北京市第四中學(xué)2017-2018學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 理

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精北京四中20172018學(xué)年下學(xué)期高二年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)試卷（理科）滿分150分，考試時(shí)間120分鐘一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分. 1。 復(fù)數(shù)z滿足(1+i）z=i，則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于a. 第一象限 b。 第二象限 c。 第三象限 d。 第四象限2。 定積分的值為a. e+2 b. e+1 c。 e d. e13。 曲線y=x32x+1在點(diǎn)(1，0)處的切線方程為a. y=x1 b。 y=x+l c. y=2x2 d。 y=2x+24. 函數(shù)y=xcosx的導(dǎo)數(shù)為a。 y=cosxxsinx b。 y=cosx+xsinxc。 y=x

2、cosxsinx d。 y=xcosx+sinx5. 設(shè)f（x）=x22x4 lnx，則函數(shù)f(x）的增區(qū)間為a。 （0,+) b。 (,1),（2，+） c. （2，+) d。 (1，0）6. 若復(fù)數(shù)z=（x24）+（x+3)i（xr)，則“z是純虛數(shù)”是“x=2”的a。 充分不必要條件 b. 必要不充分條件c. 充要條件 d。 既不充分也不必要條件7。 函數(shù)f(x）的定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間（a，b）,其導(dǎo)函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x）在開(kāi)區(qū)間(a，b）內(nèi)極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為a。 1個(gè) b. 2個(gè)c。 3個(gè) d。 4個(gè)8. 直線y=3x與曲線y=x2圍成圖形的面積為a。 b。

3、9 c. d. 9. 若函數(shù)y=f（x）的圖像上存在兩點(diǎn),使得函數(shù)的圖像在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則稱y=f（x）具有t性質(zhì). 下列函數(shù)中具有t性質(zhì)的是a. y=sinx b. y=lnx c. y=ex d。 y=x310. 函數(shù)f（x）=x33x1，若對(duì)于區(qū)間3，2上的任意x1，x2，都有f（x1）f（x2）|t，則實(shí)數(shù)t的最小值是a. 20 b。 18 c。 3 d. 011。 設(shè)函數(shù)f（x）是奇函數(shù)f（x)的導(dǎo)函數(shù)，f（1）=0，當(dāng)x0時(shí),xf（x）f（x）0，則使得f（x）0成立的x的取值范圍是a. （，1）（0，1) b. （1，0）（1，+） c. （，1)（l，0） d. （0

4、，1）（1，+)12. 設(shè)函數(shù)f(x）=（x2)lnxax+l，若存在唯一的整數(shù)x0，使得f（x0）0，則a的取值范圍是a。 （0，） b. (， c. （，1） d。 ,1）二、填空題：本大題共6小題,每小題5分，共30分13. 下列是關(guān)于復(fù)數(shù)的類比推理：復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算可以類比多項(xiàng)式的加減法運(yùn)算法則；由實(shí)數(shù)絕對(duì)值的性質(zhì)x|2=x2類比得到復(fù)數(shù)z的性質(zhì)z2=z2；已知a,br，若ab0,則ab類比得已知z1，z2c，若z1z20，則z1z2；由向量加法的幾何意義可以類比得到復(fù)數(shù)加法的幾何意義. 其中推理結(jié)論正確的是_. 14. 如圖，函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)p處的切線方程是y=x+8，則f

5、（2018）+f（2018）=_。 15. 已知函數(shù)f（x）=ex2x+a有零點(diǎn)，則a的取值范圍是_. 16。 已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=l處有極值10，則（a,b）=_。 17。 函數(shù)f（x)=ax3+bx2+cx的圖象如圖所示,且f(x）在x=x0與x=1處取得極值,給出下列判斷：f（1)+f(1)=0； f（2)0；函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（，0）上是增函數(shù)。 其中正確的判斷是_。 （寫(xiě)出所有正確判斷的序號(hào)）18。 對(duì)于函數(shù)f（x）=(2xx2)ex（,)是f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間;f（）是f（x）的極小值，f（）是f(x）的極大值;f（x）有最大值，沒(méi)有最小值；f（x

6、）沒(méi)有最大值，也沒(méi)有最小值. 其中判斷正確的是_. 三、解答題:本大題共4小題，每小題15分，共60分。 19. 已知函數(shù)f（x）=ax3+x2ar. 在x=處取得極值。 （i）確定a的值；（ii）若g（x)=f(x）ex，討論g(x）的單調(diào)性. 20. 設(shè)f(x）=a（x5）2+6lnx，其中ar，曲線y=f(x）在點(diǎn)（1，f（1）)處的切線與y軸相交于點(diǎn)（0,6）. （i）確定a的值；（ii）求函數(shù)f(x）的單調(diào)區(qū)間與極值。 21。 已知函數(shù)f（x）=ex+。（i）當(dāng)a=時(shí)，求函數(shù)f（x)在x=0處的切線方程；(ii）函數(shù)f（x）是否存在零點(diǎn)？若存在,求出零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

7、 22. 已知函數(shù)f(x）=ax。 （i）當(dāng)a=2時(shí),(i）求曲線y=f（x)在點(diǎn)（1，f(1）處的切線方程；（ii）求函數(shù)f（x)的單調(diào)區(qū)間;（ii）若1a2，求證：f（x）0，故g（x）為增函數(shù)；當(dāng)1x0時(shí)，g(x）0，故g（x)為增函數(shù)。 綜上知,g(x)在（,4）和（l，0）內(nèi)為減函數(shù)，在（4,1)和（0，+）內(nèi)為增函數(shù). 20。 解：（i）因f(x）=a（x5）2+6 lnx，故f（x）=2a（x5）+。 令x=1，得f（1)=16a，f （1）=68a，所以曲線y=f(x）在點(diǎn)（1,f（1）處的切線方程為y16a=68a(x1），由點(diǎn)（0，6）在切線上可得616a=8a6，故a=.

8、 （ii）由（i）知f（x)=(x5)2+6lnx(x0），f（x）=x5+=。 令f（x)=0,解得x1=2,x2=3。 當(dāng)0x2或x3時(shí),f(x）0，故f（x）在（0，2），（3,+）上為增函數(shù)；當(dāng)2x3時(shí)，f(x）0，0，所以f（x）=ex+0，即f（x）在區(qū)間（a，+）上沒(méi)有零點(diǎn)。 當(dāng)x（,a)時(shí)，f（x）=ex+=，令g（x）=ex（xa）+1，只要討論g（x）的零點(diǎn)即可. g（x)=ex(xa+1），g(a1）=0。 當(dāng)x（,a1）時(shí)，g（x）0，g（x）是減函數(shù);當(dāng)x（a1，a）時(shí)，g（x）0,g（x)是增函數(shù)，所以g(x）在區(qū)間(,a）上的最小值為g（a1)=1ea1。 當(dāng)a=1時(shí)，g（a1)=0，所以x=a1是f（x）的唯一的零點(diǎn)；當(dāng)al時(shí)，g(a1）=1ea10，所以f（x)沒(méi)有零點(diǎn);當(dāng)al時(shí)，g(a1）=1ea10. 所以f(x）有兩個(gè)零點(diǎn)。 22. 解：(i)當(dāng)a=2時(shí),f（x）=2x. f（x）=2=. （i）可得f（1）=0，又f（1）=3，所以f(x）在點(diǎn)（1，3）處的切線方程為y=3. （ii）在區(qū)間（0，1）上22x20，且lnx0，則f（x）0. 在區(qū)間（1,+)上22x20,且lnx0，f（x）0。 設(shè)h（x)=ax2x+1lnx，只須證h（x）0成立。 因?yàn)閔（x)=2ax1=，1a2，由h（x）=0，得2ax2x1