協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)

1、1 1 1、協(xié)方差、協(xié)方差 第第1616講講 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù) 2 2、相關(guān)系數(shù)、相關(guān)系數(shù) 主要內(nèi)容：主要內(nèi)容： 重點(diǎn)：重點(diǎn)：1-31-3 難點(diǎn)：難點(diǎn)：2 2 3 3、數(shù)字特征復(fù)習(xí)、數(shù)字特征復(fù)習(xí) 華軟軟件學(xué)院課件華軟軟件學(xué)院課件 對于多維隨機(jī)變量，期望和方差只反映了各自的對于多維隨機(jī)變量，期望和方差只反映了各自的 平均值與偏離程度，并沒有反映隨機(jī)變量間的關(guān)系平均值與偏離程度，并沒有反映隨機(jī)變量間的關(guān)系. . 0)()( yeyxexe 由由方方差差性性質(zhì)質(zhì)的的證證明明知知，相相互互獨(dú)獨(dú)立立，則則若若yx, , 0)()( yeyxexe反反之之，若若 不不獨(dú)獨(dú)立立。與與則則yx

2、 這這說說明明 )()(yeyxexe 在在一一定定程程度度上上 之之間間的的關(guān)關(guān)系系。與與反反映映了了yx 一、協(xié)方差一、協(xié)方差 設(shè)設(shè)(x,y)為二維隨機(jī)變量，為二維隨機(jī)變量， 若若 )()(yeyxexe 存在，則稱其為隨機(jī)變量存在，則稱其為隨機(jī)變量 x和和y 的協(xié)方差的協(xié)方差. 記作記作 cov(x,y), 即即 )()(),cov(yeyxexeyx ),cov(),(yxyx是是離離散散型型，則則若若 ijj ji i pyeyxex)()( , ),cov(),(yxyx是是連連續(xù)續(xù)型型，則則若若 dxdyyxfyeyxex),()()( 易易得得此此外外，由由期期望望的的性性質(zhì)質(zhì)

3、， )()()(),cov(yexexyeyx 相相互互獨(dú)獨(dú)立立時(shí)時(shí)，有有與與特特別別地地，當(dāng)當(dāng)yx . 0),cov( yx 協(xié)協(xié)方方差差的的性性質(zhì)質(zhì) 1性質(zhì)性質(zhì))(),cov(xdxx 2性質(zhì)性質(zhì)),cov(),cov(xyyx 3性質(zhì)性質(zhì)),cov(),cov(yxabbyax 4性質(zhì)性質(zhì)0),cov( cx 5性質(zhì)性質(zhì) ),cov(),cov(),cov( 2121 yxyxyxx 6性質(zhì)性質(zhì)0),cov(, yxyx則則相相互互獨(dú)獨(dú)立立與與若若 為常數(shù)為常數(shù)cba, 7性質(zhì)性質(zhì)),cov(2)()()(yxydxdyxd ?),cov( baxx)(xad :),( 1 的的聯(lián)聯(lián)合合

4、分分布布律律為為 設(shè)設(shè)二二維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量例例 yx - 1 0 2 0 0.1 0.2 0 1 0.3 0.05 0.1 2 0.15 0 0.1 x y ).,cov(yx求求 0)( xye ,15. 0)(,95. 0)( yexe解解： )()()(),cov(yexexyeyx 15. 095. 0 1425. 0 求協(xié)方差。求協(xié)方差。 練習(xí)：練習(xí)： 20. 4:89p 的的密密度度函函數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè)二二維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量例例),(2yx 其其它它 , 0 , 10,8 ),( yxxy yxf ).,cov(yx求求 其它其它, 0 10),1(4 )( 2 xxx xf x

5、 其其它它, 0 10,4 )( 3 yy yfy dxxxfxe)()( 1 0 2 )1(4dxxxx 15 8 dyyyfye)()( 1 0 3 4dyyy 5 4 dxdyyxxyfxye),()( 1 0 dx 1 8 x xydyxy 9 4 )()()(),cov(yexexyeyx 75 32 9 4 225 4 的的密密度度函函數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè)二二維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量練練習(xí)習(xí)：),(yx 其其它它 , 0 , 2,0),( 8 1 ),( yxyx yxf ).,cov(yx求求 , 6 7 )()( yexe, 3 4 )( xye )()()(),cov(yexexyeyx

6、 36 1 其它其它, 0 20, 4 )1( )( x x xf x 協(xié)方差是對兩個(gè)隨機(jī)變量的協(xié)同變化的度量協(xié)方差是對兩個(gè)隨機(jī)變量的協(xié)同變化的度量, 但是其但是其 受度量單位的影響。受度量單位的影響。 例如例如, kx與與ky之間的統(tǒng)計(jì)關(guān)系和之間的統(tǒng)計(jì)關(guān)系和x與與y之間的統(tǒng)計(jì)關(guān)之間的統(tǒng)計(jì)關(guān) 系應(yīng)該一樣，但協(xié)方差卻擴(kuò)大了系應(yīng)該一樣，但協(xié)方差卻擴(kuò)大了k2倍。倍。 . ),cov(),cov( 2 yxkkykx 即即 為避免量綱的影響，取標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量為避免量綱的影響，取標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量 )( )( , )( )( * yd yey y xd xex x 二、相關(guān)系數(shù)二、相關(guān)系數(shù) )( )( ,

7、)( )( * yd yey y xd xex x 不不再再有有量量綱綱的的影影響響。則則),cov( * yx 稱稱 為為二二維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量設(shè)設(shè)定定義義 , 0 , 0 )d(y )d(x(x,y)， )()( ),cov( ),cov( * ydxd yx yx 記記作作的的相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)和和為為隨隨機(jī)機(jī)變變量量,yx . 或或 xy xy 不不相相關(guān)關(guān)。與與時(shí)時(shí)，稱稱特特別別地地，當(dāng)當(dāng)yx xy 0 (1) 不相關(guān)與相互獨(dú)立的關(guān)系不相關(guān)與相互獨(dú)立的關(guān)系 相互獨(dú)立相互獨(dú)立不相關(guān)不相關(guān) (2) 不相關(guān)的充要條件不相關(guān)的充要條件 ; 0,1o xy yx不相關(guān)不相關(guān) ; 0),cov(

8、,2o yxyx不相關(guān)不相關(guān) ).()()(,3oyexexyeyx 不相關(guān)不相關(guān) 相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)的的性性質(zhì)質(zhì) (3)1 xy 線線性性相相關(guān)關(guān)程程度度越越弱弱。與與，越越接接近近 線線性性相相關(guān)關(guān)程程度度越越高高；與與，越越接接近近 xy xy xy xy 0 1 無無線線性性關(guān)關(guān)系系。與與時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) 有有嚴(yán)嚴(yán)格格的的線線性性關(guān)關(guān)系系；與與時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) xy xy xy 0 1 y x 例例3 設(shè)（設(shè)（ x ，y ）的聯(lián)合分布律為的聯(lián)合分布律為 4 1 2112 4 1 00 4 1 0 4 1 4 1 0 判斷判斷 x與與y的相關(guān)性和獨(dú)立性。的相關(guān)性和獨(dú)立性。 , 0)( xe, 2 5

9、)( ye, 0)( xye 0 xy 不不相相關(guān)關(guān)。與與yx無無線線性性關(guān)關(guān)系系。與與這這表表示示xy 1201, 2 ypxpyxp但但 不不獨(dú)獨(dú)立立。與與yx 2 xy 事事實(shí)實(shí)上上， ,cos,sin,4 yx且且上上的的均均勻勻分分布布設(shè)設(shè)例例 .是是否否相相關(guān)關(guān)，是是否否獨(dú)獨(dú)立立與與判判斷斷yx dxesin 2 1 )(, 0 dxyecossin 2 1 )( dyecos 2 1 )(, 0 , 0 )()()(yexexye .不不相相關(guān)關(guān)與與yx .1 22 不不獨(dú)獨(dú)立立與與，所所以以但但是是yxyx .)(, 23 , 2 1 ,)16, 0(),9,1(5 xz xy

10、 zd yx z ynx 及及求求設(shè)設(shè) 且且已已知知例例 分析分析: 協(xié)方差。協(xié)方差。的的與與必須先求出必須先求出 的方差的方差獨(dú)立，所以求獨(dú)立，所以求與與已知條件沒有告訴已知條件沒有告訴 yx zyx 解解: : xy ydxdyx )()(),cov( 6 ) 23 ()( yx dzd )( 4 1 )( 9 1 ydxd ) 2 , 3 cov(2 yx )( 4 1 )( 9 1 ydxd ),cov( 2 1 3 1 2yx 7 , 6),cov( yx, 9)( xd ) 23 ,cov(),cov( yx xzx 又又 ),cov( 2 1 ),cov( 3 1 yxxx 6

11、, 7)( zd ),cov( 2 1 )( 3 1 yxxd )()( ),cov( zdxd zx xz 73 6 7 72 思考與練習(xí)：思考與練習(xí)： ).()( , 6 . 0,25)(,49)(),(. 1 yxdyxd ydxdyx xy 與與求求 為二維隨機(jī)變量，為二維隨機(jī)變量，設(shè)設(shè) ).,cov(, 2 . 0,16)( , 9)(, 0)()(),(. 2 2 2 yxye xeyexeyx xy 求求 為二維隨機(jī)變量，為二維隨機(jī)變量，設(shè)設(shè) ,21),cov( yx ),cov(2)()()(yxydxdyxd 116 ),cov(2)()()(yxydxdyxd 32 ,16

12、)(, 9)( ydxd 4 . 2)()(),cov( ydxdyx xy 課課 后后 作業(yè)作業(yè) 數(shù)學(xué)期望（均值）數(shù)學(xué)期望（均值） 1 )( k kk pxxe xxfxxed)()( 重 點(diǎn) 回 顧 k kk pxgxge)()( dxxfxgxge)()()( 數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望的的性性質(zhì)質(zhì) 1性質(zhì)性質(zhì)cce )( 2性質(zhì)性質(zhì) cxecxe )()( 3性質(zhì)性質(zhì))()(xkekxe 4性質(zhì)性質(zhì)cxkeckxe )()( 5性質(zhì)性質(zhì))()()(yexeyxe 推論推論 )()()()( 2121nn xexexexxxe .)()( .)(, 2 2 xexexd xdx x 即即或或記記作

13、作的的方方差差期期望望稱稱為為 離離差差的的平平方方的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)隨隨機(jī)機(jī)變變量量定定義義 . ,)( 或或標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差差 的的均均方方差差稱稱為為方方差差的的算算術(shù)術(shù)平平方方根根xxd 方差方差 離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量 x 的方差的方差 )(xd ii i pxex 2 1 )( 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量 x 的方差的方差 xxfxexxdd)()()( 2 差差的的簡簡便便公公式式由由期期望望的的性性質(zhì)質(zhì)，可可得得方方 22 )()()(xexexd 方方差差的的性性質(zhì)質(zhì) 1性質(zhì)性質(zhì)0)( cd 2性質(zhì)性質(zhì))()(xdcxd 3性質(zhì)性質(zhì))()( 2 xdccxd 4性質(zhì)性質(zhì) )()(

14、)(ydxdyxd yx 相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，則與與若若 10 pp)1(pp 10 , 1 p n np)1(pnp 0 ba 2)(ba 12)( 2 ab 0 2 分布分布 參數(shù)參數(shù) 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望 方差方差 兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 泊松分布泊松分布 均勻分布均勻分布 指數(shù)分布指數(shù)分布 正態(tài)分布正態(tài)分布 0, 2 常見分布的期望與方差常見分布的期望與方差 _)(, 4 . 2)(), 6(. 1 2 xexepbx則則且且設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量 練練習(xí)習(xí)： 2 . 7 ._)(_,)( 2,px1px),(. 2 xdxe px 則則 且且設(shè)設(shè) 22 _)(),1(. 3 2 x exeex則則設(shè)設(shè) 3 4 ._)(_,)(, 12),1 , 0(. 4 ydyexynx則則且且設(shè)設(shè)14 ._)( _,)(,5. 5 xd xex 方方差差 的的期期望望則則其其點(diǎn)點(diǎn)數(shù)數(shù)和和顆顆骰骰子子擲擲 2 35 12 175 _)32( , 1)(, 2)(. 6 yxd ydxdyx 則則 相相互互獨(dú)獨(dú)立立，且且與與設(shè)設(shè) 17 ._)(, 11 10 00