殼體平衡法與一維定態(tài)傳遞實(shí)例

1、第2章 殼體平衡法與一維定態(tài)傳遞實(shí)例 何險(xiǎn)峰 2008年9月 傳遞過程原理 2 殼體動(dòng)量衡算 動(dòng)量衡算式 0 體的總力 作用于殼 動(dòng)量速率 退出殼體 動(dòng)量速率 進(jìn)入殼體 邊界條件 1. 流體附著條件 2. 氣液界面處液體動(dòng)量通量0 3. 界面連續(xù)性假設(shè) 3 殼體動(dòng)量衡算 殼體作用力構(gòu)成 zzzzzz vAvvVvMF 流動(dòng) 1. 流體流動(dòng)產(chǎn)生的力（與流體速度 u 有關(guān)） 2. 流體由動(dòng)量傳遞產(chǎn)生的剪切力（與速度梯度有關(guān)） 3. 流體作用于界面的面力（壓力，與流體壓力有關(guān)） 4. 流體自身的體積力（重力） 剪切面剪切 AF 壓力面壓力 PAF gVF 體積流體重力 4 柱面殼體平衡法 例題1：通

2、過圓管 的流動(dòng) 海根-泊謖葉定律 （Hagen-Poiseeuille) 5 柱面殼體平衡法 流體流動(dòng)形式的力 在 z=0 處進(jìn)入的力： 在 z=L 處退出的力： 0 )(2( zzz vrvr Lzzz vrvr )(2( 6 柱面殼體平衡法 動(dòng)量傳遞形式的力 通過 r 處柱面的進(jìn)入： 通過 r +r 處柱面退出： rrz rL)2( zrrrrrz LrrrL , )(2)2( 7 柱面殼體平衡法 體積力(重力） grLr)2( 8 柱面殼體平衡法 壓力（面力） 在 z=0 處環(huán)隙表面的壓力： 在 z=L 處環(huán)隙表面的壓力： )2( 0 rPr )2( L rPr 9 柱面殼體平衡法 所有

3、力加和 0)(2)2( )2()2()2()2( 0 2 0 2 L rrrzrrzLzzzz PPrrgrLr rLrLvrrvrr rg L PP r rr L rrzrrrz r 0 0 )()( lim r L P rg L PP r r g L rz 0 )( d d 10 微分方程解法 r L P r r g rz )( d d r C r L P g rz 2 rz ru令： 11 柱面殼體平衡法 積分 r C r L P g rz 1 2 邊界處動(dòng)量通量限制得 C1=0： r rv r L P z g rz d )(d 2 12 柱面殼體平衡法 最終得 2 2 4 )(Cr L

4、 P rv g z 邊界 r=R處， vz=0 22 1 4 )( R r L RP rv g z 13 柱面殼體平衡法 速度和剪應(yīng)力分布 速度呈現(xiàn)拋物面 14 柱面殼體平衡法 例題1結(jié)果分析 2 max, 4 R L P v g z r=0 處， vz最大 vz平均值：max, 2 1 zz vv 體積流量： L RP vRq g zv 8 4 2 15 柱面殼體平衡法 海根-泊謖葉定律適用條件 1. 層流 Re2000 2. 不可壓縮流體， 不變 3. 定態(tài)流體（與時(shí)間無關(guān)） 4. 牛頓流體 5. 忽略端效應(yīng) 6. 流體為連續(xù)介質(zhì) 16 柱面殼體平衡法 非圓形管道海根-泊謖葉定律處理 Z

5、S De4 S： 流動(dòng)截面積 Z： 潤(rùn)濕周邊長(zhǎng) Re 的計(jì)算 vD Re e 17 柱面殼體平衡法 例題2 通過環(huán)隙的流動(dòng) 0k1 18 柱面殼體平衡法例題2 r L P rg L PP r r g L rz 0 )( d d r=kR處： vz=0 r=R處： vz=0 )()( 2 2 r R R r L RPg rz r vz rz d d r C r L P g rz 1 2 19 柱面殼體平衡法例題2 )ln(2)( 4 )( 22 2 C R r R r L RP rv g z 1C k k ln 1 2 2 2 計(jì)算結(jié)果 K 0 ? 20 柱面殼體平衡法例題2 ? rdrd rd

6、rdv v Z z )1 (2kRv Re z 平均速度 雷諾數(shù) Re 21 殼體能量衡算 能量衡算式 0 的生成速率 殼體中熱能 熱能速率 退出殼體 熱能速率 進(jìn)入殼體 邊界條件 1. 給定表面溫度 2. 表面處熱量通量已知。 3. 牛頓冷卻定律：q=h(Ts-Tf) 4. 在固體-固體界面上，溫度和熱量動(dòng)量連續(xù) 22 柱面殼體熱量衡算 2 J Se 例題3 23 殼體熱量衡算例題3 殼體熱量構(gòu)成 傳熱面積熱傳導(dǎo) AqQ a 1. 熱傳導(dǎo)帶來的熱量 2. 自身帶來的熱量（化學(xué)反應(yīng)、能量轉(zhuǎn)化等） 自 Q 24 殼體熱量衡算例題3 熱傳導(dǎo)帶來的熱量 在 r 處輸入的熱量： 在 r+r處輸出的熱量

7、： rr qrl)2( rrr qrl )2( 25 殼體熱量衡算例題3 電能耗散產(chǎn)生的熱能速率 e SrLr)2( 26 殼體熱量衡算例題3 所有熱量加和 rS r rqrq e rrrrr r )()( lim 0 rSrq r er )( d d 27 殼體熱量衡算例題3 積分得 r C r S q e r 2 邊界處( r0 ) 熱量通量有限，得 C=0： r S q e r 2 )(1 4 )( 2 2 0 R rRS TrT e 28 殼體熱量衡算例題3 例題3結(jié)果分析 2 0max 4 R S TT e r=0 處， T 最大 T 平均值：)( 2 1 max0o TTTT 熱流

8、量Q： e LSR dr dT RLQ 2 )(2 29 殼體熱量衡算和動(dòng)量衡算相似性 衡算方程 傳遞方程 邊界條件 傳遞物性參數(shù)() 源 (Pg Se) 假設(shè)條件（、=const） 第一次積分(, q) 第二次積分(v, T) 30 簡(jiǎn)單一階微分方程的求解方法 分離變量法 齊次方程 線性方程（常數(shù)變易法） 貝努里方程(Bernoulli) 全微分方程等. 31 一階微分方程求解方法分離變量法 )()( d d xgtf t x cttf xg x d)( )( d 方程形式： 方程解： 32 一階微分方程求解方法分離變量法 t cbxax t x 2 d d 例題 c t t cbxax x

9、 dd 2 ct xxxx x ln )( d 10 ctx xxxxxx lnd )( 1 )( 1 )( 1 1010 ct xx xx xx ln )( )( ln )( 1 1 0 10 其中： a acbb x a acbb x 2 4 2 4 2 1 2 0 10 10 1 10 xx xx ct tcxx x 33 一階微分方程求解方法齊次方程 ),(),( ),( d d xtfkxktf xtf t x 其中： ), 1 (),( d d d d ufuttf t u tu t x 方程形式： 方程解： uuf t u t), 1 ( d d ct tuuf u d 1 ),

10、 1 ( d utx 令： 34 一階微分方程求解方法齊次方程 c r r uuf ud ), 1 ( d r L P r r g rz )( d d cr r u L P u g d 1 2 d 例子： u L P r g rz d d cru L P g ln)2ln( 2 1 r C r L P g 1 2 35 一階微分方程求解方法齊次方程 111 000 d d cxbta cxbta t x 變換形式： 方程解： 0, 0 , 111000 ckbhackbha kxht 滿足： 令 11 00 d d ba ba 36 一階微分方程求解方法齊次方程 2 ) 1 2 (2 d d

11、xt x t x 例子： 方程解： 1, 1, 1, 2, 1, 0 111000 cbacba 令01, 02khk3, 2hk 3, 2tx 2 )(2 d d 37 一階微分方程求解方法線性方程 )()( d d tQxtP t x dtetQCex dttPdttP)()( )( 方程形式： 方程解（常數(shù)變異法）： Q=0， 齊次線性方程 Q0， 非齊次線性方程 dttP eCx )( 0 38 一階微分方程求解方法線性方程 dtetQCex dttPdttP)()( )( 例子： 解： 1 2 d d 2 0 R r bSq rr q )(1 )(, 2 )( 2 0 R r bSt

12、Q r tP dre R r bSCex dr r dr r 2 2 0 2 )(1 ) 53 1 ( 3 2 0 2 r R b rS r C x 39 一階微分方程求解方法貝努里方程 xtQxtP t x )()( d d )()1 ()()1 ( d d tQytP t y 方程形式： 方程解： 1 xy 令： 線性微分方程求解 40 高階微分方程的降階 不顯含未知函數(shù) x 不顯含自變量 t 齊次方程 全微分方程 41 高階微分方程的降階 不顯含未知函數(shù) x 0) d d ,., d d ,( n n k k x x t x tF k k t x y d d 令 得到關(guān)于y的（n-k)階

13、方程 0) d d ,., d dy ,( kn kn x x t ytF 42 高階微分方程的降階 不顯含未知函數(shù) x 例子 4 4 d d t x y 令 0 d d1 d d 4 4 5 5 t x tt x 0 1 d d y tt y 54 2 3 3 2 5 1 ctctctctcx 43 高階微分方程的降階 不顯含自變量 t 0) d d ,., d d ,( n n x x t x xF t x y d d 令 得到關(guān)于y的（n-1)階方程 x y y t x d d d d 2 2 則 2 2 22 3 3 d d ) d d ( d d x y y x y y t x 則

14、0,.) d d ) d d (, d d ,( 2 2 22 x y y x y y t y yytF 44 高階微分方程的降階 不顯含自變量 t （例子） 0 d d d d1 2 2 t x t x B 得 x y y t x d d d d 2 2 0 d d y x y B y 則 t x y d d t x cBxy d d Bt eCCx 21 45 高階微分方程的降階 齊次方程 0) d d ,., d d ,( n n k k x x t x xtF 0,.) d d , 1 ,( 2 t y yytF ) d d ,., d d ,() d d ,., d d ,( n n

15、 m n n x x t x xtFk x x k t x kkxtF 對(duì) m 次齊次方程 若： xy t x d d 令 ) d d ( d d 2 2 2 t y yx t x 則 ) d d d d 3( d d 2 2 3 3 3 t y t y yyx t x 則 (n-1) 階方程 46 高階微分方程的降階 齊次方程 （例子） Nx t x t x B d d d d1 2 2 得 NBxBxy t y yx) d d ( 2 代入得 xy t x d d 令 ) d d ( d d 2 2 2 t y yx t x 則 NBBy t y y d d 2 47 高階微分方程的降階

16、齊次方程 （例子） 最終得 tyty eCeCx 10 43 t NBByy y d d 2 ct yy yy yy )( )( ln )( 1 1 0 10 其中： 2 4 2 4 2 1 2 0 NBBB y NBBB y 48 高階微分方程的降階 全微分方程 49 球形殼體熱量衡算 例題4 )(1 2 0 F r R r bSS Sr 單位體積發(fā)熱速率 (J/m3s) S0 球中心的體積發(fā)熱速率 (J/m3s) b 無量綱參數(shù) RF 容納裂變物質(zhì)的球直徑 T0 50 球形殼體熱量衡算例題4 取 r, r+r 一段球體進(jìn)行熱量衡算 熱傳導(dǎo)帶來的熱量： 在 r 處輸入的熱量： 在 r+r處輸

17、出的熱量： rr qr)4( 2 rrr qr )2( 2 51 球形殼體熱量衡算例題4 自身產(chǎn)生的熱量： 在 r RF 時(shí)： rrr rSrrrrSVSq 233 4) 3 4 )( 3 4 核 0 核 q 52 球形殼體熱量衡算例題4 熱量通量微分方程： r rrrrr r Sr r qrqr 2 22 0 )()( lim 2 2 0 2 1 )( d d r R r bSqr r F r 在 r RF 時(shí)： 0)( d d 2 r qr r 53 球形殼體熱量衡算例題4 解微分方程得： 2 1 3 2 0 ) 53 ( r C r R br Sq F r 在 r RF 時(shí)： 2 2 r

18、 C qr 邊界條件： r 0， qr 有限 r =RF 時(shí)，兩個(gè)方程值計(jì)算值相同 54 球形殼體熱量衡算例題4 熱量通量方程為： ) 53 ( 3 2 0 r R br Sq F r 在 r RF 時(shí)： 2 3 0 ) 53 1 ( r Rb Sq F r 由傅立葉傳熱定律得溫度計(jì)算公式： )1)( 5 3 1 ( 3 )(1 10 3 )(1 6 2 0 42 2 0 C F C F FFF F r R RbRS R r b R rRS T 55 帶有化學(xué)反應(yīng)熱源的形殼體熱量衡算 )( 01 0 0 TT TT SS cc Sc 單位體積化學(xué)反應(yīng)的發(fā)熱率 （J/m3s) 例題5 vcp,，

19、已知， 56 帶有化學(xué)反應(yīng)熱源的形殼體熱量衡算 流動(dòng)帶來的熱能： zp TTcvR)( 011 2 zzp TTcvR )( 011 2 z 處流入 z +z 處流出 57 帶有化學(xué)反應(yīng)熱源的形殼體熱量衡算 熱傳導(dǎo)方式帶來的熱能： zz qR 2 zzz qR 2 z 處輸入： z +z 處 輸出 58 帶有化學(xué)反應(yīng)熱源的形殼體熱量衡算 化學(xué)反應(yīng)產(chǎn)生的熱能速率 c zSR 2 59 帶有化學(xué)反應(yīng)熱源的形殼體熱量衡算 能量衡算得： 0)()( 222 011 2 011 2 czzzzzzzpzp zSRqRqRTTcvRTTcvR 微分方程為： z T q ez d d 其中： cp z S

20、z T cv z q d d d d 11 cpe S z T cv z T d d d d 11 2 2 即： 60 帶有化學(xué)反應(yīng)熱源的形殼體熱量衡算 三段的能量衡算方程分別是： )( d d d d 01 022 11 2 2 2 TT TT S z T cv z T cpe II段： III段： 0 d d d d 1 11 2 1 2 z T cv z T pe I段： 0 d d d d 3 11 2 3 2 z T cv z T pe 61 帶有化學(xué)反應(yīng)熱源的形殼體熱量衡算 邊界條件： z T z T ee d d d d 21 11 TT Z -： Z =0: 21 TT Z =

21、0:32 TT z T z T ee d d d d 32 有限 3 T Z +： 62 帶有化學(xué)反應(yīng)熱源的形殼體熱量衡算 無量綱化處理： )( 011 0 11 01 0 TTcv LS N Lcv B TT TT L z Z p e p 63 帶有化學(xué)反應(yīng)熱源的形殼體熱量衡算 無量綱化的微分方程： II段： III段： I段： N ZZB d d d d1 2 2 2 2 0 d d d d1 1 2 1 2 ZZB 0 d d d d1 3 2 3 2 ZZB 64 帶有化學(xué)反應(yīng)熱源的形殼體熱量衡算 微分方程解： II段： III段： I段： BZ eCC 211 BZ eCC 653

22、ZmZm eCeC 43 432 65 帶有化學(xué)反應(yīng)的形殼體熱量衡算 溫度曲線 66 殼體質(zhì)量衡算 質(zhì)量衡算式 0 AAA 速度反應(yīng)產(chǎn)生 殼體中均相化學(xué) 質(zhì)量流率 退出殼體 質(zhì)量流率 進(jìn)入殼體 邊界條件 1. 給定表面濃度 2. 表面處質(zhì)量通量已知。 3. A從表面處擴(kuò)散到流體中的速度：NA0=kc(CA0-CA) 4. 表面處化學(xué)反應(yīng)速率給定,如 NA0=k1CA 67 殼體質(zhì)量衡算球面殼體 通過球狀膜的擴(kuò)散的 物理模型 68 殼體質(zhì)量衡算球面殼體（等溫） 在 r 和 r+r 處擴(kuò)散 進(jìn)出球面的質(zhì)量流率： rAr Nr 2 4 rrAr Nr 2 4 r 處輸入： r +r 處 輸出: 化學(xué)

23、反應(yīng)帶來的A： A rRr 2 4 0 A R 69 殼體質(zhì)量衡算球面殼體（等溫） 質(zhì)量衡算式： 0)( d d 2 Ar Nr 其中： dr dx cDJNNxN A ABArBrArAAr * )( 帶入得： 0) d d 1 ( d d 2 r x x cD r A A AB 70 殼體質(zhì)量衡算球面殼體（等溫） 以xB表示的衡算式： 積分得： 邊界條件： 0) d d ( d d 2 r x x r B B ) 11 (ln 1 1 1 rr C x x B B ) 11 (ln 12 1 1 2 rr C x x B B ) 11 /() 11 ( 1 2 1 121 rrrr B B

24、 B B x x x x 71 殼體質(zhì)量衡算球面殼體（等溫） 組分A的摩爾流量： 得： 1 2 21 2 1 ln 11 4 4 1 B BAB rrArA x x rr cD NrW r x x cD N B B AB Ar d d 72 殼體質(zhì)量衡算球面殼體（非等溫） 溫度對(duì)擴(kuò)散的影響 濃度的影響： 擴(kuò)散系數(shù)的影響： RT p c 2 3 1 1 , T T DD ABAB n r r T T 11 溫度分布 73 殼體質(zhì)量衡算球面殼體（非等溫） 微分方程： 0 d d )1)(d d 2 11 2 r x r r xRT pD r A n A AB )2/1( 1 )2/1( 2 )2/

25、1( 1 )2/1( 1 2 1 nn nn rr rr B B B B x x x x 解得（n -2)： 74 殼體質(zhì)量衡算球面殼體（非等溫） 摩爾流量： 12 1 lnln lnln 1 2 1 rr rr B B B B x x x x n =-2時(shí)： 1 2 2/ 1 )2/1( 2 )2/1( 11 2 1 ln )( )2/1 (4 4 1 B B nnn AB rrArA x x rrrRT npD NrW 75 殼體質(zhì)量衡算帶化學(xué)反應(yīng)的球面殼體 浸沒于氣流中的催化劑顆粒 76 殼體質(zhì)量衡算帶化學(xué)反應(yīng)的球面殼體 在 r 和 r+r 處擴(kuò)散進(jìn)出球面的質(zhì)量流率： rAr Nr 2

26、4 rrAr Nr 2 4 r 處輸入： r +r 處 輸出: 77 殼體質(zhì)量衡算帶化學(xué)反應(yīng)的球面殼體 化學(xué)反應(yīng)帶入A的速率： A rRr 2 4 AA ackR 1 對(duì)一級(jí)反應(yīng)： a：比表面積（m-1 ；單位體積催化劑的表面積） 催化劑空穴 催化劑 VV A a 78 殼體質(zhì)量衡算帶化學(xué)反應(yīng)的球面殼體 質(zhì)量衡算式： A AA ack r c r r D 1 2 2 ) d d ( d d AAr RrNr 22 )( d d 代入各式得： r c DN A ABAr d d 79 殼體質(zhì)量衡算帶化學(xué)反應(yīng)的球面殼體 解微分方程： )sinh()cosh( 1211 r D ak r C r D

27、 ak r C c c AAAs A r f cA 代入各式得： 令： f D ak r f A 1 2 2 d d 80 殼體質(zhì)量衡算帶化學(xué)反應(yīng)的球面殼體 解微分方程： )sinh( )sinh( )( 1 1 R D ak r D ak r R c c A A As A R 處的摩爾流量： 由邊界條件： r 0，CA有限； r R，CA = CAS Rr A AAsAs dr dc DRNRW 22 44 )coth(1 4 11 R D ak R D ak cRDW AA AsAsAs 81 殼體質(zhì)量衡算帶化學(xué)反應(yīng)的球面殼體 有效因子： ) 1coth( 3 2 0 KK KW W A As A R