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1、自動(dòng)控制原理自動(dòng)控制原理 東華理工大學(xué)機(jī)電學(xué)院自動(dòng)化系東華理工大學(xué)機(jī)電學(xué)院自動(dòng)化系 3.13.1系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的性能指標(biāo)系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的性能指標(biāo) 3.23.2一階系統(tǒng)的時(shí)域分析一階系統(tǒng)的時(shí)域分析 3.33.3二階系統(tǒng)的時(shí)域分析二階系統(tǒng)的時(shí)域分析 3.43.4高階系統(tǒng)的時(shí)域分析高階系統(tǒng)的時(shí)域分析 3.53.5線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 3.63.6線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算 3.1 3.1 概述概述 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型建立后,便可對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分分 析和校正析和校正。 分析和校正是自動(dòng)控制原理課程的兩大任務(wù)。 系統(tǒng)分析系統(tǒng)分析是由已知的系統(tǒng)模型確定系統(tǒng)的性 能指標(biāo); 校正校正

2、是根據(jù)需要在系統(tǒng)中加入一些機(jī)構(gòu)和裝 置并確定相應(yīng)的參數(shù),用以改善系統(tǒng)性能,使其 滿足所要求的性能指標(biāo)。系統(tǒng)分析的目的在于系統(tǒng)分析的目的在于 “認(rèn)識(shí)認(rèn)識(shí)”系統(tǒng),系統(tǒng)校正的目的在于系統(tǒng),系統(tǒng)校正的目的在于“改造改造”系系 統(tǒng)。統(tǒng)。系統(tǒng)的分析校正方法一般有時(shí)域法、根軌跡 法和頻域法,本章介紹時(shí)域法。 3.1系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的性能指標(biāo)系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的性能指標(biāo) 1典型輸入信號(hào)典型輸入信號(hào) 動(dòng)態(tài)過(guò)程和穩(wěn)態(tài)過(guò)程又稱瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)動(dòng)態(tài)過(guò)程和穩(wěn)態(tài)過(guò)程又稱瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng) (Transient Response & Steady state Response)。在典型輸 入信號(hào)作用下,任何一個(gè)控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)都

3、有動(dòng)態(tài)動(dòng)態(tài) 過(guò)程過(guò)程和穩(wěn)態(tài)過(guò)程穩(wěn)態(tài)過(guò)程兩部分組成。 在典型輸入信號(hào)作用下,指系統(tǒng)從初始 狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應(yīng)過(guò)程。由于實(shí)際控制系統(tǒng)具有慣 性、摩擦、阻尼等原因,系統(tǒng)的輸出量不可能完全復(fù)現(xiàn) 輸入量的變化。動(dòng)態(tài)過(guò)程表現(xiàn)為、或 。一個(gè)實(shí)際運(yùn)行的系統(tǒng)其動(dòng)態(tài)過(guò)程必須是的, 即系統(tǒng)必須是的。 在典型輸入信號(hào)作用下,當(dāng) t 趨于無(wú)窮 大時(shí),系統(tǒng)的輸出量的表現(xiàn)方式。 穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)控制精度或抗擾動(dòng)能力的穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)控制精度或抗擾動(dòng)能力的 一種度量。在分析控制系統(tǒng)時(shí),我們既要研究系統(tǒng)的瞬態(tài)一種度量。在分析控制系統(tǒng)時(shí),我們既要研究系統(tǒng)的瞬態(tài) 響應(yīng),如達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)所需的時(shí)間,同時(shí)也要研究系響應(yīng),如達(dá)到新的穩(wěn)定

4、狀態(tài)所需的時(shí)間,同時(shí)也要研究系 統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性,統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性,。 : 在許多實(shí)際情況中,控制系統(tǒng)所需要的性能指標(biāo),常在許多實(shí)際情況中,控制系統(tǒng)所需要的性能指標(biāo),常 以時(shí)域量值的形式給出。通常,控制系統(tǒng)的性能指標(biāo),系以時(shí)域量值的形式給出。通常,控制系統(tǒng)的性能指標(biāo),系 統(tǒng)在初始條件為零(靜止?fàn)顟B(tài),輸出量和輸入量的各階導(dǎo)統(tǒng)在初始條件為零(靜止?fàn)顟B(tài),輸出量和輸入量的各階導(dǎo) 數(shù)為數(shù)為0),對(duì)階躍輸入信號(hào)的瞬態(tài)響應(yīng)。實(shí)際控制系統(tǒng)的),對(duì)階躍輸入信號(hào)的瞬態(tài)響應(yīng)。實(shí)際控制系統(tǒng)的 瞬態(tài)響應(yīng),在達(dá)到穩(wěn)態(tài)以前,常常表現(xiàn)為阻尼振蕩過(guò)程,瞬態(tài)響應(yīng),在達(dá)到穩(wěn)態(tài)以前,常常表現(xiàn)為阻尼振蕩過(guò)程, 為了說(shuō)明控制系統(tǒng)對(duì)單位階躍輸入信

5、號(hào)的瞬態(tài)響應(yīng)特性,為了說(shuō)明控制系統(tǒng)對(duì)單位階躍輸入信號(hào)的瞬態(tài)響應(yīng)特性, 通常采用下列一些性能指標(biāo)。通常采用下列一些性能指標(biāo)。 1、延遲時(shí)間td:響應(yīng)曲線 從運(yùn)動(dòng)開始第一次達(dá)到穩(wěn) 態(tài)值的一半所需的時(shí)間, 叫延遲時(shí)間。 2、上升時(shí)間tr:響應(yīng)曲線 從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到 90%,所需的時(shí)間。上升 時(shí)間越短,響應(yīng)速度越快。 3、峰值時(shí)間tp:響應(yīng)曲 線超過(guò)其終值到達(dá)第一個(gè) 峰值所需要的時(shí)間。 4、調(diào)節(jié)時(shí)間ts:在響應(yīng)曲線的穩(wěn)態(tài)線上,用穩(wěn)態(tài)值的百分?jǐn)?shù)(通常 取5%或2%)作一個(gè)允許誤差范圍,響應(yīng)曲線達(dá)到并永遠(yuǎn)保持在這 一允許誤差范圍內(nèi),所需的時(shí)間 ( )( ) %100% ( ) p h th h 5、

6、最大超調(diào)量 % trtr、tptp評(píng)價(jià)系統(tǒng)的響應(yīng)速度評(píng)價(jià)系統(tǒng)的響應(yīng)速度 . .tsts同時(shí)反映響應(yīng)速度和阻尼程度的同時(shí)反映響應(yīng)速度和阻尼程度的 綜合性指標(biāo)綜合性指標(biāo) . . 評(píng)價(jià)系統(tǒng)的阻尼程度評(píng)價(jià)系統(tǒng)的阻尼程度 % 3.2 一階系統(tǒng)的時(shí)域分析一階系統(tǒng)的時(shí)域分析 i(t) + r(t) c(t) + (a) 電路圖 R C )(trU dt du RC c c )()()(trtCtCT R(s) C(s) (b)方塊圖 I(s) R(s) C(s) (c)等效方塊圖 1 1 )( )( )( TSsR sC s 當(dāng)初始條件為零時(shí),其傳遞函數(shù)為 這種系統(tǒng)實(shí)際上是一個(gè)非周期性的這種系統(tǒng)實(shí)際上是一個(gè)

7、非周期性的慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)。 下面分別就不同的典型輸入信號(hào),分析該系統(tǒng)的時(shí)域響下面分別就不同的典型輸入信號(hào),分析該系統(tǒng)的時(shí)域響 應(yīng)。應(yīng)。 其中C(t)為電路輸出電壓,r(t)為電路輸入電壓,T=RC為時(shí)間常數(shù)。 1、一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng) 其傳遞函數(shù)為 ( )11/ ( ) ( )11/ C sT s R sTSST T 1 1 特征方程:特征方程:0 1 T s 特征根:特征根: 11/ ( )( ) ( )( )( ) 11/ T C ss R sR sR s TSST 1 ( )1( )( ) r ttR s s TssTs B s A sTs sRssC 1 11 1 1 1 1 )()

8、()( 待定系數(shù)如下待定系數(shù)如下 s A sTs sRs 1 1 1 )()(1 1 1 1 )()( 0 S sTs ssRsA當(dāng):當(dāng):有:有: 1 1 1 1 )()( Ts B sTs sRs 1 11 1 1 - S T B(Ts)T Tss 當(dāng):當(dāng):有:有: t T esCLth 1 1 1)()( T s sTs T ssTs sRssC 1 11 1 11 1 1 )()()( 求拉氏反變換有:求拉氏反變換有: 1 ( )10 t T h tet 圖3-4指數(shù)響應(yīng)曲線 1 0 63.2% 86.5% 95% 98.2% 99.3% T 2T3T 4T 5T 0.632 t c(t

9、)=1-ec(t) ( )h t 傳遞函數(shù)的極點(diǎn)是產(chǎn)生系統(tǒng)響應(yīng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)是產(chǎn)生系統(tǒng)響應(yīng) 的瞬態(tài)分量。這一個(gè)結(jié)論不僅適的瞬態(tài)分量。這一個(gè)結(jié)論不僅適 用于一階線性定常系統(tǒng),而且也用于一階線性定常系統(tǒng),而且也 適用于高階線性定常系統(tǒng)。適用于高階線性定常系統(tǒng)。 Ttd69. 0Ttr20. 2誤差帶)%5(3Tts 不存在和 p t 2、一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) 響應(yīng)曲線呈單調(diào)下降,無(wú)超調(diào),無(wú)振蕩, 在t=0 處下降速率最大,之后速率變小,且 下降速率 與時(shí)間常數(shù) 成反比,即T越小,下 降速率越快。 t ( )c t 0 3. 一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng) 2 1 ( )*1( )( ) r tttR s

10、 S 單位斜坡函數(shù)輸入時(shí) TS T S T SSTS sRssC 1 11 1 1 )()()( 2 22 t T t T TeTteTttc 11 )1 ()( r(t)c(t) r(t) c(t) t 0 圖3-5 一階系統(tǒng)的斜坡響應(yīng) 所以一階系統(tǒng)跟蹤單位斜坡信號(hào)的穩(wěn)態(tài)誤差為 Ttee t ss )(lim 結(jié)論:一階系統(tǒng)在跟蹤單位斜坡信號(hào)時(shí),總存在位置誤 差,且位置誤差的大小隨時(shí)間而增大,最終趨時(shí)間常數(shù) T,因此T越大則誤差也越大。 減少時(shí)間常數(shù)T不僅可以加快瞬態(tài)響應(yīng)的速度,還 可減少系統(tǒng)跟蹤斜坡信號(hào)的穩(wěn)態(tài)誤差 4. 一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng) 2 2 1 )(ttr 3 1 )( S s

11、R T S T s 1 1 )( T S T S T S T S T S D S C S B S A STS sRssC 1 1 1 1 ) 1 1 ()()()( 22 23233 當(dāng) )0()1 ( 2 1 )( 1 22 teTTtttc t T )1 ()()()( 1 2 t T eTTttctrte 積分積分 積分積分 3.3 3.3 二階系統(tǒng)的時(shí)域分析二階系統(tǒng)的時(shí)域分析 2 2222 ( )1 ( ) ( )221 n nn C s s R sST ST 02 2 2 nnS S二階系統(tǒng)的特征方程: 2 1,2 1 nn Sj 根表達(dá)式: 若系統(tǒng)阻尼比 :0 n jS 2, 1

12、零阻尼系統(tǒng) :10欠阻尼系統(tǒng) 2 1.2 2 1 1 nn nnnd s jj :1 n s 2 . 1臨阻尼系統(tǒng) :1過(guò)阻尼系統(tǒng) :0 負(fù)阻尼系統(tǒng) 0 2, 1 S S1,2 = 為兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根 一對(duì)純虛根 (一對(duì)復(fù)數(shù)根 ) (一對(duì)負(fù)的重實(shí)根 ) 取值范圍不同,特征根形式不同,響應(yīng)特性也不同 1. 二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng) (1)欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 10 2 1,2 1 nnd Sjj n 2 1 nd 令 衰減系數(shù) 阻尼振蕩頻率 2 222222 11 ( )( ) ( ) 2()() nnn nnndnd S C ss R s SSSSSS 取拉氏反變換 sin 1 cos1)

13、( 2 ttetc dd t n 2 1 1sin()0 1 nt d ett 1 2 1 arccos 1 2 arctg阻尼角阻尼角 一對(duì)共軛負(fù)復(fù)數(shù)根 (2)臨界阻尼1 S sRtutr 1 )(,)()( nn n n n SSSSS sC 1 )( 11 )( )( 22 2 0)1 (11)( tteeteth n tt n t nnn 單位階躍響應(yīng)是一條無(wú)超調(diào)的單調(diào)上升曲線單位階躍響應(yīng)是一條無(wú)超調(diào)的單調(diào)上升曲線 取拉氏反變換 2 1,2 1 nnd Sjj (3)過(guò)阻尼 1 S sRtutr 1 )(,)()( 2 1,2 1 nnd Sjj 一對(duì)負(fù)的重實(shí)根 為兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根

14、0 )1(12 1 )1(12 1 1)( )1( 22 )1( 22 22 teeth tt nn =1 1 (4)無(wú)阻尼情況無(wú)阻尼情況(=0) 系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為 nnn js1 2 2, 1 ttc n cos1)( 2222 2 22 2 111 2 )( nn n nn n s s ssssss sC 系統(tǒng)一對(duì)純虛根系統(tǒng)一對(duì)純虛根 所以, 無(wú)阻尼情況下系統(tǒng)的階躍響應(yīng)是 等幅正(余)弦振蕩曲線(如圖3-8所示), 振 蕩角頻率是n。 根表達(dá)式:根表達(dá)式: 其振蕩頻率為而只能測(cè)得 實(shí)際控制系統(tǒng)通常有一定的阻尼比, 因此不可能通過(guò)實(shí)驗(yàn)方法測(cè)得 n 而只能測(cè)得d 0200400600800

15、100012001400 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 1 1 01 5.二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)的性能指標(biāo)計(jì)算 (1)延遲時(shí)間td 10 2 1,2 1 nnd Sjj 一對(duì)共軛負(fù) 復(fù)數(shù)根 延遲時(shí)間td、上升時(shí)間tr、峰值時(shí)間tp、調(diào)節(jié)時(shí)間ts、最大超調(diào)量% 0,)sin( 1 1 1)( 2 tteth d t n arccos 1 ,5 . 0)( 2 arctgth d 令令 2 10.60.210.7 d nn t 10所以當(dāng)所以當(dāng)延遲時(shí)間td (2)上升時(shí)間tr 1)( r th令令 2 1 sin()0 1 nt d r et 求得 r

16、d t 求得 r t n 欠阻尼二階系統(tǒng)欠阻尼二階系統(tǒng) 的特征參量的特征參量 各指標(biāo)之間是有矛盾的各指標(biāo)之間是有矛盾的 (3)峰值時(shí)間tp 對(duì)h(t)求導(dǎo),并令其為零, d p t ( ) 0 dh t dt 解得 (4)最大超調(diào)量% 超調(diào)量在峰值時(shí)間發(fā)生在tp時(shí)刻 %100%100 )( )()( % 2 1 e h hth p (5)調(diào)節(jié)時(shí)間ts )02. 0( 4 )05. 0( 3 n S n S t t 2 0.10.911 當(dāng) 通過(guò)對(duì)調(diào)節(jié)時(shí)間、超調(diào)量與阻尼比之間關(guān)系得比較,可以得出如下 的基本結(jié)論:調(diào)節(jié)時(shí)間 ts、 % 2 1 p 2 , 100%exp() 100% 1 r d

17、te 某位置控制系統(tǒng)(隨動(dòng)系統(tǒng)),其閉環(huán)傳遞函數(shù) 2 ( ) m K s T SSK mn m TK KT 2 1 矛盾 阻尼大,超調(diào)小 矛盾!矛盾! n一定, tr 速度慢 用什么辦法來(lái)改善 系統(tǒng)性能呢? K nK 6二階系統(tǒng)性能的改善二階系統(tǒng)性能的改善 在前向通道串連一 個(gè)一階微分環(huán)節(jié)(PD),閉 環(huán)傳遞函數(shù)變?yōu)椋?22 22222 (1)() ( ) 2(2) ndn ndnnnn T SSz s SS TSz SS = +0.5nTd, z=Td-1(零點(diǎn)) (1)比例)比例微分控制微分控制 1 C(s) R(s) n2 s(s+2n) Tds 1+Tds C(s) R(s) n2 s

18、(s+2n) 可通過(guò)適當(dāng)選擇微分時(shí)間常數(shù)Td,改變系統(tǒng)阻尼比x(變大); 比例微分控制(PD)可以不改變自然頻率wn,但可增大系統(tǒng)的阻尼比x; 阻尼比x增大,但自然頻率wn不變,因此系統(tǒng)的性能得到了改善(sp,ts)。 但PD控制同時(shí)給系統(tǒng)增加了一個(gè)閉環(huán)零點(diǎn),零點(diǎn)是如何影響系統(tǒng)響應(yīng)的還需 進(jìn)行深入的研究: 2.速度反饋控制 標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)加速度負(fù)反饋, 其開環(huán)與閉環(huán)傳遞函數(shù)分別 變?yōu)椋?2 0 22 2 222 ( ) (2) ( ) (2) n nn n nnn G s ss s ss 系統(tǒng)自激振蕩頻率不變,阻 尼比增大為: 0.5n s C(s)R(s) n2 s(s+2n) 結(jié)論: 測(cè)速反

19、饋會(huì)降低系統(tǒng)的開環(huán)增益,從而會(huì)加大系統(tǒng)在斜坡輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差 測(cè)速反饋不影響系統(tǒng)的自然頻率不變; 系統(tǒng)的阻尼比增大; 測(cè)速反饋不形成閉環(huán)零點(diǎn),與PD對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的改善程度不相同; 設(shè)計(jì)時(shí),可適當(dāng)增加原系統(tǒng)的開環(huán)增益,以減小穩(wěn)態(tài)誤差。 3.4 3.4 高階系統(tǒng)的時(shí)域分析高階系統(tǒng)的時(shí)域分析 若描述系統(tǒng)的微分方程高于二階,則該系統(tǒng)為高若描述系統(tǒng)的微分方程高于二階,則該系統(tǒng)為高 階系統(tǒng)。階系統(tǒng)。從理論上講,高階系統(tǒng)也可以直接由傳遞函數(shù) 求出它的時(shí)域響應(yīng),進(jìn)而確定系統(tǒng)的瞬態(tài)性能指標(biāo)。但 是,高階系統(tǒng)的分析計(jì)算比較困難,同時(shí),在工程設(shè)計(jì) 的許多問(wèn)題中,過(guò)分講究精確往往是不必要的,甚至是 無(wú)意義的。 3.

20、4.1高階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng) 3.4.2閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念 3.4.3高階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的近似分析 設(shè)系統(tǒng)的所有零點(diǎn)、極點(diǎn)互不相同,且極點(diǎn)中有q個(gè)實(shí) 數(shù)極點(diǎn)和r對(duì)復(fù)數(shù)極點(diǎn)(q+2r=n),零點(diǎn)中只有實(shí)數(shù)極點(diǎn), 則系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的拉氏變換為 ()/2 22 iknknk 11 ( ) 1( ) ( ) ( ) ()(2) qn q ik M sM s C s D ss ssPss 零初始條件下的單位階躍響應(yīng)為: (3-32) iknk qr Pt t knk 0idkk i=1k=1 dk B ( ) e+esin( t+ ) C t 式中A0、Ai、Bk都是進(jìn)行部分分式展開時(shí)所確定 的常數(shù),

21、與系統(tǒng)零極點(diǎn)分布有關(guān)。 結(jié)論: 1)系統(tǒng)響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)值和一些慣性環(huán)節(jié)及振蕩環(huán)節(jié) 的瞬態(tài)響應(yīng)分量所組成; 2)瞬態(tài)分量取決于它們的指數(shù)Pi、knk的值和相 應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)Ai、Bk: 系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)距虛軸越遠(yuǎn),即Pi或knk 值越大,則該項(xiàng)衰減越快,反之亦然; 瞬態(tài)分量的系數(shù)與閉環(huán)零極點(diǎn)相對(duì)位置 有關(guān):如果某極點(diǎn)與零點(diǎn)很靠近【偶極子】,則 相應(yīng)分量的系數(shù)也很小(Pi-Zi0),這對(duì)零極點(diǎn)對(duì) 系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程的影響也將很小。 3)即系統(tǒng)的瞬態(tài)特性主要由那些靠近虛軸而又遠(yuǎn) 離零點(diǎn)的極點(diǎn)主導(dǎo)極點(diǎn)來(lái)決定。 3.4.2 3.4.2 閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念 如系統(tǒng)的某個(gè)(對(duì))極點(diǎn)離虛軸最近,且其附 近又無(wú)

22、零點(diǎn)存在,而其他所有極點(diǎn)與虛軸的距離 都在此極點(diǎn)與虛軸的距離的5倍以上,則系統(tǒng)的 瞬態(tài)特性將主要由這個(gè)(對(duì))極點(diǎn)來(lái)確定,而其它 極點(diǎn)的影響可以忽略不計(jì),這個(gè)(對(duì))極點(diǎn)就稱為 高階系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)。如: s1 s2 s3 n 主導(dǎo)極點(diǎn)示意圖 5n s1,2是主導(dǎo)極點(diǎn),因 為Res35Res1 高階系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)常常是共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn),因此高階系統(tǒng) 可以常用主導(dǎo)極點(diǎn)構(gòu)成的二階系統(tǒng)來(lái)近似。相應(yīng)的性能指標(biāo)可按 二階系統(tǒng)的各項(xiàng)指標(biāo)來(lái)估計(jì)。在設(shè)計(jì)高階系統(tǒng)時(shí),常利用主導(dǎo)極 點(diǎn)的概念來(lái)選擇系統(tǒng)參數(shù),使系統(tǒng)具有預(yù)期的一對(duì)共軛復(fù)數(shù)主導(dǎo) 極點(diǎn),故可以近似的用二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)來(lái)設(shè)計(jì)系統(tǒng)。 閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的應(yīng)用 1)閉環(huán)零點(diǎn)

23、的作用為減小峰值時(shí)間,使系統(tǒng)響應(yīng)速度加快,并且閉閉環(huán)零點(diǎn)的作用為減小峰值時(shí)間,使系統(tǒng)響應(yīng)速度加快,并且閉 環(huán)零點(diǎn)越接近虛軸,這種作用越顯著;環(huán)零點(diǎn)越接近虛軸,這種作用越顯著; 2)閉環(huán)非主導(dǎo)極點(diǎn)的作用為增大峰值時(shí)間,使系統(tǒng)響應(yīng)速度變緩;閉環(huán)非主導(dǎo)極點(diǎn)的作用為增大峰值時(shí)間,使系統(tǒng)響應(yīng)速度變緩; 3)若閉環(huán)零、極點(diǎn)彼此接近,則它們對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)速度的影響相互削若閉環(huán)零、極點(diǎn)彼此接近,則它們對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)速度的影響相互削 弱;弱; 4)若系統(tǒng)不存在閉環(huán)零點(diǎn)和非主導(dǎo)極點(diǎn),則式若系統(tǒng)不存在閉環(huán)零點(diǎn)和非主導(dǎo)極點(diǎn),則式(369)還原為式還原為式(3 22)。 在控制系統(tǒng)的分析研究中,最重要的問(wèn)題 是系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題

24、。不穩(wěn)定的系統(tǒng)在受到外 界或內(nèi)部的一些因素?cái)_動(dòng)時(shí),會(huì)使被控制量偏 離原來(lái)的平衡工作狀態(tài),并隨時(shí)間的推移而發(fā) 散。因此,不穩(wěn)定的系統(tǒng)是無(wú)法正常工作的。 在這一節(jié)中將討論穩(wěn)定性的定義,穩(wěn)定的充要 條件及判別穩(wěn)定性的基本方法。 3.5.1 穩(wěn)定的概念與定義 3.5.2 線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件 3.5.3 穩(wěn)定判據(jù) 1 穩(wěn)定的概念與定義 穩(wěn)定性有多種定義,這里只討論其中最常用 的一種,即漸近穩(wěn)定性漸近穩(wěn)定性: 穩(wěn)定性是系統(tǒng)自身的固有特性,與外界輸入 信號(hào)無(wú)關(guān)。在下面的討論中,如果系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模 型是建立在小偏差線性化的基礎(chǔ)上,則認(rèn)為系統(tǒng) 中各信號(hào)的變化均不超出其線性范圍。此時(shí),該 系統(tǒng)采用上述的穩(wěn)定性的

25、定義。 2線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件 假設(shè)系統(tǒng)的初始條件為零,外部激勵(lì)為輸入信號(hào) ( )( )r tt 線性系統(tǒng)穩(wěn)定要滿足 的條件,實(shí)際上取決于其特征根,也 即系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn) . ( )0 lim t g t c(t)=A0+A1es1t+Anesnt 3 3勞思勞思赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù) (1)赫赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù) 系統(tǒng)特征方程: 0 43 2 2 3 1 4 0 asasasasa 420 31 420 31 0 00 0 00 aaa aa aaa aa系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件:系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件: 特征方程的全部系數(shù)都為正,特征方程的全部系數(shù)

26、都為正, 且主行列式及對(duì)角線上的子行且主行列式及對(duì)角線上的子行 列式都大于零。列式都大于零。 0 0 00 0 00 0 0 0 0 0, 0, 0, 0 24 640 31 420 31 3 2 1413 31 420 31 2 3021 20 31 1 4321 a aaa aa aaa aa aaa aa aaa aa aaaa aa aa aaaa 即:即: 當(dāng)系統(tǒng)特征方程的次數(shù)當(dāng)系統(tǒng)特征方程的次數(shù) 較高時(shí),應(yīng)用赫爾維茨較高時(shí),應(yīng)用赫爾維茨 判據(jù)的計(jì)算工作量較大判據(jù)的計(jì)算工作量較大 系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件:特征方程所有系數(shù)均為正,則系統(tǒng)可能系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件:特征方程所有系數(shù)均為正,則系統(tǒng)

27、可能 穩(wěn)定,則可用勞斯判據(jù)判穩(wěn)。勞思表中第一列的所有元素都大于零,穩(wěn)定,則可用勞斯判據(jù)判穩(wěn)。勞思表中第一列的所有元素都大于零, 系統(tǒng)必定穩(wěn)定。系統(tǒng)必定穩(wěn)定。 (2) (2)勞思穩(wěn)定判據(jù)勞思穩(wěn)定判據(jù) 系統(tǒng)特征方程的標(biāo)準(zhǔn)形式: 0 1 1 10 nn nn aSaSaSa 0246 1 1357 2 1234 3 1234 2 12 1 1 0 1 n n n n Saaaa Saaaa Sbbbb Scccc See Sf Sg 1 4171 3 1 3151 2 1 2131 1 1 7061 3 1 5041 2 1 3021 1 b baab c b baab c b baab c a a

28、aaa b a aaaa b a aaaa b 判別方法: 如果勞斯表中第一列的 系數(shù)均為正值,則其特征 方程式的根都在S的左半平 面,相應(yīng)的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 如果勞斯表中第一列系 數(shù)的符號(hào)有變化,其變化 的次數(shù)等于該特征方程式 的根在S的右半平面上的個(gè) 數(shù),相應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定。 舉例(1)三階系統(tǒng)特征方程式: 0 32 2 1 3 0 asasasa 3 0 1 3021 31 2 20 3 0 as a aaaa s aas aas 列勞斯表: 系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是: 0)( 0, 0, 0, 0 3021 3210 aaaa aaaa 特殊情況一(第一列中有一元素為零) 0122 34

29、 ssss 1 0 22 1 22 111 0 2 3 4 s s s s s 22 , 0 有兩個(gè)根位于右 半平面,系統(tǒng)不 穩(wěn)定。 注意:勞斯表每 列元素同時(shí)乘或 除某一個(gè)數(shù),不 影響計(jì)算結(jié)果。 特殊情況二(勞斯表中一行元素均為零): 01616201282 23456 ssssss征方程為: 8 0 3 4 83 0124 000 861 016122 162081 0 2 3 3 4 5 6 s s s s s s s s 輔助方程: sssA sssA 124)( 86)( 3 24 第一列沒(méi)改變符號(hào),右半平面沒(méi)有根 086 24 ss 2,2 0)2)(4(84286 4321 22

30、2424 jPjP sssssss 有一對(duì)共軛虛根。輔助方程: 至少有三種情況: 1、特征方程有一對(duì)實(shí)根,大小相等,符號(hào)相反 2、有一對(duì)虛根 3、有對(duì)稱于S平面原點(diǎn)的共軛復(fù)根 舉例:試用勞斯判據(jù)確定系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)增益K的取值范圍 ) 125. 0)(11 . 0(SSS K R(s) C(s) ksss k ksss k sWB 404014 40 40)4)(10( 40 )( 3 閉環(huán)傳函: 系統(tǒng)特征方程式:0404014 23 ksss ks k s ks s 40 0 14 40560 4014 401 0 1 2 3 為使系統(tǒng)穩(wěn)定,必須 40k0即k0 0k14 56040 014

31、14 k K k0是終值定理 3、階躍輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與靜態(tài)位置誤差系數(shù) .)(,)( 0 00 S R sRRRtr常量。 00 000 0 ( ) lim( )limlim* ( )* 1( ) ( )1( ) ( )1 lim( ) ( )1 ss sss s RRsR sss esE sR s H s G sH s G sH s G ssKp 0 lim( ) ( ) p s KH s G s 靜態(tài)位置誤差系數(shù): p K令 1, 0, K K p 1,0 0, 1 0 const K R ess 則 00 0 lim( )( )( )( ) s KK G s H sG s Hs s

32、s 由 如果要求對(duì)于階躍作用下不存在穩(wěn)態(tài)誤差,則必須選用型及 型以上的系統(tǒng)。習(xí)慣上,階躍輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差稱為靜差。 4、斜坡輸入作用下的靜態(tài)誤差與靜態(tài)速度誤差系數(shù) 0 00 2 ( )( ) = v r tv tvconstR s s )673( )()(lim)()( lim )()(1 lim 0 0 00 0 2 0 0 v s ss ss K v sGsSH v sGsSHS v sGsH S v S e )683(lim)()(lim 1 00 S K sGsSHK ss v 令 稱為靜態(tài)速度誤差系數(shù) , 指系統(tǒng)在速度(斜坡)輸入 作用下,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出 與輸入之間存在 2 1

33、00 KKv 20 1 0 0 K v ess 00 0 lim( )( )( )( ) s KK G s H sG s Hs ss 由 結(jié)論: 0型系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時(shí)不能跟蹤斜坡輸入 型系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時(shí)能跟蹤斜坡輸入,但存在一個(gè)穩(wěn)態(tài)位置誤差 型及型以上系統(tǒng),穩(wěn)態(tài)時(shí)能準(zhǔn)確跟蹤斜坡輸入信號(hào),不存在位置誤差 5、加速度輸入作用下的靜態(tài)誤差與靜態(tài)加速度誤差系數(shù) )613()(, 2 1 )( 3 0 0 2 0 由式 S a sRconstatatr )693(lim )()( lim )()(1 lim)(lim 0 0 22 0 0 3 0 00 a ssss ss K a sHsGSS a sHsG S a

34、 S sSEe )703(lim)()(lim 2 0 2 0 v ss a S K sHsGSK 度誤差系數(shù)定義為系統(tǒng)的靜態(tài)加速 a K 3 2 1 , 00 KKa 30 2 1 , 0 0 const K a ess 令令 令令 關(guān))有關(guān)、開環(huán)傳遞函數(shù)有就越小(與系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差靜態(tài)誤差系數(shù)K 分析結(jié)論: (1)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與輸入信號(hào)有關(guān) (2)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與開環(huán)放大倍數(shù)K基本成反比關(guān)系。對(duì)于有差 的系統(tǒng),K值越大穩(wěn)態(tài)誤差越小。 (3)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與開環(huán)傳遞函數(shù)的積分環(huán)節(jié)數(shù)有關(guān)。積分環(huán) 節(jié)數(shù)增加,穩(wěn)態(tài)誤差減小,但 同時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差。 0 /K 例例 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示,系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如

35、圖所示, 求求 r(t)r(t)分別為分別為A1(t), At, AtA1(t), At, At2 2/2 /2 時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。 解解 KTss Tss sR sE s e )1( )1( )( )( )( )( 1)(tAtr 0 )1( )1( lim 0 1 s A KTss Tss se s ss tAtr )( K A s A KTss Tss se s ss 2 0 2 )1( )1( lim 2 2 )(t A tr 3 0 3 )1( )1( lim s A KTss Tss se s ss 系統(tǒng)自身的結(jié)構(gòu)參數(shù)系統(tǒng)自身的結(jié)構(gòu)參數(shù) 影響影響 e ess ss

36、 的因素: 的因素: 外作用的形式(階躍、斜坡或加速度等)外作用的形式(階躍、斜坡或加速度等) 外作用的類型(控制量,擾動(dòng)量及作用點(diǎn))外作用的類型(控制量,擾動(dòng)量及作用點(diǎn)) 構(gòu)根據(jù)定義求解構(gòu)根據(jù)定義求解 例例 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示,已知輸入系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示,已知輸入 , 求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。 2 42)(tttr 解解 )( ) 1( )( 2 1 ass TsK sG 2 1 v aKK )1()( )( 1 2 1 TsKass K s 0)( 11 23 KTsKasssD ttr2)( 1 0 1 ss e 22 2 2 1 84)(tttr 1 2 8 K a K A ess 1 21 8 K a eee ssssss 首先判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定首先判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定 勞斯表勞斯表 6、擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差 )(sR )(sG )(sE )( 1 sG)(sG)( 2 sG )(sH )(sC )(sN - - N N( (s s) )C C( (s s) ) H H( (s s) ) )( 2

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