數(shù)學(xué)物理方法—第五章—傅立葉級(jí)數(shù)講解

1、內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 積積 分分 變變 換換 第一部分 Fourier變換 第二部分 Laplace變換 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 傅里葉傅里葉(Jean Baptise Joseph Fourier17681830) 法國(guó)數(shù)學(xué)家。1768年3月21日生于奧塞 爾，1830年5月16日卒于巴黎。1795年曾在巴 黎綜合工科學(xué)校任講師。1798年隨拿破侖遠(yuǎn) 征埃及，當(dāng)過(guò)埃及學(xué)院的秘書。1801年回法 國(guó)，又任伊澤爾地區(qū)的行政長(zhǎng)官。1817年傅 里葉被選為科學(xué)院院士，并于1822年成為科 學(xué)院的終身秘書。1827年又當(dāng)選為法蘭西學(xué) 院院士。 在十八世紀(jì)中期,是否有用信號(hào)

2、都能用復(fù)指數(shù)的線性組合來(lái)表 示這個(gè)問(wèn)題曾是激烈爭(zhēng)論的主題。1753年,D.伯努利曾聲稱一根弦 的實(shí)際運(yùn)動(dòng)都可以用正弦振蕩模的線性組合來(lái)表示,但他沒(méi)有繼續(xù) 從數(shù)學(xué)上深入探求下去;后來(lái)歐拉本人也拋棄了三角級(jí)數(shù)的想法。 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 在1759年拉格朗日(J.L.Lagrange)表示不可能用三角級(jí)數(shù) 來(lái)表示一個(gè)具有間斷點(diǎn)的函數(shù),因此三角級(jí)數(shù)的應(yīng)用非常有限 。正是在這種多少有些敵對(duì)和懷疑的處境下,傅里葉約于半個(gè) 世紀(jì)后提出了他自己的想法。傅里葉很早就開始并一生堅(jiān)持 不渝地從事熱學(xué)研究，1807年他在向法國(guó)科學(xué)院呈交一篇關(guān) 于熱傳導(dǎo)問(wèn)題的論文中宣布了任一函數(shù)都能夠展成三角函數(shù)任

3、一函數(shù)都能夠展成三角函數(shù) 的無(wú)窮級(jí)數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù)。這篇論文經(jīng)J.-L.拉格朗日,P.-S.拉普拉斯,A.-M. 勒讓德等著名數(shù)學(xué)家審查，由于文中初始溫度展開為三角級(jí) 數(shù)的提法與拉格朗日關(guān)于三角級(jí)數(shù)的觀點(diǎn)相矛盾，而遭拒絕 。由于拉格朗日的強(qiáng)烈反對(duì),傅里葉的論文從未公開露面過(guò)。 為了使他的研究成果能讓法蘭西研究院接受并發(fā)表,在經(jīng)過(guò)了 幾次其他的嘗試以后,傅里葉才把他的成果以另一種方式出現(xiàn) 在熱的分析理論這本書中。這本書出版于1822年,也即比他 首次在法蘭西研究院宣讀他的研究成果時(shí)晚十五年。這本書 已成為數(shù)學(xué)史上一部經(jīng)典性的文獻(xiàn)，其中基本上包括了他的 數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)成就。 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)

4、學(xué)物理方法 書中處理了各種邊界條件下的熱傳導(dǎo)問(wèn)題，以系統(tǒng)地運(yùn)用三 角級(jí)數(shù)和三角積分而著稱，他的學(xué)生以后把它們稱為傅里葉級(jí)數(shù) 和傅里葉積分，這個(gè)名稱一直沿用至今。傅里葉在書中斷言：“ 任意”函數(shù)（實(shí)際上要滿足一定的條件,例如分段單調(diào)）都可以 展開成三角級(jí)數(shù),他列舉大量函數(shù)并運(yùn)用圖形來(lái)說(shuō)明函數(shù)的這種級(jí) 數(shù)表示的普遍性，但是沒(méi)有給出明確的條件和完整的證明。 傅里葉的創(chuàng)造性工作為偏微分方程的邊值問(wèn)題提供了基本的 求解方法-傅里葉級(jí)數(shù)法,從而極大地推動(dòng)了微分方程理論的發(fā)展 ，特別是數(shù)學(xué)物理等應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展；其次，傅里葉級(jí)數(shù)拓廣了 函數(shù)概念，從而極大地推動(dòng)了函數(shù)論的研究，其影響還擴(kuò)及純粹 數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域。

5、 傅里葉深信數(shù)學(xué)是解決實(shí)際問(wèn)題的最卓越的工具，并且認(rèn)為 “對(duì)自然界的深刻研究是數(shù)學(xué)最富饒的源泉?！边@一見解已成為 數(shù)學(xué)史上強(qiáng)調(diào)通過(guò)實(shí)際應(yīng)用發(fā)展數(shù)學(xué)的一種代表性的觀點(diǎn)。 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 傅立葉的兩個(gè)最主要的貢獻(xiàn)傅立葉的兩個(gè)最主要的貢獻(xiàn) “周期信號(hào)都可表示為諧波關(guān)系的正弦周期信號(hào)都可表示為諧波關(guān)系的正弦 信號(hào)的加權(quán)和信號(hào)的加權(quán)和” 傅里葉的第一個(gè)主要論點(diǎn)傅里葉的第一個(gè)主要論點(diǎn) “非周期信號(hào)都可用正弦信號(hào)的加權(quán)非周期信號(hào)都可用正弦信號(hào)的加權(quán) 積分表示積分表示” 傅里葉的第二個(gè)主要論點(diǎn)傅里葉的第二個(gè)主要論點(diǎn) 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 第五章 Fourier變換 第一節(jié)

6、Fourier級(jí)數(shù) 第二節(jié)Fourier積分與Fourier變換 第三節(jié)函數(shù) 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 在工程計(jì)算中在工程計(jì)算中, 無(wú)論是電學(xué)還是力學(xué)無(wú)論是電學(xué)還是力學(xué), 經(jīng)常要和隨時(shí)間而經(jīng)常要和隨時(shí)間而 變的周期函數(shù)變的周期函數(shù)fT(t)打交道打交道. 例如例如: 具有性質(zhì)具有性質(zhì)fT(t+T)=fT(t), 其中其中T稱作周期稱作周期, 而而1/T代表單位時(shí)代表單位時(shí) 間振動(dòng)的次數(shù)間振動(dòng)的次數(shù), 單位時(shí)間通常取秒單位時(shí)間通常取秒, 即每秒重復(fù)多少次即每秒重復(fù)多少次, 單單 位是赫茲位是赫茲(Hz). t 第一節(jié) Fourier級(jí)數(shù) 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 最常用的

7、一種周期函數(shù)是三角函數(shù)最常用的一種周期函數(shù)是三角函數(shù) fT(t)=Asin(w wt+j j) 其中其中w w = 2p p /T 而而Asin(w wt+j j)又可以看作是兩個(gè)周期函數(shù)又可以看作是兩個(gè)周期函數(shù)sinw wt和和cosw wt 的線性組合的線性組合 Asin(w wt+j j)=asinw wt+bcosw wt t 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 人們發(fā)現(xiàn)人們發(fā)現(xiàn), 所有的工程中使用的周期函數(shù)都可以用一系所有的工程中使用的周期函數(shù)都可以用一系 列的三角函數(shù)的線性組合來(lái)逼近列的三角函數(shù)的線性組合來(lái)逼近. 方波方波 4個(gè)正弦波的逼近個(gè)正弦波的逼近 100個(gè)正弦波的逼近個(gè)正

8、弦波的逼近 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 研究周期函數(shù)實(shí)際上只須研究其中的一個(gè)周期內(nèi)的情研究周期函數(shù)實(shí)際上只須研究其中的一個(gè)周期內(nèi)的情 況即可況即可, , 通常研究在閉區(qū)間通常研究在閉區(qū)間 -T T/2,/2,T T/2/2內(nèi)函數(shù)變化的情況內(nèi)函數(shù)變化的情況. . 討論：討論：(1)這兩個(gè)條件實(shí)際上就是要保證函數(shù)是可積函數(shù)這兩個(gè)條件實(shí)際上就是要保證函數(shù)是可積函數(shù). . 理論上講，并非所有的周期函數(shù)都可以用傅里葉級(jí)數(shù)逼近理論上講，并非所有的周期函數(shù)都可以用傅里葉級(jí)數(shù)逼近, , 而是要滿足而是要滿足 (Dirichlet(Dirichlet) )條件條件, , 即在區(qū)間即在區(qū)間-T T/2,

9、/2,T T/2/2上上 Dirichlet定理 若 f(x)滿足：(1)處處連續(xù)，或在每個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)第 一類間斷點(diǎn)；(2) 在每個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)極值點(diǎn)，則 周期函數(shù)都可以用傅里葉級(jí)數(shù)逼近（周期函數(shù)都可以用傅里葉級(jí)數(shù)逼近（諧波關(guān)系的正弦信號(hào)的加權(quán)和諧波關(guān)系的正弦信號(hào)的加權(quán)和）。）。 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 :)( 0 條件條件處連續(xù)必須滿足的三個(gè)處連續(xù)必須滿足的三個(gè)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)xxf ;)()1( 0處 處有有定定義義在在點(diǎn)點(diǎn)xxf ;)(lim)2( 0 存在存在xf xx ).()(lim)3( 0 0 xfxf xx ).()( ),()( , 00 或或間間斷

10、斷點(diǎn)點(diǎn)的的不不連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn) 為為并并稱稱點(diǎn)點(diǎn)或或間間斷斷處處不不連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù) 則則稱稱要要有有一一個(gè)個(gè)不不滿滿足足如如果果上上述述三三個(gè)個(gè)條條件件中中只只 xf xxxf 函數(shù)的間斷點(diǎn)函數(shù)的間斷點(diǎn) 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 1.跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn) .)( ),0()0(, ,)( 000 0 的跳躍間斷點(diǎn)的跳躍間斷點(diǎn) 為函數(shù)為函數(shù)則稱點(diǎn)則稱點(diǎn)但但存在存在 右極限都右極限都處左處左在點(diǎn)在點(diǎn)如果如果 xf xxfxf xxf 2.可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn) .)( )(),()(lim ,)( 0 00 0 0 的可去間斷點(diǎn)的可去間斷點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)義則稱點(diǎn)義則稱點(diǎn) 處無(wú)定處無(wú)定

11、在點(diǎn)在點(diǎn)或或但但 處的極限存在處的極限存在在點(diǎn)在點(diǎn)如果如果 xfx xxfxfAxf xxf xx 注意注意 可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函 數(shù)的定義數(shù)的定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn)則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn). 第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn) 特點(diǎn)特點(diǎn) . 0處 處的的左左、右右極極限限都都存存在在函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn) x 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 3.第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn) .)( , )( 0 0 的第二類間斷點(diǎn)的第二類間斷點(diǎn) 為函數(shù)為函數(shù)則稱點(diǎn)則稱點(diǎn)在在右極限至少有一個(gè)不存右極限至少有一個(gè)不存 處的左、處的左、在點(diǎn)在點(diǎn)如果如果 xf x xxf 無(wú)窮型無(wú)窮

12、型間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)振蕩型振蕩型間斷點(diǎn)間斷點(diǎn) 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 可去型可去型 第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn) o y x 跳躍型跳躍型 無(wú)窮型無(wú)窮型振蕩型振蕩型 第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn) o y x 0 x o y x 0 x o y x0 x 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 因此, 任何滿足狄氏條件的周期函數(shù)f (t), 可表示為三角 級(jí)數(shù)的形式如下: 22 22 2 2 0 1 0 ( )(cossin) 2 22 ( )d( )cosd 2 ( )sind TT TT T T nnnn n nn nn a f tatbt af ttaf ttt TT bf ttt T ww

13、 w w 2 n n T p w 0 1 0 ( )(cossin) 11 ( )d( )cosd 2 1 ( )sind ll ll l l nnnn n nn nn f taatbt af ttaf ttt ll bf ttt l ww w w n n l p w 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 有限區(qū)域上的函數(shù)周期化的處理方法 處理處理1：將 f(x) 轉(zhuǎn)化為(-l,l)內(nèi) 的函數(shù) 設(shè) f(x)是定義在 區(qū)域(a,b)內(nèi)的函 數(shù)，其中a和b是 有限數(shù) 處理處理2：周期化為整個(gè)實(shí)數(shù) 軸上的以2l為周期的周期函 數(shù) b a l-ll-l xlax ab l )( 2 有限區(qū)域上的Fou

14、rier展開或周期函數(shù)的Fourier展開 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 三角函數(shù)族： ,sin, 2 sin,sin ,cos, 2 cos,cos,1 l xk l x l x l xk l x l x ppp ppp 周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù) 則函數(shù) f(x) 可以用周期同為2l一系列諧函數(shù)作為基本 函數(shù)函數(shù)族（正交、完備），把周期函數(shù)f(x) 展開。 周期為 2l 的函數(shù) f(x) 滿足：)()2(xflxf 1 sin,cos, 1 n x l n x l npp 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 l xk k l xk l lk l xk l lxkp

15、p pppp cos)2cos() 2 cos( )2( cos a. 基本函數(shù)族是以2l 為周期的 b. f(x)按三角函數(shù)族展開 .sincos)( 1 0 l xk b l xk aaxf k kk pp 不同的函數(shù)形式由不同的組的 和 表示。 k a k b (5.1.3) 此為傅里葉級(jí)數(shù)展開 l xkp sin同樣 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 基本函數(shù)族的正交性 l l l l l l l l l l dx l xn l xk nkdx l xn l xk nkdx l xn l xk dx l xk kdx l xk .0sincos ),(0sinsin ),(0cos

16、cos ,0sin1 ),0(0cos1 pp pp pp p p (5.1.4) 三角函數(shù)族還有完備性，即這個(gè)函數(shù)族足夠展開任何周 期為2l函數(shù)。 2222222 00 cossin l nn l nn nn f xdxaxbx ll pp 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 Fourier展開的展開系數(shù) .sincos)( 1 0 l xk b l xk aaxf k kk pp .sin)( 1 ,cos)( 1 p p d l k f l b d l k f l a l l k l l k k (5.1.5) 此為傅里葉系數(shù) 其中 )0(1 )0(2 k k k 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)

17、學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 0 1 0 1 1 2 1 () co s 1 co ssin co s 1 co s 1 co sco s 1 sinco s 111 co s1co s2 2 l k l k l kk l k k l l k l k l k k l k l k k l kk l kk k afd ll kxkxk aabd llll k ad ll kxn ad lll kxn bd lll kxkx ada llll p ppp p pp pp pp 1112 22 l l l k kk l kkk d al ada ll 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 Dirichlet定理-

18、Fourier展開收斂定 理 若 f(x)滿足：(1)處處連續(xù)，或在每個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)第一 類間斷點(diǎn)；(2) 在每個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)極值點(diǎn)，則 ( ) ( ) 1 (0)(0) 2 f xx f xFourier f xf xx 在連續(xù)點(diǎn) 函數(shù)的展開 在間斷點(diǎn) l-l 函數(shù)和級(jí)數(shù)并不完全是一個(gè)東西，例如冪級(jí)數(shù)就有收 斂域的問(wèn)題。故必須討論它們?cè)谑裁礂l件下完全一致。 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 例1、 交流電壓 經(jīng)過(guò)半波整流后的傅立 葉級(jí)數(shù)。 tEtEwsin)( 0 解：周期為 w p2 , 0sin 0 ,0 )( 0 w p w w p tE tE -10-5510 0.2 0

19、.4 0.6 0.8 1 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 wpwp ww p w ww w p / 0 0 / 0 0 )1sin()1sin( 2 cossin 1 tdtktk E tdtktEak , 02cos 4 2sin 2 / 0 0 / 0 0 1 wp wp w p w p w t E tdt E a 1 1 1 ) 1( 1 1 1 ) 1( 2 1 )1cos( 1 )1cos( 2 )1sin()1sin( 2 11 0 / 0 0 / 0 0 kkkk E k tk k tkE tdtktk E a kk k p ww p ww p w wp wp .sinco

20、s)( 1 0 tkbtkaatE k kk ww , 2 sin 2 sin0 2 1 0 / 0 0 0 / / 0 00 p w p w w w p wp wp wp E tdtEtdtEdta 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 .2 )2(1 2 120 1 1 1 )1( 1 1 1 )1( 2 1 )1cos( 1 )1cos( 2 )1sin()1sin( 2 2 0 11 0 / 0 0 / 0 0 nk n E nk kkkk E k tk k tkE tdtktk E a kk k p p ww p ww p w wp wp , 2 0 1 E b 和0 k b 內(nèi)江師

21、院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 .2cos )2(1 12 sin 2 )( 1 2 000 n tn n E t EE tEw p w p 頻譜各個(gè)頻率分量的幅度 頻率 0 ww2 w4w6 p 0 E 幅度 p3 2 0 E p35 2 0 E p15 2 0 E 2 0 E 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 通常，函數(shù) f(t) 表示某系統(tǒng)的按時(shí)間變化的性質(zhì)， 叫在時(shí)域中的表示的性質(zhì)。而頻譜表示這種性質(zhì)在 頻域中的表示。 因此，傅里葉級(jí)數(shù)也是一種從時(shí)域到頻域的變換。 -10-5510 0.2 0.4 0.6 0.8 1 頻 率 0 ww2 w4w6 p 0 E 幅 度 p3 2 0

22、E p35 2 0 E p15 2 0 E 2 0E 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù) 若函數(shù) f(x)是奇函數(shù)，則Fourier展開成正弦級(jí)數(shù) 1 sin n n n fxbx l p 0 2 sin l n n bfd ll p 這叫作這叫作傅里葉正弦級(jí)數(shù)傅里葉正弦級(jí)數(shù)容易檢驗(yàn)上式中的正弦級(jí)數(shù)在容易檢驗(yàn)上式中的正弦級(jí)數(shù)在 0,xxl處為零處為零 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 同樣由于對(duì)稱性，其展開系數(shù)為同樣由于對(duì)稱性，其展開系數(shù)為 0 2 ( )cos()d l k k k x af xx ll 由于余弦級(jí)數(shù)的導(dǎo)數(shù)是正弦級(jí)數(shù)，所以余弦級(jí)數(shù)的導(dǎo)數(shù)在由于余弦級(jí)數(shù)

23、的導(dǎo)數(shù)是正弦級(jí)數(shù)，所以余弦級(jí)數(shù)的導(dǎo)數(shù)在 0,xxl處為零處為零 若函數(shù) f(x)是偶函數(shù)，則Fourier展開成余弦級(jí)數(shù) 0 1 cos n n n fxaax l p 0 2 cos l n n afd ll p 這叫作這叫作傅里葉余弦級(jí)數(shù)傅里葉余弦級(jí)數(shù) 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 例 )(xf x 1 1 0 p p p2 )2 ,) 12(1 ) 12( ,2(1 )( pp pp mm mm xf 周期 p2 矩形波 奇函數(shù) 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 ,sin)( 1 l xk bxf k k p . 12 4 ,20 ) 1( 2 cos 2 sin)( 2 0

24、 nk k nk k k k d l k fb k l l k p p p p p p .)12sin( )12( 4 )( 0 xn n xf n p 頻域中的圖示由你們給出 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 解解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件, , 在整個(gè)在整個(gè) 數(shù)軸上連續(xù)數(shù)軸上連續(xù). . ,)( 為偶函數(shù)為偶函數(shù)tu , 0 n b p p p p 0 0 )( 2 dttua t )(tu 0 p pp p2 p p p p 2 E p p p p 0 sin 2 tdtE, 4 p p E ), 2 , 1( n 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 p

25、 p p p 0 cos)( 2 ktdttuan p p p p 0 cossin 2 ktdttE p p p p 0 )1sin()1sin(dttktk E p p p p 0 1 )1cos( 1 )1cos( k tk k tkE )1( k p p 12 , 0 2, 1)2( 4 2 nk nk k E 當(dāng)當(dāng) 當(dāng)當(dāng) ), 2 , 1( n 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 p p p p 01 cos)( 2 tdttua p p p p 0 cossin 2 tdttE, 0 )6cos 35 1 4cos 15 1 2cos 3 1 2 1 ( 4 )( ttt E t

26、u p p )( x . 14 2cos 21 2 1 2 n n nxE p p 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 有限區(qū)間中的函數(shù)的的傅里葉展開 f(x) 定義于 (0,l).可以認(rèn)為它是某個(gè)周期為 2l 的函數(shù)在 半個(gè)周期中的部分。即令此周期函數(shù)為 g(x), 在半周期 (0, l) 中 g(x)=f(x). 這種做法叫延拓。 則只需求出g(x)的傅里葉級(jí)數(shù)，在0,l上就代表f(x)。 且g(x+2l)=g(x) , 0)( 0)( )( xlxg lxxf xg令 0 1 ( )cossin(0) nnnn n f xg xaaxbxxlww 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法

27、1.奇延拓奇延拓)()(xfxg 0)( 00 0)( )( xlxf x lxxf xg則 x y 0 l l 的傅立葉正弦級(jí)數(shù)的傅立葉正弦級(jí)數(shù))(xf )0(lx 1 sin)( k k kxbxf 若要求若要求 處為零，則應(yīng)將處為零，則應(yīng)將f(x) 延拓稱為奇的周期函數(shù)。延拓稱為奇的周期函數(shù)。0,xxl 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 2.偶延拓偶延拓)()(xfxg 0)( 0)( )( xlxf lxxf xg則 的傅立葉余弦級(jí)數(shù)的傅立葉余弦級(jí)數(shù))(xf x y 0 ll )0(lx 1 0 cos 2 )( k k kxa a xf 若要求若要求 處為的導(dǎo)數(shù)為零，則應(yīng)將處為的

28、導(dǎo)數(shù)為零，則應(yīng)將f(x) 延拓稱為偶的延拓稱為偶的 周期函數(shù)。周期函數(shù)。 0,xxl 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 例例 3 3 將將函函數(shù)數(shù))0(1)(p p xxxf分分別別展展開開成成 正正弦弦級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)和和余余弦弦級(jí)級(jí)數(shù)數(shù). . 解解 (1)(1)求正弦級(jí)數(shù)求正弦級(jí)數(shù). . 3sin)2( 3 1 2sin 2 sin)2( 2 1 p p p p p p p p xxxx )0(p p x p p p p 0 sin)1( 2 kxdxx p p p p 0 sin)( 2 kxdxxfb n )coscos1( 2 p p p pp p p p kk k p p p p ,

29、6 , 4 , 2 2 , 5 , 3 , 1 22 k k k k 當(dāng)當(dāng) 當(dāng)當(dāng) ,)(進(jìn)行奇延拓進(jìn)行奇延拓對(duì)對(duì)xf 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 (2)(2)求余弦級(jí)數(shù)求余弦級(jí)數(shù) p p p p 0 0 )1( 2 dxxa, 2 p p 5cos 5 1 3cos 3 1 (cos 4 1 2 1 22 p p p p xxxx )0(p p x p p p p 0 cos)1( 2 kxdxxak )1(cos 2 2 p p p p k k p p , 5 , 3 , 1 4 , 6 , 4 , 20 2 k k k 當(dāng)當(dāng) 當(dāng)當(dāng) ,)(進(jìn)行偶延拓進(jìn)行偶延拓對(duì)對(duì)xf 內(nèi)江師院學(xué)院

30、工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 而利用三角函數(shù)的指數(shù)形式可將級(jí)數(shù)表示為: cos,sin: 22 i xi xi xi x eeee xxi wwww ww 由得 0 1 0 1 ( ) 22 22 nnnn nn ixixixix nn n ixix nnnn n eeee f xaaib aibaib aee wwww ww 0 1 cossin nnnn n fxaaxbxww 復(fù)數(shù)形式的Fourier積分 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 00 0 1 ,1,2,3, 2 ,1,2,3, 2 ( ) nnn nn n nn n ixixix Tnnn nn aib cacn aib cn

31、 fxcc ec ec e www 令 2 2 00 1 ( )d 2 T T caf tt T 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1( )cosd 2 1 ( )sind 1 ( )cossind 1 ( )d T T T T T T T n T nn nn n nn it aib ncf ttt T if ttt T f ttitt T f t et T w w w ww 當(dāng)時(shí) 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 2 2 2 2 2 2 1 ( ) 2 1 ( )(0, 1, 2,) ( ) 1 ( )d T n T T n T n T nn T

32、it nn nn it n it n n iit n aib ccf t edt T cf t edtn T f tc e fee T w w w w w 因此可以合寫成一個(gè)式子 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 * ( ) 1 ( )(0, 1, 2,) 2 n l n l ix Tn n i n fxc e cfedn l w w 復(fù)形式的Fourier級(jí)數(shù) n l p w 上式上式(5.1.13)的的物理意義物理意義為一個(gè)周期為為一個(gè)周期為2l 的函數(shù)的函數(shù) ( )f x 可以分解可以分解 為頻率為為頻率為 n l ，復(fù)振幅為，復(fù)振幅為 n c的復(fù)簡(jiǎn)諧波的疊加的復(fù)簡(jiǎn)諧波的疊加 n l

33、 稱為譜點(diǎn)，稱為譜點(diǎn)， 所有譜點(diǎn)的集合稱為譜對(duì)于周期函數(shù)所有譜點(diǎn)的集合稱為譜對(duì)于周期函數(shù) ( )f x 而言，譜是離散的而言，譜是離散的 基本函數(shù)族 n x l n i e p 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 tusin 4 p p )3sin 3 1 (sin 4 ttu p p 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 )5sin 5 1 3sin 3 1 (sin 4 tttu p p )7sin 7 1 5sin 5 1 3sin 3 1 (sin 4 ttttu p p 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 )9sin 9 1 7sin 7 1 5sin 5 1 3sin 3 1

34、(sin 4 tttttu p p )7sin 7 1 5sin 5 1 3sin 3 1 (sin 4 )( tttttu p p )0,( p p p p tt 由以上可以看到：一個(gè)比較復(fù)雜的周期函數(shù)可以看由以上可以看到：一個(gè)比較復(fù)雜的周期函數(shù)可以看 作是許多不同頻率的簡(jiǎn)諧函數(shù)的疊加作是許多不同頻率的簡(jiǎn)諧函數(shù)的疊加 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 ).12( ) 12( 2 )2(0 1) 1() 1(1 2 1 ) 1 ( 2 1 ) 1 ( 2 1 2 1 2 1 )( 2 1 0 0 0 0 nk ni nk ik e ik e ik dededefc kkikxikx ikx

35、ikxikx k p ppp p p p p p p p p p , 12 12 )( )12( n xni e ni xf p 例 矩形波 )2 ,) 12(1 ) 12( ,2(1 )( pp pp mm mm xf,)( k ikx ke cxf 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 第二節(jié)Fourier積分與Fourier變換 無(wú)限區(qū)域上的Fourier展開 0 1 ( )(cossin) nnnn n g xaatbtww 在l 的極限形式就為所求的非周期函數(shù)f(x)的Fourier展開式 可做近似，假設(shè)非周期函數(shù)f(x)可看作是 對(duì)非周期函數(shù) f(x),x ，一般是不能展 時(shí)的極限

36、，則g(x)的 2l 為Fourier級(jí)數(shù)。 某個(gè)周期函數(shù)g(x)于周期 Fourier級(jí)數(shù)展開式 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 0 1 cossin nnnnn n n g xaaxbx l p www l l df l a 2 1 0 1 cos l nn l afd l w 1 sin l nn l bfd l w 0 1 limlim0 2 l lll afd l 1 1 1 limcoscos 1 limcoscos l nn ll n l nnn ll n fdx l fdx w w w ww p 由 系數(shù)代入展式，取 l 的極限 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 ,0

37、 n l l p w 間斷求和成為連續(xù)性求和（積分） 1 0 1 limcoscos 1 coscos l nnn ll n fdx fdxd w ww p w ww p 同理，正弦部分 1 0 1 limsinsin 1 sinsin l nnn ll n fdx fdxd w ww p w ww p 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 1、實(shí)形式的Fourier積分與Fourier變換 w p w w p w dfB dfA )sin()( 1 )( )cos()( 1 )( 其中 wwwwwwdxBdxAxf 00 )sin()()cos()()( 非周期函數(shù) f(x)的Fourier

38、積分表達(dá)式 A()被稱為Fourier余弦變換 B()被稱為Fourier正弦變換 實(shí)形式的Fourier變換 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 nFourier積分定理 若 f(x)在R上滿足： (1) 在任一有限區(qū)域上滿足Dirichlet條件； (2) 在 R上絕對(duì)可積， 則f(x) 可以表示為Fourier積分，且結(jié)果為 0 )sin()()cos()()0()0( 2 1 dxxBxAxfxfwwww w p w w p w dfB dfA )sin()( 1 )( )cos()( 1 )( 其中 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 wwwwwwdxBdxAxf 00 )sin

39、()()cos()()( 1 2 22 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) CAB tgBA www j www 其中 函數(shù) f(x)的Fourier積分表達(dá)式 0 ( )( )cos( )f xCxdwwj ww 振幅譜 相位譜 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 00 0 ( )( )cosd( )sind, 1 ( )d0 1 ( )d 2 ( ) ( )cos ( si )si d n n f f f tAtBt A B f w wwwwww w w p w p p w 奇函數(shù) 偶函數(shù) 當(dāng)f(t)為奇函數(shù)，則有 這叫作這叫作傅里葉正弦積分傅里葉正弦積分容易檢驗(yàn)上式中的正

40、弦級(jí)數(shù)在容易檢驗(yàn)上式中的正弦級(jí)數(shù)在 0 x 處，處，f(x)=0為零為零 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 00 0 ( )() cosd() sind, 1 ()d 2 d 1 () () cos () cos () sind0 f tAB B f Af tt f w wwwwww w p p w w w p 偶函數(shù) 奇函數(shù) 當(dāng)f(t)為偶函數(shù) 這叫作這叫作傅里葉余弦積分傅里葉余弦積分容易檢驗(yàn)上式中的正弦級(jí)數(shù)在容易檢驗(yàn)上式中的正弦級(jí)數(shù)在 0 x 處處 ()0fx 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 對(duì)稱形式的Fourier（正弦、余弦）積分表達(dá)式 0 0 2 ( )( )cosd 2

41、(cos( )d) f tAt Af www p w p w 傅里葉余弦變換 0 0 2 ( )( )sind 2 sin( )d) f tBt Bf www p w p w 傅里葉正弦變換 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 例1 矩形函數(shù)的定義為 12 12 1, | | rect ( ) 0, | | x x x 求矩形脈沖 f(x) = hrect(x/2T)的傅立葉積分。 解：f (x) 為偶函數(shù)，則其傅立葉積分為 0 ( )( )cosf xAtdwww 00 0 22 ( )( )cos(2 )cos 22 sin cos AfdhrectTd ht hd ww w pp w

42、w ppw 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 例2 由2N個(gè)(N是正整數(shù))正弦波組成的有限正弦波列 00 0 sin, | | 2 f(t) 0,| | 2 AttN xN wp w p w 試將它展為傅立葉積分。 解：f (t) 為奇函數(shù)，則其傅立葉積分為 0 ( )( )sinf xBtdwww 0 0 2 0 00 2 00 0 0 22 00 22 ( )( )sinsinsin cos()cos() 2 sin(2) () N N Bf ttdtAttdt A tt dt A N p w p w wwww pp wwww p ww p p www 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理

43、方法 2、復(fù)數(shù)形式的傅里葉積分 .)( )()( 2 1 )()( 2 1 )()( 2 1 )()( 2 1 2 )( 2 )( sin)(cos)()( 0 0 00 00 00 ww wwwwww wwwwww wwww wwwwww w ww ww wwww deF deiBAdeiBA deiBAdeiBA d i ee Bd ee A xdBxdAxf xi xixi xixi xixixixi )0().()( 2 1 )0(),()( 2 1 )( www www w iBA iBA FdxexfF xi * )( 2 1 )( w p w )(xf原函數(shù) 像函數(shù))(wF 內(nèi)江

44、師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 表示為 F 原函數(shù)到像函數(shù) 的傅里葉正變換 1 F 像函數(shù)到原函數(shù)的 傅里葉反變換 例同前例 . sin 22 )2/( 2 1 )( w w pwpp p ww w Th e i h dte h dteTtrecthxf T T ti T T ti ti F * 1 ( )F ( )( ) 2 ix Ff xf x edx w w w w p p 1 ( )F ( )( ) ix f xFFed w w wwwwww 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 復(fù)形式形式的對(duì)稱Fourier積分與Fourier變換 ww w deFxf xi )()( 1 ( )

45、( ) 2 i Ffed w w p F()被稱為Fourier變換的像函數(shù) f(x)稱為Fourier變換的原函數(shù) 11 ( )( )( )( ) 22 i xi f xFedFfed ww www pp 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 傅立葉變換的意義 數(shù)學(xué)意義 從一個(gè)函數(shù)空間(集合)到另一個(gè)函數(shù)空間(集合)的映射； f(x)稱為變換的原函數(shù)(相當(dāng)于自變量)，F(xiàn)()稱為象函數(shù)。 應(yīng)用意義 把任意函數(shù)分解為簡(jiǎn)單周期函數(shù)之和，F(xiàn)()的自變量為頻率， 函數(shù)值為對(duì)應(yīng)的振幅。 物理意義 把一般運(yùn)動(dòng)分解為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的疊加； 把一般電磁波(光)分解為單色電磁波(光)的疊加。 物理實(shí)現(xiàn) 分解方法：棱鏡

46、光譜儀、光柵光譜儀； 記錄方式：(用照相底版)攝譜儀、(用光電探測(cè)器)光度計(jì)。 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 例3 求矩形脈沖 f(x) = hrect(x/2T)的復(fù)數(shù)傅立葉變換。 dttfeF ti )( 2 1 )( w p w wp w p w Th hdte ti T T sin 2 1 代入傅立葉積分公式，得 w wp w w de Th tf ti sin )( 解：由 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 證明： ).()()()( )()( 2 1 )( 2 1 )( www p p ww ww w Fidxexfidxexf dxexfexf dxe dx xdf

47、xf xixi xixi xi F 0)(lim xf x 3、 傅里葉變換的基本性質(zhì) (1) 導(dǎo)數(shù)定理導(dǎo)數(shù)定理)()( wwFixfF # 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 (2) 積分定理積分定理 )( 1 )( )( w w F i dxxf x F )()( )( xdxxf x j 記 )()( xfx j )()( xixjwjFF )( 1 )(x i xj w jFF 則 由導(dǎo)數(shù)定理 即 # 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 (3) 相似性定理相似性定理 )( 1 )( a F a axf w F 通常將變換 f(x) f(ax) 稱為相似變換，它將測(cè)量 的尺子的單位改

48、變?yōu)樵瓉?lái)單位的1/a，相應(yīng)地，測(cè) 量的長(zhǎng)度值變?yōu)樵档?a 倍，而保持函數(shù)的形式不 變。有時(shí)也叫尺度變換。 ).( 1 )( 2 1 1 1 )( 2 1 )( 2 1 )( a F a dyeyf a dy a eyfdxeaxfaxf a y i a y i axy xi w p pp w w w F # 證明 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 (4) 延遲定理延遲定理 )()( 0 0 w w Fexxf xi F x 看作時(shí)間，記時(shí)由 x 到 x-x0 表示提前了 x0。記作“延遲”是習(xí)慣說(shuō)法。 證明 ).()( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 )( 00 0 0 00 w p

49、 pp www www Fedyeyfe dyeyfdxexxfxxf xiyixi xiyi xxy xi F 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 )()( 0 0 ww w Fxfe xi F 證明 ).()( 2 1 )( 0 )( 00 ww p www Fdxexfxfe xixi F# (5) 位移定理位移定理頻域的位移 (6) 卷積定理卷積定理 原函數(shù)的卷積與像函數(shù)的乘積間的關(guān)系 )()( 11 wFxfF)()( 22 wFxfF若和 則)()(2)()( 2121 wwpFFxfxfF 卷積： dxffxfxf)()()()( 2121 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法

50、 證明 ).()(2)( 2 1 )( 2 1 2 )()( 2 1 )()( 2 1 )()( 2121 21 2121 wwp p p p p p ww ww w FFdyyfedef ddyyfeef dxedxffxfxf yii yii xy xi F # 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 Fourier變換的性質(zhì) 性質(zhì)1（導(dǎo)數(shù)性質(zhì)）( )( )fxi Fww 性質(zhì)2（積分性質(zhì)） 1 ( )( ) x f x dxF i w w 性質(zhì)4（延遲性質(zhì)） 0 ()( ) i x f xxeF w w 性質(zhì)3（相似性質(zhì)） 1 ()f axF aa w 性質(zhì)5（位移性質(zhì)） 0 ( )()

51、ix ef xF w ww 性質(zhì)6（卷積性質(zhì)） 1212 ( )( )2( )( )f xfxFFpww 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 典型例題 解解 所給函數(shù)是奇函數(shù)所給函數(shù)是奇函數(shù), ,其其Fourier變換為變換為 . |, 0 | ,sin 2d 1 sinsin , , |, 0 |,sin )(1 0 2 p p p p p p w w w w w wwpwp p p p p t ttt Fourier t tt tf 并證明并證明變換變換 的的計(jì)算函數(shù)計(jì)算函數(shù)例例 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 tetftfF ti d)()()( w w w wF p p w w

52、 w w 0 0 dsinsin2 dsin)(2 ttti tttfi . 1 sin2 2 w w w wp p i 再由再由Fourier積分公式得積分公式得 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 w ww w p p w w d)( 2 1 )( ti eFtf w ww ww w p p tdsin)( 0 F i w w w w w ww wp p p p d 1 sinsin2 0 2 t . |, 0 | ,sin 2d 1 sinsin 0 2 p p p p p p w w w w w wwpwp t ttt 即即 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 解解 所給函數(shù)是偶函

53、數(shù)所給函數(shù)是偶函數(shù), ,其其Fourier變換為變換為 tetftfF ti d)()()( w w w wF ttee tit dcos |w w te ee e ti itit t d 2 |w w .cos 2 dcos 4 2 ,cos)(2 | 0 4 2 | tet Fouriertetf t t p p w ww w w w w w 并證明并證明變換變換的的計(jì)算函數(shù)計(jì)算函數(shù)例例 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 0 )1( 0 )1( 0 )1( 0 )1( dd dd 2 1 tete tete iiii iiii w ww w w ww w | | 0 )1( 0 )1(

54、 0 )1( 0 )1( 11 112 1 w ww w w ww w w ww w w ww w ii e ii e ii e ii e tiitii tiitii 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 ii iiii )1(1 1 )1(1 1 1 1 1 1 2 1 w ww w w ww w . 4 42 4 2 w w w w w ww w p p w w d)( 2 1 )( ti eFtf 再由再由Fourier積分公式得積分公式得 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 w ww ww w p p tdcos)( 1 0 F .tdcos 4 421 0 4 2 w ww w w

55、 w w w p p .cos 2 dcos 4 2 | 0 2 2 tet t p p w ww w w w w w 即即 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 解解 法一法一 , 1 )( w w i etu t F F由由 利用位移性質(zhì)利用位移性質(zhì) ,)( 2 1 )( 2 1 sin)( 00 0 tittit t eetu i eetu i tetu w w w w w w F FF F F F . sin)()(4 0 變換變換 的的計(jì)算函數(shù)計(jì)算函數(shù)例例Fouriertettutf t w w 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 , )( 22 0 0 w w w w w w i

56、 再由微分性質(zhì)再由微分性質(zhì) 22 0 0 0 )(d d sin)( w w w w w w w w w w i itettu t F F 222 0 0 )(2 ）（w w w w w w w w i i )( 1 2 1 )( 1 2 1 00 w ww w w ww w iiii 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 法二法二 2 )( 1 )( d d )( w w w w w w i Fiettu t F F 2 0 2 0 )( 1 2 1 )( 1 2 1 w ww w w ww w iiii 222 0 0 )(2 ）（w w w w w w w w i i ,)( 2 1 )

57、( 2 1 sin)( 00 0 tittit t eettu i eettu i tettu w w w w w w FF F,由位移性質(zhì)由位移性質(zhì) 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 2 )( 1 )( w w i ettu t F F )(*)( 2 1 )()( 2121 w ww w p p FFtftf F F 所以由卷積公式所以由卷積公式 . sin)()(5 0 變換變換 的的計(jì)算函數(shù)計(jì)算函數(shù)例例 Fourier tettutf t w w 及及 由由解解)()(sin 000 w ww w w ww w p pw w i tF 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 2 0

58、2 0 1 *)( 1 *)( 2）（）（w w w ww w w w w ww w ii i 2 0 2 0 )( 1 )( 1 2w ww w w ww w ii i 222 0 0 )(2 ）（w w w w w w w w i i 2 00 )( 1 *)()( 2 1 )( w w w ww w w ww w p p p pi itfF 得得 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 ).( ),0( |, 1 | , 0 )( )(6 tf F Fouriertf 求求 變變換換為為的的已已知知函函數(shù)數(shù)例例 w w w w w w 解解w ww w p p w w w w d)( 2

59、1 )()( 1ti eFFtf F w w p p w w d 2 1 ti e ). sin ( sin t t t t p p p p 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 . , )()(.)0( ,0),()(, sin )( 波波中中發(fā)發(fā)揮揮了了重重要要作作用用間間信信號(hào)號(hào)恢恢復(fù)復(fù)以以及及信信號(hào)號(hào)濾濾 、離離散散時(shí)時(shí)它它在在連連續(xù)續(xù)時(shí)時(shí)間間的的離離散散化化抽抽樣樣信信號(hào)號(hào) 稱稱為為或或者者信信號(hào)號(hào)定定義義 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)則則記記 tSatSaf ttSatf t t tSa p p p p p p t )(tf p p p p2 p p p p p p2 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理

60、方法 ).0( 1 d )( )( 7 2222 ba btat y 求求解解積積分分方方程程例例 解解 滿滿足足的的方方程程為為 由由卷卷積積定定理理可可得得像像函函數(shù)數(shù)并并記記 變變換換對(duì)對(duì)方方程程兩兩邊邊取取即即 的的卷卷積積與與方方程程兩兩邊邊是是未未知知函函數(shù)數(shù) )( ).()( ,. 1 *)( , 1 )( 22 22 w w w w Y Yty Fourier at ty at ty F . 1 1 *)( 2222 btat ty FF 內(nèi)江師院學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法 . 1 1 )( 2222 btat Y FFw w . 1 1 )( 22 22 at bt Y F