第七章 工具變量、2SLS、GMM

1、第七章 工具變量、2SLS、 GMM OLS OLS 估計成為一致估計量的前提是解釋變量與擾動 項不相關(guān)（即前定變量假設(shè)），否則，無論樣本容 量多大，估計量也不會收斂到參數(shù)真值，這將 難以接受。解決方法之一是本章介紹的工具變量法 pp復(fù)習第三章 34 38 t01tt tttt tttt t t0tt 11 CY YCIXGDP YCIX 1 YIX 11 違背前定變量假設(shè)可以出現(xiàn)在聯(lián)立方程中，比如 ，、 、分別表示、 消費、投資、凈出口。將第一個方程代入第二個 方程，經(jīng)整理可得 ttt01tt YCY OLS 可見與 相關(guān)，因此當單獨對 進行估計時會碰到解釋變量與擾動項相關(guān)的 情況 GDP

2、違背解釋變量外生性假定也可以出現(xiàn)在滯后被解 釋變量作為模型解釋變量的情況。例如，消費不 僅受收入的影響，還要受到前期消費水平的影響； 投資不僅受的影響，也要受前期投資水平的 影響。當存在擾動項序列相關(guān)時，就會造成解釋 變量與擾動項相關(guān)的情況 Instrumental VariableIV一、工具變量法（ ，） t ttt tt w Cov wp0p Cov w0 可以引入工具變量來解決內(nèi)生變量問題。一個有 效的工具變量應(yīng)滿足以下兩個條件： （1）相關(guān)性：工具變量與內(nèi)生解釋變量相關(guān)，即 ， 為內(nèi)生解釋變量 （2）外生性：工具變量與擾動項不相關(guān)，即 ， 二、工具變量法作為一種矩估計 Method

3、of MomentsMM1、矩估計（ ，） 22 2 222 xN E x E xVar xE x 首先以一個例子來說明矩估計方法：假設(shè)隨機變量 ，其中 ，為待估參數(shù)。因為有兩 個待估參數(shù)，故需要使用以下兩個總體矩條件： 一階中心矩： 二階中心矩： 用對應(yīng)的樣本矩來替代總體矩條件可得以下聯(lián)立 方程組，求解后即得到期望與方差的矩估計： n i i=1 n 2 2 n 222i i=1i i=1 n i i=1 nn 2 22 ii i=1i=1 1 xx n 1 xx 1 x n n 1 xx n xxxnx 其中， 為樣本均值，上面推導(dǎo)中用到： xf xE f x OLS 任何隨機向量 的函數(shù)

4、的期望都被稱為 總體矩。事實上，也是一種矩估計。利用解釋 變量與擾動項的正交性，可以得到以下總體矩條件 iiiii iiii 1 iiiiii E x0E xyx0 E x yE x x E x xE x yE x x （假設(shè)可逆） 1 nn 1 MMiiiiOLS i=1i=1 11 x xx yX XX y nn OLS 以樣本矩替代上式中的總體矩，即可得到矩估計： 顯然這就是估計量 2、工具變量法作為一種矩估計 i1i1k-1ik-1kiki ik iki yxxx x Cov x0OLS ， 假設(shè)回歸模型為 假設(shè)只有最后一個解釋變量為內(nèi)生變量，即 ，因此是不一致的。 iki ii 1k

5、-1 wCov xw0 Cov w0 xx 假設(shè)有一個有效工具變量 滿足， （相關(guān)性），以及，（外生性）。由于 ， ，不是內(nèi)生變量，故可以把自己作為自己 的工具變量（因為滿足工具變量的兩個條件） ii1ik-1ik iii ii1ik-1iki1ik-1i xxx x yx zzz zxx w ， ， 記解釋變量向量，則原模型為 記工具變量向量為 。 iii iii gz E gE z0 定義。由于工具向量與擾動項正交，故 為總體矩條件或正交條件 iiiii iiii 11 iiiiii E z0E zyx0 E z yE z x E z xE z yE z x 由此可得 （假定存在） 1 n

6、n 1 IViiii i=1i=1 1n-1n1n-1n 11 z xz yZ XZ y nn Zzz zZzz z 以樣本矩代替上式中的總體矩，即可得到工具變 量估計量： 其中， 即 下面是工具變量法的大樣本性質(zhì)： iiii IV IV r E z xkE z x 定理：若秩條件 成立（方陣滿 秩），則在一定的正則條件下，是 的一致估計 且服從漸近正態(tài)分布 1 IV Z XZ y 證明：抽樣誤差 11 Z XZ XZ XZ 1 nn p1 iiiiZX i=1i=1 11 z xzSg nn 1 iii 0 nn ZXiiii i=1i=1 E z xE g0 11 Sz xgz nn 其中

7、， d 2 iiiii ngN 0S SE g gEz z 與第三章大樣本最小二乘法類似的假定和推導(dǎo)， 可以證明， 其中 IV d1 IVZXIV 11 IViiii 1 ii nSngN 0AVar AVarE z xS E z x E z x 進一步，工具變量估計量漸近服從正態(tài)分布，即 ，其 中漸近方差矩陣 用到為對稱矩陣 iii i r E z xkw x 秩條件 意味著工具變量與內(nèi)生解釋 變量 相關(guān)，若不相關(guān)，則秩條件無法滿足。證略 i zk 1 2 3 階條件： 中至少包含 個變量 根據(jù)是否滿足階條件可分為三種情況： 不可識別：工具變量個數(shù)少于內(nèi)生解釋變量個數(shù) 恰好識別：工具變量個數(shù)

8、等于內(nèi)生解釋變量個數(shù) 過度識別：工具變量個數(shù)多于內(nèi)生解釋變量個數(shù) 1 IV Z XZ X 以上介紹的工具變量法僅適用于恰好識別的情況。 在過度識別的情況下，不是方陣，不存在 無法得到工具變量估計量。 若扔掉多余的工具變量將會浪費有用的信息，有效 的方法是二階段最小二乘法 三、二階段最小二乘法 k SLS 顯然，多個工具變量的線性組合仍然是工具變量 因為仍滿足工具變量的兩個條件（相關(guān)性與外生性） 如果生成工具變量的 個線性組合，則又回到恰好 識別的情形。那么什么樣的線性組合才是最有效率 的呢？可以證明在球形擾動項的假設(shè)下，由二階段 最小二乘法（2）所提供的工具變量線性組合是 所有線性組合中最漸近

9、有效的。這個結(jié)論類似于小 樣本理論中的高斯馬爾可夫定理。 1k 1L i1ini n 1 ii 1122kk i 1 xxL zzOLS xxxi1k ixx xPxxPxxPx xZ yXyPyyX PZ Z ZZZ 第一階段：將每個解釋變量 ， ，分別對所有 個 工具變量， ，作回歸，其中 ， ， ， （注意，不同于第二章 對第 個觀測數(shù)據(jù) 的定義）。相當于將 視作被解釋 變量。得到擬合值 ， ， 即 到 上的投影 （相當于 對 求回歸擬合值 ，即 到 上的投影） 其中，為 的投影矩陣。寫成矩陣形 12k12k 1 Xx x xP x xxPX ZZ ZZ X 式 1L 11 IV 2 I

10、V Xzz Xk XyX X XX yX XX y X XPXPXX P PXX P X PXXX XP PPPPyX 第二階段：由于 是， ，的線性組合（參見 第一階段回歸），故 恰好包含 個工具變量。使用 為工具變量對原模型 進行工具變量法估 計： 后一個等號 能成立是由于 ，其中，投影矩陣 為對稱冪等矩陣 即 ， 。因此，可以將視為把 對 進行 OLS回歸而得到，故名“二階段最小二乘法” 22SLS 2SLS eyX eyX 注意，第二階段回歸所得到的殘差為 而原方程的殘差卻是（這是正確的） IV IV 1 22 IV OLS e e VarsX Xs n-k 由于的表達式在形式上完全類

11、似于估計量 故在條件同方差的假設(shè)下，的協(xié)方差矩陣估計量 為，其中， n 11 2 IViii i=1 VarX Xe x xX X 在存在異方差的情況下，則應(yīng)使用穩(wěn)健的協(xié)方差矩 陣估計量，即 11 IV 1 2SLS 1 11 XZ Z ZZ XPZ Z ZZ 2SLS X PXX Py X Z Z ZZ XX Z Z ZZ y 將 （或?qū)ⅲ┐氲?公式，可得的最終表達式： 四、有關(guān)工具變量的檢驗 在使用工具變量法時，必須對工具變量的有效性 進行檢驗。如果工具變量非有效，則可能導(dǎo)致估 計不一致，或估計量的方差過大。 1、檢驗工具變量與解釋變量的相關(guān)性 ii 1 ii IV 11 iiii zx

12、 E z x zxE z x AVar E z xS E z x zx 如果工具變量 與內(nèi)生解釋變量 完全不相關(guān)，則 無法使用工具變量法，因為不可逆。如果 與 僅僅微弱相關(guān)，則可認為很大，導(dǎo) 致工具變量法估計量的漸近方差 非常之大。直觀上看，由 于 中僅包含很少與 有關(guān)的信息，利用這部分信息 進行的工具變量法估計就不準確，即使樣本容量很 大也很難收斂到真實的參數(shù)值。這種工具變量 IV 稱為 弱工具變量，將使的小樣本性質(zhì)變得很差，且基 于大樣本理論的統(tǒng)計推斷失效 判斷弱工具變量的方法主要有兩種。 2 112221 12 2 OLS2 2122 221 R yxxxx x z z2SLS xxzR

13、x zxx 方法之一為使用“偏”。假設(shè)回歸模型為 ，其中只有為內(nèi)生解釋變量， 為外生解釋變量向量。記工具變量為，其中 為方程外的工具變量。在的第一階段回歸中 ， ，其包含了內(nèi)生變量與工具變 量 相關(guān)性的信息，但也可能由于與 的相關(guān)性造 成。 22 1 2 p xRpartial R R 為此，應(yīng)該使用濾去 影響的“偏”（ ） 記為 2 2 22 21 OLS 21x21 OLS 2121 z21 OLS xz 2 p2 xx xxexx zxzx ezx ee Rz 具體操作步驟如下：首先作對 回歸， ，記其殘差為，代表中不能由 解 釋的部分；其次，作對 回歸，記 其殘差為，代表 中不能由 解

14、釋的部分；最后 對兩個殘差進行回歸，即，所得的判 定系數(shù)即，若其較小即可認為 是弱工具變量 21 122 02 xxzerror H0 判斷弱工具變量的另一個方法是，在第一階段回 歸中， ，檢驗原假設(shè) ： F10 F 一個經(jīng)驗規(guī)則是，如果此檢驗的 統(tǒng)計量大于， 則可拒絕“存在弱工具變量”的原假設(shè)，從而不必 擔心弱工具變量問題。在多個內(nèi)生解釋變量的情況 下，將有多個如此的第一階段回歸和 統(tǒng)計量 解決弱工具變量問題的方法是尋找更強的工具變 量或若有較多工具變量，可舍棄弱工具變量 2、檢驗工具變量的外生性 在恰好識別的情況下，目前公認無法檢驗工具變量 是否與擾動項相關(guān)。在這種情況下，只能進行定性 討

15、論或參考專家的意見。 0 H 在過度識別的情況下，則可進行過度識別檢驗，即 檢驗原假設(shè)“：所有工具變量都是外生的”。如 果拒絕該原假設(shè)，則認為至少某個工具變量不是外 生的，與擾動項相關(guān)。 1k-r k-r1k 1m k-rxx rxx mzzmr 假設(shè)前個解釋變量， ，為外生解釋變量 而后 個解釋變量， ，為內(nèi)生解釋變量。假 設(shè)共有 個方程外的工具變量， ，其中 i,IV1i1k-ri,k-r1 i1mimi exxzzerror 把工具變量法的殘差對所有外生變量（即所有外生 解釋變量與工具變量）進行以下輔助回歸： i,IV 1m 01m 2 d22 e zz H RSargan nRm-r

16、將工具變量法的殘差視為對擾動項的估計，則 “擾動項 與工具變量， ，無關(guān)”的原假設(shè)可 以寫為“： 0”。記此輔助回歸的可 決系數(shù)為，則統(tǒng)計量為 2 m-r00顯然，若恰好識別，則 ，無定義，故 無法使用此檢驗 3、對解釋變量內(nèi)生性的檢驗 使用工具變量法的前提是存在內(nèi)生解釋變量，這也 需要檢驗。如果找到有效的工具變量，則可以借助 工具變量來檢驗解釋變量的內(nèi)生性 OLS OLSBLUE 假設(shè)存在方程外的工具變量。若所有解釋變量都是 外生變量，則比工具變量法更有效，因為此時 如果滿足球型擾動項的假定，則是 OLS 在這種情況下使用工具變量法，雖然估計量仍然是 一致的，但反而會增大估計量的方差。反之，

17、若存 在內(nèi)生解釋變量，則是不一致的，而工具變量 法是一致的。 0 0 IVOLS IVOLS 0 IVOLS H HOLS vector of contrast H OLS 0 解釋變量內(nèi)生性的檢驗使用的是“豪斯曼檢驗” 其原假設(shè)為“：所有解釋變量均為外生變量” 如果成立，則與工具變量法都是一致的 即在大樣本下與均收斂于真實的參數(shù)值 因此，（“對比向量” ） 依概率收斂于0。反之，如果不成立，則工具變 量法一致而不一致，故不會收斂于 。豪斯曼檢驗正是基于這一思想進行的 IVOLS 如果很大，則傾向于拒絕原假設(shè) d2 IVOLSIVOLS IVOLS 1 Dr DVarDD DD DD DDD

18、DDDDD D DDD D DDr 根據(jù)沃爾德檢驗原理，以二次型來度量此距離可得 其中，而是 的廣義逆矩陣 （注： 的廣義逆矩陣需要滿足四個條件： ，為對稱矩陣， 為對稱矩陣）。因為 不一定可逆，但如果 正定，則可逆。當 可逆時，廣義逆矩陣就是一般 的逆矩陣，即。 為內(nèi)生解釋變量的個數(shù) （不包括外生解釋變量） IVOLSIVOLS IVOLS 0 IVOLSOLS IVOLSIVOLS IVOLSIVOLS VarVarVar 2Cov H CovVar VarVarVar DVarVarVar 容易證明： ， 在成立的情況下，可以證明 ， 故 于是 OLS 如果拒絕原假設(shè)，則認為存在內(nèi)生解釋

19、變量，應(yīng)該 使用工具變量法；反之，如果接受原假設(shè)，則認為 不存在內(nèi)生解釋變量，應(yīng)該使用 注意，傳統(tǒng)的豪斯曼檢驗不適用于異方差的情況 解決方法是使用“杜賓吳豪斯曼檢驗”，該 檢驗在異方差的情況下也適用，更為穩(wěn)健。 11222 1 122 yxxx x zx zz 首先考慮只有一個內(nèi)生解釋變量的情況。假設(shè)回歸 模型為， ，其中為唯一的內(nèi)生解 釋變量， 為外生解釋變量向量。記工具變量向量 為，其中 為方程外的工具變量。 2 2 0 22 SLSxzv z E xEzvE zE vE v xE x0E v0 考慮2的第一階段回歸，即 。由于工 具變量 與 不相關(guān)，故 故有“為內(nèi)生變量” “” “” 1

20、122 v vv v yxxv 故只需要檢驗第一階段回歸的擾動項 是否與原模 型的擾動項 相關(guān)即可。因此，考慮以下回歸模型 ，其中 為 對 的回歸系數(shù)（沒有常 數(shù)項，因為擾動項的期望值為0）。如果 與 不相 關(guān)，則 0。將上式代入原模型可得 1122 0 0 vv v yxxverror Ht H t 由于 不可觀測，故使用第一階段回歸的殘差 來代 替 ，進行以下輔助回歸 然后對原假設(shè) ： 0 進行 檢驗。如果拒絕 ： 0，則認為存在內(nèi)生解釋變量；否則認為所 有解釋變量均為外生?？紤]到可能存在異方差則需 要在作 檢驗時使用穩(wěn)健標準差 1122 12 yxx xx 如果存在多個內(nèi)生解釋變量，即

21、其中 、均為向量 2 1122 xv yxxverror v 則在第一階段回歸中可以得到與內(nèi)生解釋變量向量 相對應(yīng)的多個殘差 ，進行以下輔助回歸 其中 、 為向量 0 HF然后對原假設(shè) ： 0 進行 檢驗即可。同樣地 如果擔心存在異方差，則可在檢驗時使用穩(wěn)健標準差 GMM五、的假定 SLS Generalized Method of MomentsGMM 在球型擾動項的假定下，2是最有效的。但如果 擾動項存在異方差或自相關(guān)，則存在更有效的方法 即“廣義矩估計”（ ，） GMMSLSGLSOLS在某種意義上，之于2，正如之于 GMM OLS 首先引入以下關(guān)于的假定（類似于第三章大 樣本的系列假定

22、） iii ii1i2ik yxi1n xx x xi 假定7.1：線性假定 ， ， 其中，為第 個觀測數(shù)據(jù) iii iiii 7.2 Lzxw yxzw 假定： 漸近獨立的平穩(wěn)過程 記 維工具變量為（可能與 有重疊部分），由 ， ，中不重復(fù)的變量構(gòu)成，隨機過程為 漸近獨立的平穩(wěn)過程 i iiii iii z Lgzg E gE z0 假定7.3：工具變量的正交性 所有工具變量 均為前定，即與同期擾動項正交。 定義 維列向量（與第三章中的 的定義不同） 則 iiii ZXii 7.4 L kE z xr E z xk E z x 假定： 秩條件 矩陣列滿秩，即 記 i 2 iiiii 7.5g

23、 SE g gEz z 假定： 為鞅差分序列，其協(xié)方差矩陣 為非退化矩陣 2 ikij Ex z ijk 假定7.6： 四階矩存在且有限， ， ， GMM六、的推導(dǎo) iii n niii i=1 E gE z0 1 gzyx0 n 與總體矩條件 相對應(yīng)的樣本矩條 件為： i IV k LzLk如果，為過度識別，則 無解。（通過舉例來理 解這三者的關(guān)系：過一個點可有無窮條直線，過兩 個點決定一條直線；過三個點或很多點既不能確定 一條直線又可以確定一條直線） n nn g 0gg weighting matrixW 此時傳統(tǒng)的矩估計法行不通?？捎媒y(tǒng)計歸納法即 類似于最小二乘法的思想去尋找 ，使得向

24、量 盡可能地接近 ，比如，使二次型 最小。更一般地，可以用一個權(quán)重矩陣 （ ）來構(gòu)成二次型 n nn GMM WL L plimWWW W minJWn gW g n GMM WargminJW 假設(shè)一個依賴于樣本數(shù)據(jù)的隨機矩陣是一個 階對稱正定矩陣，而且，其中為非隨 機的對稱正定矩陣。的確定在下一節(jié)介紹。 定義最小化的目標函數(shù)為 ， 其中，因子 只是為了統(tǒng)計量計算方便而加上的， 不影響最小化。定義“估計量”為此二次型 最小化問題的解：， arg之意是返回一個使方框內(nèi)的函數(shù)最小化的 的值 GMMi GMM GMMW Wg GMMGLS 顯然估計量取決于權(quán)重矩陣，可以通過最優(yōu) 地選擇使得最有效。

25、可以讓方差較小的 獲得 較大的權(quán)重而使的方差最小。因此，在某種意 義上，與有相通之處。 nii n gz e zegJW OLS 由的定義可知，它實際上是的樣本平均數(shù) 。由定義可知是 的一次函數(shù)，故， 是 的二次（型）函數(shù)，通過向量微分可以得到其最 小化問題的解（推導(dǎo)方法類似于估計量） （練習） nn ZXiiZyii i=1i=1 nn n n p A Ap8 11 Sz xSz y nn n gW g JW g 2nW g 推導(dǎo)過程：需用到第二章 7之（2.6）的推廣，即 ，以及之（2.7） 令， ， n n n n ZyZX n ZXZyZXZXZXZXZy 1 GMMZXZXZXZy

26、g g g 2nW g SS 2nW g 2nSW SS0SWSSWS WSWSSWS 由于對二次型求導(dǎo)的結(jié)果是個列向量，而是 列向量，將是個矩陣，故上式應(yīng)為 ii 1 ZXZX r E z xkW SWS 秩條件 及為正定矩陣保證了在大 樣本下的存在。 ZX 1 111 GMMZXZXZXZyZXZyIV SGMM WSWSSWSS S 在恰好識別的情況下，為方陣，則還原為 普通的工具變量法，因為 GMM七、的大樣本性質(zhì) GMMOLS的大樣本性質(zhì)的證明思路與第三章的大 樣本性質(zhì)的類似。 GMM GMM n GMMi i d GMMGMM 11 GMMZXZXZXZXZXZX GMM 17.1

27、 7.4 plimW 27.3E g g nN 0AVar AVarWWSWW 定理估計量的大樣本性質(zhì) ： 為一致估計 在假定之下， 為漸近正態(tài) 如果假定 （即0）強 化為假定7.5（即為鞅差分序列），則有 ，其中漸近 協(xié)方差矩陣 2 iiiiiZXii SE g gEz zE z x， GMM GMM 11 GMMZXZXZXZXZXZX 3AVarSS AVar AVarSWSSWSWSSWS 的一致估計量 若 是 的一致估計 量，則在假定7.2下的一致估計量為 n 1 GMMZXZXZXii i=1 n 1 ZXZXZXiii i=1 1 1 WSWSSWz y n 1 SWSSWzx

28、n 證明： 抽樣誤差可以寫為 n 1 ZXZXZXZXii i=1 n 1 ZXZXZXiiii i=1 1 SWSSW Sz n 1 SWSSWg gggz n 其中， 1 1 p ZXZXZXZX pp ZXZXiii p GMM ii SWSW SWWgE gE z0 W0GMM E z0 由于 ，而 因此，。可見，保證一 致性的最重要條件是 ，即工具變量與 擾動項正交。 1 GMMZXZXZX 1 GMMZXZXZX d2 iiiii 2WSWSSWg nWSWSSWng 7.5 ngN 0SSE g gEz z 由于抽樣誤差 故 根據(jù)假定及鞅差分序列的中心極限定理， ，其中 GMM

29、d GMMGMM 1 1 p ZXZXZXZX p ZXZX nWng nWN 0AVar SWSW SWW 由于是的線性組合，故 ，。 由于以及 ， GMM 11 ZXZXZXZXZXZX 1 ZXZX AVar WWSWW W 故有 ， 其中為對稱矩陣。 ppp ZXZX GMM 11 ZXZXZXZXZXZXGMM 3SSSWW AVar SWSSWSWSSWSAVar 由于，而且， 故估計量 是 的一致估計量，也是一個“三明治”估計量 n 22 iiii i=1 n 222 iiii i=1 2 iiiii 7.1 7.27.6 1 eyxse n 1 ESe z z n SE g g

30、Ez z 定理：在假定、 與假定下，對于 的任何一 致估計量 ，定義殘差，則是 的一致估計，而且是 的一致估計 GMM 1 AVar optimal weighting matrixWS 定理：使最小化的最優(yōu)權(quán)重矩陣 （ ）為 1 GMM S 這意味著，使用任何其他權(quán)重矩陣進行估計 其估計量的漸近方差矩陣都將大于或等于使用 為權(quán)重的漸近方差矩陣，即前者與后者之差為半 正定矩陣 1 SGMM GMMGMM 定義：使用為權(quán)重矩陣的估計量被稱為 “效率”或“最優(yōu)” 1 n 2 iii i=1 SS 2SLS2SLS 1 Se z z n GMM 為了使用最優(yōu)權(quán)重矩陣，首先必須估計 。由于 也是一致的

31、，故用的殘差來計算 也是一致的。因此可以進行以下 “兩步最優(yōu)估計” n 2 iii i=1 11 GMM 1 2SLSSe z z n JSS 第一步：使用，得到殘差，計算 第二步：最小化，得到 1 GMM iterative GMM SS 在實際操作中，常使用迭代法（ ） 直至估計值收斂，即用第二步所獲的殘差再來計 算 ，然后再求，依此迭代。 GMM GMM 2SLS 在條件同方差的假定下，最優(yōu)的表達式可 以大大簡化 定理：在條件同方差的情況下，最優(yōu)就是 i i ii 22 ii 22 iiiziiii 222 ziiiiiiZZ ZZ 1 12 ZZ zx Ez0 SE z zE E z

32、zz Ez z EzE z zSs S 1 SSZ Z n Ss SGMM 證明：這里的條件同方差是指，在給定工具變量 而非解釋變量 情況下的條件方差相同 假設(shè)（條件同方差），則根據(jù)迭代 期望定律， 。因此是 的一致估計量，其中，。使用 為最優(yōu)權(quán)重矩陣，則最優(yōu)估計 量為 1 11 122 GMMZXZZZXZXZZZy 1 11 ZXZZZXZXZZZy 2 GMM SSs SSSs SS S S SS S S s 上式中 被消去了，即最優(yōu)權(quán)重矩陣的常數(shù)倍并不 影響的取值。 ZXZZZy 1 1 1 GMM 1 111 2SLS 111 SZ XSZ ZSZ y nnn 111 SX Z n

33、Z ZZ XX Z nnn 1 n Z ZZ yX Z Z ZZ XX Z Z ZZ y n 由于，故 1 11 ZZ GMM GMM S SS2SLSGMM 可見，在條件同方差下，兩步最優(yōu)可以省略 為一步。這是因為，兩步最優(yōu)中第一步的目 的只是得到，而在條件同方差下，可以直接令 。因此有時也被稱為“一步” 1 GMM GMM NeweyWest GMM S 在存在異方差的情況下，依然是穩(wěn)健與最優(yōu) 的。在時間序列數(shù)據(jù)中，即使存在自相關(guān)，也仍然 可以使用，只要采用異方差穩(wěn)健的標準差 （標準差）來進行統(tǒng)計推斷即可。此時 估計量依然滿足一致性、漸近正態(tài)性、漸近 有效性，只是最優(yōu)權(quán)重矩陣的表達式不同。

34、 八、如何獲得工具變量 使用工具變量法的前提是存在有效的工具變量。但 是工具變量的兩個要求（相關(guān)性與外生性）常常自 相矛盾，即與內(nèi)生解釋變量相關(guān)的變量往往與被解 釋變量的擾動項也相關(guān)。故在實踐中，尋找合適的 工具變量通常比較困難，需要一定的創(chuàng)造性與想象 力。 1x 2 尋找工具變量的步驟大致可以分為兩步： 列出與內(nèi)生解釋變量 相關(guān)的盡可能多的變量清單 從這一清單中剔除與擾動項相關(guān)的變量（這一步 較難） z y zyzxz zyx zzyx zy x 如何判斷候選工具變量 是否與不可觀測的擾動項 相關(guān)呢？由于擾動項是被解釋變量 的擾動項，故 可以從該候選變量與被解釋變量的相關(guān)性著手。顯 然 與 相關(guān)，因為 與內(nèi)生解釋變量 相關(guān)。若 與 不相關(guān)，則 對 的影響僅僅通過 來起作用，因為如 果 與 相關(guān)