結構動力學3-3

1、清華大學土木工程兼劉晶波2005年秋結構動力學3.8單自宙度休兼 對任意荷載的反應在實際工程中，很多動力荷載既不是簡諧荷載，也不是 周期性荷載，而是隨時間任意變化的荷載，需要采用 更通用的方法來研究任意荷載作用下體系的動力反應 問題O本章介紹二種動力反應問題的分析方法：時越分析方建一Duhamel積分法； 頻越分析方建一Fowrier變換法。這兩種方法適用于處理線彈性結構的動力反應問題。根據(jù)Duhamel積分法將簡要介紹 地震動作用下 結構的反應, 并簡單介紹地震反應譜的概念。同時，也將介紹階跌 荷載作用和沖擊荷載作用下結構動力反應的特點。而對于非線性問題的分析方法時域逐步積分法，將在第5章介

2、紹。3.8.1時域分析方法一Duhamel積分1、單位朦沖反應函數(shù)單値脈沖： 作用時間很短，沖量等于1的荷載。P4單位脈沖反應函數(shù)：單位脈沖作用下體系動力反應時程。K單位脈沖反應函數(shù)在時刻的一個單位脈沖作用在單自由體系上，使結構的質點獲得一個單位沖量，在脈沖結束后，質點獲得 一個初速度：mu(r + 6-)-0 = J pt)dt -1當0時：訛)=m由于脈沖作用時間很短，質點的位移為零：u(t) = 0w(r) = 01、單位脈沖反應函數(shù)1亠U(r) = LU7m丄 41.無阻尼體系的單位脈沖反應函數(shù)為：|嗆詈如h(t -r) = n =sin(7?/7(/-r) trm叫=0t r mco

3、D=0t T在任意時間/結構的反應，等 于丫以前所有脈沖作用下反應 的和：ftptu(t) = du = p(T)h(t -r)drJoJoPidu2脈沖引起的反應/L_/ 、 / -一、T時刻脈沖引起的反應/ 、總反應3.8.1時域分析方法一Duhamel積分2. 對任意荷載的反應w(Z) = | p(r)h(t - T)dr無阻尼體系動力反應的Duhamel積分公式：h(t - r) = u(t) = -sinQ (Z - r) tr mconP(T)sin69z7 (t - r)dTn 0阻尼體系動力反應的Duhamel積分公式：w(r)= p(T)h(t-T)dr O 加c =況=*產

4、(1)sinD(C tr JoymcoDu(t) = - f p(T)e,(fr) sin(vD(t -r)dT-oDuhamel （杜哈曼）積分給出的解是一個由動力荷載引起的相應于零初始條件的特解。如果初始條件不為零，則需要再疊加上由非零初 始條件引起的自由振動，其解的形式已在前面 給出。u = u(0) cos/ +ii(O)例如，對于無阻尼體系，當存在非零初始條件時, 問題的完整解為：sin cont + p(T)h(t - T)drJo3.8.1時域分析方法一Duhamel積分杜哈曼積分法給出了計算線性SDOF體系在任意荷載作用 下動力反應的一般解，適用于線彈性體系。因為使用了疊加原理

5、,因少匕它卩艮于彈4生范 圍 而不育皂用 于非線性分析。如果荷載卩是簡單的函數(shù)，則可以得到封閉解(closed- form) o 如果/?(/)是一個很復雜的函數(shù)，也可以通過數(shù) 值積分得到問題的解。但從實際應用上看，采用數(shù)值積分時，其計算效率不高, 因為對于計算任一個時間 點/的反應，積分都要從0積到 t, 而實際要計算一時間點系列，可能要幾百到幾千個 點。這時可采用效率更高的數(shù)值解法，將在以后介紹。雖然在實際的計算中并不常用Duhamel積分法，但 它給出了以積分形式表示的體系運動的解析表 達式，在方析任意荷載作用下體系動力反應的 理論研究中得到廣泛應用當夕卜荷載可以用解析函數(shù)表示時，采用D

6、uhamel積 分方法有時更容易獲得體系動力反應的解析解。 例如，獲得共振時無阻尼體系的特解。3-8.2頻域分析方法一Fourier變澳法(+8Fourier變換的定義為：一正變換一逆變換U) =H 嚴 dtJ00u= 17T J-速度和 加速度的FouTieT變換為：+ooii(t)e uotdt icoUco) J00f+oou(lWlo)tdt =夙3003.8.2頻域分析方法一FomieT變換法單自由度體系時域運動方程:嚴dt二Joc二 icoUco)e+OC嚴df二Joc-ceTU(cd)U(0) = u(t)e dtJ00q+OCu(t)=I Uco)e dco271 2丄 + 2

7、：a)他 + con u(t) = 一p(t) m對日寸域運動方程兩邊同日寸進彳亍FowrieT正變換，得 單自由度體系頻域運動方程:- CO2U(69)+ i2C0nC0U(69)+ CDU(69)二丄卩(69)m(/(69)u(t)，P(CD) p(z)一 co2U (勁 + HconcoU (0) + coU (勁=P(co) m單自由度體系運動的頻域解為:U (勁二 H(ie)P(a)H(jco)q 1 -(創(chuàng)) 2 + Z2：S / )7/(沏)一復頻反應函數(shù)，7是用來表示函數(shù)是一復數(shù)。 再利用Fourier逆變換，即得到體系的位移解：1 #u =H(ie)P(e)嚴 de2” J-

8、o3.8.2頻域分析方法一Fourier變換法頻域分析方法的基本計算步驟:1對外荷載p作FowrieT變換，得到荷載的Fourier譜卩(): M)尸)2根據(jù)外荷載的FoinieT譜刊e)和復頻反應函數(shù)R(i e),得到結構反應的頻域解一Fourier譜to):U(co)=H(ico)P(co)恥)專 h(g)2 爲如初3 應用Fomier逆變換，由頻域解氐少)得到時域解況： JJ3逆尸u(t)3.8.2頻域分析方法一FouTieT變換法離散Fourier (DFT)變換+oo卩(勁=p(t)el6)tdtoo1r+. #U =H(ico)Pco)elcotdcD2 龍 J-8A 在用頻域法分

9、析中涉及到兩次Fourier變換，均為夭窮 域積分，特別是Foinier逆變換，被積函數(shù)是復數(shù)，有 時涉及復雜的圍道積分。A當夕卜荷載是復雜的時間函數(shù)(如地震動)時，用解析 型Fourier變換幾乎是不可能的，實際計算中大量采 用的是離散FourieT變換。對連續(xù)變化的函數(shù)用等步長離散(數(shù)值采樣)3.8.2頻域分析方法一FouTieT變換法離散Fourier (DFT)變換TpPAc,八將離散化的值代入FouTieT正變換公式，并應用梯形積分公式得：r+oopj)=J00N-lk=0N-lf 2/At = Atp(tk)e nk=0將離散化的譜值代入FouTieT逆變換公式，并應用 梯形積分公

10、式得：u(fj = f Ua)ecotkdco = f H(za)Pco)eC0tkdco271 J00J00N-1 N-/溝=乂H(ia)j)PSj)e10)jtkM =工恥叫北(叫 2% j=o j=oN1(2 腳戶(包)=&工卩(4上Nk=0N-1.27ug =工 H（i叫）j nIp八0以上公式即是求結構反應的離散Fourier換方法一DFT如果取入J2匕再利用簡諧函數(shù)周期性的特點，可以得到 怏速Fouriei*變換一FFT,應用FFT可以大大加快分析速 度和減少工作量。離散FowrieT變換需要7V2次稱法運算，而快速Fourier變換 可把乘法運算次數(shù)減少到大約51002”。若N=

11、1000, 則FFT可以把乘法運算由百萬次減少到50000次左右。 N越大，F(xiàn)FT算法的效率越明顯。3.8.2頻域分析方法一FomieT變換法 離散Fourier (DFT)變換應用離散FowrieT變換日寸應注意事項：1.離散FowrieT變換將非周期時間函數(shù)周期化2. 由于第1點原因，對/?(t)要加足夠多的0點增大持續(xù)時間 Tp, 以保證在所計算的時間段0,坊內，體系的位移能 衰減到03. 頻譜上限頻林叱尸1/2 A3 Nyques 尸 TNyquest4. 頻譜的分辨率為卜仁ITp,即A oo=2nlTp5. 頻譜的下曙f=ITp100-10J3.8.2頻域分析方法一FouTieT變換

12、法離散Fourier (DFT)變換2.由于離散FowrieT變換將非周期時間函數(shù)周期化，對少匕 要加足夠多的0點以增大持續(xù)時間場，保證在所計算的 時間段0,坊內，結構的位移能衰減到0。Fourier變換，特別是快速FourieT變換在信號分析 和處理中得到廣泛應用，目 前已有標準的 FowrieT變換和決速Fowrier變換程序可用。但作為一種微分方程的解法，在用于求解結構的 運動方程時，為獲得可靠的結構動力反應分析 結果，仍需要對這一分析方法的特點有全面的 了解和掌握。3.9結構範震庾應分析的庾應譜濟蛙在學習了結構動力反應分析方法后，就可以對 結構 地震反應問 題開展計算分析。蛙當?shù)卣饎虞^

13、小時，結構反應處于線彈性范圍， 可以采用Duhamel積分，或FFT+復頻反應函數(shù) 的方法獲得地震作用下結構的反應。根據(jù)得到 的結構最大變形，最大內 力進行抗震設計。蛙當?shù)卣饎虞^強時，結構反應可能進入塑性，這 時可以采用時域逐步積分法進行求解分析。蛙 本節(jié)僅限于介紹線彈性地震反應問題。蛙 將采用Duhamel積分法介紹地震反應譜的概念。Time, secEl Centro 1940 SOOEIf Parkfield 1966No.2 - N65E典型地震動加速度時程地震作用的特點:地震動過程非常復雜，隨時間不規(guī)則，快速變化。San Fernando 1971 Pacoima Dam N76WO

14、lympia 1949- N86EHelena 1935 S90W104Lytle Creek 1970-S65EStone Canyon 1972 Mclendy Ranch N29W嚇4San Francisco 1957 State Building S09EManagua 1972 - EastKoyna 1967 LongPrieta 1989CorraJilos CHAN1 : 90 Deg1.0-0.5 -1.0Chile 1985. Llolleo - N10ENorthridge 1994Sy I mar County HospitalParking Lot CHAN3 :

15、360 DegMexico City. 1985 - SCT SOOE2030406070803.9結構地震反應分析的反應譜法土也震加速度時程的特點為：第1階段，振幅快速增長；第 2階段，相對穩(wěn)定；第3階段，振蕩衰減。0.080.04 g 0.00-0.04-0.0d.0.3-0.6-0.910 203040Kobe 波10 203040Loma Prieta 波Taft 波t (s)0典型地震動加速度時程3.9結構地震反應分析的反應譜法地震作用下結構運動方程為：mil + cii + ku = -muao其中u=u(t)為相對位移，ua(t)為地震動力口速度時程。地震等效

16、荷載為p, 應用Duhamel積分，得 到地震作用下結構的位移芬:u(t) = peq(T)h(t - T)dr = -mwa(r)e,(z_r) sinGJD(t -=j uo(T)etr)一 zydrD 0其中說=烏有阻尼體系自振頻率。3.9結構地震反應分析的反應譜法地震作用下結構相對位穆時程,u（t）二町曠亦（I）sinn（/ C血2coD CO觀察以上方程可以發(fā)現(xiàn)，對一給定地震動結構的地 震反應僅與結構的 阻尼比厲口結構的自 振頻率有關，H7換句話，對于不同的結構（大小尺寸不同）, 當其結 構阻尼比和 自振頻率相同時，對同一個地震的反應完 全相同。-1當阻尼比廊小時，結構反應計算公式可

17、簡化為：力卩(/)* 廠 sin q(t - T)dr 0 &在實際工程中，對結構的絕對加速度+兔感興趣, 它可根據(jù)結構位移的解式直接耀到：+ /() = 兔產必切sin69/7(Z - T)dr對比以上兩式可以發(fā)現(xiàn) 2力(/) + iig(1)= COn u(t)以上公式僅對于小阻尼時才成立o實際上，這一公式可以直接由運動方程得到。在結構抗震設計時，人們往往僅需要知道結構反 應的最大值，記：Sd = max % Sa = max + g(f)結構 反應的 最大相 對位移S界口最大絕對加速度s“之 間的拱系：Sa = Sd 2il(t) + iig (0=-con u(t)53.9結構地震反應

18、分析的反應譜法當阻尼比孚合定時，結構對任一地震的最大位移反應和最 大絕對力口速度反應僅由O）決定，即SdSa =S（X）工程中一般習 慣采用 結構的 自振周期Tn = 2龍/0?代替率，因而smo)如果改變結構的自 振周期7；就可以得到不同的S尹口S* 最 后可以得到以結構自 振周期7；為 自變量的函數(shù)S尹口為。 稱：S一（相對）位穆反應譜，Sq（絕對）加遠度反應譜。s!(3 o3o0,25020010El Centro侍澗関02反應譜曲線的計算及物理意義Tn = 05 sec = 2%人二 1 secL = 2%Tn-2 sec ( = 2%(a)(C)3.9結構地震反應分析的反應譜法戾應譜

19、的意義: 在地震動作用下，不同結構地震反應的 最大值。反應譜的計算要完成計算一系列具有不同自振周期的結構反應O一般給出的地震反應譜是絕對加速度反應譜S 利用S尸s%/即可得到 位移反應譜, 和S。的關系可表達成：1 =mSa =F注意到co=k!m,她 max = F則為可見，當知道S。后，用加S。計算等效的最大地震力，然后 按靜力方法可計算結構 地震反應的最大值。對多自 由度體系可以采用這樣的方法完成地震作用下最 大位移的計算（振型位移）。在地震工程的研究工作中, 習慣采用歸一化反應譜(G 地震動力系數(shù)，0 = 0”n)=為 / 力g在建筑抗震設計規(guī)范中, 給出以重力力口速度g為單 位的反應

20、譜厶 (Q她震影響系數(shù)，a = a(Tn) = Sa /g反應譜法是結構地震反應分析中 的一個重要方法, 利用 抗震規(guī)范給出的平均反應譜可以計算工程 場地結構地震反應最大值，很簡單、方便。但 以上介紹的反應譜法P艮于線彈4生，為少匕人們也 發(fā)展了非線性的反應譜，但通常是屬于較粗略 的估計O對非線性問題，當結構比較重要時，規(guī)范要求必 須采用彈塑性時程方析方法補充計算，這時采 用 第5章將介紹的日寸域逐步積分法可以完成結構 動力反應分析計算。3.10階蹶荷載作用下單自由度休兼的反應(Response to Step Forces)1理想階躍荷載(2/rfu(t) = Po sin(f _ T)dr =比,1 一 cosf) = %(l_cos)叫iTn(a)(c)t!Tn2 10o(g、S3p A pp3.10階躍荷載作用下卑自由度體系的反應2 具有有限上升時間的階躍荷載W)/UM()Po wPo，ttygo2nz、 t sin cotg七F,ttr仝玄)/S3仝d)、s=Ust(r) / (”s動力的大系數(shù)人