第三章 離散時間系統(tǒng)的變換域

1、 2 3 4 5 ( )( )* ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( ) Z y nx nh nY zX z H z Y z H z X z 變換 H(z) 6 0 00 0 ( ) ( )( )( )(3.2) ( ) M r rNM kr r krN k kr k k bz Y z Y za zX zbzH z X z a z n可見，可見，H(z)與與h(n)是一對是一對z變換變換 M r r N k k rnxbknya 00 )()( ( )Z ( )( ) n n H zh nh n z 7 n單位脈沖響應(yīng)單位脈沖響應(yīng)h(n) : ( )( )* ( )y nx nh n

2、 n差分方差分方程程: : M r r N k k rnxbknya 00 )()( ( )Z ( )( ) n n H zh nh n z 8 因果離散時間系統(tǒng)的差分方程因果離散時間系統(tǒng)的差分方程y(n)-3y(n-1)+2y(n- 2)= x(n)+2x(n-1)，求單位脈沖響應(yīng)，求單位脈沖響應(yīng)h(n)。 121 ( ) 3( )2( )( )2( )Y zz Y zz Y zX zz X z 展開為部分分式展開為部分分式 12 122 ( )122 ( ) ( )1 3232 Y zzzz H z X zzzzz 34 12 zz H z zz ( )( 3 4 2 ) ( ) n h

3、nu n h(n)為因果序列。對為因果序列。對H(z)取逆取逆z變換，得變換，得 9 1 1 1 1 (1) ( )(3.4) (1) M r r N k k c z H zA d z 10 n 若有若有d=，則分母多項式中有因子，則分母多項式中有因子(z-)，所，所 對應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)序列形式為對應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)序列形式為 n 若有若有 ，則，則D(z)有因子有因子 ， 所對應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)序列形式為所對應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)序列形式為 ，其，其 中中K，為常數(shù)，與零點的分布有關(guān)。為常數(shù)，與零點的分布有關(guān)。 ( ) n Ka u n j ea 22 2coszaza cos() ( ) n Kan

4、u n 11 12 n 若有若有d=，則分母多項式中有因子，則分母多項式中有因子(z-)， 所對應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)序列形式為所對應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)序列形式為 n 若有若有 ，則所對應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)序列，則所對應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)序列 形式為形式為 ，其中，其中i= 0，1，2，r-1。 ( ) in i K n a u n j ea cos() ( ) in i K n anu n 13 14 n一個因果穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)一個因果穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域必須在某個圓的收斂域必須在某個圓 的外部，該圓經(jīng)過的外部，該圓經(jīng)過H(z)的離原點最遠的極點，而且收斂域的離原點最遠的極點，而且收斂域 必須

5、包含單位圓。必須包含單位圓。 15 1 12 1 1 2 ( ) 31 1 48 z H z zz 1 11 11 1() 22 ( ) 1111 (1)(1)()() 4242 zz z H z zzzz 16 n 如果收斂域是極點如果收斂域是極點-0.5所在的圓的外部區(qū)域，收斂域所在的圓的外部區(qū)域，收斂域 包含包含點，有點，有 ，因此系統(tǒng)是因果的。系統(tǒng)函數(shù)，因此系統(tǒng)是因果的。系統(tǒng)函數(shù) 的收斂域為的收斂域為0.5|z|+ ，而且包含單位圓，所以對應(yīng)系，而且包含單位圓，所以對應(yīng)系 統(tǒng)是穩(wěn)定的。統(tǒng)是穩(wěn)定的。 n 如果收斂域是極點如果收斂域是極點-0.25所在的圓的內(nèi)部區(qū)域，所在的圓的內(nèi)部區(qū)域，

6、有有 ，因此系統(tǒng)是逆因果的，收斂域為，因此系統(tǒng)是逆因果的，收斂域為0|z| 0.25。收斂域不包含單位圓，所以對應(yīng)系統(tǒng)不是穩(wěn)定的。收斂域不包含單位圓，所以對應(yīng)系統(tǒng)不是穩(wěn)定的。 n 如果收斂域是極點如果收斂域是極點-0.25和和-0.5所在的兩個圓之間的環(huán)所在的兩個圓之間的環(huán) 域，即域，即0.25|z|0.5，收斂域不包含，收斂域不包含點，單位圓也沒有點，單位圓也沒有 位于收斂域內(nèi)，所以對應(yīng)系統(tǒng)是非因果且不穩(wěn)定的。位于收斂域內(nèi)，所以對應(yīng)系統(tǒng)是非因果且不穩(wěn)定的。 lim( )1 z H z 0 lim( )0 z H z 17 18 j ()jj ( )( )( )( )ee(e )(3.7) n

7、 kn k y nh nx nh kH j-j (e )( )e(3.8) k k Hh k 19 j -j j 1 e -j 1 (1e) (e )( )|(3.9) (1e) M r r N z k k c HH zA d 20 jjj RI (e )(e )j(e )HHH j jjjarg(e) (e ) |(e )|e H HH j2j2j RI j j I j R |(e )|(e )(e ) (e ) arg(e )=arg (e ) HHH H H H 的幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)的幅度響應(yīng)和相位響應(yīng) 21 00 j-jj-j 0 ( )cos()e eee 22 nn AA x nA

8、n 00 jjj 1( ) (e)e e 2 n A y nH 00 -j-j-j 2( ) (e)ee 2 n A y nH 0000 0 jj-j-jj-j j 0 ( )(e) e e(e) ee 2 (e)| cos() nn A y nHH A Hn 22 n根據(jù)式根據(jù)式(3.9)得知，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)完全由得知，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)完全由H(z)的零、的零、 極點確定。由式極點確定。由式(3.9) 得系統(tǒng)的頻率響應(yīng)得系統(tǒng)的頻率響應(yīng) j jj() 1 j 1 (e) (e)e(3.14) (e) M r NM r N k k c HA d j e k kk BB r j e rr AA 23

9、 r j( ) jj ()jj ( ) 1 j( ) 1 e (e )e|(e )| e(3.15) e k M r N M r N k k A HAH B 11 ( )() ( )( )(3.17) MN rk rk NM j 1 1 |(e )|(3.16) M r r N k k A HA B 24 25 26 27 ( )1 N H zz 1 ( ) 1 N N N z H zz z 28 1 1 ( ) 1 ap za Hz az （3.18） -jj j-j -j-j e1e (e )e 1e1e ap aa H aa （3.19） 12 012 12 12 0 ( ) 1 N N

10、 i NNNi iN apN N i N i i a z za za za Hz a za za z a z (3.21） 111 111 11 ()() ( ) 1(1)(1) kr MM kkr ap ii rkk zezezd Hz d ze ze z （3.20） 29 2 2 24 ( ) 11 24 zz H z zz 2 2 24 ( )4 421 zz H z zz jj 33 1,21,2 131 1j 32e,je 442 cd j 22jj j 22jj e jj jj 24e2e4 (e )44 4214e2e1 e2 4e(5cos2)j3sin 44 4e2 e(5cos2)j3sin z zz H zz j 3sin |(e )| 4,( )2arctan 5cos2 H 30 31 1 01 1 01 ( ) ( )(3.29) ( ) M M N N bb zb zB z H z A zaa za z 32 1 12 21.5 ( ) 10.5 z H z zz 33 34 ,03 ( ) 0, nn x n 其它 1 12 123 2( ) ( )( )( )(20.25) 1 0.750.250.1875( ) zB z Y zH z X zzz zzzA z 12 (