第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

1、第二章第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 2.1 2.1 系統(tǒng)的微分方程及列寫系統(tǒng)的微分方程及列寫 2 2學(xué)時(shí)學(xué)時(shí) 2.2 Laplace2.2 Laplace變化及微分方程求解變化及微分方程求解 2.3 2.3 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)及相似性原理系統(tǒng)的傳遞函數(shù)及相似性原理 2.4 2.4 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖及簡(jiǎn)化系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖及簡(jiǎn)化 2.5 2.5 反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 2.0 2.0 基本概念基本概念 1)1)數(shù)學(xué)模型定義（數(shù)學(xué)模型定義（P6P6） 系統(tǒng)的系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)內(nèi)部各物理量（或變量）是描述系統(tǒng)內(nèi)部各物理量（或變量） 之間或系統(tǒng)與其外部環(huán)境

2、之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式或圖形表之間或系統(tǒng)與其外部環(huán)境之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式或圖形表 達(dá)式或數(shù)字表達(dá)式。達(dá)式或數(shù)字表達(dá)式。 2)2)建立數(shù)學(xué)模型的意義建立數(shù)學(xué)模型的意義 (1)可可定性定性地了解系統(tǒng)的工作原理及其特性地了解系統(tǒng)的工作原理及其特性; (2)能能定量定量地描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能地描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能; (3)揭示系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)、參數(shù)與動(dòng)態(tài)性能之間的關(guān)系。揭示系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)、參數(shù)與動(dòng)態(tài)性能之間的關(guān)系。 w系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型按系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特性分為：系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型按系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特性分為：靜態(tài)數(shù)學(xué)模型靜態(tài)數(shù)學(xué)模型和和動(dòng)態(tài)動(dòng)態(tài) 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型。（靜態(tài)模型是。（靜態(tài)模型是t t時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型。）時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型。

3、） （1）微分方程微分方程,它在它在時(shí)域時(shí)域中描述系統(tǒng)中描述系統(tǒng)(或元件或元件)動(dòng)態(tài)特性；動(dòng)態(tài)特性； （2）傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)，它極有利于對(duì)系統(tǒng)在，它極有利于對(duì)系統(tǒng)在復(fù)數(shù)域復(fù)數(shù)域及頻域進(jìn)行及頻域進(jìn)行 深入的研究、分析與綜合深入的研究、分析與綜合 。 （3）狀態(tài)空間狀態(tài)空間，有利于反應(yīng)系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)之間的聯(lián)系；，有利于反應(yīng)系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)之間的聯(lián)系； （4）動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖，有利于直觀的列寫和分析系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。，有利于直觀的列寫和分析系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。 3)3)基本數(shù)學(xué)模型基本數(shù)學(xué)模型 k m c y(t) f(t) ) t ( ky dt ) t ( dy c) t ( f dt )t (yd m- - -=

4、 = 2 2 11 22 1 010 ( ) /1/ xx f t xk mc mxm yx = - = 狀態(tài)空間狀態(tài)空間 4) 4)線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng) 線性及非線性這一特性并不隨系統(tǒng)的表示方法而改變，它是系統(tǒng)本 身的固有特性。 5) 5) 數(shù)學(xué)模型的建立方法數(shù)學(xué)模型的建立方法 建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型有兩種方法：分析法和實(shí)驗(yàn)法。 2.1 2.1 系統(tǒng)的微分方程系統(tǒng)的微分方程 一分析法（解析法）一分析法（解析法） 11 110110 11 ()( )() ( ), nnmm nnommi nnmm dddddd aaaax tbbbb x t dtdtdtdtdtdt - - -

5、 = 112 1 1 1 ()Riii dtu C -= 2 2212 21 11 ()R ii dtii dt CC =- 2 2 2 1 i dtu C = 例例1 1 圖示為兩個(gè)形式相同的RC 電路串聯(lián)而成的濾波網(wǎng)絡(luò)， 試寫出以輸出電壓和輸入 電壓為變量的濾波網(wǎng)絡(luò)的 微分方程。 解：列寫系統(tǒng)微分方程 (1) 輸入:電壓 輸出:電壓 中間變量 (2)簡(jiǎn)化 (3) 根據(jù)克希荷夫定律，可寫 出下列原始方程式： 1, 2 i i 2 u 1 u (4) (4)消去中間變量消去中間變量 2 22 112211221221 2 () d udu R C R CR CR CR Cuu dtdt = l

6、雖然電路又兩個(gè)RC電路所組成，但不能把它看作兩個(gè)獨(dú)立的RC 電路的連接。因?yàn)榈诙?jí)電路的i2 要影響第一級(jí)電路的u1，列寫 方程式應(yīng)考慮這個(gè)影響。這種后一級(jí)對(duì)前一級(jí)的影響叫做負(fù)載效 應(yīng)。存在負(fù)載效應(yīng)時(shí)，必須把全部元件作為整體加以考慮。 l本例如果不考慮負(fù)載效應(yīng)時(shí)，顯然與前面得到的結(jié)果本例如果不考慮負(fù)載效應(yīng)時(shí)，顯然與前面得到的結(jié)果 不同。不同。 例例2 圖示為電樞控制式直流電機(jī)原理圖，設(shè) 為電樞兩 端的控制電壓， 為電機(jī)旋轉(zhuǎn)角速度， 為折合到電機(jī)軸 上的總的負(fù)載力矩。當(dāng)激磁不變時(shí)，用電樞控制的情況 下， 為給定輸入， 為干擾輸入， 為輸出。系統(tǒng)中為 電動(dòng)機(jī)旋轉(zhuǎn)時(shí)電樞兩端的反電勢(shì)； 為電動(dòng)機(jī)的電樞

7、電 流； 為電動(dòng)機(jī)的電磁力矩。 a u L M a u M a i M a u (1) 輸入變量為電壓 ；輸出變量為電機(jī)旋轉(zhuǎn)角速 度 ;中間變量 ; (2)列寫微分方程，電機(jī)電樞回路的方程為 當(dāng)磁通固定不變時(shí)， 與轉(zhuǎn)速 成正比，即 故有 根據(jù)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律，電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)方程為 a ada di Li Reu dt = dd ek= a ada di Li Rku dt = L d JMM dt =- d e aL uM、 ad ie、 d k （2.1.7） （2.1.6） 為反電勢(shì)常數(shù) 電動(dòng)機(jī)的電磁力矩與電樞電流成正比。 （3）消除中間變量）消除中間變量 將（2.1.8）式代入（2.1.

8、7）式得 應(yīng)用（2.1.6）式和（2.1.9）式消去中間變量ia，可得 令 ，則上式為 由式可見(jiàn)，轉(zhuǎn)速由式可見(jiàn)，轉(zhuǎn)速既由既由ua控制，又受控制，又受ML影響。影響。 m a Mk i= m aL d Jk iM dt =- 2 2 1L aL dmdmddmdm dMdd LJRJLR uM k kk kkk kk k dtdtdt =- ,(),1, admmddmm L RT RJk kTkC TJC= 2 2 L ammdamamL dMdd T TTC uC TC M dtdtdt =- （2.1.8） （2.1.9） 例3：如圖為一機(jī)械轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)，系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J， 粘性阻尼系數(shù)為f

9、，輸出量為慣性負(fù)載的角速度 ，T （t）為作用到系統(tǒng)上的轉(zhuǎn)矩。 1、輸入T（t） 輸出 f T（t） J 2、應(yīng)用牛頓第二定律 T(t) dt = f d J =T dt J d 例3：列寫如圖所示電路的動(dòng)態(tài)方程列寫如圖所示電路的動(dòng)態(tài)方程 R C i Ur Uc 3 消除變量i：UrUc Uc = dt d RC 令 RC=T 則： UrUc dt Uc = d T 1、輸入U(xiǎn)r，輸出 Uc，中間量i 2、基爾霍夫定律 Ur=? Uc?= 1 U r=R i+i C 1 U ci C dt dt= 二微分方程的增量化表示二微分方程的增量化表示 下面是考慮工程實(shí)際進(jìn)一步討論模型。 (1)電動(dòng)機(jī)處

10、于平衡狀態(tài)，變量各階導(dǎo)數(shù)為零，微分方程變?yōu)榇?數(shù)方程： 此時(shí)，對(duì)應(yīng)輸入輸出量可表示為： 則有 這就是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)。 damL C uC M=- （2.1.122.1.12） 0aa uu= 0LL MM= 0 = 000damL C uC M=- （2.1.132.1.13） 2 2 L ammdamamL dMdd T TTC uC TC M dtdtdt =- （2）系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)并不能長(zhǎng)期穩(wěn)定，閉環(huán)控制系統(tǒng)的任務(wù)就 是要系統(tǒng)工作在穩(wěn)態(tài)。當(dāng)輸入量發(fā)生變化時(shí)，輸出量相應(yīng)變化， 輸入輸出量可以記為： 則式（2.1.11）可記為： 考慮到 ，上式可變?yōu)?000damL C uC M=- 2 2 L a

11、mmdamamL d Mdd T TTCuC TCM dtdtdt =- 2 000 000 2 ()()() ()()() LL a mmdaam amLL ddd MM TTTC uuC TCMM dtdtdt =- 0aaa uuu= 0LLL MMM= 0 = 三、非線性方程的線性化三、非線性方程的線性化 線性化線性化：為了分析研究非線性系統(tǒng)，在一定范圍內(nèi)將一些非線性因 素忽略，近似地用線性數(shù)學(xué)模型來(lái)代替。 泰勒資料 Born: 18 Aug 1685 in Edmonton, Middlesex, England Died: 29 Dec 1731 in Somerset House

12、, London, England Brook Taylor 泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi) (1)輸入變量為閥心位移x； 輸出變量為活塞位移y; 中間變量 p q, (2)按照液壓原理建立動(dòng)力學(xué)方程 液壓伺服系統(tǒng) 負(fù)載動(dòng)力學(xué)方程為mycyAp= 流量連續(xù)性方程為 qAy= q與p一般為非線性關(guān)系 ( , )qq x p= 例例 液壓伺服系統(tǒng)液壓伺服系統(tǒng) 00 00 ( ,)(,)()() oo xxxx pppp qq qq x pq xpxp xp = = =- （3 3）線性化處理）線性化處理 0 ppp=- 0 xxx =- 式中 在工作點(diǎn)領(lǐng)域做泰勒展開(kāi)，當(dāng)偏差很小時(shí)，可略去展開(kāi)式的高 階項(xiàng)，保留一次項(xiàng)

13、，并取增量關(guān)系，有： qc qKxKp= -（4 4）表示成增量方程）表示成增量方程 當(dāng)系統(tǒng)在預(yù)定工作條件 ， ， 下工作，即可寫為 00 (,)0q xp= 0 0 x =0 0p = qc qK xK p=- （5 5）消除中間變量）消除中間變量 1 () q c pK xq K =- 2 () q cc AK A mycyx KK = 圖圖2.1.4 q,p,x2.1.4 q,p,x三者線性關(guān)系三者線性關(guān)系 小偏差線性化時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：小偏差線性化時(shí)要注意以下幾點(diǎn)： （1 1）必須明確系統(tǒng)工作點(diǎn)必須明確系統(tǒng)工作點(diǎn)，因?yàn)椴煌墓ぷ鼽c(diǎn)，因?yàn)椴煌墓ぷ鼽c(diǎn) 所得線性化方程的系數(shù)不同。所得線性化

14、方程的系數(shù)不同。 （2 2）非線性模型線性化的條件：）非線性模型線性化的條件：變量偏離預(yù)定變量偏離預(yù)定 工作點(diǎn)很小。工作點(diǎn)很小。如果變量在較大范圍內(nèi)變化，則如果變量在較大范圍內(nèi)變化，則 在除工作點(diǎn)外的其它工況勢(shì)必有較大的誤差。在除工作點(diǎn)外的其它工況勢(shì)必有較大的誤差。 （3 3）如果非線性函數(shù)是不連續(xù)如果非線性函數(shù)是不連續(xù)的（即非線性的（即非線性 特性是不連續(xù)的），則在不連續(xù)點(diǎn)附近不能特性是不連續(xù)的），則在不連續(xù)點(diǎn)附近不能 得到收斂的泰勒級(jí)數(shù)，這時(shí)就不能線性化。得到收斂的泰勒級(jí)數(shù)，這時(shí)就不能線性化。 （4 4）線性化后的微分方程是以）線性化后的微分方程是以增量為基礎(chǔ)的增量為基礎(chǔ)的 增量方程。增量

15、方程。 l要求：要求： 會(huì)按照標(biāo)準(zhǔn)格式列寫常用電路、電機(jī)、機(jī)械轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)會(huì)按照標(biāo)準(zhǔn)格式列寫常用電路、電機(jī)、機(jī)械轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué) 微分方程！微分方程！ l作業(yè)作業(yè) 2.2（b）、）、2.3（c）、）、2.4 (a)、2.5 第二章第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 2.1 2.1 系統(tǒng)的微分方程及列寫系統(tǒng)的微分方程及列寫 2.2 Laplace2.2 Laplace變化及微分方程求解變化及微分方程求解 4 4學(xué)時(shí)學(xué)時(shí)1 1 2.3 2.3 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)及相似性原理系統(tǒng)的傳遞函數(shù)及相似性原理 2.4 2.4 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖及簡(jiǎn)化系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖及簡(jiǎn)化 2.5 2.5 反饋控制系

16、統(tǒng)的傳遞函數(shù)反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)及及Matlab 古今之成大事業(yè)、大學(xué)問(wèn)者，必經(jīng)過(guò)三種之境界：古今之成大事業(yè)、大學(xué)問(wèn)者，必經(jīng)過(guò)三種之境界： 王國(guó)維治學(xué)三境界王國(guó)維治學(xué)三境界 王國(guó)維在人間詞話 眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在，燈火闌珊處。 衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴 。 昨夜西風(fēng)凋碧樹(shù)。獨(dú)上高樓，望盡天涯路。 2.2 Laplace2.2 Laplace變化及微分方程求解變化及微分方程求解 控制系統(tǒng)可以用常系數(shù)線性微分方程來(lái)描述，解出這個(gè)微分方程， 就得到表示系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的過(guò)渡過(guò)程，因此，方便地求解微分方程 是至關(guān)重要的。 00 0 -( - ) 0 ( ),/,1 / ( ) ( )

17、 ( )(0)( ) ( )(0)( ) at at as tt as t atas t ata t s d abT tafJ bJ dt de be T t dt de dsbeT s ds dt t ebeT s ds tebeT s ds = -= = = = = 微分方程求解微分方程求解 f T（t） J T(t) dt = f d J l一階系統(tǒng)一階系統(tǒng) l二階系統(tǒng)：二階系統(tǒng)： 2 () q cc AK A mycyx KK = 其次方程通解其次方程通解+非其次非其次 特解特解 l高階系統(tǒng)？高階系統(tǒng)？ m ya yb xx= 時(shí)間域時(shí)間域復(fù)數(shù)域復(fù)數(shù)域 Laplace 一、拉氏（一、拉

18、氏（Laplace）變換的定義）變換的定義 設(shè)f(t)是定義在（0，）區(qū)間上的時(shí)間函數(shù)，又s為復(fù)數(shù) （s=+jw），用e-st乘以f(t)后，再將它對(duì)t從0-進(jìn)行積分，如 果這個(gè)積分收斂，則確定了一個(gè)以s為參量的復(fù)變函數(shù)F(s) 0 ( ) ( )( ) st F sL f tf t edt - = 1 1 ( ) ( )( ) 2 j j s t j f tLF sF s e ds - - = 拉普拉斯反變換 拉普拉斯變換 二、幾種典型函數(shù)的拉氏變換二、幾種典型函數(shù)的拉氏變換 1 單位階躍函數(shù) 0,0 1( ) 1,0 t t t = 根據(jù)定義有 0 0 11 ( )1( )1( ) sts

19、t F sLtt edte ss - =-= 2 單位沖激函數(shù) (t) 0 0 ( )( )1 stst t Ltt edte - = - = 根據(jù)定義有 00 ( ) 10 t t t = = ( )1t dt - = 3 單位斜坡信號(hào) = 0, 0, 0 )( tt t tr 0 2200 0 ( ) 111 st ststst F sL ttedt t eedte ssss - - = = -= 根據(jù)定義有 分步積分法 4 指數(shù)函數(shù) ( ) at f te - = () 00 ( ) atatsts a t F sL eeedtedt - = 根據(jù)定義有 11 0 1 11 ( ) s

20、ts t F sL ee ssa - = 1 ssa=令 則與求單位階躍函數(shù)同理，就可求得 5 正弦函數(shù) ( )sinf twt= cos()sin() 1 sin() 2 jw t jw tjw t ew tjw t w tee j - = =- 歐拉公式歐拉公式 0 22 1 ( )sin() 2 111 () 2 jwtjwtst F sLwteeedt j w j sjwsjwsw - =- =-= - 根據(jù)定義有 22 1 cosLwt sw = 實(shí)際應(yīng)用中，拉普拉斯變換不是推算，而是查表！ Laplace,Pierre-Simon,marquisde 拉普拉斯,法國(guó)數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家

21、，法國(guó)科學(xué)院院士。 是天體力學(xué)的主要奠基人、天體演化學(xué)的創(chuàng)立者之一， 他還是分析概率論的創(chuàng)始人，因此可以說(shuō)他是應(yīng)用數(shù) 學(xué)的先軀。 天文學(xué)、數(shù)學(xué)和物理學(xué)的論文有270多篇， 專著合計(jì)有4006多頁(yè) 三、拉氏變換性質(zhì)三、拉氏變換性質(zhì) 1、疊加定理、疊加定理 1212 ( )( )( )( )L f tf tL f tL f t= 2、比例定理、比例定理 ( )( )L K ftK Lft= 3、微分定理、微分定理 2 2 2 12(1) ( ) ( )(0) ( ) ( )(0)(0) ( ) ( )(0)(0)(0) n nnnn n df t LsF sf dt d f t Ls F ssff

22、 dt d f t Ls F ssfsff dt - =- =- =- d s dt = 4、積分定理、積分定理 ( 1) 2( 1)( 2) 22 ( 1)() 11 ( )( )(0) 111 ( )( )(0)(0) 111 ( )( )(0)(0) nn nn Lf t dtF sf ss Lf t dtF sff sss Lf t dtF sff sss - - - = = = ( 1)( 2)() (0),(0),(0) n fff - 式中，為原函數(shù)的各重積分 5、終值定理、終值定理 0 lim( )lim( ) ts f tsF s = 6、初值定理、初值定理 0 lim( )

23、lim( ) ts f tsF s = 7、位移定理、位移定理 ()( )( )() stat L f teF sL ef tF sa - -= 1 dt s = 例例 求函數(shù)的Laplace變化 ( )f tKt= 2 ( ) K F sL KtKL t s = ( )1( ) at f tte-= 11(2) ( )1( ) () at sa F sLtL e ssas sa - = ( ) at f ttte-= 2 11 ( ) () at F sL tL te ssa - = 位移定理位移定理 比例定理比例定理 2 ( )32f ttt= 2 ( )32 1( )f tttt= 32

24、 211 ( )32F s sss = ( )sin() at f tewt - = 22 ( ) ( ) () w F sL f t saw = 位移定理位移定理 已知 1 1( )Lt s = 求 ( ), ( )LtLt 1( ) ( ) d t t dt = 0 1( )1 ( )1( ) 1( )1 t d t LtLsLtts dts - = =-= = 0 ( )1( ) t Ltsts - = = -= 微分定理微分定理 已知 ( )1Lt= 求 1( )Lt 1( )( )tt dt= 積分定理積分定理 11 1( )( ) ( )LtLt dtLt ss = 要求要求： l 記住記住常用信號(hào)的常用信號(hào)的Laplace正、反變化正、反變化公式公式 l 掌握掌握Laplace變化常用變化常用定理定理 作業(yè)作業(yè)： ( )1( ) at f tet - = 2 ( ) at f tt e-=( )cos() at f tewt= 1。求函數(shù)拉氏變化。求函數(shù)拉氏變化 2。課本。課本 2.6 3。推導(dǎo)求。推導(dǎo)求cos（wt）函數(shù)拉氏變化）函數(shù)拉氏變化 第二章第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 2.1 2.1 系統(tǒng)的微分方程及列寫系統(tǒng)的微分方程及列寫 2.2 Laplace2.2 Laplace變化及微分方程求解變