理論力學(xué) 第七版 第四章

1、1 2 第四章第四章 摩擦摩擦 靜力學(xué)靜力學(xué)第四章第四章 摩擦摩擦 前幾章我們把接觸表面都看成是絕對(duì)光滑的， 忽略了物體之間的摩擦，事實(shí)上完全光滑的表面是 不存在的，一般情況下都存在有摩擦。當(dāng)物體的接 觸表面確實(shí)比較光滑，或有良好的潤(rùn)滑條件，以致 摩擦力與物體所受其它力相比的確很小時(shí)，可以忽 略。然而，在很多日常生活和工程實(shí)際問(wèn)題中，摩 擦成為主要因素，摩擦力不僅不能忽略，而且還應(yīng) 作為重點(diǎn)來(lái)研究。 由于摩擦是一種十分復(fù)雜的物理現(xiàn)象，涉及面 廣，本章只限于討論工程中常用的近似理論，主要 介紹滑動(dòng)摩擦和滾動(dòng)摩阻定律，重點(diǎn)研究有摩擦存 在時(shí)物體的平衡問(wèn)題。 3 (a) (b) 靜力學(xué)靜力學(xué)第四章第

2、四章 摩擦摩擦 定義定義：兩個(gè)相接觸物體，當(dāng)其接觸處產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)或相對(duì)滑 動(dòng)趨勢(shì)時(shí)，其接觸處產(chǎn)生的阻礙物體相對(duì)滑動(dòng)的力叫滑動(dòng)摩 擦力。 4-14-1 滑動(dòng)摩擦滑動(dòng)摩擦 1. 靜滑動(dòng)摩擦力及最大靜滑動(dòng)摩擦力靜滑動(dòng)摩擦力及最大靜滑動(dòng)摩擦力 如圖(a)所示，在粗糙的水平面上放置一重為P的物 體，當(dāng)水平方向無(wú)拉力時(shí)，顯然有P=FN。現(xiàn)在該物體 上作用一大小可變化的水平拉力F，如圖(b)所示，當(dāng)拉 力F由零逐漸增加但又不很大時(shí)，物體仍能維持平衡。 4 (a) (b) 由此可見(jiàn)，支承面對(duì)物體的約束力除了法向約束力FN外還 有一個(gè)阻礙物體沿水平面向右滑動(dòng)的切向約束力Fs，此力 即靜滑動(dòng)摩擦力靜滑動(dòng)摩擦力，簡(jiǎn)

3、稱靜摩擦力靜摩擦力。顯然有Fs=F，因此靜靜 摩擦力摩擦力也是約束力，隨著F的增大而增大。然而，它并不 能隨F的增大而無(wú)限地增大。而有一個(gè)最大值Fmax，稱為 最大靜摩擦力，最大靜摩擦力，此時(shí)物體 處于平衡的臨界狀態(tài)。當(dāng)主動(dòng)力 F大于Fmax時(shí)，物體將失去平衡而滑動(dòng)。即 靜力學(xué)靜力學(xué)第四章第四章 摩擦摩擦 maxs 0FF 5 靜力學(xué)靜力學(xué)第四章第四章 摩擦摩擦 實(shí)驗(yàn)表明 Nsmax FfF 上式稱為庫(kù)侖摩擦定律庫(kù)侖摩擦定律，是計(jì)算最大靜摩擦力的近似公式。 式中 fs 稱為靜摩擦因數(shù)，靜摩擦因數(shù)，它是一個(gè)無(wú)量綱的量。一般由實(shí)驗(yàn) 來(lái)確定。 2. 動(dòng)滑動(dòng)摩擦力動(dòng)滑動(dòng)摩擦力 當(dāng)接觸處出現(xiàn)相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，

4、接觸物體之間仍有阻礙相對(duì) 滑動(dòng)的阻力，這種阻力稱為動(dòng)滑動(dòng)摩擦力動(dòng)滑動(dòng)摩擦力，簡(jiǎn)稱動(dòng)摩擦力動(dòng)摩擦力， 以Fd 表示，大小可用下式計(jì)算。 Ndd FfF 式中 fd 是動(dòng)摩擦因數(shù)動(dòng)摩擦因數(shù)，通常情況下， sd ff 6 靜力學(xué)靜力學(xué)第四章第四章 摩擦摩擦 4-2 4-2 摩擦角和自鎖現(xiàn)象摩擦角和自鎖現(xiàn)象 1. 摩擦角摩擦角 當(dāng)有摩擦?xí)r，支承面對(duì)物體的約束力有法向約束力FN和 切向約束力Fs，這兩個(gè)力的合力稱為全約束力全約束力FR。 SNR FFF 它的作用線與接觸處的 公法線成一偏角j ,如圖 所示，當(dāng)靜摩擦力達(dá)最 大時(shí)， j 也達(dá)到最大值 jf ,稱jf 為摩擦角。 s N max f tanf

5、 F F j 7 靜力學(xué)靜力學(xué)第四章第四章 摩擦摩擦 2. 自鎖現(xiàn)象自鎖現(xiàn)象 由于全約束力的作用線與接觸處公法線的夾角j不能大 于摩擦角，即變化范圍為0 j jf ，因此可得： 如果作用于物體的全部主動(dòng)力的合力的作用線與公 法線的夾角q jf，則無(wú)論這個(gè)力多么大，物體必保持靜 止，這種現(xiàn)象稱為自鎖現(xiàn)象自鎖現(xiàn)象。 利用摩擦角的概念， 可用簡(jiǎn)單的試驗(yàn)方法測(cè) 定摩擦因數(shù)。 反之如果q jf ，則 無(wú)論這個(gè)力多么小，物 體必不能保持平衡。 8 靜力學(xué)靜力學(xué)第四章第四章 摩擦摩擦 摩擦角就是物塊處于臨界狀態(tài)時(shí)斜面的傾角q ,即 qjtantan fs f 下面的螺旋千斤頂就利用了自鎖的概念。 9 靜力學(xué)

6、靜力學(xué)第四章第四章 摩擦摩擦 4-3 4-3 考慮摩擦?xí)r物體的平衡問(wèn)題考慮摩擦?xí)r物體的平衡問(wèn)題 考慮有摩擦的平衡問(wèn)題時(shí)，其解法與前幾章基本一樣。 但需指出的是，在受力分析和列平衡方程時(shí)要將摩擦力考慮 在內(nèi)，因而除平衡方程外，還需增加補(bǔ)充方程 0 Fs fs FN ，因此有摩擦的平衡問(wèn)題的解通常是一個(gè)范圍。為了避免解 不等式，往往先考慮臨界狀態(tài)（ Fs = fs FN），求得結(jié)果后再 討論解的平衡范圍。應(yīng)該強(qiáng)調(diào)的是摩擦力的方向在臨界狀態(tài)摩擦力的方向在臨界狀態(tài) 下不能假設(shè)，要根據(jù)物體相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)來(lái)判斷，下不能假設(shè)，要根據(jù)物體相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)來(lái)判斷，只有摩擦力只有摩擦力 是待求未知數(shù)時(shí)，可以假設(shè)其方向是

7、待求未知數(shù)時(shí)，可以假設(shè)其方向 。 求解時(shí)，根據(jù)具體的問(wèn)題采用解析法或幾何法求解， 下面舉例說(shuō)明 10 , 0 x F0 cos s FFq , 0 y F0 sin N qFPF 取物塊A為研究對(duì)象，受 力分析如圖。列平衡方程。 解解: : 例題4-1 靜力學(xué)靜力學(xué)第四章第四章 摩擦摩擦 q A F F 聯(lián)立求解得N 46. 330 cos4 s F N 6 . 3 sin sNsmax qFPfFfF 最大靜摩擦力 N 46. 3 s F 所以作用在物體上的摩擦力為 maxs FF 因?yàn)?小物體A重P =10 N，放在粗糙的水平固定面上，它 與固定面之間的靜摩擦因數(shù) fs=0.3。今在小物體

8、A上施 加F=4 N的力， q =30，試求作用在物體上的摩擦力。 y A x q P F F FN Fs 11 靜力學(xué)靜力學(xué)第四章第四章 摩擦摩擦 例題4-2 FA FNB FB FNA A B C F x x y h O FB h d B A F x , 0 x F0 NN BA FF , 0 y F0FFF BA 平衡方程為 , 0)( F O M 0)( 2 N xFFF d hF BAA 取支架為研究對(duì)象,受力分析如圖。 （1）解析法解析法解: 一活動(dòng)支架套在固定圓柱的外表面，且h = 20 cm。假設(shè)支架和圓柱之間的靜摩擦因 數(shù) fs = 0.25。問(wèn)作用于支架的主動(dòng)力F 的 作用

9、線距圓柱中心線至少多遠(yuǎn)才能使支架 不致下滑（支架自重不計(jì)）。 12 聯(lián)立求解得,2 NN FFF BA cm 40 x BBAA FfFFfF NsNs , 補(bǔ)充方程 靜力學(xué)靜力學(xué)第四章第四章 摩擦摩擦 21 hhh ff tan) 2 ( tan) 2 (jj d x d x 解得cm 40 tan2 f j h x （2 2）幾何法）幾何法 由以上二個(gè)例子可以看出，當(dāng)有摩擦處的約束力以全由以上二個(gè)例子可以看出，當(dāng)有摩擦處的約束力以全 約束力形式給出，如能利用二力平衡條件和三力平衡匯交約束力形式給出，如能利用二力平衡條件和三力平衡匯交 定理且?guī)缀侮P(guān)系又較簡(jiǎn)單，用幾何法往往較方便。定理且?guī)缀侮P(guān)

10、系又較簡(jiǎn)單，用幾何法往往較方便。 支架受力分析如圖所示。 由幾何關(guān)系得 13 長(zhǎng)為l的梯子AB一端靠在墻壁上， 另一端擱在地板上，如圖所示。假設(shè) 梯子與墻壁的接觸是完全光滑的，梯 子與地板之間有摩擦，其靜摩擦因數(shù) 為fs。梯子的重量略去不計(jì)。今有一 重為P的人沿梯子向上爬，如果保證 人爬到頂端而梯子不致下滑，求梯子 與墻壁的夾角q 。 q l a A B P 靜力學(xué)靜力學(xué)第四章第四章 摩擦摩擦 例題4-3 14 以梯子AB為研究對(duì)象，人的位置用距離 a 表示，梯子的受力如圖。 解： 使梯子保持靜止，必須滿足下列平衡方程： , 0 x F0 sN FF B , 0 y F0 N PF A , 0

11、 F A M0 cos sin N qqlFPa B y q l a A B xFs FNA P FNB A FfF Nss 同時(shí)滿足物理?xiàng)l件 s tanf l a q 靜力學(xué)靜力學(xué)第四章第四章 摩擦摩擦 聯(lián)立解之得 因 0al， 當(dāng) a = l 時(shí)，上式左邊達(dá)到最大值。 所以 fs tan tanjq f或 f jq 即為所求 15 靜力學(xué)靜力學(xué)第四章第四章 摩擦摩擦 由實(shí)踐可知，使?jié)L子滾動(dòng)比使它滑動(dòng)省力，如果仍用下圖的 力學(xué)模型來(lái)分析就存在問(wèn)題。即無(wú)論水平力F F 多么小，此物體均 不能平衡，因?qū)c(diǎn)A的矩的平衡方程不滿足，即 0)(F A M 4-4 4-4 滾動(dòng)摩阻的概念滾動(dòng)摩阻的概念

12、出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因是，實(shí)際接觸面 并不是剛體，它們?cè)诹Φ淖饔孟露紩?huì)發(fā)生 一些變形，有一個(gè)接觸面，如圖所示。 這是與實(shí)際情況不符的，說(shuō)明此 力學(xué)模型有缺陷，需要修正。 16 此力系向 A點(diǎn)簡(jiǎn)化 與靜滑動(dòng)摩擦力相似，滾動(dòng)摩阻力偶矩Mf 隨主動(dòng)力 F的增 大而增大；但有一個(gè)最大值 Mmax ,即 或 靜力學(xué)靜力學(xué)第四章第四章 摩擦摩擦 maxf 0MM Nmax FM 且最大滑動(dòng)摩阻力偶矩 上式即是滾動(dòng)摩阻定律滾動(dòng)摩阻定律， 稱為滾動(dòng)摩阻系數(shù)滾動(dòng)摩阻系數(shù)，具有長(zhǎng)度 的量綱 ，單位一般用mm。與滾子和支承面的材料的硬度 和濕度等有關(guān)。與滾子的半徑無(wú)關(guān)。 17 靜力學(xué)靜力學(xué)第四章第四章 摩擦摩擦 滾阻系數(shù)的物理意義如下 由力的平移定理 , NN N max FF F M d 與 Nmax FM比較得d 一般情況下，相對(duì)滑動(dòng)摩擦而言，由于滾阻阻力偶矩很一般情況下，相對(duì)滑動(dòng)摩擦而言，由于滾阻阻力偶矩很 小，所以在工程中大多數(shù)情況下滾阻力偶矩忽略不計(jì)。小，所以在工程中大多數(shù)情況下滾阻力偶矩忽略不計(jì)。 18 取輪子為研究對(duì)象,受力分析如圖。由平衡方程 解: 靜力學(xué)靜力學(xué)第四章第四章 摩擦摩擦 例題4-4 勻質(zhì)輪子的重量P = 3 kN，半徑 r = 0.3 m；今在輪中 心施加平行于斜面的拉力FH，使輪子沿與水平面成