高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)(人教A版)配套教案：選修4-4 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 第一講 坐標(biāo)系

1、第一講坐標(biāo)系1平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換設(shè)點P(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點，在變換：的作用下，點P(x，y)對應(yīng)到點P(x，y)，稱為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡稱_2極坐標(biāo)系的概念(1)極坐標(biāo)系如圖所示，在平面內(nèi)取一個_O，叫做極點；自極點O引一條_Ox，叫做極軸；再選定一個_單位、一個_單位(通常取_)及其正方向(通常取_方向)，這樣就建立了一個極坐標(biāo)系(2)極坐標(biāo)設(shè)M是平面內(nèi)一點，極點O與點M的_叫做點M的極徑，記為_；以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角_叫做點M的極角，記為_有序數(shù)對_叫做點M的極坐標(biāo)，記為_一般地，不作特殊說明時，我們認(rèn)為_0，可取_(3)點與極

2、坐標(biāo)的關(guān)系一般地，極坐標(biāo)(，)與_表示同一個點特別地，極點O的坐標(biāo)為_和直角坐標(biāo)不同，平面內(nèi)一個點的極坐標(biāo)有_種表示如果規(guī)定0，_，那么除_外，平面內(nèi)的點可用_的極坐標(biāo)(，)表示；同時，極坐標(biāo)(，)表示的點也是_確定的3極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化(1)互化背景：把直角坐標(biāo)系的原點作為_，x軸的正半軸作為_，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的_(2)互化公式：如圖所示，設(shè)M是平面內(nèi)任意一點，它的直角坐標(biāo)是(x，y)，極坐標(biāo)是(，)(0)，于是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式如下表：點M直角坐標(biāo)(x，y)極坐標(biāo)(，)互化公式x_，y_2_，tan _4.常見曲線的極坐標(biāo)方程曲線圖形極坐標(biāo)方程圓心在極點，半徑為r的圓圓

3、心為(r,0)，半徑為r的圓圓心為(r，)，半徑為r的圓過極點，傾斜角為的直線(1)_或_(2)(0)和_(0)過點(a,0)，與極軸垂直的直線過點(a，)，與極軸平行的直線1在極坐標(biāo)系中，若點A，B的坐標(biāo)分別是(3，)，(4，)，則AOB為_三角形2在極坐標(biāo)系中，直線sin()2被圓4截得的弦長為_3(課本習(xí)題改編)極坐標(biāo)方程sin 2cos 能表示的曲線的直角坐標(biāo)方程為_4曲線4sin 與2的交點坐標(biāo)是_.題型一平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換例1在同一平面直角坐標(biāo)系中，已知伸縮變換：(1)求點A(，2)經(jīng)過變換所得的點A的坐標(biāo)；(2)求直線l：y6x經(jīng)過變換后所得的直線l的方程；(3)求雙曲線

4、C：x21經(jīng)過變換后所得到的曲線C的焦點坐標(biāo)思維升華平面圖形的伸縮變換可以用坐標(biāo)伸縮變換來表示在伸縮變換下，直線仍然變成直線，拋物線仍然變成拋物線，雙曲線仍然變成雙曲線，圓可以變成橢圓，橢圓也可以變成圓橢圓y21經(jīng)過伸縮變換后的曲線方程為_題型二極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化例2(2012湖南)在極坐標(biāo)系中，曲線C1：(cos sin )1與曲線C2：a(a0)的一個交點在極軸上，則a_.思維升華直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程，只需把公式xcos 及ysin 直接代入并化簡即可；而極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程要通過變形，構(gòu)造形如cos ，sin ，2的形式，進行整體代換其中方程的兩邊同乘以(或同除以)及方程

5、兩邊平方是常用的變形方法但對方程進行變形時，方程必須保持同解，因此應(yīng)注意對變形過程的檢驗(2013北京)在極坐標(biāo)系中，點到直線sin 2的距離等于_題型三求曲線的極坐標(biāo)方程例3已知P，Q分別在AOB的兩邊OA，OB上，AOB，POQ的面積為8，則PQ中點M的極坐標(biāo)方程為_思維升華求曲線的極坐標(biāo)方程的步驟：(1)建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，設(shè)P(，)是曲線上任意一點；(2)由曲線上的點所適合的條件，列出曲線上任意一點的極徑和極角之間的關(guān)系式，解決這類問題，關(guān)鍵是抓住問題的幾何意義(3)將列出的關(guān)系式進行整理、化簡，得出曲線的極坐標(biāo)方程(1)(2012上海)如圖，在極坐標(biāo)系中，過點M(2,0)的直線l與極

6、軸的夾角.若將l的極坐標(biāo)方程寫成f()的形式，則f()_.(2)(2012江蘇改編)在極坐標(biāo)系中，已知圓C經(jīng)過點P，圓心為直線sin與極軸的交點，則圓C的極坐標(biāo)方程為_轉(zhuǎn)化與化歸思想在坐標(biāo)系中的應(yīng)用典例：(5分)(2012安徽)在極坐標(biāo)系中，圓4sin 的圓心到直線(R)的距離是_思維啟迪將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系中的一般方程求解解析極坐標(biāo)系中的圓4sin 轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系中的一般方程為x2y24y，即x2(y2)24，其圓心為(0,2)，直線轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系中的方程為yx，即x3y0.圓心(0,2)到直線x3y0的距離為.答案溫馨提醒本題考查了極坐標(biāo)方程和平面直角坐標(biāo)系中一般方

7、程的轉(zhuǎn)化，考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想，題目難度不大，做本題時有可能因?qū)O坐標(biāo)和平面直角坐標(biāo)的關(guān)系不熟而受挫在進行坐標(biāo)互化時要注意以下幾點：(1)互化的三個前提條件：極點與原點重合；極軸與x軸正方向重合；取相同的單位長度(2)若把直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)，求極角時，應(yīng)注意判斷點P所在的象限(即角的終邊的位置)，以便正確地求出角.利用兩種坐標(biāo)的互化，可以把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題.方法與技巧1我們在使用伸縮變換時，要分清新舊坐標(biāo)：P(x，y)是變換圖形后的點的坐標(biāo)，P(x，y)是變換前圖形的點的坐標(biāo)注意從三角函數(shù)的圖象變換來理解抽象的坐標(biāo)伸縮變換公式，以加深理解和記憶2曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)系的互化思

8、路：對于簡單的我們可以直接代入公式cos x，sin y，2x2y2，但有時需要作適當(dāng)?shù)淖兓?，如將式子的兩邊同時平方，兩邊同時乘以等3如果要判斷曲線的形狀，我們可以將方程化為直角坐標(biāo)方程再進行判斷，這時我們直接應(yīng)用xcos ，ysin 即可失誤與防范極徑是一個距離，所以0，但有時可以小于零極角規(guī)定逆時針方向為正，極坐標(biāo)與平面直角坐標(biāo)不同，極坐標(biāo)與P點之間不是一一對應(yīng)的，所以我們又規(guī)定0,00，0,0)的交點的極坐標(biāo)為_8在極坐標(biāo)系中，直線sin與圓2cos 的位置關(guān)系是_9(2012陜西)直線2cos 1與圓2cos 相交的弦長為_10在極坐標(biāo)系中，射線(0)與曲線C1：4sin 的異于極點的

9、交點為A，與曲線C2：8sin 的異于極點的交點為B，則|AB|_.B組專項能力提升1在極坐標(biāo)系中，已知圓2cos 與直線3cos 4sin a0相切，則實數(shù)a的值為_2在極坐標(biāo)系中，過圓6cos 的圓心，且垂直于極軸的直線的極坐標(biāo)方程為_3在極坐標(biāo)系中，曲線4cos()與直線sin()1的兩個交點之間的距離為_4在極坐標(biāo)系中，P是曲線12sin 上的動點，Q是曲線12cos上的動點，則|PQ|的最大值為_5圓心為C，半徑為3的圓的極坐標(biāo)方程為_6已知曲線C1的極坐標(biāo)方程為4sin ，曲線C2的極坐標(biāo)方程為(R)，曲線C1，C2相交于點M，N.則線段MN的長為_7已知極坐標(biāo)系中，極點為O，將點

10、A繞極點逆時針旋轉(zhuǎn)得到點B，且OAOB，則點B的直角坐標(biāo)為_答案基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)要點梳理1xy伸縮變換2(1)定點射線長度角度弧度逆時針(2)距離|OM|xOM(，)M(，)任意實數(shù)(3)(，2k)(kZ)(0，)(R)無數(shù)02極點惟一惟一3(1)極點極軸長度單位(2)cos sin x2y2(x0)4r(02)2rcos ()2rsin (0)(R)(R)(2)cos a()sin a(00)對應(yīng)的普通方程為x2y2a2.在xy10中，令y0，得x.將代入x2y2a2得a.跟蹤訓(xùn)練21解析極坐標(biāo)系中點對應(yīng)直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)為(，1)，極坐標(biāo)系直線sin 2對應(yīng)直角坐標(biāo)系中直線方程為y2，點到直

11、線y2的距離為d1.例32(0)解析建立如圖所示極坐標(biāo)系，設(shè)動點M坐標(biāo)為(，)(0)P、Q兩點坐標(biāo)分別為(1,0)，(2，)則有12sin 8，1sin 4，2sin()4，得：212sin sin()16，由得12代入得2(01.故直線與圓相離9.解析直線2cos 1可化為2x1，即x；圓2cos 兩邊同乘得22cos ，化為直角坐標(biāo)方程是x2y22x.將x代入x2y22x得y2，y.弦長為2.102解析將射線與曲線C1的方程聯(lián)立，得解得故點A的極坐標(biāo)為(2，)，同理由得可得點B的極坐標(biāo)為，所以|AB|422.B組18或2解析將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，得圓的方程為x2y22x，即(x1)

12、2y21，直線的方程為3x4ya0.由題設(shè)知，圓心(1,0)到直線的距離為1，即有1，解得a8或a2.故a的值為8或2.2cos 3解析由6cos 得，26cos ，又2x2y2，xcos ，x2y26x，即(x3)2y29，圓心為(3,0)，故所求直線的極坐標(biāo)方程為cos 3.32解析由極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系的互化關(guān)系可知曲線4cos()對應(yīng)的直角坐標(biāo)方程為x2y22x2y0，即(x1)2(y)24，直線sin()1對應(yīng)的直角坐標(biāo)方程為xy20，所以兩交點間的距離即為直線被圓截得的弦長的大小，由垂徑定理可求得弦長為2，即兩交點之間的距離為2.418解析12sin ，212sin ，x2y212y0，即x2(y6)236.又12cos，212，x2y26x6y0，(x3)2(y3)236，|PQ|max6618.56cos解析如圖，設(shè)圓上任一點為P(，)，則|OP|，POA，|OA|236，在RtOAP中，|OP|OA|cosPOA，6cos.圓的極坐標(biāo)方程為6cos.62解析