第5章 無源網(wǎng)絡綜合

1、 劉洪臣劉洪臣 哈爾濱工業(yè)大學電氣工程系哈爾濱工業(yè)大學電氣工程系 第五章第五章 無源網(wǎng)絡綜合無源網(wǎng)絡綜合 5.1 網(wǎng)絡分析與網(wǎng)絡綜合網(wǎng)絡分析與網(wǎng)絡綜合 網(wǎng)絡分析與網(wǎng)絡綜合的區(qū)別網(wǎng)絡分析與網(wǎng)絡綜合的區(qū)別 1 “分析分析”問題一般總是有解的問題一般總是有解的(對實際問題的分析則一定是對實際問題的分析則一定是 有解的有解的)。而。而“設計、綜合設計、綜合”問題的解答可能根本不存在。問題的解答可能根本不存在。 無源 RLCMV1 25. 0 1 . 0 - V5 . 0 例例1 網(wǎng)絡綜合解答網(wǎng)絡綜合解答 不存在的情況不存在的情況 W5 . 2 1 . 0 5 . 0 W1 25. 04 1 2 L 2

2、 max PP 例例2 網(wǎng)絡綜合解網(wǎng)絡綜合解 答不存在情況答不存在情況 2“分析分析”問題一般具有唯一解，而問題一般具有唯一解，而“設計、綜合設計、綜合”問題通問題通 常有幾個等效的解常有幾個等效的解 N ? - V16 - V4 12 4 12 24 12 12 - V4 - V16 - V16 - V4 3“分析分析”的方法較少，的方法較少，“綜合綜合”的方法較多的方法較多 網(wǎng)絡綜合的主要步驟：網(wǎng)絡綜合的主要步驟： (1) 按照給定的要求確定一個可實現(xiàn)的逼近函數(shù)；按照給定的要求確定一個可實現(xiàn)的逼近函數(shù)； (2) 尋找一個具有上述逼近函數(shù)的電路尋找一個具有上述逼近函數(shù)的電路 。 5.1 網(wǎng)絡

3、分析與網(wǎng)絡綜合網(wǎng)絡分析與網(wǎng)絡綜合 5.2 網(wǎng)絡的有源性和無源性網(wǎng)絡的有源性和無源性 ( )( ) ( )P tu t i t 0 0 ( )( )( ) ( )d t t W tW tui 若在時間若在時間t t0 0時刻時刻一端口存儲的初始能量一端口存儲的初始能量 為為W(W(t0) )，從任何初始時刻，從任何初始時刻t0到時刻到時刻t該網(wǎng)該網(wǎng) 絡的總能量絡的總能量 若對所有若對所有 t0， ，以及所有時間 以及所有時間 t t0，有，有 ( )0,( ), ( )W tu ti t 則此一端口則此一端口N為無源的。為無源的。 對于一端口網(wǎng)絡對于一端口網(wǎng)絡N， 輸入該網(wǎng)絡的功率輸入該網(wǎng)絡的功

4、率 網(wǎng)絡的無源性表明，這個網(wǎng)絡只能吸收、消耗存儲能量，而網(wǎng)絡的無源性表明，這個網(wǎng)絡只能吸收、消耗存儲能量，而 不能把多于外部電源所提供的能量送回電源，也不能進行能不能把多于外部電源所提供的能量送回電源，也不能進行能 量的放大。如果一端口不是無源的，它就是有源的。量的放大。如果一端口不是無源的，它就是有源的。 5.2 網(wǎng)絡的有源性和無源性網(wǎng)絡的有源性和無源性 例如，對線性時不變的電容，設它的電容值為例如，對線性時不變的電容，設它的電容值為C，則有，則有 00 ( ) 00 () 222 00 ( )( )( ) ( )d( )d 111 ( )( )( )( ) 222 tu t tu t W

5、tW tuiW tCu u W tCu tCu tCu t 所以當所以當C0時，電容元件為無源元件時，電容元件為無源元件; 所以當所以當C C0 0時（線性負電容），則為有源的。時（線性負電容），則為有源的。 無源性定義中的初始能量項無源性定義中的初始能量項是必須的是必須的 ，如不包含初始能，如不包含初始能 量項，則量項，則 22 0 11 ( )( )( ) 22 W tCutCut 0C ( )W t這樣即使這樣即使，也有可能使，也有可能使小于零小于零 5.2 網(wǎng)絡的有源性和無源性網(wǎng)絡的有源性和無源性 而對于線性二端電阻，到當前時刻而對于線性二端電阻，到當前時刻它吸收的能量它吸收的能量 2

6、2 ( )( ) ( )d( )d( )d ttt W tuiRiRi 0R t( )W t只要只要 ，對所有，對所有 總是非負的?？偸欠秦摰摹?， 通過對比正電阻和正電容可以看出，雖然它們都是無源通過對比正電阻和正電容可以看出，雖然它們都是無源 元件，然而電容有時會向外釋放能量，而電阻任何時刻元件，然而電容有時會向外釋放能量，而電阻任何時刻 都吸收能量。為了區(qū)別這種情況，引入都吸收能量。為了區(qū)別這種情況，引入“無損性無損性”的概念。的概念。 無損性定義為：無損性定義為： 0 0 ( )( )( ) ( )d0 t W tW tu t i tt ( ), ( )u ti t 0 t 且對所有且

7、對所有，從，從為為“平方可積平方可積”，既有：，既有： 0 2 ( )d t utt 0 2 ( )d t i tt 5.2 網(wǎng)絡的有源性和無源性網(wǎng)絡的有源性和無源性 對于對于N端口網(wǎng)絡，多所有的端口網(wǎng)絡，多所有的t,輸入端口的總能量為非負的輸入端口的總能量為非負的, 則此則此N端口為無源的端口為無源的,即即 T ( )( ) ( )d0 t W tui 這里設這里設t 時時, ()0, ()0ui 如果對于所有平方可積有限值允許信號對如果對于所有平方可積有限值允許信號對,有有 T ( )( ) ( )d0 t W tui 則此則此N端口為無損的端口為無損的. 對于理想變壓器對于理想變壓器,有

8、有 11 22 0 0 uin iun 1122 ( )( ) ( )( ) ( ) d0 t W tuiui 則則 所以理想變壓器是無源的且是無損的所以理想變壓器是無源的且是無損的 5.3 歸一化和去歸一化歸一化和去歸一化 在用于信號處理的電路中，實際的電路元件值在用于信號處理的電路中，實際的電路元件值 常常是很分散的。例如，實際的電容元件值的范常常是很分散的。例如，實際的電容元件值的范 圍大約在圍大約在010-12 F之間，電阻元件值的范圍大約之間，電阻元件值的范圍大約 在在0107 之間，電感元件值的范圍大約在之間，電感元件值的范圍大約在10 10-6 H之間。同時，由于各種電路的應用場

9、合不一之間。同時，由于各種電路的應用場合不一 樣，實際所設計的電路的工作頻率范圍也可能在樣，實際所設計的電路的工作頻率范圍也可能在 0109Hz之間。因此，很難對如此眾多電路的性之間。因此，很難對如此眾多電路的性 能進行統(tǒng)一的比較并采用統(tǒng)一的方法進行設計。能進行統(tǒng)一的比較并采用統(tǒng)一的方法進行設計。 根據(jù)電路基本理論可知，一個網(wǎng)絡的網(wǎng)絡函數(shù)以及網(wǎng)根據(jù)電路基本理論可知，一個網(wǎng)絡的網(wǎng)絡函數(shù)以及網(wǎng) 絡的分析與綜合步驟與該網(wǎng)絡函數(shù)中元件值的絕對大小絡的分析與綜合步驟與該網(wǎng)絡函數(shù)中元件值的絕對大小 無關(guān)，將網(wǎng)絡中各阻抗值同乘以或同除以某一常數(shù)，該無關(guān)，將網(wǎng)絡中各阻抗值同乘以或同除以某一常數(shù)，該 網(wǎng)絡的網(wǎng)絡

10、函數(shù)不變。網(wǎng)絡的網(wǎng)絡函數(shù)不變。 根據(jù)這一理論，可以對所有的網(wǎng)絡進行所謂歸一化的根據(jù)這一理論，可以對所有的網(wǎng)絡進行所謂歸一化的 處理，以便對各種網(wǎng)絡的特性進行統(tǒng)一的比較，同時也處理，以便對各種網(wǎng)絡的特性進行統(tǒng)一的比較，同時也 才有可能制定出可供設計使用的統(tǒng)一的圖表，以簡化設才有可能制定出可供設計使用的統(tǒng)一的圖表，以簡化設 計。計。 對網(wǎng)絡歸一化處理主要包括頻率歸一化和阻抗歸一化。對網(wǎng)絡歸一化處理主要包括頻率歸一化和阻抗歸一化。 網(wǎng)絡歸一化也稱為網(wǎng)絡的定標。我們在討論網(wǎng)絡轉(zhuǎn)移函網(wǎng)絡歸一化也稱為網(wǎng)絡的定標。我們在討論網(wǎng)絡轉(zhuǎn)移函 數(shù)時，已經(jīng)多次用到了頻率歸一化和阻抗歸一化的問題。數(shù)時，已經(jīng)多次用到了頻

11、率歸一化和阻抗歸一化的問題。 現(xiàn)在集中歸納如下：現(xiàn)在集中歸納如下： 5.3 歸一化和去歸一化歸一化和去歸一化 5.3 歸一化和去歸一化歸一化和去歸一化 歸一化定義歸一化定義：用一些合適的系數(shù)：用一些合適的系數(shù)(常數(shù)常數(shù))按比例換算所有電量按比例換算所有電量, 而不改變電路性質(zhì)。而不改變電路性質(zhì)。 例如，用例如，用50作為電阻的換算系數(shù)作為電阻的換算系數(shù)(歸一化常數(shù)歸一化常數(shù))，則，則 R = 75 (實際值實際值)電阻變成電阻變成 RN = 75/50 = 1.5 (歸一化值歸一化值) 。 00000 0000 ( )( ) ( ),( ), ( )( ) , NNNNN NNNN Z sY

12、sRLC ZsYsRLC ZsY sRLC Tfs Tfs Tfs 歸一化值實際值 歸一化常數(shù) 5.3 歸一化和去歸一化歸一化和去歸一化 sY sZ 1 sY sZ N N 1 sY sY sZ sZ 0 0 sZ sY 0 0 1 Y RsZ NN RsZ 00 R R sZ sZ sZR 00 R LsLsZ NNL ssZ )( N 000 L L s s sZ sZ sZLs 000 C sC sZ 1 NN N Cs sZ 1 sC Cs sZ sZ 00 0 sZ Cs 0 00 1 f T f 1 N N T f 1 T T f f 0 0 0 0 1 T f f2 NN f2

13、00 2 f f 00 f js sNNN js 000 j s s 000 s 實際值歸一化值歸一化常數(shù) 對實際值適用的物理關(guān)系，對歸一化值網(wǎng)絡保持不變，因此對實際值適用的物理關(guān)系，對歸一化值網(wǎng)絡保持不變，因此 得得 5.3 歸一化和去歸一化歸一化和去歸一化 000000000000000 111ZYfsfTfZCfZLZR 例例5.3.1 圖示電路歸一化電壓轉(zhuǎn)移函數(shù)為圖示電路歸一化電壓轉(zhuǎn)移函數(shù)為 2 2 1 2 NN N N N N ss s sU sU sH H1 F501 1 u 2 u jH 2 中心角頻率為中心角頻率為 。 1) 如要求中心頻率為如要求中心頻率為10kHz，求網(wǎng)絡函

14、數(shù)。，求網(wǎng)絡函數(shù)。 2) 如固定如固定R = 1 ， 求求L，C。 3) 如固定如固定C=0.1F，求，求R，L。 2 5.3 歸一化和去歸一化歸一化和去歸一化 【解解】：(1) 頻率歸一化常數(shù)為頻率歸一化常數(shù)為 4 4 000 1044294 2 102 sf 0 s s sN 將將 代入已知的代入已知的 得得 N sH 942 4 2 00 2 0 1 2 109479. 3104429. 4 104429. 4 2)( )( )( ss s ssss ss sU sU sH 000000 00 1 1/ N R RZLZfC RZ f -5-5 ，=2. 2508 10 ，=2. 250

15、8 10 00 22.508H ;11.254F NN LL LCC C (2) 歸一化常數(shù)歸一化常數(shù) 6 7 0000 00 3 00000 0.1 101 (3)2 10112.539112.539 0.5 /2.533 10112.5392.533mH N NN C CZRZ Cf C LZfRR RLL L ， ， ， 5.4 可實現(xiàn)的網(wǎng)絡函數(shù)可實現(xiàn)的網(wǎng)絡函數(shù) 網(wǎng)絡函數(shù)：網(wǎng)絡函數(shù)：電路零狀態(tài)下，響應的象函數(shù)與激勵的象函數(shù)電路零狀態(tài)下，響應的象函數(shù)與激勵的象函數(shù) 之比稱為之比稱為(復頻域中的復頻域中的)網(wǎng)絡函數(shù)網(wǎng)絡函數(shù) ，即，即 )( )( )( def sX sY sH 網(wǎng)絡函數(shù)的性質(zhì)

16、：網(wǎng)絡函數(shù)的性質(zhì)： 網(wǎng)絡函數(shù)是網(wǎng)絡函數(shù)是s的有理函數(shù)，其系數(shù)均為實數(shù)的有理函數(shù)，其系數(shù)均為實數(shù) 1. 證明：證明： 1 110 1 110 ( ) ( ) ( ) mm mm nn nn b sbsbsbN s H s D sa sasa sa 網(wǎng)絡函數(shù)的一般形式為：網(wǎng)絡函數(shù)的一般形式為： 節(jié)點電壓方程的矩陣形式為：節(jié)點電壓方程的矩陣形式為： ( )( )( ) nnn Y s UsIs ( )( )( )( ) nss IsAY s UsAIs 5.4 可實現(xiàn)的網(wǎng)絡函數(shù)可實現(xiàn)的網(wǎng)絡函數(shù) 1 ( )( )( ) nnn UsYs Is 方程的解：方程的解： 其展開形式如下：其展開形式如下： 1

17、1121 11 21222 22 12 ( )( ) ( )( ) ( )( ) n nn n nn nnnn nnnn UsIs UsIs UsIs (1,2, ;1,2, ) ij in jn ij Y 式中式中為節(jié)點導納矩陣的行列式，為節(jié)點導納矩陣的行列式， 為行列式為行列式中元素中元素 的代數(shù)余子式。的代數(shù)余子式。 5.4 可實現(xiàn)的網(wǎng)絡函數(shù)可實現(xiàn)的網(wǎng)絡函數(shù) 根據(jù)網(wǎng)絡函數(shù)的定義，假設電路中只有一個獨立電源為根據(jù)網(wǎng)絡函數(shù)的定義，假設電路中只有一個獨立電源為 電流源，并且該電流源的一端為參考節(jié)點，另一端為節(jié)電流源，并且該電流源的一端為參考節(jié)點，另一端為節(jié) 點。電路中各電容電壓、電感電流的原始

18、值為零。則點。電路中各電容電壓、電感電流的原始值為零。則 式可進一步簡化為式可進一步簡化為 1 1 ( )( ) j njn UsIs 如果響應假設為節(jié)點電壓如果響應假設為節(jié)點電壓 nj U，則網(wǎng)絡函數(shù)，則網(wǎng)絡函數(shù) 1 1 ( ) ( ) ( ) njj n Us H s Is 由于節(jié)點導納中自導納和互導納的一般形式為由于節(jié)點導納中自導納和互導納的一般形式為 2 1 ij ijijij s Y L sR sC ij ij Y 是實系數(shù)有理函數(shù)，而是實系數(shù)有理函數(shù)，而和和中的元素都是形如中的元素都是形如 ij Y 系數(shù)有理函數(shù)，因此網(wǎng)絡函數(shù)必定是系數(shù)有理函數(shù)，因此網(wǎng)絡函數(shù)必定是 的實的實 s s

19、 的實系數(shù)有理函數(shù)的實系數(shù)有理函數(shù) 5.4 可實現(xiàn)的網(wǎng)絡函數(shù)可實現(xiàn)的網(wǎng)絡函數(shù) 2. 網(wǎng)絡函數(shù)的零點、極點對網(wǎng)絡函數(shù)的零點、極點對軸對稱軸對稱 證明證明：網(wǎng)絡函數(shù)可表示成另外一種表達形式，即：網(wǎng)絡函數(shù)可表示成另外一種表達形式，即 12 12 ()()()( ) ( ) ( )()()() mm nn bskskskN s H s D sa spspsp 由于網(wǎng)絡函數(shù)分子分母多項式多是由于網(wǎng)絡函數(shù)分子分母多項式多是 實系數(shù)多項式，而網(wǎng)絡函數(shù)的零極實系數(shù)多項式，而網(wǎng)絡函數(shù)的零極 點可以是實數(shù)、虛數(shù)或復數(shù)。但當點可以是實數(shù)、虛數(shù)或復數(shù)。但當 零點和極點是虛數(shù)或復數(shù)時，則一零點和極點是虛數(shù)或復數(shù)時，則一

20、 定以共軛的形式出現(xiàn)，否則不能確定以共軛的形式出現(xiàn)，否則不能確 保分子分母多項式的系數(shù)為實數(shù)保分子分母多項式的系數(shù)為實數(shù) 5.4 可實現(xiàn)的網(wǎng)絡函數(shù)可實現(xiàn)的網(wǎng)絡函數(shù) 3. 網(wǎng)絡函數(shù)與單位沖擊特性的關(guān)系網(wǎng)絡函數(shù)與單位沖擊特性的關(guān)系 )( )( )(th K thK sHL L 根據(jù)單位沖激特性的定義及齊性原理，當激勵根據(jù)單位沖激特性的定義及齊性原理，當激勵 )()(tKtx 零狀態(tài)響應零狀態(tài)響應 )()(tKhty。即當。即當 KtKsX)()(L時，時， )()()(thKtKhsYLL則則 即網(wǎng)絡函數(shù)就是網(wǎng)絡單位沖激特性的象函數(shù)；反之，網(wǎng)絡即網(wǎng)絡函數(shù)就是網(wǎng)絡單位沖激特性的象函數(shù)；反之，網(wǎng)絡 函

21、數(shù)的原函數(shù)就是網(wǎng)絡的單位沖激特性，即函數(shù)的原函數(shù)就是網(wǎng)絡的單位沖激特性，即 )()( )()( 1 sHth thsH L L 網(wǎng)絡函數(shù)網(wǎng)絡函數(shù) )(sH和單位沖激特性和單位沖激特性 )(th都反映網(wǎng)絡的固有性質(zhì)。都反映網(wǎng)絡的固有性質(zhì)。 5.4 可實現(xiàn)的網(wǎng)絡函數(shù)可實現(xiàn)的網(wǎng)絡函數(shù) 式中式中 ，N 、P、D、Q都是都是 s 的多項式。的多項式。 )( )( )(, )( )( )( sQ sP sX sD sN sH 若已知網(wǎng)絡函數(shù)和外加激勵的象函數(shù)，則零狀態(tài)響應象函數(shù)為若已知網(wǎng)絡函數(shù)和外加激勵的象函數(shù)，則零狀態(tài)響應象函數(shù)為 )( )( )( )( )( )( )()()( 2 1 sF sF s

22、Q sP sD sN sXsHsY 用部分分式展開求用部分分式展開求Y(s)的原函數(shù)時，的原函數(shù)時，F(xiàn)2(s)=D(s)Q(s)=0的根的根 將包括將包括D(s)=0及及Q(s)=0的根。響應中與的根。響應中與Q(s)=0的根對應的那的根對應的那 些項與外加激勵的函數(shù)形式相同，屬于些項與外加激勵的函數(shù)形式相同，屬于強制分量強制分量；而與；而與 D(s)=0的根的根(即網(wǎng)絡函數(shù)的極點即網(wǎng)絡函數(shù)的極點)對應的那些項的性質(zhì)由網(wǎng)絡對應的那些項的性質(zhì)由網(wǎng)絡 的結(jié)構(gòu)與參數(shù)決定，屬于的結(jié)構(gòu)與參數(shù)決定，屬于自由分量自由分量。因此，網(wǎng)絡函數(shù)極點的。因此，網(wǎng)絡函數(shù)極點的 性質(zhì)決定了網(wǎng)絡暫態(tài)過程的特性。性質(zhì)決定了網(wǎng)

23、絡暫態(tài)過程的特性。 5.4 可實現(xiàn)的網(wǎng)絡函數(shù)可實現(xiàn)的網(wǎng)絡函數(shù) )( 2 ti 例例5.4.1 電路如圖所示，已知電路如圖所示，已知R=0.5，L=1H，C=1F，a=0.25 。 定義網(wǎng)絡函數(shù)定義網(wǎng)絡函數(shù) ，求，求H(s)及其單位沖激特性及其單位沖激特性h(t) 1) 求當求當 時的響應時的響應 。 )( )( )( S 2 sU sI sH V)(e3)( S ttu t 5.4 可實現(xiàn)的網(wǎng)絡函數(shù)可實現(xiàn)的網(wǎng)絡函數(shù) 解 (1) 列回路電流方程：列回路電流方程： )()( 1 )( )()() 1 ()( 1 )()( 1 )() 1 ( 21 21 S21 sIsI sC sU saUsIsL

24、 sC sI sC sUsI sC sI sC R C C 75. 02 )(5 . 1 )( 2 S 2 ss sU sI 5 . 1 5 . 1 5 . 0 5 . 1 75. 02 5 . 1 )( )( )( 2 S 2 sssssU sI sH )(s)(ee (5 . 1)()( -15 . 15 . 01 tsHth tt L 0)()75. 0()(750- )()()() 15 . 0( 2 2 1 S21 sIssI. ssUsIsIs 代數(shù)整理得 5.4 可實現(xiàn)的網(wǎng)絡函數(shù)可實現(xiàn)的網(wǎng)絡函數(shù) (2) 當 時V)(e3)( S ttu t 1 A18 5 . 1 A9 5 .

25、0 A9 ) 1( 3 )5 . 1)(5 . 0( 5 . 1 ) 1( 3 75. 02 5 . 1 )()()( 1 V3 )()( 2 S2 SS sss sss sss sUsHsI s tusUL )0(A)e18e9e9()( 5 . 15 . 0 2 tti ttt 5.4 可實現(xiàn)的網(wǎng)絡函數(shù)可實現(xiàn)的網(wǎng)絡函數(shù) 4. 網(wǎng)絡函數(shù)的極點位置與網(wǎng)絡穩(wěn)定性的關(guān)系網(wǎng)絡函數(shù)的極點位置與網(wǎng)絡穩(wěn)定性的關(guān)系 其中極點其中極點p1、p2、pn稱為網(wǎng)絡函數(shù)的自然頻率，它只與網(wǎng)稱為網(wǎng)絡函數(shù)的自然頻率，它只與網(wǎng) 絡結(jié)構(gòu)與參數(shù)有關(guān)。絡結(jié)構(gòu)與參數(shù)有關(guān)。 n k k k ps A sD sN sH 1 )( )(

26、 )( 分析一階極點情況：若網(wǎng)絡函數(shù)僅含一階極點，且分析一階極點情況：若網(wǎng)絡函數(shù)僅含一階極點，且nm，則，則 網(wǎng)絡函數(shù)可展開成網(wǎng)絡函數(shù)可展開成 網(wǎng)絡的單位沖激特性為網(wǎng)絡的單位沖激特性為 可見它與極點位置有關(guān)可見它與極點位置有關(guān) 。 n k tp k k AsHth 1 1 e)()(L 如前所述，網(wǎng)絡函數(shù)與單位沖激特性構(gòu)成拉普拉斯變換如前所述，網(wǎng)絡函數(shù)與單位沖激特性構(gòu)成拉普拉斯變換 對，單位沖激特性的性質(zhì)取決于網(wǎng)絡函數(shù)的極點性質(zhì)，即取對，單位沖激特性的性質(zhì)取決于網(wǎng)絡函數(shù)的極點性質(zhì)，即取 決于極點在復平面上的位置。決于極點在復平面上的位置。 要點：由極點在復平面上的分布來判斷暫態(tài)特性。要點：由極

27、點在復平面上的分布來判斷暫態(tài)特性。 5.4 可實現(xiàn)的網(wǎng)絡函數(shù)可實現(xiàn)的網(wǎng)絡函數(shù) 網(wǎng)絡函數(shù)的極點位置與單位沖激特性的關(guān)系 5.4 可實現(xiàn)的網(wǎng)絡函數(shù)可實現(xiàn)的網(wǎng)絡函數(shù) 網(wǎng)絡函數(shù)的極點位置與單位沖激特性的關(guān)系概括如下：網(wǎng)絡函數(shù)的極點位置與單位沖激特性的關(guān)系概括如下： 位于左半平面時，收斂位于左半平面時，收斂 位于右半平面時，發(fā)散位于右半平面時，發(fā)散 pk 位于實軸上時，響應非振蕩位于實軸上時，響應非振蕩 位于虛軸上時，臨界穩(wěn)定位于虛軸上時，臨界穩(wěn)定 否則，均為振蕩否則，均為振蕩 pk 所有極點位于左半平面，暫態(tài)過程穩(wěn)定所有極點位于左半平面，暫態(tài)過程穩(wěn)定 若有一個以上極點位于右半平面，暫態(tài)過若有一個以上極

28、點位于右半平面，暫態(tài)過 程不穩(wěn)定程不穩(wěn)定 H(s) 5.4 可實現(xiàn)的網(wǎng)絡函數(shù)可實現(xiàn)的網(wǎng)絡函數(shù) j j 由前面的分析，網(wǎng)絡穩(wěn)定與否決定于網(wǎng)絡函數(shù)的極點在復平由前面的分析，網(wǎng)絡穩(wěn)定與否決定于網(wǎng)絡函數(shù)的極點在復平 面上的分布。為討論的方便，將根不在面上的分布。為討論的方便，將根不在s右半開平面（即不右半開平面（即不 包含縱軸的右半平面），且無包含縱軸的右半平面），且無 叫做霍爾維次多項式，簡稱為霍氏多項式。它又可分為叫做霍爾維次多項式，簡稱為霍氏多項式。它又可分為 (1)只有只有s左半開平面根的實系數(shù)多項式，叫做嚴格霍氏左半開平面根的實系數(shù)多項式，叫做嚴格霍氏 多項式。多項式。 (2)根不在根不在s

29、右半開平面，但具有軸右半開平面，但具有軸 軸上重根的實系數(shù)多項式軸上重根的實系數(shù)多項式 軸單根的實系數(shù)軸單根的實系數(shù) 多項式叫做廣義霍氏多項式。多項式叫做廣義霍氏多項式。 總之，線性時不變穩(wěn)定網(wǎng)絡的網(wǎng)絡函數(shù)具有如下主要性質(zhì)：總之，線性時不變穩(wěn)定網(wǎng)絡的網(wǎng)絡函數(shù)具有如下主要性質(zhì)： 必須是必須是s的實系數(shù)有理函數(shù)；的實系數(shù)有理函數(shù)； 網(wǎng)絡函數(shù)的零點和極點對網(wǎng)絡函數(shù)的零點和極點對 (3)分母多項式必須是霍氏多項式。分母多項式必須是霍氏多項式。 軸對稱；軸對稱； 霍爾維次多項式性質(zhì)及其檢驗霍爾維次多項式性質(zhì)及其檢驗 (1)嚴格霍氏多項式從嚴格霍氏多項式從s的最高次冪到最低次冪的系數(shù)全為的最高次冪到最低次

30、冪的系數(shù)全為 正，且不能缺項。正，且不能缺項。 證明證明：從嚴格霍氏多項式的定義可以看出，它的根只有以下：從嚴格霍氏多項式的定義可以看出，它的根只有以下 兩種形式兩種形式 i ii s 為正實數(shù)；為正實數(shù)； ， i j iii s ，和和 i 都為正實數(shù)。都為正實數(shù)。 含有這些根的多項式可寫成含有這些根的多項式可寫成 1 110 ( ) nn nn P sa sasa sa 如果一個關(guān)于如果一個關(guān)于s的嚴格霍氏多項式共有的嚴格霍氏多項式共有n個根，其中包含個根，其中包含m個負個負 實根，實根，n-m個左半開平面的共軛復根，則含有這些根的多項式個左半開平面的共軛復根，則含有這些根的多項式 可以寫

31、成可以寫成 5.4 可實現(xiàn)的網(wǎng)絡函數(shù)可實現(xiàn)的網(wǎng)絡函數(shù) 12 ( )( )( )P sP s P s 其中：其中： 1 1 ( )() m i i P ss 表示對應產(chǎn)生負實根的因式乘積表示對應產(chǎn)生負實根的因式乘積 ()/2()/2 222 2 11 ( )(j)(j)(2) n mn m iiiiiii ii P sssss 表示對應產(chǎn)生共軛復根的因式乘積。因這兩類因式都為正實表示對應產(chǎn)生共軛復根的因式乘積。因這兩類因式都為正實 系數(shù)且不缺項，因此，它們相乘得到的嚴格霍氏多項式也必系數(shù)且不缺項，因此，它們相乘得到的嚴格霍氏多項式也必 定所有系數(shù)全為正且不缺項。定所有系數(shù)全為正且不缺項。 (2)

32、廣義霍氏多項式從廣義霍氏多項式從s的最高次冪到最低次冪的系數(shù)全為正，的最高次冪到最低次冪的系數(shù)全為正， 但可以缺項。但可以缺項。 對于廣義霍氏多項式，由于具有對于廣義霍氏多項式，由于具有 j 軸上的單階共軛復根，軸上的單階共軛復根， 多項式中會包含多項式中會包含 22 ()s 的因式，當具有位于原點的根時，的因式，當具有位于原點的根時， 廣義霍氏多項式中缺常數(shù)項。廣義霍氏多項式中缺常數(shù)項。 5.4 可實現(xiàn)的網(wǎng)絡函數(shù)可實現(xiàn)的網(wǎng)絡函數(shù) 由此得到檢驗霍氏多項式的必要條件是多項式的系數(shù)必須全由此得到檢驗霍氏多項式的必要條件是多項式的系數(shù)必須全 為正值。對于嚴格霍氏多項式除了系數(shù)為正外還不能缺項，為正值

33、。對于嚴格霍氏多項式除了系數(shù)為正外還不能缺項， 而廣義霍氏多項式可以有缺項。而廣義霍氏多項式可以有缺項。 例如：例如： 42 21ss是廣義霍氏多項式是廣義霍氏多項式 3 1s 和和 2 23ss不是霍氏多項式不是霍氏多項式 32 234sss 到底是不是霍氏多項式還需進一步的檢到底是不是霍氏多項式還需進一步的檢 驗，因為系數(shù)為正和不缺項只是嚴格霍氏多項式的必要驗，因為系數(shù)為正和不缺項只是嚴格霍氏多項式的必要 條件并非充分條件。條件并非充分條件。 最后要指出，判別一個多項式是否為霍氏多項式，最直接的最后要指出，判別一個多項式是否為霍氏多項式，最直接的 方法是求出該多項式的根，如果各個根的實部都

34、為負值，則方法是求出該多項式的根，如果各個根的實部都為負值，則 該多項式必為嚴格霍氏多項式，如果某些根的實部為負，某該多項式必為嚴格霍氏多項式，如果某些根的實部為負，某 些根的實部為零。則為廣義的霍氏多項式，否則就不是霍氏些根的實部為零。則為廣義的霍氏多項式，否則就不是霍氏 多項式。多項式。 5.4 可實現(xiàn)的網(wǎng)絡函數(shù)可實現(xiàn)的網(wǎng)絡函數(shù) (3) 對于嚴格霍氏多項式對于嚴格霍氏多項式P(s)可分解為偶部和奇部兩部分，即可分解為偶部和奇部兩部分，即 ( )( )( )P sm sn s 式中，式中，m(s)為偶部，全部由為偶部，全部由s的偶次項組成，包括常數(shù)項；的偶次項組成，包括常數(shù)項； n(s)為奇

35、部，全部由為奇部，全部由s的奇次項組成。則偶部與奇部之比的奇次項組成。則偶部與奇部之比 R(s)= m(s)/n(s)，或奇部與偶部之比，或奇部與偶部之比R(s)= n(s)/m(s)展開成展開成 連分式時，所得各商數(shù)都為正，即連分式時，所得各商數(shù)都為正，即 1 2 3 1 ( ) 1 1 1 n R sk s k s k s k s 式中，商數(shù)式中，商數(shù)ki均為正數(shù)。均為正數(shù)。 5.4 可實現(xiàn)的網(wǎng)絡函數(shù)可實現(xiàn)的網(wǎng)絡函數(shù) 5.5 正實函數(shù)正實函數(shù) 定義：設定義：設F(s)是復變量是復變量s=+j的函數(shù)，如果的函數(shù)，如果 (1)當當Ims=0時，時，ImF(s)=0； (2)當當Res0時，時，

36、ReF(s) 0。 則稱則稱F(s)為正實函數(shù)，簡稱（為正實函數(shù)，簡稱（P.r.）函數(shù)。正實函數(shù)的映）函數(shù)。正實函數(shù)的映 射關(guān)系如圖所示。射關(guān)系如圖所示。 正實函數(shù)的映射關(guān)系正實函數(shù)的映射關(guān)系 5.5 正實函數(shù)正實函數(shù) 正實函數(shù)的性質(zhì)正實函數(shù)的性質(zhì): 性質(zhì)性質(zhì)1.正實函數(shù)的倒數(shù)仍為正實函數(shù)正實函數(shù)的倒數(shù)仍為正實函數(shù) 證明：假定證明：假定F(s)是正實函數(shù)，則其必定滿足正實函數(shù)定義的是正實函數(shù)，則其必定滿足正實函數(shù)定義的 條件條件(1)和條件和條件(2)，因此，因此 (1)當當Ims=0時，時，ImF(s)=0，所以，所以Im1/F(s)=0，既滿足條，既滿足條 件件(1)； 因為當因為當Res

37、0時，時，ReF(s)0，則，則Re1/F(s) 0，滿足條件，滿足條件 (2)。以上證明了正實函數(shù)的倒數(shù)同樣滿足正實函數(shù)的兩個。以上證明了正實函數(shù)的倒數(shù)同樣滿足正實函數(shù)的兩個 條件，所以是正實函數(shù)。條件，所以是正實函數(shù)。 (2)設設F(s)=P(s)+jQ(s)，其中，其中P(s)和和Q(s)分別為分別為F(s)的實部和的實部和 虛部，則有虛部，則有 Re1/F(s)= Re1/(P(s)+jQ(s)= P(s)/(P2(s)+Q2(s) 5.5 正實函數(shù)正實函數(shù) 性質(zhì)性質(zhì)2. 正實函數(shù)之和仍為正實函數(shù)正實函數(shù)之和仍為正實函數(shù) 證明：假定證明：假定F1(s)和和F2(s)都為正實函數(shù)，都為正

38、實函數(shù)，F(xiàn)(s)= F1(s)+ F2(s)且且 F1(s)= P1(s)+jQ1(s)，F(xiàn)2(s)= P2(s)+jQ2(s)。 當當Ims=0時，時，ImF1(s)=0，ImF2(s)=0，所以，所以 ImF(s)= ImF1(s)+ F2(s)= ImF1(s)+ ImF2(s)=0， 既滿足條件既滿足條件(1)； (2) 當當Res0時，時，ReF1(s) 0 ，ReF2(s) 0 ，所以，所以 ReF(s)= ReF1(s)+ F2(s)= ReF1(s)+ ReF2(s)0， 既滿足條件既滿足條件(2)。則性質(zhì)。則性質(zhì)2得證。得證。 此結(jié)論可以進一步推廣為多個正實函數(shù)之和同樣為正實

39、函數(shù)。此結(jié)論可以進一步推廣為多個正實函數(shù)之和同樣為正實函數(shù)。 可更進一步推廣為多個正實函數(shù)的正線性組合（組合系數(shù)為正可更進一步推廣為多個正實函數(shù)的正線性組合（組合系數(shù)為正 數(shù)）仍為正實函數(shù)。需要注意的是，兩個正實函數(shù)之差不一定數(shù)）仍為正實函數(shù)。需要注意的是，兩個正實函數(shù)之差不一定 是正實函數(shù)是正實函數(shù) 5.5 正實函數(shù)正實函數(shù) 性質(zhì)性質(zhì)3. 正實函數(shù)的復合函數(shù)仍為正實函數(shù)正實函數(shù)的復合函數(shù)仍為正實函數(shù) 證明：設證明：設F(s)和和f(s)都是正實函數(shù)，則其復合函數(shù)都是正實函數(shù)，則其復合函數(shù)Ff(s)也也 是正實函數(shù)。是正實函數(shù)。 (1) 當當Ims=0時，時，ImF(s)=0，所以，所以ImF

40、f(s)=0，既滿足，既滿足 條件條件(1)； (2) 當當Res0時，時， ReF(s)0，所以，所以ReFf(s)0，既滿，既滿 足條件足條件(2)。則性質(zhì)。則性質(zhì)3得證。得證。 5.5 正實函數(shù)正實函數(shù) 布隆定理布隆定理: 若線性、集中、時不變網(wǎng)絡由無源二端元件構(gòu)成，若線性、集中、時不變網(wǎng)絡由無源二端元件構(gòu)成， 則有理函數(shù)則有理函數(shù)F(s)要成為這種網(wǎng)絡的策動點函數(shù)的充分必要條件要成為這種網(wǎng)絡的策動點函數(shù)的充分必要條件 是是F(s)為正實函數(shù)。為正實函數(shù)。 b kj j jkjk k kkk sIsMsI sC sLRsU 2 )()() 1 ()( 無源 RLCM b條支路 )(sI1

41、 )(sU1 )(/)(sYsZ1 (a) )(sIk k R k C k L kj M +- )(sUk j L (b) 圖圖(b)方程方程 5.5 正實函數(shù)正實函數(shù) 必要性的證明：必要性的證明： 111 1 11 ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) U sU s I s Z s I s I s I s 2 22 1 11 ()( )( )( ) |( )| bb kkkkjjk kj k j k RsLIssM IsIs I ssC 000 2 1 11 ( )( )( ) |( )| F sV ssMs I ss 11 2 1 1 ( )( ) = |( )| U s I

42、s I s 特勒根定理 kk 2 2 1 1 ( )( ) |( )| b k Us Is I s 22 00 22 2 00 22222 2 0 2 1 ( )|( )|0( )|( )|0 ( )|( )|( )( )( )( )0 |( )|0 bb kkk kk k bbbbb kkkjjkkjjk kkjkj j kj k b kk k F sRIsV sIs C MsLIsM Is IsTM Is Is TLIs 其中； 000 2 1 11 ( )( )( ) |( )| Z sF sV ssT s I ss ( ) 無互感時無互感時 5.5 正實函數(shù)正實函數(shù) 結(jié)論結(jié)論 000

43、2 1 11 ( )( )( )( ) |( )| Z sF sV ssMs I ss 同理，用類似的方法可以得到策動點導納的表達式為同理，用類似的方法可以得到策動點導納的表達式為 * 1 000 22* 2 1 11 ( )111 ( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( ) b k k I s Y sU s IsF sV ssMs U s U sU s s (1)當Ims=0時，ImZ(s)=0，ImY(s)=0。 (2)設s=+j, 0則 000 222 1 1 Re ( )( )( )( )0 |( )| Z sF sV sMs I s 000 222 1 1 Re (

44、 )( )( )( )0 |( )| Y sF sV sMs U s 所以所以Z(s)是正實函數(shù)。另一方面，也可以證明，任何正實函數(shù)是正實函數(shù)。另一方面，也可以證明，任何正實函數(shù) 都可以用無源集中元件來實現(xiàn)。都可以用無源集中元件來實現(xiàn)。 5.5 正實函數(shù)正實函數(shù) 正實函數(shù)的等價條件正實函數(shù)的等價條件1 一個具有實系數(shù)的有理函數(shù)一個具有實系數(shù)的有理函數(shù)F(s)為正實函數(shù)的必要充分條件是為正實函數(shù)的必要充分條件是 (1) 當當s為實數(shù)時，為實數(shù)時，F(xiàn)(s)也是實數(shù)；也是實數(shù)； (2) 對全部實頻率對全部實頻率，ReF(j)0，即在虛軸上，即在虛軸上，ReF(s) 大于等于零；大于等于零； (3)

45、F(s)的全部極點位于的全部極點位于s平面的閉左半平面，位于平面的閉左半平面，位于j軸上的軸上的 極點是一階的，且具有正實留數(shù)。極點是一階的，且具有正實留數(shù)。 等價正實條件等價正實條件(1)和和(2)可由正實函數(shù)的定義直接得出，可由正實函數(shù)的定義直接得出， 下面主要推導等價條件下面主要推導等價條件(3)。 5.5 正實函數(shù)正實函數(shù) 設設F(s)有一右半開平面的有一右半開平面的n階極點階極點sp，在此極點周圍，對，在此極點周圍，對F(s) 進行羅朗級數(shù)展開，即進行羅朗級數(shù)展開，即 11 01 1 ( )()() ()()() n nn pnp nn ppp kkk F skk sskss sss

46、sss 當當ssp時得時得( ) () n n p k F s ss 令ssp=rej，k-n=kej，k、r和為正實數(shù)。 () ( ) Re( ( )cos() jn n n k F se r k F sn r 因為所考查的右半開平面，既因為所考查的右半開平面，既Res0，必有，必有ReF(s)0， 即要求即要求 cos()0n 滿足這個條件的唯一可能是滿足這個條件的唯一可能是n=0 5.5 正實函數(shù)正實函數(shù) 結(jié)論：正實函數(shù)在結(jié)論：正實函數(shù)在s右半開平面沒有極點，即右半開平面沒有極點，即F(s)的全部極的全部極 點位于點位于s平面的閉左半平面內(nèi)。平面的閉左半平面內(nèi)。 n=1說明說明j軸上的極

47、點是單階的，軸上的極點是單階的，=0說明極點處的留數(shù)說明極點處的留數(shù) k-1為一正實數(shù)。這就說明了等價條件為一正實數(shù)。這就說明了等價條件(3)。 若極點若極點sp位于位于j軸上，為保持軸上，為保持ReF(s)為正數(shù)的條件是為正數(shù)的條件是 n=1和和=0。 等價條件等價條件(2)和和(3)有它的物理概念。在正弦穩(wěn)態(tài)條件下，有它的物理概念。在正弦穩(wěn)態(tài)條件下， 輸入到單口網(wǎng)絡的平均功率為輸入到單口網(wǎng)絡的平均功率為 22 11 Re (j )PI RIZ 由于無源網(wǎng)絡只會吸收能量，不會供出能量，即由于無源網(wǎng)絡只會吸收能量，不會供出能量，即 0P 所以必有所以必有 Re (j )0Z 由于無源網(wǎng)絡一定是

48、穩(wěn)定網(wǎng)絡，所以由于無源網(wǎng)絡一定是穩(wěn)定網(wǎng)絡，所以Z(s)的極點不能在右半的極點不能在右半 平面內(nèi)，平面內(nèi)，j軸上極點必須為單階，這就是條件軸上極點必須為單階，這就是條件(3)的物理內(nèi)容。的物理內(nèi)容。 5.5 正實函數(shù)正實函數(shù) 設設 1）Ns)、D(s)全部系數(shù)大于零；全部系數(shù)大于零； 2）N(s)、D(s)的最高次冪最多相差的最高次冪最多相差1，最低次冪最多也相差，最低次冪最多也相差1； 3）F(s)在在 軸上的極點是一階的，且具有正實留數(shù)；軸上的極點是一階的，且具有正實留數(shù)； 4） （對所有的（對所有的 ） ； 5）N(s)、D(s)均為均為Hurwitz多項式多項式(全部零、極點位于全部零、

49、極點位于S左半閉平左半閉平 面面) ( )( )/( )F sN sD s j 0)j (ReF 等價正實條件等價正實條件2 5.5 正實函數(shù)正實函數(shù) 2 12 23225 (a)( );(b)( ) 14 sss Z sZs ss 解解 (a) 顯然滿足顯然滿足(1)、(2)、(3) 、(5)。又。又 2 11 2 2j323 (j )Re(j ) j11 ZZ ， 滿足滿足(4) )( 1 sZ是正實函數(shù)。是正實函數(shù)。 (b) 顯然滿足顯然滿足(1)、(2)、(3)。但。但 )50(0 16 1002 )j (Re 2 2 2 2 當Z )( 2 sZ故故 不是正實函數(shù)不是正實函數(shù) 不滿足

50、不滿足(4) 2 2 2 (c) 2 ss F s s 5.5 正實函數(shù)正實函數(shù) 2 2 2 (c) 2 ss F s s 解解 (c) 顯然滿足顯然滿足(1)、(2)、 (5)。又。又 2 2j 2j 2N ssss F s j 故故 軸軸 上有兩個單階極點：上有兩個單階極點： 12 j 2j 2ss ， 此二極點處之留數(shù)，在此二極點處之留數(shù)，在 時留數(shù)分別為時留數(shù)分別為 12 ssss和 1 2 11 j 2 2j 21 0 2j 22j 2 s s s ss ssF s s 2 2 22 j 2 2j 21 0 2j 22j 2 s s s ss ssF s s 22 22 j22 Re

51、jRe10 22 F (對所有對所有 ) 在在 軸上的極點是軸上的極點是 一階的，且具有正一階的，且具有正 實留數(shù)，滿足實留數(shù)，滿足(3) j 由此可斷定由此可斷定 是正實函數(shù)。是正實函數(shù)。 F s 5.6 LC一端口的實現(xiàn)一端口的實現(xiàn) LC一端口：一端口： 0 0,0,( )0RMF s * 0 0 2* 1 ( )1 ( )( ) |( )| V s Y ss T s U ss 一、一、 或或 的性質(zhì)的性質(zhì))(sY)(sZ 0 0 2 1 ( )1 ( )( ) |( )| V s Z ssT s I ss 1. Z(s)為為s的奇函數(shù)，即的奇函數(shù)，即Z(-s)= - Z(s)； 2. Z

52、(s)的全部極點和零點共軛成對地位于的全部極點和零點共軛成對地位于 軸上；軸上；j s4. 在在 s = 0 和和 處或是一零點或是一極點處或是一零點或是一極點 ； 3. Z(s) 的分子和分母最高方次之差必為的分子和分母最高方次之差必為1； 5. 對任何對任何 ， 均為純虛數(shù)；均為純虛數(shù)；jZ(j ) 6. Z(s)是是 的嚴格單調(diào)遞增函數(shù)，零、極點交替出現(xiàn)在的嚴格單調(diào)遞增函數(shù)，零、極點交替出現(xiàn)在 軸上軸上j 5.6 LC一端口的實現(xiàn)一端口的實現(xiàn) 示意圖如下：示意圖如下： )(X )(X 5.6 LC一端口的實現(xiàn)一端口的實現(xiàn) 二、二、 LC一端口綜合一端口綜合 1 Foster綜合綜合(基于

53、部分分式展開后逐項實現(xiàn)基于部分分式展開后逐項實現(xiàn)) 根據(jù)性質(zhì)確定有理函數(shù)根據(jù)性質(zhì)確定有理函數(shù)F(s)是否為電抗函數(shù)，從而確定能否用是否為電抗函數(shù)，從而確定能否用 LC網(wǎng)絡實現(xiàn)。網(wǎng)絡實現(xiàn)。 1） Foster第一種形式第一種形式串聯(lián)形式，給定阻抗函數(shù)串聯(lián)形式，給定阻抗函數(shù)Z(s) LC電抗函數(shù)的電抗函數(shù)的Foster第一種綜合形式第一種綜合形式 n i i i s sK s K sKsZ 1 22 0 )( ii i i i ii i CL s Cs sC sL CL sZ 1 / 1 / )( 2 計算并聯(lián)阻抗計算并聯(lián)阻抗 5.6 LC一端口的實現(xiàn)一端口的實現(xiàn) 2 00 / 1/ 1 iiii

54、i KLKCKCKL ， 22 0 0j ( ) limlim( )lim( ) i i i sss Z ss KKZ s sKZ s ss ， 若若Z(s)在在s=0處有零點處有零點(分子有分子有s項項) ,則則K0=0,即網(wǎng)絡中無即網(wǎng)絡中無C0元件元件; 若若Z(s)在在s處有零點處有零點(分母有分母有s項項),則則K=0,即網(wǎng)絡無即網(wǎng)絡無L元件元件. 5.6 LC一端口的實現(xiàn)一端口的實現(xiàn) 2） Foster 第二種形式第二種形式并聯(lián)形式，給定導納函數(shù)并聯(lián)形式，給定導納函數(shù)Y(s) n i i i s sK s K sK sZ sY 1 22 0 1 )( )( C 0 L i C i L

55、 n C n L 2 1 )/ 1 ( 1 1 )( ii i i i i CL s sL sC sL sY )(sY 圖圖5.12 LC導抗函數(shù)的導抗函數(shù)的Foster第二種綜合形式第二種綜合形式 若若Y(s)在在s=0處有零點，則處有零點，則 若若Y(s)在在s有零點，則有零點，則 0 0K 0 L 0K C 即網(wǎng)絡中無即網(wǎng)絡中無 元件元件; 即網(wǎng)絡中無即網(wǎng)絡中無 元件元件. 5.6 LC一端口的實現(xiàn)一端口的實現(xiàn) 例例5.3 分別用分別用Foster 第一和第二種形式綜合阻抗函數(shù)第一和第二種形式綜合阻抗函數(shù) )4)(2( )3)(1(8 )( 22 22 sss ss sZ 【解解】 (1

56、) 對對Z(s)進行展開進行展開 22222 2 2 10 2 3 )2( 23 42 )( s s s s ss sK s sK s K sZ 2 2 )(lim, 3 8 24 )(lim 2 2 1 0 0 s s sZKssZK jss 3 4 )(lim 2 2 2 s s sZK js 0 C 1 L 1 C 2 L 2 C )(sZ Foster第一種綜合形式第一種綜合形式 01 01 12 122 22 122 1111 FF 32 113 1HFH 34 CC KK KK LCL K 元件， ， 5.6 LC一端口的實現(xiàn)一端口的實現(xiàn) (2) 對對Y(s)進行展開進行展開 3

57、16 1 1 16 3 8 1 31) 3)(1(8 )4)(2( )( 1 )( 222 2 2 1 22 22 s s s s s s sK s sK sK ss sss sZ sY Foster第二種綜合形式第二種綜合形式 12 1122 22 1122 1311611 F, F, H,F, 16H 816348 KK CKCLCL KK 5.6 LC一端口的實現(xiàn)一端口的實現(xiàn) 2 Cauer(考爾考爾)綜合綜合(基于連分式展開基于連分式展開) Cauer綜合法又稱作連分式法，該方法首先將網(wǎng)絡函數(shù)寫綜合法又稱作連分式法，該方法首先將網(wǎng)絡函數(shù)寫 成連分式的形式，該形式可用成連分式的形式，該形

58、式可用LC梯形網(wǎng)絡來實現(xiàn)。梯形網(wǎng)絡來實現(xiàn)。 梯形網(wǎng)絡如下梯形網(wǎng)絡如下 1 1 2 2 3 1 ( ) 1 1 1 Z sZ Y Z Y Z 其串臂用阻抗其串臂用阻抗Z標出標出,分流臂用導納分流臂用導納Y標出標出,得該端口輸入阻抗得該端口輸入阻抗 5.6 LC一端口的實現(xiàn)一端口的實現(xiàn) 1) Cauer 第一種形式第一種形式 (特點：逐次移出特點：逐次移出 處的極點。處的極點。 串臂為電感，并臂為電容串臂為電感，并臂為電容) s 首先假設首先假設LC梯形網(wǎng)絡端口阻抗函數(shù)分子的梯形網(wǎng)絡端口阻抗函數(shù)分子的s最高冪次比分母最高冪次比分母 的的s最高冪次高一次最高冪次高一次 ( ) ( ) ( ) N s

59、 Z s D s 在在 s 處，處，Z(s)有一個極點，移去此極點有一個極點，移去此極點 1 111 ( )( ) ( )( ) ( )( ) N sN s Z sa sa sZ s D sD s 式中，式中，a1是分子、分母多項式是分子、分母多項式s的最高冪次的系數(shù)之比，因為的最高冪次的系數(shù)之比，因為 電抗函數(shù)的分子、分母多項式的系數(shù)為正實數(shù)，所以電抗函數(shù)的分子、分母多項式的系數(shù)為正實數(shù)，所以a1為正為正 實數(shù)，它相當于一個電感值。實數(shù)，它相當于一個電感值。 5.6 LC一端口的實現(xiàn)一端口的實現(xiàn) 函數(shù)函數(shù)Z1(s)的分子的最高冪次比分母的最高冪次低一次，因的分子的最高冪次比分母的最高冪次低一

60、次，因 此在此在s處，處，Z1(s)有一個零點，其倒數(shù)有一個零點，其倒數(shù)1/Z1(s)在在s處處 有一個極點，再移去此極點可得有一個極點，再移去此極點可得 1 1 2 1 ( )1 ( ) ( ) ( ) ( ) N s Z sa s D s D s a s N s 式中式中a2為為D(s)/N1(s)在在s處的留數(shù)，它相當于一個電容值。處的留數(shù)，它相當于一個電容值。 D1(s)的的s最高冪次比最高冪次比N1(s)的的s最高冪次低一次，因此在最高冪次低一次，因此在s處處 又將有一個零點，其倒數(shù)又將有一個零點，其倒數(shù)N1(s)/D1(s)在在s處有一個極點，再處有一個極點，再 移去此極點。移去此