理論力學(xué)題庫(kù)第二章

1、理論力學(xué)題庫(kù)第二章一、 填空題1. 對(duì)于一個(gè)有個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系，質(zhì)量分別為，位置矢量分別為，則質(zhì)心C的位矢為 。2. 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒的條件是 。3. 質(zhì)點(diǎn)系機(jī)械能守恒的條件是 。4. 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩守恒的條件是 。5. 質(zhì)點(diǎn)組 對(duì) 的微商等于作用在質(zhì)點(diǎn)組上外力的矢量和，此即質(zhì)點(diǎn)組的 定理。6. 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理的表達(dá)式是 。7. 平面匯交力系平衡的充分必要條件是合力為零。8. 各質(zhì)點(diǎn)對(duì)質(zhì)心角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的微商等于 外力對(duì)質(zhì)心的力矩 之和。9. 質(zhì)點(diǎn)組的角動(dòng)量等于 質(zhì)心角動(dòng)量 與各質(zhì)點(diǎn)對(duì)質(zhì)心角動(dòng)量之和。10. 質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)能的微分的數(shù)學(xué)表達(dá)式為： ，表述為質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)能的微分等于 內(nèi) 力和 外 力所作的 元功

2、 之和。11. 質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)能等于 質(zhì)心 動(dòng)能與各質(zhì)點(diǎn)對(duì) 質(zhì)心 動(dòng)能之和。12. 柯尼希定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式為： ，表述為質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)能等于 質(zhì)心 動(dòng)能與各質(zhì)點(diǎn)對(duì) 質(zhì)心 動(dòng)能之和。13. 2-6.質(zhì)點(diǎn)組質(zhì)心動(dòng)能的微分等于 內(nèi)、外 力在 質(zhì)心系 系中的元功之和。14. 包含運(yùn)動(dòng)電荷的系統(tǒng)，作用力與反作用力 不一定 在同一條直線上。15. 太陽(yáng)、行星繞質(zhì)心作圓錐曲線的運(yùn)動(dòng)可看成質(zhì)量為 折合質(zhì)量 的行星受太陽(yáng)(不動(dòng))的引力的運(yùn)動(dòng)。16. 兩粒子完全彈性碰撞，當(dāng) 質(zhì)量相等 時(shí)，一個(gè)粒子就有可能把所有能量轉(zhuǎn)移給另一個(gè)粒子。17. 設(shè)木塊的質(zhì)量為m2 , 被懸掛在細(xì)繩的下端，構(gòu)成一種測(cè)定子彈速率的沖擊擺裝置。如果有一

3、質(zhì)量為m1的子彈以速率v1 沿水平方向射入木塊，子彈與木塊將一起擺至高度為h處，則此子彈射入木塊前的速率為： 。18. 位力定理（亦稱維里定理）可表述為：系統(tǒng)平均動(dòng)能等于均位力積的負(fù)值 。（或 ）二、 選擇題1. 關(guān)于質(zhì)心，以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A. 均質(zhì)物體的質(zhì)心和其幾何中心重合；B. 處于均勻重力場(chǎng)中的物體，重心和質(zhì)心重合；C. 質(zhì)點(diǎn)組合外力為零時(shí)，質(zhì)心將靜止；D. 質(zhì)心可以在物體的外部。2. 質(zhì)點(diǎn)組運(yùn)動(dòng)的總動(dòng)能的改變（）A. 與外力無(wú)關(guān)，內(nèi)力有關(guān)；B. 與外力、內(nèi)力都有關(guān)；C. 與外力、內(nèi)力都無(wú)關(guān)； D. 與外力有關(guān)，內(nèi)力無(wú)關(guān)。3. 滿足下列哪種情況，質(zhì)點(diǎn)組的機(jī)械能守恒（ ）A 只有保守力

4、做功；B 外力和內(nèi)力都不是保守力；C 所有內(nèi)力均為保守力；D 所有外力均為保守力。2-4. 如果某質(zhì)點(diǎn)系所受合外力為零，則該質(zhì)點(diǎn)系的【A】A 動(dòng)量守恒； B 角動(dòng)量守恒；C 動(dòng)能守恒；D不能確定。2-5. 質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力有如下性質(zhì)，其中錯(cuò)誤的說(shuō)法是：【C】A 內(nèi)力的動(dòng)量之和為零；B 內(nèi)力的角動(dòng)量之和為零；C 內(nèi)力的動(dòng)能之和為零；D 內(nèi)力的矢量和為零。2-6. 關(guān)于內(nèi)力的說(shuō)法中錯(cuò)誤的有：【B】A 質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力不能改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量；B 質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力不能改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能；C 質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中可能作功，可能不作功；D 剛體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中內(nèi)力不作功。2-7. 以下四種說(shuō)法中，哪一種是正確的？（A）作

5、用力與反作用力的功一定是等值異號(hào)；（B）內(nèi)力不能改變系統(tǒng)的總機(jī)械能；（C）摩擦力只能作負(fù)功；（D）同一個(gè)力作功在不同的參考系中，也不一定相同?！綝】2-8. 對(duì)機(jī)械能守恒和動(dòng)量守恒的條件，正確的是：(A) 系統(tǒng)不受外力作用，則動(dòng)量和機(jī)械能必定同時(shí)守恒.；(B) 對(duì)一系統(tǒng), 若外力作功為零, 而內(nèi)力都是保守力, 則其機(jī)械能守恒；(C) 對(duì)一系統(tǒng), 若外力作功為零, 則動(dòng)量和機(jī)械能必定同時(shí)守恒；(D) 系統(tǒng)所受和外力為零，和內(nèi)力也為零，則動(dòng)量和機(jī)械能必定同時(shí)守恒.?！綛】2-9一人握有兩只啞鈴, 站在一可無(wú)摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng)的水平平臺(tái)上, 開(kāi)始時(shí)兩手平握啞鈴, 人、啞鈴、平臺(tái)組成的系統(tǒng)以一角速度旋轉(zhuǎn), 后

6、來(lái)此人將啞鈴下垂于身體兩側(cè), 在此過(guò)程中, 系統(tǒng)【A】(A) 角動(dòng)量守恒, 機(jī)械能不守恒； (B) 角動(dòng)量守恒, 機(jī)械能守恒； (C) 角動(dòng)量不守恒, 機(jī)械能守恒； (D) 角動(dòng)量不守恒, 機(jī)械能不守恒。 2-10. 如果某質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能變大，則該質(zhì)點(diǎn)系的【D】A 動(dòng)量變大； B 各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量一定變大；C 質(zhì)點(diǎn)系的能量變大； D不能確定。2-11. 如果某質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量變大，則該質(zhì)點(diǎn)系的【D】A質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能一定變大；B 各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量一定變大；C 質(zhì)點(diǎn)系的能量一定變大；D不能確定。2-12. 如果某質(zhì)點(diǎn)系所受合外力變大，則該質(zhì)點(diǎn)系的【D】A 動(dòng)量一定變大； B 角動(dòng)量一定變大；C 動(dòng)能一定變大；D不

7、能確定。二、簡(jiǎn)答2.1一均勻物體假如由幾個(gè)有規(guī)則的物體并合（或剜去）而成，你覺(jué)得怎樣去求它的質(zhì)心？ .答：因均勻物體質(zhì)量密度處處相等，規(guī)則形體的幾何中心即為質(zhì)心，故先找出各規(guī)則形體的質(zhì)心把它們看作質(zhì)點(diǎn)組，然后求質(zhì)點(diǎn)組的質(zhì)心即為整個(gè)物體的質(zhì)心。對(duì)被割去的部分，先假定它存在，后以其負(fù)質(zhì)量代入質(zhì)心公式即可。2.2 一均勻物體如果有三個(gè)對(duì)稱面，并且此三對(duì)稱面交于一點(diǎn)，則此質(zhì)點(diǎn)即均勻物體的質(zhì)心， 何故？答：物體具有三個(gè)對(duì)稱面已足以確定該物體的規(guī)則性，該三平面的交點(diǎn)即為該物體的幾何對(duì)稱中心，又該物體是均勻的，故此點(diǎn)即為質(zhì)心的位置。 2.3 在質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)中，能否計(jì)算每一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況？假如質(zhì)點(diǎn)組不受外力作用

8、，每一質(zhì)點(diǎn)是否都將靜止不動(dòng)或作勻速直線運(yùn)動(dòng)？答：對(duì)幾個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)組，理論上可以求每一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，但由于每一質(zhì)點(diǎn)受到周圍其它各質(zhì)點(diǎn)的相互作用力都是相互關(guān)聯(lián)的，往往其作用力難以預(yù)先知道；再者，每一質(zhì)點(diǎn)可列出三個(gè)二階運(yùn)動(dòng)微分方程，各個(gè)質(zhì)點(diǎn)組有個(gè)相互關(guān)聯(lián)的三個(gè)二階微分方程組，難以解算。但對(duì)于二質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)組，每一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)還是可以解算的。若質(zhì)點(diǎn)組不受外力作用，由于每一質(zhì)點(diǎn)都受到組內(nèi)其它各質(zhì)點(diǎn)的作用力，每一質(zhì)點(diǎn)的合內(nèi)力不一定等于零，故不能保持靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。這表明，內(nèi)力不改變質(zhì)點(diǎn)組整體的運(yùn)動(dòng)，但可改變組內(nèi)質(zhì)點(diǎn)間的運(yùn)動(dòng)。2.4 兩球相碰撞時(shí)，如果把此兩球當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)組看待，作用的外力為何？其

9、動(dòng)量的變化如何？ 如僅考慮任意一球，則又如何？答：把碰撞的二球看作質(zhì)點(diǎn)組，由于碰撞內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力，故可以認(rèn)為外力為零，碰撞前后系統(tǒng)的動(dòng)量守恒。如果只考慮任一球，碰撞過(guò)程中受到另一球的碰撞沖力的作用，動(dòng)量發(fā)生改變。2.5 水面上浮著一只小船。船上一人如何向船尾走去，則船將向前移動(dòng)。這是不是與質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理相矛盾？試解釋之。 .答：不矛盾。因人和船組成的系統(tǒng)在人行走前后受到的合外力為零（忽略水對(duì)船的阻力），且開(kāi)船時(shí)系統(tǒng)質(zhì)心的初速度也為零，故人行走前后系統(tǒng)質(zhì)心相對(duì)地面的位置不變。當(dāng)人向船尾移動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)的質(zhì)量分布改變，質(zhì)心位置后移，為抵消這種改變，船將向前移動(dòng)，這是符合質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理的。2.6 為什么在碰

10、撞過(guò)程中，動(dòng)量守恒而能量不一定守恒？所損失的能量到什么地方去了？又在什么情況下，能量才也守恒？2.6.答：碰撞過(guò)程中不計(jì)外力，碰撞內(nèi)力不改變系統(tǒng)的總動(dòng)量，但碰撞內(nèi)力很大，使物體發(fā)生形變，內(nèi)力做功使系統(tǒng)的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為相碰物體的形變能（分子間的結(jié)合能），故動(dòng)量守恒能量不一定守恒。只有完全彈性碰撞或碰撞物體是剛體時(shí)，即相撞物體的形變可以完全恢復(fù)或不發(fā)生形變時(shí)，能量也守恒，但這只是理想情況。 2.7 選用質(zhì)心坐標(biāo)系，在動(dòng)量定理中是否需要計(jì)入慣性力？.答：設(shè)質(zhì)心的速度，第個(gè)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)質(zhì)心的速度，則，代入質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)量定理可得這里用到了質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。故選用質(zhì)心坐標(biāo)系，在動(dòng)量定理中要計(jì)入慣性力。但質(zhì)點(diǎn)組相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)

11、量守恒。當(dāng)外力改變時(shí)，質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)也改變，但質(zhì)點(diǎn)組相對(duì)于質(zhì)心參考系的動(dòng)量不變，即相對(duì)于質(zhì)心參考系的動(dòng)量不受外力影響，這給我們解決問(wèn)題帶來(lái)不少方便。值得指出：質(zhì)點(diǎn)組中任一質(zhì)點(diǎn)相對(duì)質(zhì)心參考系有 ，對(duì)質(zhì)心參考系動(dòng)量并不守恒。秋千何以能越蕩越高？這時(shí)能量的增長(zhǎng)是從哪里來(lái)的？ 答：秋千受繩的拉力和重力的作用，在運(yùn)動(dòng)中繩的拉力提供圓弧運(yùn)動(dòng)的向心力，此力不做功，只有重力做功。重力是保守力，故重力勢(shì)能與動(dòng)能相互轉(zhuǎn)化。當(dāng)秋千蕩到鉛直位置向上去的過(guò)程中，人站起來(lái)提高系統(tǒng)重心的位置，人克服重力做功使系統(tǒng)的勢(shì)能增加；當(dāng)達(dá)到最高點(diǎn)向豎直位置折回過(guò)程中，人蹲下去，內(nèi)力做功降低重心位置使系統(tǒng)的動(dòng)能增大，這樣循環(huán)往復(fù)，系統(tǒng)的總

12、能不斷增大，秋千就可以越蕩越高。這時(shí)能量的增長(zhǎng)是人體內(nèi)力做功，消耗人體內(nèi)能轉(zhuǎn)換而來(lái)的。2.10 在火箭的燃料全部燃燒完后，2.7（2）節(jié)中的諸公式是否還能應(yīng)用？為什么？答：火箭里的燃料全部燒完后，火箭的質(zhì)量不再改變，然而質(zhì)量不變是變質(zhì)量物體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的特例，故2.7（2）中諸公式還能適用，但諸公式都已化為恒質(zhì)量系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的公式。2.11 多級(jí)火箭和單級(jí)火箭比起來(lái)，有哪些優(yōu)越的地方？答：由知，要提高火箭的速度必須提高噴射速度或增大質(zhì)量比。由于燃料的效能，材料的耐溫等一系列技術(shù)問(wèn)題的限制，不能過(guò)大；又由于火箭的外殼及各裝置的質(zhì)量相當(dāng)大，質(zhì)量比也很難提高，故采用多級(jí)火箭，一級(jí)火箭的燃料燃完后外殼自行

13、脫落減小火箭的質(zhì)量使下一級(jí)火箭開(kāi)始工作后便于提高火箭的速度。若各級(jí)火箭的噴射速度都為，質(zhì)量比分別為，各級(jí)火箭的工作使整體速度增加，則火箭的最后速度因每一個(gè)都大于1，故可達(dá)到相當(dāng)大的值。但火箭級(jí)數(shù)越多，整個(gè)重量越大，制造技術(shù)上會(huì)帶來(lái)困難，再者級(jí)越高，質(zhì)量比越減小，級(jí)數(shù)很多時(shí)，質(zhì)量比逐漸減小趨近于1，速度增加很少。故火箭級(jí)數(shù)不能過(guò)多，一般三至四級(jí)火箭最為有效。三、 計(jì)算題1. 重為的人，手里拿著一個(gè)重為的物體。此人用與地平線成角的速度向前跳去，當(dāng)他達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)，將物體以相對(duì)速度水平向后拋出。問(wèn)由于物體的拋出，人跳的距離增加了多少？2. 一光滑球與另一靜止的光滑球發(fā)生斜碰。如兩者均為完全彈性體，且兩

14、球的質(zhì)量相等，則兩球碰撞后的速度互相垂直，試證明之。3. 質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)，沿傾角為的光滑直角劈滑下，劈的本身質(zhì)量為，又可在光滑水平面自由滑動(dòng)。試求質(zhì)點(diǎn)水平方向的加速度及劈的加速度。4. 求均勻扇形薄片的質(zhì)心，此扇形的半徑為，所對(duì)的圓心角為2，并證半圓片的質(zhì)心離圓心的距離為。5. 如自半徑為的球上，用一與球心相距為的平面，切出一球形帽，求此球形冒的質(zhì)心。6. 半徑為，質(zhì)量為的薄圓片，繞垂直于圓片并通過(guò)圓心的豎直軸以勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)，求繞此軸的動(dòng)量矩。7.一門(mén)大炮停在鐵軌上，炮彈質(zhì)量為m，炮身及炮車質(zhì)量和等于M，炮車可以自由地在鐵軌上反沖，如炮身與在地面成一角度，炮彈對(duì)炮身的相對(duì)速度為V，試求炮彈離炮身時(shí)

15、對(duì)地面的速度及炮車反沖的速度U。解：由于在水平方向（x方向）無(wú)外力作用，火藥爆炸力為內(nèi)力，故水平方向動(dòng)量守恒 即又由相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系知（2）代入（1）得所以如設(shè)與水平面夾角為，則討論：由（4）式知炮車反沖時(shí)，由（5）式知8.重G的物體A帶動(dòng)單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為q的軟鏈，以速度向上拋出，如圖示。假定軟鏈有足夠的長(zhǎng)度，求重物所能達(dá)到的最大高度。解：取OZ軸鉛直向上，O點(diǎn)位于地面。將在空中運(yùn)動(dòng)的鏈條的物體A視為主體。則并入主體的質(zhì)量元（原先靜止于地面）的絕對(duì)速度 于是密歇爾斯基方程為因，代入（1）式得用乘上式兩端得已知初始條件為時(shí)， 所以積分上式得 當(dāng)時(shí)，上升高度正好就是最大值 即8.在橢圓機(jī)構(gòu)中，規(guī)尺AB

16、質(zhì)量為2m1，曲柄OC質(zhì)量為m1,滑塊A和B質(zhì)量均為m2曲柄以勻角速度繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng)。試求機(jī)構(gòu)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)方程及系統(tǒng)動(dòng)量。設(shè)各物體為均質(zhì)，OC=AC=BC=l。解法1:運(yùn)動(dòng)方程（C點(diǎn)）的運(yùn)動(dòng)為平面運(yùn)動(dòng) 運(yùn)動(dòng)方程為：消去t得：動(dòng)量總動(dòng)量值的合成:解法2:首先建立整個(gè)系統(tǒng)的質(zhì)心位置將質(zhì)心位置求導(dǎo)后,代入動(dòng)量式總動(dòng)量值的合成:10.某質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，其運(yùn)動(dòng)方程用矢量式可表達(dá)為 ，式中：為質(zhì)點(diǎn)的矢徑，分別為的單位矢。試求：（1） 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能、動(dòng)量及對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)O的動(dòng)量矩。（2） 質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)A（a,b,c）的動(dòng)量矩。（3） 作用在質(zhì)點(diǎn)上的力及力的功率。解：（1）動(dòng)能 動(dòng)量 動(dòng)量矩（1） 動(dòng)量矩（2） 力 功率11

17、、質(zhì)點(diǎn)在xoy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，其勢(shì)能為： 試求使該質(zhì)點(diǎn)處于平衡狀態(tài)的點(diǎn)的坐標(biāo)。 解：欲使質(zhì)點(diǎn)平衡須使質(zhì)點(diǎn)勢(shì)能對(duì)任一函數(shù)的一階偏微分為零即由求解上面方程組得平衡坐標(biāo)為x=1,y=212.一人在水平臺(tái)上走動(dòng)，此臺(tái)可通過(guò)其中心的鉛直軸而旋轉(zhuǎn)，人走的軌跡是以平臺(tái)中心為圓心，r為半徑的圓周，假定人重為p，平臺(tái)重也為p，其半徑也為r，試求當(dāng)人在平臺(tái)上走完一周時(shí)平臺(tái)轉(zhuǎn)過(guò)的角度。解：以作平臺(tái)為質(zhì)點(diǎn)系，受力為重力，方向均向下，與轉(zhuǎn)軸平行，力矩為零。假設(shè)平臺(tái)與轉(zhuǎn)軸接觸面光滑無(wú)摩擦，故質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩守恒。在質(zhì)點(diǎn)系起始時(shí)， 在某時(shí)刻人相對(duì)于平臺(tái)的速度為u，平臺(tái)的角速度為，則人的絕對(duì)速度為 人的動(dòng)量矩為： 方向沿轉(zhuǎn)軸方向。平

18、臺(tái)動(dòng)量矩為： 方向也沿轉(zhuǎn)軸方向。由動(dòng)量矩守恒定律得： 又 即 積分得：故13、一均質(zhì)木板放在光滑的水平面上，板的一端站著一個(gè)人。在某一時(shí)刻，人以不變的速度u向x軸正向運(yùn)動(dòng)。設(shè)板的質(zhì)量為m1，人的質(zhì)量為m2。試求t秒鐘后，人的絕對(duì)速度v與位移以及板的絕對(duì)速度v1與位移。解：以人和板為研究對(duì)象。系統(tǒng)受力：人的重力P，板的重力W，光滑的水平面對(duì)板的正壓力FN。以上受力均在豎直方向，所以水平方向受力為零，則動(dòng)量守恒。 在初始時(shí)刻t=0，人和板都靜止，動(dòng)量pax=0，任意時(shí)刻t，設(shè)板的絕對(duì)速度v1沿x軸正向，則由點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)可知，人的絕對(duì)速度為v=v1+u。 由動(dòng)量守恒定律得：m1v1+m2(v1+u)

19、=0解此方程得 負(fù)號(hào)表示板的運(yùn)動(dòng)方向與x軸正向相反。由此得人的絕對(duì)速度為 正號(hào)表示人的運(yùn)動(dòng)方向與x軸正向相同因u與v都是常量，故人和板的位移分別為設(shè)矢量在笛卡兒坐標(biāo)系中的投影為，證明并求使的函數(shù)解：（1） （2）（3）由可知?jiǎng)莺瘮?shù)必存在，由故 積分（1）式得代（4）入（2）得 積分得代（5）入（4）得代（6）入（3）得 積分得代（7）入（6）得m1m2v1v2r14.質(zhì)量為及的兩自由質(zhì)點(diǎn)互相以引力吸引，引力與其質(zhì)量成正比，與距離的平方成反比，比例常數(shù)為，開(kāi)始時(shí)兩質(zhì)點(diǎn)皆處于靜止?fàn)顟B(tài)，其間距離為a，試求兩質(zhì)點(diǎn)間的距離為時(shí)兩質(zhì)點(diǎn)的速度。 解法1：用機(jī)械能守恒定律求解令質(zhì)量為自由質(zhì)點(diǎn)的速度為，質(zhì)量為的

20、自由質(zhì)點(diǎn)速度為，則因兩質(zhì)點(diǎn)互相吸引，故方向相反，取方向?yàn)檎较蛉鐖D示由于兩質(zhì)點(diǎn)無(wú)外力作用，故動(dòng)量守恒有兩質(zhì)點(diǎn)間的相互吸引力為萬(wàn)有引力是保守力由保守力性質(zhì)得勢(shì)能為式中是兩質(zhì)點(diǎn)間的距離。由機(jī)械能守恒定律即解（1）（2）式得 解法2：用動(dòng)能定理求解令質(zhì)量為自由質(zhì)點(diǎn)的速度為，質(zhì)量為的自由質(zhì)點(diǎn)速度為，則因兩質(zhì)點(diǎn)互相吸引，故方向相反，取方向?yàn)檎较蛉鐖D示由得積分上式得由于兩質(zhì)點(diǎn)無(wú)外力作用，故動(dòng)量守恒有解（1）（2）式得 解法3：用兩體問(wèn)題方法求解由于兩質(zhì)點(diǎn)無(wú)外力作用可視為兩體問(wèn)題由兩體問(wèn)題運(yùn)動(dòng)方程得又代入（1）式有積分得由于兩質(zhì)點(diǎn)無(wú)外力作用，質(zhì)心作慣性運(yùn)動(dòng)，原來(lái)質(zhì)心靜止，故由得又根據(jù)速度合成方法知解（2）

21、（3）（4）式得 為負(fù)值表明與方向相反15.如圖示，一長(zhǎng)為的均質(zhì)鏈條在水平面上自然堆成一堆，線密度為，某人持鏈條一端以勻速將其提高，試證：當(dāng)他的手離開(kāi)水平面的高度為時(shí)（），鏈條對(duì)手的作用力大小為解法1：用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求解取鏈條整體為研究對(duì)象，在t時(shí)刻，整體所受的外力有重力，拉力和水平面對(duì)靜止的那部分鏈條的支持力。由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理可得 式中為質(zhì)心的加速度。上式在x軸上的投影式為由于鏈條的質(zhì)心坐標(biāo)為則有代入投影式得所以解法2：用動(dòng)量定理求解取鏈條整體為研究對(duì)象，在t時(shí)刻，整體所受的外力有重力，拉力和水平面對(duì)靜止的那部分鏈條的支持力鏈條整體的總動(dòng)量在豎直方向分量為整體所受的外力有重力，拉力和水平面對(duì)靜

22、止的那部分鏈條的支持力上式在x軸上的投影式為由動(dòng)量定理得解法3：用變質(zhì)量問(wèn)題方法求解如圖示，取已上升部分為主體，其質(zhì)量為，速度為，不斷增加部分為變體，其速度，主體和變體所受合外力為由密歇爾斯基方程得 即故16.圓環(huán)質(zhì)量為M，放在光滑水平面上，有一質(zhì)量為m的小蟲(chóng)在圓環(huán)上爬行，如圖示，求證：小蟲(chóng)在圓環(huán)上相對(duì)地爬行一周時(shí)，圓環(huán)的自轉(zhuǎn)角度不超過(guò)180。設(shè)初始時(shí)系統(tǒng)靜止。解：以小蟲(chóng)+圓環(huán)為質(zhì)點(diǎn)系，圓環(huán)圓心為參考點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)系受力為重力，方向均向下，與轉(zhuǎn)軸平行，力矩為零。故質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩守恒。在質(zhì)點(diǎn)系起始時(shí)， 在某時(shí)刻小蟲(chóng)相對(duì)于圓環(huán)的速度為u，圓環(huán)的角速度為，則小蟲(chóng)的絕對(duì)速度為 小蟲(chóng)的動(dòng)量矩為： 方向沿轉(zhuǎn)軸方向

23、。圓環(huán)動(dòng)量矩為： 方向也沿轉(zhuǎn)軸方向。由動(dòng)量矩守恒定律得： 有又 即 積分得：假設(shè)小蟲(chóng)和圓環(huán)質(zhì)量相等 故=-240假設(shè)M=2m，則 一般 故另正解：以小蟲(chóng)+圓環(huán)為質(zhì)點(diǎn)系，圓環(huán)圓心為參考點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)系受力為重力，方向均向下，與轉(zhuǎn)軸平行，力矩為零。故質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩守恒。在質(zhì)點(diǎn)系起始時(shí)， 在某時(shí)刻小蟲(chóng)相對(duì)于圓環(huán)的速度為u，圓環(huán)的角速度為，則小蟲(chóng)的絕對(duì)速度為 小蟲(chóng)的動(dòng)量矩為： 方向沿轉(zhuǎn)軸方向。圓環(huán)動(dòng)量矩為： 方向也沿轉(zhuǎn)軸方向。由動(dòng)量矩守恒定律得： 有又 即 積分得：假設(shè)小蟲(chóng)和圓環(huán)質(zhì)量相等 M=m 故假設(shè)M=2m故一般 故17.一光滑球A與另一靜止的光滑球B發(fā)生斜碰，如兩球均為完全彈性體，且兩球質(zhì)量相等，則兩球

24、碰撞后的速度互相垂直，試證明之。證明：設(shè)兩球質(zhì)量為，光滑球A碰前速度矢量為，光滑球B碰前速度矢量為0，A和B碰撞后的速度的速度矢量為由于兩球碰撞過(guò)程中動(dòng)量守恒有又兩球?yàn)橥耆珡椥泽w動(dòng)能守恒有（1） 式代入（2）式有整理上式得，由于所以欲使兩矢量的乘積為零，只有兩矢量互相垂直即 結(jié)論得證18.有三個(gè)完全彈性的小球,質(zhì)量分別為m1、m2、及m3，靜止于一直線上，今于第一球上加上的速度，其方向沿此直線，設(shè)m1、m3及為已知，求第二球的速度為何值，才能使第三球于碰撞后所得的速度最大。解：設(shè)第一、第二球碰撞后第一球的速度為，第二球的速度為則由速度公式得 而 故又設(shè)第三、第二球碰撞后第三球的速度為 已知 則

25、由速度公式得欲使第三球的速度最大，須有即 所以有時(shí)第三球的速度最大。19.一條柔軟、無(wú)彈性、質(zhì)量均勻的繩子，豎直的自高處墜落至地板上，如繩子的長(zhǎng)度為，每單位長(zhǎng)度的質(zhì)量等于，求當(dāng)繩子剩在空中的長(zhǎng)度為時(shí)，繩子的速度及它對(duì)地板的壓力。設(shè)開(kāi)始時(shí)繩子的速度為零，它的下端離地面的高度為。解法1：用自由落體公式和動(dòng)量定理求解 當(dāng)繩子的上端離地面的高度為時(shí)，由自由落體公式知繩子的速度為地板對(duì)繩子的作用力有兩部分，其一為與已經(jīng)落地的繩子的重力大小相等，方向相反，設(shè)為， 其二是即將落地的繩子對(duì)地板的沖力，設(shè)為設(shè)在時(shí)間內(nèi)落地的繩子的質(zhì)量為，該質(zhì)量元的動(dòng)量為，該質(zhì)量元一經(jīng)落地動(dòng)量即變?yōu)榱?。?dòng)量的變化為由動(dòng)量定理得 （

26、此處忽略重力） 所以總的壓力為解法2：用變質(zhì)量物體的運(yùn)動(dòng)方程求解當(dāng)繩子的上端離地面的高度為時(shí)，由自由落體公式知繩子的速度為取已落地部分為主體，其質(zhì)量為速度為不斷落地部分為變體，（）其速度為 主體和變體受力為方向向上由密歇爾斯基方程得即所以20.長(zhǎng)L的均勻細(xì)鏈條伸直平放水平光滑桌面上，方向與桌面邊緣垂直（圖2.7.2）。開(kāi)始時(shí)鏈條靜止，一半從桌上下垂，求鏈條末端滑到桌子邊緣時(shí)鏈條的速度v。 解：如圖選取坐標(biāo)系，以下垂段為研究對(duì)象。方法一：用變質(zhì)量物體的運(yùn)動(dòng)方程求解 以長(zhǎng)為x的 一段和x的一段分別作m和dm，m=x，速度為，dm=dx, dx段合并于x段的速度 （x段的速度）,作用于它們的合外力為

27、重力 和桌面上的一段對(duì)它的拉力T。由密歇爾斯基方程得 u=v， （1） 設(shè)線質(zhì)量密度，取桌面上為主體，其質(zhì)量，速度為，不斷減少部分為變體，速度 （x段的速度），作用于它們的合外力為桌面上的一段對(duì)它的拉力T，由密歇爾斯基方程得 （2） 將（2）代入（1），并注意m=x， ，可得 ，積分： ，求出 方法二：用機(jī)械能守恒定律求解 以下垂的一段為研究對(duì)象，以桌面為零勢(shì)能位置，則由機(jī)械能守恒： 其中： ； ， 由此得 21.雨滴開(kāi)始自由落下時(shí)的質(zhì)量為M，單位時(shí)間內(nèi)凝結(jié)在它上面的水汽質(zhì)量為，略去空氣阻力，試求雨滴在t時(shí)間后所下落的距離。解：以豎直向下為正方向，取自由落下的雨滴為主體，其質(zhì)量為m=M+t，速

28、度為v，增加的水汽為變體，質(zhì)量為dm=dt, 速度為u=0,作用于其的合外力為雨滴的重力由密歇爾斯基方程得積分（1）式得因t=0時(shí)v=0,故c=0所以積分（3）式得因t=0時(shí)s=0,故所以這就是雨滴在t時(shí)間后所下落的距離討論：由上式知說(shuō)明雨滴在t時(shí)間后所下落的距離小于自由落體在同等時(shí)間內(nèi)下落的距離。雨滴下落時(shí)其質(zhì)量的增加率與雨滴的表面積成正比，試求雨滴下落速度與時(shí)間的關(guān)系解：以豎直向下為正方向，設(shè)起始時(shí)刻（t=0）雨滴半徑為a，某時(shí)刻雨滴半徑為r，取自由落下的雨滴為主體，其質(zhì)量為，速度為v不斷增加的水汽為變體，質(zhì)量為 速度為u=0,作用于其的合外力為雨滴的重力（1） 式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)得（3）=（2）得積分（4）式得雨滴半徑變化規(guī)律是所以主體質(zhì)量為合外力為由密歇爾斯基方程得積分得說(shuō)明雨滴在t時(shí)間后所達(dá)到的速度小于自由落體在同等時(shí)間內(nèi)達(dá)到的速度22.質(zhì)量為m 的質(zhì)點(diǎn)M , 如圖10 -2 所示, 在Oxy平面內(nèi)