第11章 磁場(chǎng)和它的源

1、11-1 如圖所示，電流如圖所示，電流I沿三種不同形狀的導(dǎo)線流動(dòng)，求下列各種沿三種不同形狀的導(dǎo)線流動(dòng)，求下列各種 情況下情況下O點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小。點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小。 解：解： R I B 2 0 圓心 r I B 2 0 長(zhǎng)直 I O R R (2) (1) R I O 幾型載流導(dǎo)線的磁場(chǎng)公式幾型載流導(dǎo)線的磁場(chǎng)公式 (1) 長(zhǎng)直圓心 BBBO R I R I 22 00 ) 1( 2 0 R I r I B 4 0 半長(zhǎng)直 取向內(nèi)為正取向內(nèi)為正B (3) I a )cos(cos 4 21 0 r I B直 2 2 0 R I B 弧心 （ 為弧所對(duì)應(yīng)的圓周角）為弧所對(duì)應(yīng)的圓周角） 半

2、圓心半長(zhǎng)直 BBBO 2 (2) 各段電流在各段電流在 O 點(diǎn)產(chǎn)生的點(diǎn)產(chǎn)生的 均向內(nèi)均向內(nèi) B )2( 4 0 R I (3) 正方形的每條邊在正方形的每條邊在O 處產(chǎn)生的處產(chǎn)生的 均相同均相同 2 2 4 2 00 R I R I I O R R (2) (3) I a a2 2 ) 4 3 cos 4 1 (cos 2 a 4 )cos(cos 4 00 21 0 II r I B o 直 1 2 O B 則則 一條邊在一條邊在O 處產(chǎn)生的處產(chǎn)生的 由下式給出（方向垂直向里）由下式給出（方向垂直向里） B a 22 a2 2 44 00 II BB o o 直 z y x R O I 11

3、-2 載有電流載有電流I的導(dǎo)線由兩根半無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線和半徑為的導(dǎo)線由兩根半無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線和半徑為R的、的、 以以O(shè)xyz坐標(biāo)系原點(diǎn)坐標(biāo)系原點(diǎn)O為中心的為中心的3/4圓弧組成，圓弧在圓弧組成，圓弧在Oyz平面平面 內(nèi)，兩根半無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線分別在內(nèi)，兩根半無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線分別在Oxy平面和平面和Oxz平面內(nèi)且與平面內(nèi)且與x 軸平行，電流流向如圖所示求軸平行，電流流向如圖所示求O點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度 。 k R I B 4 0 入 i R I B 4 3 2 0 弧 j R I B 4 0 出 2 2 3 8 0 kji R I B 解：解： a b 1 2 I O O點(diǎn)在導(dǎo)線點(diǎn)在導(dǎo)線 1 和和 2

4、的延長(zhǎng)線上的延長(zhǎng)線上, B1 = B2 = 0 11-3 電流由長(zhǎng)直導(dǎo)線電流由長(zhǎng)直導(dǎo)線 1 沿半徑方向經(jīng)沿半徑方向經(jīng) a 點(diǎn)流入一電阻均勻分布的圓點(diǎn)流入一電阻均勻分布的圓 環(huán)，再由環(huán)，再由 b 點(diǎn)沿半徑方向從圓環(huán)流出，經(jīng)長(zhǎng)直導(dǎo)線點(diǎn)沿半徑方向從圓環(huán)流出，經(jīng)長(zhǎng)直導(dǎo)線 2 返回電源，返回電源， 如圖所示。已知長(zhǎng)直導(dǎo)線上電流強(qiáng)度為如圖所示。已知長(zhǎng)直導(dǎo)線上電流強(qiáng)度為 I，求圓心，求圓心 O 點(diǎn)的磁感應(yīng)點(diǎn)的磁感應(yīng) 強(qiáng)度強(qiáng)度. 解：解： 設(shè)環(huán)的半徑設(shè)環(huán)的半徑 a , 兩導(dǎo)線夾角兩導(dǎo)線夾角 ，環(huán)的電阻，環(huán)的電阻 率率, 橫截面積橫截面積 S , 則二段弧的電阻分別為則二段弧的電阻分別為 S a R I R I

5、R I 2 r I 2 0 8 2 0 BBB 環(huán) B 向里向里 B 向外向外, 22 0 r I B 2 2 2 20 r I B I I 并聯(lián)并聯(lián) r I 2 0 8 2 21 BBBBO 環(huán) 0 S a R )2( 2 )2( S a R I R IR I 2 2 11-4 如圖所示，一寬度為如圖所示，一寬度為a的無(wú)限長(zhǎng)金屬薄板中通有電流的無(wú)限長(zhǎng)金屬薄板中通有電流I，電流，電流 沿寬度方向均勻分布，求在薄板平面內(nèi)距板一邊距離為沿寬度方向均勻分布，求在薄板平面內(nèi)距板一邊距離為b的的P點(diǎn)的點(diǎn)的 磁感應(yīng)強(qiáng)度大小和方向。磁感應(yīng)強(qiáng)度大小和方向。 I ab P dx xbaa I xba dI dB

6、 )(2)(2 00 解：解： I ab P x Ox dx 無(wú)限長(zhǎng)薄板電流可視為由無(wú)數(shù)無(wú)限長(zhǎng)薄板電流可視為由無(wú)數(shù) 根長(zhǎng)直電流構(gòu)成根長(zhǎng)直電流構(gòu)成 如圖，在距原點(diǎn)如圖，在距原點(diǎn)x遠(yuǎn)處取寬度遠(yuǎn)處取寬度dx的薄板，為的薄板，為 一長(zhǎng)直電流一長(zhǎng)直電流 ， 它在它在P點(diǎn)的點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)磁感應(yīng)強(qiáng) 度方向垂直向里，大小為度方向垂直向里，大小為 dx a I dI 則整個(gè)薄板形電流在則整個(gè)薄板形電流在P點(diǎn)的點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為 b baI dx xbaa I dBB a ln a2 )(2 0 0 0 方向垂直向里方向垂直向里 11-5 如圖如圖, 半徑為半徑為 R, 電荷線密度電荷線密度 (

7、0 ) 的均勻帶電的圓線圈繞的均勻帶電的圓線圈繞 過(guò)圓心與圓平面垂直的軸以角速度過(guò)圓心與圓平面垂直的軸以角速度 轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng), 求軸線上任一點(diǎn)的磁感求軸線上任一點(diǎn)的磁感 應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)強(qiáng)度 . B 解：解： lqdd 取取 t q I d d 則圓形電流的電流強(qiáng)度大小為則圓形電流的電流強(qiáng)度大小為 將將 帶入上式得帶入上式得 2322 3 0 )(2Rx R B dR R t R d d 帶電的圓線圈轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，等價(jià)為一圓形電流帶電的圓線圈轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，等價(jià)為一圓形電流 半徑為半徑為R，電流為，電流為I的圓形電流在其軸線上離圓心的圓形電流在其軸線上離圓心x遠(yuǎn)處一點(diǎn)遠(yuǎn)處一點(diǎn) 的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為（參見(jiàn)張三慧編的磁感應(yīng)強(qiáng)

8、度大小為（參見(jiàn)張三慧編大學(xué)物理學(xué)大學(xué)物理學(xué)第三版第三版 上冊(cè)上冊(cè) P273，式（，式（11.11） 2322 2 0 )(2Rx IR B RI 方向沿軸線且與電流方向成右手螺旋關(guān)系方向沿軸線且與電流方向成右手螺旋關(guān)系 R O a b O Ia Ib 同理同理 4 0 b B同理同理 a I B a a 2 0 4 0 T q Ia a 2 1 a 2 和和 均垂直均垂直向外向外 a B b B 電流電流定義為定義為 1 秒鐘內(nèi)通過(guò)某秒鐘內(nèi)通過(guò)某 截面的電荷量截面的電荷量, 等效等效圓形圓形(平均平均) 電流電流 bI b 2 1 解：解： 11-6 有一閉合回路由兩個(gè)半徑為有一閉合回路由兩個(gè)

9、半徑為 a 和和 b 的同心共面半圓連接而成，的同心共面半圓連接而成， 如圖所示，其上均勻分布線密度為如圖所示，其上均勻分布線密度為 的電荷，回路以角速的電荷，回路以角速 度度 繞過(guò)繞過(guò) O 點(diǎn)垂直于回路的軸轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)垂直于回路的軸轉(zhuǎn)動(dòng), 求圓心求圓心 O 點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng) 度度 . O B O 點(diǎn)處點(diǎn)處總總磁感應(yīng)強(qiáng)度的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小大?。?r r 2 d 0 b ar rd 2 0 a b ln 2 0 rba BBBB )ln( 2 0 a b rr BBd則則 所有所有的的 垂直垂直向外向外.B d dIr dIr Ia Ib a b O dr drr T q I r d 2d

10、 rd 2 2 方向方向：垂直：垂直向外向外B rd r I B r r 2 d d 0 而而兩兩直線段上元電荷直線段上元電荷 dq 旋轉(zhuǎn)形成旋轉(zhuǎn)形成 等效等效圓形圓形(平均平均)電流電流 0I bra )( )( 22 22 ar ab I I br II 取半徑為取半徑為 r 的安培環(huán)路，根據(jù)環(huán)路定理的安培環(huán)路，根據(jù)環(huán)路定理 IrB 0 2 有有 r I B 2 0 ar 對(duì)于對(duì)于 0B )(2 )( 22 22 0 abr arI B r I B 2 0 解：解： Il dB L 0 11-7 如圖所示，有一很長(zhǎng)的載流導(dǎo)體直圓管，內(nèi)半徑為如圖所示，有一很長(zhǎng)的載流導(dǎo)體直圓管，內(nèi)半徑為 a,

11、外半徑外半徑 為為 b，電流強(qiáng)度為，電流強(qiáng)度為 I，電流沿軸線方向流動(dòng)，電流沿軸線方向流動(dòng),并且均勻地分布在管壁并且均勻地分布在管壁 的橫截面上空間某一點(diǎn)到管軸的垂直距離為的橫截面上空間某一點(diǎn)到管軸的垂直距離為 r，求，求 r a，a r b 等各區(qū)間的磁感應(yīng)強(qiáng)度等各區(qū)間的磁感應(yīng)強(qiáng)度 a b 11-8 一根很長(zhǎng)的銅導(dǎo)線均勻載有電流一根很長(zhǎng)的銅導(dǎo)線均勻載有電流I，截面半徑為，截面半徑為R，在導(dǎo)線內(nèi)，在導(dǎo)線內(nèi) 部作一平面部作一平面 S ，如圖所示，試計(jì)算通過(guò)，如圖所示，試計(jì)算通過(guò) S 平面的磁通量平面的磁通量 (沿軸線沿軸線 方向取長(zhǎng)為方向取長(zhǎng)為l的一段作計(jì)算的一段作計(jì)算).（銅的磁導(dǎo)率（銅的磁導(dǎo)

12、率 ） 0 以軸為中心作半徑以軸為中心作半徑 r 的圓環(huán)的圓環(huán) 解：解： 則環(huán)上則環(huán)上 當(dāng)當(dāng) 0rR 時(shí)：時(shí)： I R r I 2 2 內(nèi)2 0 2 R Ir B SB dd m mm d B 沿環(huán)的切向沿環(huán)的切向. rBldSBd R r R Ir l 0 2 0 d 2 R rBl 0 d 4 0Il r I B 2 0 內(nèi) S r dr l B I 11-9 無(wú)限長(zhǎng)平行直導(dǎo)線與一矩形共面，各部分尺寸如圖所示。無(wú)限長(zhǎng)平行直導(dǎo)線與一矩形共面，各部分尺寸如圖所示。 已知導(dǎo)線中的電流為已知導(dǎo)線中的電流為I，求矩形回路的磁通量。，求矩形回路的磁通量。 I a b x 解：解： I a b x y

13、y dy o 取如圖所示的取如圖所示的y軸，在距原點(diǎn)軸，在距原點(diǎn)y處取寬度處取寬度dy的的 窄條。無(wú)限長(zhǎng)平行（與此窄條平行）直線電窄條。無(wú)限長(zhǎng)平行（與此窄條平行）直線電 流的磁場(chǎng)分布為流的磁場(chǎng)分布為 ，對(duì)此窄條的磁通量，對(duì)此窄條的磁通量 為為 BbdyBdSSB dd m )| (SdB B y I B 2 0 則對(duì)矩形回路的磁通量為則對(duì)矩形回路的磁通量為 )ln( 22 d 00 m x xaIb bdy y I Bbdy ax x ax x m 11-10 兩無(wú)限長(zhǎng)平行直導(dǎo)線與一直角三角形共面，各部分尺寸如兩無(wú)限長(zhǎng)平行直導(dǎo)線與一直角三角形共面，各部分尺寸如 圖所示。已知兩導(dǎo)線中的電流均為圖

14、所示。已知兩導(dǎo)線中的電流均為I，求三角形回路中的磁通量。，求三角形回路中的磁通量。 I a b I r1 r2 解：解：取如圖所示的 取如圖所示的x軸，在距原點(diǎn)軸，在距原點(diǎn)x遠(yuǎn)處取寬度遠(yuǎn)處取寬度dx 的窄條，其高度為的窄條，其高度為 x I a b I r1 r2 x o dx )(2 21 0 2 rrx I B 則窄條的磁通量為則窄條的磁通量為 )( 1 xra a b h 窄條面積為窄條面積為 dxxra a b hdxdS)( 1 左、右二長(zhǎng)直導(dǎo)線電流在窄條處的磁場(chǎng)分別為左、右二長(zhǎng)直導(dǎo)線電流在窄條處的磁場(chǎng)分別為 x I B 2 0 1 （垂直向外）（垂直向外）（垂直向里）（垂直向里）

15、dxxra a b xrrx I dSBB)() 11 ( 2 )(d 1 12 0 12m 則三角形則三角形 回路中的回路中的 磁通量為磁通量為 )( )( ln)( a2 Ib )() 11 ( 2 d 12 21 1 0 1 12 0 m 1 1 rar rar ra dxxra a b xrrx I ra r m 11-11 如圖所示，平板電容器（忽略邊緣效應(yīng)）充電時(shí)，沿環(huán)路如圖所示，平板電容器（忽略邊緣效應(yīng)）充電時(shí)，沿環(huán)路 L1、L2的的磁感應(yīng)強(qiáng)度為磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的環(huán)流中，必有的環(huán)流中，必有 ”或或“ ”或或“ = ”） 1 d L lB 2 d L lB L1 L2 顯然，有顯然，

16、有 )( dco L IIl dB 解：解： L1 L2 在電容器二極板間取一和極板邊緣一樣的在電容器二極板間取一和極板邊緣一樣的 回路回路L（下圖中紅色虛線所示）（下圖中紅色虛線所示） L l dBl dB LL 1 忽略邊緣效應(yīng)且認(rèn)為導(dǎo)線處的忽略邊緣效應(yīng)且認(rèn)為導(dǎo)線處的 ； 無(wú)導(dǎo)線處，即電容器極板間，無(wú)導(dǎo)線處，即電容器極板間， 。 又，普遍的安培環(huán)路定理又，普遍的安培環(huán)路定理 l dBIIl dB L dc L 00 2 0 c I 則由全電流連續(xù)原理知，導(dǎo)線處的傳導(dǎo)電流則由全電流連續(xù)原理知，導(dǎo)線處的傳導(dǎo)電流 與極與極 板間的位移電流板間的位移電流 相等相等 0 d I c I d I l

17、dBl dB LL 21 （穿過(guò)（穿過(guò)L的位移電流顯然比的位移電流顯然比 穿過(guò)穿過(guò)L1的大，再利用普遍的大，再利用普遍 的安培環(huán)路定理即可推得）的安培環(huán)路定理即可推得） 11-12 半徑為半徑為R的兩塊圓板，構(gòu)成平行板電容器放在空氣中，的兩塊圓板，構(gòu)成平行板電容器放在空氣中， 現(xiàn)對(duì)電容器勻速充電，使兩板間的電場(chǎng)的變化率為現(xiàn)對(duì)電容器勻速充電，使兩板間的電場(chǎng)的變化率為 ， P點(diǎn)是兩極板之間到對(duì)稱(chēng)軸距離為點(diǎn)是兩極板之間到對(duì)稱(chēng)軸距離為r的任意一點(diǎn)，求的任意一點(diǎn)，求P點(diǎn)處的磁點(diǎn)處的磁 感應(yīng)強(qiáng)度。感應(yīng)強(qiáng)度。 adtdE 22 ra dt dE r dt d e 在平行板間取一半徑為在平行板間取一半徑為r 的圓形回路的圓形回路 穿過(guò)該回路的電通量隨時(shí)間的變化率穿過(guò)該回路的電通量隨時(shí)間的變化率 解：解： r P arB o0 2 1 2 0 2rarB o )( dt d IldB e oco L 又 極板間極板間 0 c I 11-13 如圖所示的為一圓柱體的橫截面，圓柱體內(nèi)有一均勻電場(chǎng)如圖所示的為一圓柱體的橫截面，圓柱體內(nèi)有一