2021_2022學年新教材高中數(shù)學第1章空間向量與立體幾何1.2空間向量基本定理學案新人教A版選擇性必修第一冊精品

1、1.2空間向量基本定理學 習 任 務核 心 素 養(yǎng)1.了解空間向量基本定理及其意義.2.掌握空間向量的正交分解(難點)3.掌握在簡單問題中運用空間三個不共面的向量作為基底表示其他向量的方法(重點、難點)1.通過基底概念的學習，培養(yǎng)數(shù)學抽象素養(yǎng).2.通過用空間向量基本定理，解決簡單的立體幾何問題，發(fā)展直觀想象、數(shù)學運算、邏輯推理等素養(yǎng).平面向量基本定理表明，在給定的平面內(nèi)，當向量a與b不共線時，任意一個向量c都可以寫成a與b的線性運算，而且表達式唯一空間向量有沒有類似的結論？如果有，嘗試歸納出來，如果沒有說明理由知識點1空間向量基本定理如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在

2、唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得pxaybzc.其中a，b，c叫做空間的一個基底，a，b，c都叫做基向量空間任意三個不共面的向量都可以構成空間的一個基底對于基底a，b，c，三個基向量a，b，c中能否有一個為0?提示因為向量0與任意一個非零向量共線，與任意兩個非零向量共面，因此三個基向量均不為0.(1)空間中任意三個不共面的向量都可以作為空間的一個基底(2)一個基底是指一個向量組，而一個基向量是指基底中的某一個向量，二者是相關聯(lián)的不同概念1.思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)空間向量的基底是唯一的()(2)若a，b，c是空間向量的一個基底，則a，b，c均為非零向量()(3)已知A，

3、B，M，N是空間四點，若，不能構成空間的一個基底，則A，B，M，N共面()(4)若a，b，c是空間的一個基底，且存在實數(shù)x，y，z使得xaybzc0，則有xyz0.()提示(1)任意三個不共面向量都可以作為空間的一個基底(2)若a，b，c中有一個零向量，則a，b，c三向量共面不能構成基底(3)，不能構成空間的一個基底，則三向量共面，且有公共起點B，因此A，B，M，N四點共面(4)a，b，c不共面，則必有xyz0.知識點2空間向量的正交分解(1)單位正交基底如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都為1，那么這個基底叫做單位正交基底常用i，j，k表示(2)向量的正交分解由空間向量基本定理

4、可知，對空間中的任意向量a，均可以分解為三個向量xi，yj，zk，使得axiyjzk.像這樣，把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正交分解2.思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)空間的單位正交基底是唯一的()(2)單位正交基底中每一個基向量是單位向量()(3)對于單位正交基底i，j，k,2j0i2j0k.()提示(1)不唯一(2)由單位正交基底的定義可知正確(3)由向量正交分解知正確 類型1空間的基底【例1】e1，e2，e3是空間的一個基底，且e12e2e3，3e1e22e3，e1e2e3，試判斷，能否作為空間的一個基底解假設，共面，由向量共面的充要條件知，存在實

5、數(shù)x，y，使xy成立，e12e2e3x(3e1e22e3)y(e1e2e3)，即e12e2e3(y3x)e1(xy)e2(2xy)e3，e1，e2，e3是空間的一個基底，e1，e2，e3不共面此方程組無解即不存在實數(shù)x，y使得xy，所以，不共面所以，能作為空間的一個基底基底判斷的基本思路及方法(1)基本思路：判斷三個空間向量是否共面，若共面，則不能構成基底；若不共面，則能構成基底(2)方法：如果向量中存在零向量，則不能作為基底；如果存在一個向量可以用另外的向量線性表示，則不能構成基底假設ab c，運用空間向量基本定理，建立，的方程組，若有解，則共面，不能作為基底；若無解，則不共面，能作為基底依

6、托正方體，用從同一頂點出發(fā)的三條棱對應的向量為基底，構造所需向量，判斷它們是否共面跟進訓練1已知O，A，B，C為空間不共面的四點，且向量a，向量b，則與a，b不能構成空間基底的是()ABC D或C由(ab)知與a，b共面所以a，b，不能構成空間的基底，故選C2若a，b，c是空間的一個基底，試判斷ab，bc，ca能否作為空間的一個基底？解假設ab，bc，ca共面，則存在實數(shù)，使得ab(bc)(ca)，即abab()c.a，b，c是空間的一個基底，a，b，c不共面此方程組無解即不存在實數(shù)，使得ab(bc)(ca)，ab，bc，ca不共面故ab，bc，ca能作為空間的一個基底 類型2用空間的基底表示

7、空間向量【例2】(對接教材P12例題)如圖，在三棱柱ABCABC中，已知a，b，c，點M，N分別是BC，BC的中點，試用基底a，b，c表示向量，.解連接AN(圖略)()()(abc)()()abc.若把本例中“a”改為“a”，其他條件不變，則結果是什么？解因為M為BC的中點，N為BC的中點，所以()ab.()()()bac.基向量的選擇和使用方法(1)盡可能選擇具有垂直關系的，從同一起點出發(fā)的三個向量作為基底(2)用基向量表示一個向量時，如果此向量的起點是從基底的公共點出發(fā)的，一般考慮加法，否則考慮減法；如果此向量與一個易求的向量共線，可用數(shù)乘跟進訓練3.如圖，四棱錐POABC的底面為一矩形，

8、PO平面OABC，設a，b，c，E，F(xiàn)分別是PC，PB的中點，試用a，b，c表示：，.解連接BO(圖略)，則()(cba)abc.()abc.()ac(cb)abc.a. 類型3空間向量基本定理的應用【例3】在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是DD1，BD的中點，點G在棱CD上，且CGCD(1)證明：EFB1C；(2)求EF與C1G所成角的余弦值解(1)證明：設i，j，k，則i，j，k構成空間的一個正交基底所以k()ijk，ik，所以(ik)|i|2|k|20，所以EFB1C(2)ijk，kj，|22|i|2|j|2|k|23，|，|22|k|2|j|24，|，cos，.

9、本例中設線段A1B的中點為M，證明：MFB1C解設i，j，k，則ik，ik(ik)，所以MFB1C基向量法解決平行、垂直及夾角問題首先根據(jù)幾何體的特點，選擇一個基底，把題目中涉及的向量用基向量表示(1)若證明線線垂直，只需證明兩向量數(shù)量積為0；(2)若證明線線平行，只需證明兩向量共線；(3)若要求異面直線所成的角，則轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角(或其補角)跟進訓練4.在所有棱長均為2的三棱柱ABCA1B1C1中，B1BC60，求證：(1)AB1BC；(2)A1C平面AB1C1.證明(1)易知，120，則()22220.所以AB1BC(2)易知四邊形AA1C1C為菱形，所以A1CAC1.因為()()()(

10、)2242240，所以AB1A1C，又AC1AB1A，所以A1C平面AB1C1.1在正方體ABCDA1B1C1D1中，可以作為空間向量的一組基底的是()A，B，C，D，C只有選項C中的三個向量是不共面的，可以作為一個基底故選C2(多選題)在空間四點O，A，B，C中，若，是空間的一個基底，則下列命題正確的是()AO，A，B，C四點不共線BO，A，B，C四點共面，但不共線CO，A，B，C四點不共面DO，A，B，C四點中任意三點不共線ACD選項A對應的命題是正確的，若四點共線，則向量，共面，構不成基底；選項B對應的命題是錯誤的，若四點共面，則，共面，構不成基底；選項C對應的命題是正確的，若四點共面，

11、則，構不成基底；選項D對應的命題是正確的，若有三點共線，則這四點共面，向量，構不成基底，故選ACD3設a，b都是非零向量，2a3b，ab，則不重合的直線AB與CD()A相交B平行C垂直D無法判位置關系B由題意知，2，則ABCD，故選B4正方體ABCDA1B1C1D1中，取，為基底，若G為平面BCC1B1的中心，且xyz，則xyz_.2如圖，().由條件知x1，y，z.xyz12.5已知e1，e2，e3為空間的一個基底，若ae1e2e3，be1e2e3，ce1e2e3，de12e23e3，且dabc，則，分別為_，1，abc(e1e2e3)(e1e2e3)(e1e2e3)()e1()e2()e3.又de12e23e3，解得回顧本節(jié)知識，自我完成以下問題：(1)