高等流體力學講義課件_第四章二維勢流42

1、4.6 偶極子流動偶極子流動 顯然 z 0 處是上述函數(shù)的奇點。 F( ) z z F( )lnlnlnln ln ln F( ) 1 2z 2 22 22 + mmmz+m z zz+(z-)= 222z-2 - z m =+ 2zzz mm =+=+ 2zz2zz m z z 0 00 ln()() 2 x 1, 駐點在圓柱面外正下方。 1 4 Ua 由于環(huán)量的存在，流場對 x 軸不再對稱，在圓柱上表面順時針 的環(huán)流和無環(huán)量的繞流方向相同，因此速度增加，而在下表面 則方向相反，速度減少。根據(jù)伯努利方程上表面壓強減小，下 表面壓強增大，于是產(chǎn)生向上的合力，稱升力。 4.8 4.8 有環(huán)量圓柱

2、繞流有環(huán)量圓柱繞流 升力和阻力升力和阻力 有環(huán)量繞流速度場對 y 軸對稱，壓強場也對 y 軸對稱，因此在 x 軸方向圓柱所受表面力合力為零。 4.9 布拉修斯公式布拉修斯公式 0 0 2 C 2 C X -Yi=iW dz 2 M = -Rez W dz 2 求圓柱受力和力矩的方法求圓柱受力和力矩的方法 壓強積分方法 從復位勢求出柱體表面速度分布； 再利用伯努利方程求出柱體表面壓強分布，作積分求出表面力合 力與合力矩。 復變函數(shù)方法 布拉修斯公式 而曲線積分則可利用留數(shù)定理求出。 4.9 布拉修斯公式布拉修斯公式 柱體受力分析柱體受力分析 設定常均勻來流繞流任意形 狀的柱體，周圍流體對柱體 的

3、作用力可簡化為作用在柱 體重心的力X、Y 以及力矩 M（取xoy坐標原點在柱體 質(zhì)心）。 取任意形狀封閉曲面C0 包圍柱體，柱體表面為Ci。以C0 ，Ci 間 的空間為控制體，控制體內(nèi)的流體受到C0 外流體的壓強p的作 用，同時受到柱體的反作用力 X，Y，以及反力矩M的 作用。 X Y n M i C n o C udy vdxpdy pdx dl VVSS D Q Dt CS FudV =udV +uu ndS =u t F =uQ CS CS F =uQ x F =vQ y 4.9 布拉修斯公式布拉修斯公式 動量定理動量定理 寫成分量形式， 00 CC -X -pdy=u(udy-vdx)

4、 00 CC -Y +pdx=v(udy-vdx) i00 CSCCC Q=udy-vdx 22 p= c-u +v 2 00 CC cdxcdy0 0 0 22 C 22 C X = uvdx-u -vdy Y = -uvdy+u -vdx 4.9 布拉修斯公式布拉修斯公式 應用動量定理于上述控制體， x方向， y方向， Ci 是一條流線，沒有流體穿過 通過C0上的微分面積的體積流量 微元面在x和y方向受到的壓力則分別為：p dy，p dx 伯努利方程 代入 x 和 y 方向的動量方程，并考慮到 ，得 X Y n M i C n o C udy vdx pdy pdx dl CS CS F

5、=uQ x F =vQ y 布拉修斯公式布拉修斯公式 W( ) z 00 0 2 2 CC 2222 C iW dz=iu-i vdx+i dy 22 11 = uvdx-(u -v )dy +i uvdy+(u -v )dx 22 0 2 C X -iY =iW dz 2 4.9 布拉修斯公式布拉修斯公式 上式中X，Y是作用在柱體重心的力，方向分別沿 x 與 y 軸正向；C0 是包圍柱體的任意曲面；W為復速度。 與動量定理求出的柱體受力X，Y的表達式相比得， 若已知復速度 ， 則 CS M =ru Q 00 CC -M +(xpdx+ ypdy)=vx(udy-vdx)- uy(udy-vd

6、x) 4.9 布拉修斯公式布拉修斯公式 動量矩定理動量矩定理 對我們研究的控制體，只需要考慮z方向分量方程， pdy pdx vQ, uQ 方程左邊第一項是柱體對流體的反力矩， 第二項是C0 外的流體作用在C0上的壓力對坐標原點（柱體重心）的矩。 方程右邊則是單位時間凈流出控制面的流體動量矩，方括號內(nèi)兩項分別 表示動量 對坐標原點的矩。由于沒有流體通過柱體 表面Ci，積分只在C0上進行。 X Y n M i C n o C udy vdx 22 1 p= c- u -v 2 00 CC cdxcdy0 0 22 () ( )2 ( ) 2 C Muvx dxy dyu v x dyy dx 利

7、用伯努利方程 消去上式內(nèi)的壓強項，并考慮到 ，力矩M可表示為， 00 0 0 2 2 CC 22 C 22 C zW dz=x+i yu-i vdx+i dy 22 =u -vx dx- y dy +2uv x dy+ y dx 2 +iu -vx dy+ y dx -2uv x dx- y dy 2 0 2 c M = -RezW dz 2 4.9 布拉修斯公式布拉修斯公式 上式中 Re 表達取復變數(shù)的實部。M是作用在柱體上的力矩，逆時針方向 為正；C0 為圍繞柱體的任意曲面；W為復速度。 與由動量矩定理求出的力矩M的表達式比較可得， 以復速度作如下積分式， 布拉修斯合力矩公式布拉修斯合力矩

8、公式 4.10 4.10 作用在圓柱上的力和力矩作用在圓柱上的力和力矩 如 F(Z) 在環(huán)形域 處處解析，該環(huán)形域中心在點 ，那么F(z)可用 級數(shù)表示為 上述級數(shù)稱羅倫級數(shù)。 10 r r r 0 z F( ). 2 21 010202 0 0 bb z+a +a (z- z )+a (z- z ) z- z z- z 羅倫級數(shù)羅倫級數(shù) 如F(z)在曲線C內(nèi)的區(qū)域中除有限個奇點 外解析，則 式中 是 F(z) 在點 的留數(shù)， 是 F(z) 在點 的留數(shù)，等等。 0 1 zz 123n z , z , z ,.z () 12n C F(z) dz=2 i R +R +.+R 1 z 2 z2

9、R 1 R 4.10 4.10 作用在圓柱上的力和力矩作用在圓柱上的力和力矩 留數(shù)留數(shù) 一個函數(shù)在 點的留數(shù)就是該函數(shù)對于 的羅倫級數(shù) 0 z 0 z 項的系數(shù)。 留數(shù)定理留數(shù)定理 0 2 C X -i Y =i W z 2 W( ) W ( ) 2 2 222422 22 24322 ai z =U-+ z z U aU aiUiUa z =U -+- zzzz z iU iU X -i Y =i 2 i= -i U 2 4.10 4.10 作用在圓柱上的力和力矩作用在圓柱上的力和力矩 作用在圓柱上的力作用在圓柱上的力 函數(shù) W2 在 Co 內(nèi) 的奇點只有一個， z = 0點， 即點渦和偶極子的所在點。 在 z0點的留數(shù)為 ， 布拉修斯公式, 定常均勻來流繞流圓柱，圓柱半徑為a，來流速度為U，繞圓柱環(huán)量為 （順時針），則 由上式可見在 x 方向的阻力為零，升力等于環(huán)量與來流速 度 U 和流體密度 的乘積， Y=U 上式為正值，即負方向的環(huán)量產(chǎn)生向上的升力。該公式稱 為庫塔儒科夫斯基公式。 顯見 0 時 Y0，無環(huán)量繞流無升力。 4.10 4.10 作用在圓柱上的力和力矩作用在圓柱上的力和力矩 作用在圓柱上的力作用在圓柱上的力 函數(shù) 在 Co 內(nèi) 的奇點只有 點，該點留數(shù)