鄰三個(gè)面的對(duì)角線截去一個(gè)棱錐,得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為（)【解題指南】利用正視圖和俯視圖進(jìn)行判斷?！窘馕觥窟xb。由題意得截去的是長(zhǎng)方體前右上方頂點(diǎn)。8。(2016北京高考理科t6)某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體積為（）a.b.c。d.1【解題指南】三棱錐的體積為sh.【解析】選a。通過(guò)三視圖可還原幾何體為如圖所示的三棱錐，則通過(guò)側(cè)視圖得高h(yuǎn)=1，底面積s=11=，所以體積v=sh=.2、 填空

6、題9。（2016浙江高考理科t11)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm），則該幾何體的表面積是cm2,體積是cm3.【解題指南】先由三視圖還原幾何體再進(jìn)行求解.【解析】幾何體為兩個(gè)相同長(zhǎng)方體組合而成，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為4，2，2，所以體積為2（224）=32(cm3)，由于兩個(gè)長(zhǎng)方體重疊部分為一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，所以表面積為2（222+244）222=72(cm2)。答案：723210.（2016浙江高考理科t14）如圖，在abc中，ab=bc=2,abc=120。若平面abc外的點(diǎn)p和線段ac上的點(diǎn)d，滿足pd=da,pb=ba,則四面體pbcd的體積的最大值是?！窘忸}指南】利用三棱錐

7、的體積公式表示出體積,再利用不等式求最值。【解析】結(jié)合圖形利用不等式的放縮進(jìn)行求值,注意基本不等式的適用條件.在abc中，ab=bc=2,abc=120，所以ac=，設(shè)cd=x,則ad=2x,所以pd=2-x,所以vpbcd=sbcdhbccdsin30pd=2x(2x）=x（2-x)=，當(dāng)且僅當(dāng)x=2x,即x=時(shí)取“=”,此時(shí)pd=，bd=1,pb=2，滿足題意。答案： 11。(2016浙江高考文科t9)某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm)，則該幾何體的表面積是cm2，體積是cm3.【解題指南】先由三視圖還原幾何體再進(jìn)行求解.【解析】由三視圖知該組合體是一個(gè)長(zhǎng)方體上面放置了一個(gè)小正方體，s

8、表=622+242+424222=80（cm2）,v=23+442=40（cm3)。答案：804012.(2016四川高考理科t13）已知三棱錐的四個(gè)面都是腰長(zhǎng)為2的等腰三角形,該三棱錐的正視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是?！窘忸}指南】先根據(jù)正視圖和已知條件判斷幾何體的形狀，代入公式即可得出幾何體的體積?！窘馕觥坑深}可知,因?yàn)槿忮F每個(gè)面都是腰為2的等腰三角形,由正視圖可得如下俯視圖,且三棱錐高為h=1，則體積v=sh=1=。答案:13。(2016四川高考文科t12)已知某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是.【解題指南】根據(jù)俯視圖求出底面積,根據(jù)側(cè)視圖求出高，從而得出幾何體的體積?！窘?/p>

9、析】由三視圖可知該幾何體是一個(gè)三棱錐，且底面積為s=21=，高為1,所以該幾何體的體積v=sh=1=.答案:14。(2016天津高考理科t11）已知一個(gè)四棱錐的底面是平行四邊形,該四棱錐的三視圖如圖所示（單位:m）,則該四棱錐的體積為m3.【解題指南】由幾何體的三視圖判斷原幾何體的構(gòu)成,再求解?！窘馕觥康酌鏋槠叫兴倪呅?面積為21=2,高為3，所以v=213=2.答案：215。（2016北京高考文科t11）某四棱柱的三視圖如圖所示,則該四棱柱的體積為.【解題指南】四棱柱的體積為底面積乘以高?！窘馕觥坑筛┮晥D可知底面面積為（1+2)1=，由側(cè)(左）視圖可知高為1，所以體積為1=。答案:3、 解答

10、題16。（2016浙江高考理科t17)如圖,在三棱臺(tái)abc-def中,平面bcfe平面abc,acb=90，be=ef=fc=1,bc=2,ac=3。（1）求證：bf平面acfd.（2)求二面角bad-f的平面角的余弦值。【解析】(1)延長(zhǎng)ad，be,cf相交于一點(diǎn)k，如圖所示，因?yàn)槠矫鎎cfe平面abc，且acbc,所以ac平面bck,所以bfac，又因?yàn)閑fbc，be=ef=fc=1,bc=2，所以bck為等邊三角形，且f為ck的中點(diǎn),則bfck,所以bf平面acfd。(2)過(guò)點(diǎn)f作fqak，連接bq.因?yàn)閎f平面ack,所以bfak，則ak平面bqf，所以bqak。所以,bqf是二面角-

11、d-f的平面角.在rtack中，ac=3,ck=2,得fq=。在rtqf中，fq=，bf=,得cosbqf=。所以，二面角-d-f的平面角的余弦值為.17。(2016江蘇高考t17)（本小題滿分14分）現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉(cāng)庫(kù),它由上下兩部分組成,上部分的形狀是正四棱錐p-a1b1c1d1，下部分的形狀是正四棱柱abcda1b1c1d1(如圖所示），并要求正四棱柱的高oo1是正四棱錐的高po1的4倍.（1)若ab=6m,po1=2m，則倉(cāng)庫(kù)的容積是多少？（2）若正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為6m,則當(dāng)po1為多少時(shí)，倉(cāng)庫(kù)的容積最大?【解題指南】根據(jù)正四棱錐和正四棱柱的體積公式以及導(dǎo)數(shù)求解?！窘馕觥?1)由po1=2moo1=8m，則，故倉(cāng)庫(kù)的容積為312m3。（2）設(shè)po1=xm，倉(cāng)庫(kù)的容積為v(x），連接a1o1，則oo1=4xm,a1o1=m,a1b1=m,=(288x-8x3)m3。v（x)= +=m3+（288x-8x3）m3=m3(0x6)，所以v（x