2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 2.3 函數(shù)的奇偶性與周期性學(xué)案

1、2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 2.3 函數(shù)的奇偶性與周期性學(xué)案2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 2.3 函數(shù)的奇偶性與周期性學(xué)案年級(jí)：姓名：第三節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性【知識(shí)重溫】一、必記3個(gè)知識(shí)點(diǎn)1函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)_x都有_，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關(guān)于_對(duì)稱奇函數(shù)如果函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)_x都有_，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)關(guān)于_對(duì)稱2.奇偶函數(shù)的性質(zhì)(1)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性_，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性_(填“相同”、“相反”)(2)在公共定義域內(nèi)()兩個(gè)奇函數(shù)的和函數(shù)是_，兩個(gè)奇函數(shù)的積函數(shù)是_.()兩個(gè)偶

2、函數(shù)的和函數(shù)、積函數(shù)是_.()一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積函數(shù)是_.(3)若f(x)是奇函數(shù)且在x0處有意義，則f(0)_.3函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)yf(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)t，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(xt)_，那么就稱函數(shù)yf(x)為周期函數(shù)，稱t為這個(gè)函數(shù)的周期(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中_的正數(shù)，那么這個(gè)_就叫做f(x)的最小正周期(3)常見結(jié)論：若f(xa)f(x)，則t2a；若f(xa)，則t2a；若f(xa)，則t2a.二、必明2個(gè)易誤點(diǎn)1判斷函數(shù)的奇偶性，易忽視判斷函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是判斷函數(shù)具有奇

3、偶性的一個(gè)必要條件2判斷函數(shù)f(x)的奇偶性時(shí)，必須對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x，均有f(x)f(x)或f(x)f(x)，而不能說(shuō)存在x0使f(x0)f(x0)、f(x0)f(x0)【小題熱身】一、判斷正誤1判斷下列說(shuō)法是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”) (1)“ab0”是“函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b(ab)上具有奇偶性”的必要條件()(2)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，則必有f(0)0.()(3)若函數(shù)yf(xa)是偶函數(shù)，則函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線xa對(duì)稱()(4)若函數(shù)yf(xb)是奇函數(shù)，則函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(b,0)中心對(duì)稱()(5)已知函數(shù)yf(x)是定義在r上的偶函數(shù)，若在(，0)上

4、是減函數(shù)，則在(0，)上是增函數(shù)()(6)若t為yf(x)的一周期，那么nt(nz)是函數(shù)f(x)的周期()二、教材改編2下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()ayx2sin x byx2cos xcy|ln x| dy2x3已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)閞的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)x(1x)，則f(x)的解析式為_三、易錯(cuò)易混4關(guān)于函數(shù)f(x)與h(x)的奇偶性，下列說(shuō)法正確的是()a兩函數(shù)均為偶函數(shù)b兩函數(shù)都既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)c函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，h(x)是非奇非偶函數(shù)d函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，h(x)是非奇非偶函數(shù)5設(shè)f(x)為奇函數(shù)，且在(，0)內(nèi)是減函數(shù)，f(2)0，則0的解集為()

5、ax|x2bx|x2或0x2cx|2x2 dx|2x0或0x2四、走進(jìn)高考62019全國(guó)卷已知f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)eax.若f(ln 2)8，則a_.函數(shù)的奇偶性分層深化型考向一：判斷函數(shù)的奇偶性12021成都市高三階段考試已知yf(x)是定義在r上的奇函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()yf(|x|)；yf(x)；yxf(x)；yf(x)x.a b c d2判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)(1x) ；(3)f(x)；(4)f(x)考向二：函數(shù)奇偶性的應(yīng)用3(1)2019全國(guó)卷設(shè)f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)ex1，則當(dāng)x0時(shí)，f(x)()aex1

6、bex1cex1 dex1(2)2021浙江高三月考若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為_悟技法1.判斷函數(shù)奇偶性的三種方法(1)定義法(2)圖象法(3)性質(zhì)法設(shè)f(x)，g(x)的定義域分別是d1，d2，那么在它們的公共定義域上：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇2函數(shù)奇偶性的應(yīng)用(1)求函數(shù)值：將特求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知解析式的區(qū)間上的函數(shù)值(2)求解析式：將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的區(qū)間上，再利用奇偶性的定義求出(3)求解析式中的參數(shù)：利用待定系數(shù)法求解，根據(jù)f(x)f(x)0得到關(guān)于參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對(duì)等性或等式恒成立的條件得方程(組)，進(jìn)而得出參數(shù)的值(4)畫

7、函數(shù)圖象：利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在另一對(duì)稱區(qū)間上的圖象(5)求特殊值：利用奇函數(shù)的最大值與最小值之和為零可求一些特殊結(jié)構(gòu)的函數(shù)值注意對(duì)于定義域?yàn)閕的奇函數(shù)f(x)，若0i，則f(0)0.考點(diǎn)二函數(shù)的周期性互動(dòng)講練型例1(1)2021綿陽(yáng)模擬函數(shù)f(x)則f(9)_.(2)已知定義在r上的函數(shù)f(x)滿足f(x2)，當(dāng)x0,2)時(shí)，f(x)xex，則f(2 020)_.悟技法1.求函數(shù)周期的方法方法解讀適合題型定義法具體步驟為：對(duì)于函數(shù)yf(x)，如果能夠找到一個(gè)非零常數(shù)t，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(xt)f(x)，那么t就是函數(shù)yf(x)的周期非零常數(shù)t容易確定的函數(shù)遞推法采用

8、遞推的思路進(jìn)行，再結(jié)合定義確定周期如：若f(xa)f(x)，則f(x2a)f(xa)af(xa)f(x)，所以2a為f(x)的一個(gè)周期含有f(xa)與f(x)的關(guān)系式換元法通過(guò)換元思路將表達(dá)式化簡(jiǎn)為定義式的結(jié)構(gòu)，如：若f(xa)f(xa)，令xat，則xta，則f(t2a)f(taa)f(taa)f(t)，所以2a為f(x)的一個(gè)周期f(bxa)f(bxc)型關(guān)系式2.函數(shù)周期性的應(yīng)用根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，即周期性與奇偶性都具有將未知區(qū)間上的問(wèn)題轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間的功能在解決具體問(wèn)題時(shí)，要注意結(jié)論：若t是函數(shù)的周期，則kt(kz且k0)也是函數(shù)的周期.變式練(著

9、眼于舉一反三)1已知定義在r上的函數(shù)滿足f(x2)，當(dāng)x(0,2時(shí)，f(x)2x1.則f(17)_，f(20)_.2已知f(x)是r上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)0x0(x1x2)恒成立，則f，f(4)，f的大小關(guān)系正確的是()aff(4)fbf(4)ffcff(4)fdfff(4)悟技法函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用問(wèn)題的常見類型及解題策略(1)函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合解此類問(wèn)題常利用以下兩個(gè)性質(zhì)：如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)f(|x|)奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性(2)周期性與奇偶性的綜合此類問(wèn)題多考查求值問(wèn)題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行變

10、換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解(3)單調(diào)性、奇偶性與周期性的綜合解決此類問(wèn)題通常先利用周期性、奇偶性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用單調(diào)性求解.同類練(著眼于觸類旁通)32020全國(guó)卷設(shè)函數(shù)f(x)ln|2x1|ln|2x1|，則f(x)() a是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增b是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減c是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增d是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減 變式練(著眼于舉一反三)42021武昌區(qū)調(diào)研考試已知f(x)是定義域?yàn)閞的奇函數(shù)，且函數(shù)yf(x1)為偶函數(shù)，當(dāng)0x1時(shí)，f(x)x3，則f_. 拓展練(著眼于遷移應(yīng)用)52021廣東珠海模擬定義在r上的函數(shù)f(x)滿足f(x)f(

11、2x)，f(x)f(x)，且在0,1上有f(x)x2，則f()a. b. c d6已知定義在r上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x4)f(x)，且在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，則()af(25)f(11)f(80)bf(80)f(11)f(25)cf(11)f(80)f(25)df(25)f(80)f(11)第三節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性【知識(shí)重溫】任意一個(gè)f(x)f(x)y軸任意一個(gè)f(x)f(x)原點(diǎn)相同相反奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)0f(x)存在一個(gè)最小最小正數(shù)【小題熱身】1答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)2解析：a是奇函數(shù)，b是偶函數(shù)，c，d是非奇非偶函數(shù)答案：a3解析：當(dāng)x0，f(x)(x)(

12、1x)x(1x)又f(x)為奇函數(shù)，f(x)f(x)，f(x)x(1x)，即f(x)x(1x)答案：f(x)4解析：函數(shù)f(x)的定義域滿足即x24，因此函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,2，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，此時(shí)f(x)0，滿足f(x)f(x)，f(x)f(x)，所以函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)而函數(shù)h(x)的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此函數(shù)h(x)是非奇非偶函數(shù)答案：d5解析：f(x)為奇函數(shù)，且在(，0)內(nèi)是減函數(shù)，函數(shù)f(x)在(0，)上也為減函數(shù)f(2)0，f(2)f(2)0，故函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示則由0，可得xf(x)0，即x和f(x)異號(hào)，由圖象可得x2.故0的解集為x|x

13、2，故選a.答案：a6解析：解法一由x0可得x0時(shí)，f(x)f(x)ea(x)eax，則f(ln 2)ealn 28，aln 2ln 83ln 2，a3.解法二由f(x)是奇函數(shù)可知f(x)f(x)，f(ln 2)f(ln )(ealn )8，aln ln 83ln 2，a3.答案：3課堂考點(diǎn)突破考點(diǎn)一1解析：因?yàn)閥f(x)是定義在r上的奇函數(shù)，所以f(x)f(x)，由f(|x|)f(|x|)，知是偶函數(shù)；由f(x)f(x)f(x)，知是奇函數(shù)；由yf(x)是定義在r上的奇函數(shù)，且yx是定義在r上的奇函數(shù)，奇奇偶，知是偶函數(shù)；由f(x)(x)f(x)x，知是奇函數(shù)答案：d2解析：(1)由得x2

14、3，解得x，即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，f(x)0.f(x)f(x)且f(x)f(x)，函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)(2)由0得1x1，所以f(x)的定義域?yàn)?,1)，所以函數(shù)f(x)是非奇非偶函數(shù)(3)由得定義域?yàn)?1,0)(0,1)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱x20，|x2|2x，f(x).又f(x)f(x)，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)(4)顯然函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，0)(0，)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱當(dāng)x0，則f(x)(x)2xx2xf(x)；當(dāng)x0時(shí)，x0，則f(x)(x)2xx2xf(x)；綜上可知，對(duì)于定義域內(nèi)的任意x，總有f(x)f(x)，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)3解析：(1)當(dāng)x0，因?yàn)楫?dāng)x0時(shí)，f(x)

15、ex1，所以f(x)ex1.又因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以f(x)f(x)ex1.故選d項(xiàng)(2)由于函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，故f(x)f(x)0，即0，即0，故42a0，即a2.答案：(1)d(2)2考點(diǎn)二例1解析：(1)f(9)f(94)f(5)f(54)f(1)2111.(2)因?yàn)槎x在r上的函數(shù)f(x)滿足f(x2)，所以f(x4)f(x)，所以函數(shù)f(x)的周期為4.當(dāng)x0,2)時(shí)，f(x)xex，所以f(2 020)f(50540)f(0)0e01.答案：(1)1(2)1變式練1解析：因?yàn)閒(x2)，所以f(x4)f(x)，所以函數(shù)yf(x)的周期t4.f(17)f(441)f(1)1.

16、f(20)f(444)f(4)f(22).答案：12解析：因?yàn)楫?dāng)0x0時(shí)，令f(x1)0，得0x12，1x3；當(dāng)x0時(shí)，令f(x1)0，得2x10，1x1，又x0，1xf(0)f，即ff(4)f.答案：c同類練3解析：x，函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又f(x)ln|2x1|ln|2x1|ln|2x1|ln|2x1|f(x)，f(x)是奇函數(shù)，排除a、c；當(dāng)x時(shí)，f(x)ln(2x1)ln(12x)，則f(x)0，f(x)在單調(diào)遞增，排除b；當(dāng)x時(shí)，f(x)ln(2x1)ln(12x)，則f(x)0，f(x)在單調(diào)遞減，d正確答案：d變式練4解析：解法一因?yàn)閒(x)是r上的奇函數(shù)，yf(x1)為偶函數(shù)，所以f(x1)f(x1)f(x1)，所以f(x2)f(x)，f(x4)f(x)，即f(x)的周期t4，因?yàn)?x1時(shí)，f(x)x3，所以fffffff.解法二因?yàn)閒(x)是r上的奇函數(shù)，yf(x1)為偶函數(shù)，所以f(x1)f(x1)f(x1)，所以f(x2)f(x)，由題意知，當(dāng)1x0時(shí)，f(x)x3，故當(dāng)1x1時(shí)，f(x)x3，當(dāng)1x3時(shí)，1x21，f(x)(x2)3，所以f3.答案：拓展練5解析：因?yàn)閒(x)f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)，因?yàn)閒