第十章 動量定理

1、10-1 10-1 動量和沖量動量和沖量 10-2 10-2 動量定理動量定理 10-3 10-3 質心運動定理質心運動定理 動量 動量矩 動能 沖量 力矩 功 為什么射擊時有后坐力？ 一、動量一、動量 1.1.質點的動量：質點的動量：mv 動量是度量物體機械運動強弱程度的一個物理量。 例例：槍彈：速度大，質量??； 船：速度小，質量大。 iiC ii C rmrM M rm r 或 則設,kzjyixr cccc M zm z M ym y M xm x ii C ii C ii C , , 2.2.質點系的動量：質點系的動量： d d d () d d () d ii i i i i c C

2、 Pm r m t m r t mr t m xCxC yCyC zCzC Pmvmx Pmvmy Pmvmz C 或者 將公式將公式對時間求導，有對時間求導，有)( iiC rmrM cii Pmvmv iCi Pmv xi CixiCi yi CiyiCi zi CiziCi Pmvm x Pmvm y Pmvm z 3.剛體系統(tǒng)的動量剛體系統(tǒng)的動量： C C v 已知已知:圓盤質量為圓盤質量為M,半徑為半徑為r,圖示瞬時三種情圖示瞬時三種情 況下圓盤的況下圓盤的 ，求各自的動量。，求各自的動量。P245 C C rMMvp C 0p vC rMMvp C 例題.質量為M 的滑塊A 在滑

3、道內滑動,其上鉸結一質量為m 長度為 l的均質桿AB,當AB 桿 與鉛垂線的夾角為 時,滑塊A 的速度為v, 桿AB的角速度為, 求該瞬時系統(tǒng)的動量. A B C v 解:取系統(tǒng)為研究對象. PAx = M v PAy = 0 設 桿AB質心 C 的速度為vC 由 vc = ve + vr cos 2 1 lvvcxsin 2 1 lvcy cos 2 1 lmmvPABxsin 2 1 lmPABy cos 2 1 lmvmMP x sin 2 1 lmPy A B C v vc vcx vcy ABA PPP ve = vlvr 2 1 例題. 水平面上放一均質三 棱柱 A,在此三棱柱上又

4、放一 均質三棱柱B. 兩三棱柱的橫 截面都是直角三角形,且質量 分別為M和m.設各接觸面都 是光滑的,在圖示瞬時, 三棱 柱A的速度為v, 三棱柱B相對 于A的速度為u, 求該瞬時系 統(tǒng)的動量. A B A B 解:取系統(tǒng)為研究對象 v u PAx = - M vP Ay = 0 P Bx = - m v + m u cos P By = - m u sin Px = - (M + m) v + m u cos Py = - m u sin BA PPP 2力是變矢量：（包括大小和方向的變化） 元沖量元沖量： 沖量沖量： F 21 ()IF tt dIFdt 2 1 t t IFdt 1力是常

5、矢量：F 二沖量二沖量 3合力的沖量合力的沖量： 22 11 2 1 tt tt t i t IRdtFdt F dtI 注意注意：力的沖量是矢量，計算沖量要考慮方向性。：力的沖量是矢量，計算沖量要考慮方向性。 沖量是過程量。沖量是過程量。 一質點的動量定理一質點的動量定理 Fvm dt d F dt vd mam)( ()d mvFdtdI 2 1 21 t t mvmvF dtI 微分形式微分形式： 積分形式積分形式： 即質點動量的增量等于作用于質點上的力的元沖量即質點動量的增量等于作用于質點上的力的元沖量. 即在某一時間間隔內即在某一時間間隔內,質點動量的變化等于作用于質質點動量的變化等

6、于作用于質 點的力在此段時間內的沖量點的力在此段時間內的沖量. 1 t 2 t 1 v 2 v 在在 內內, 速度由速度由 , 有有 投影形式：投影形式： xx Fmv dt d )( yy Fmv dt d )( zz Fmv dt d )( 2 1 21 t xxxx t mvmvIF dt 2 1 21 t yyyy t mvmvIF dt 2 1 21 t zzzz t mvmvIF dt 質點的動量守恒質點的動量守恒 若，則常矢量, 若，則常量. 0F 0 x F vm x mv ?；?0)( 0)( ; 0 )()()(i ix i iO i i FmFmF 二質點系的動量定理二質

7、點系的動量定理 ()e i d P F dt ( )e i F ( ) i i F 外力外力: , 內力內力: ( )( ) d()dd ei i iii mvFtFt 質點質點: ( )( ) d()dd ei i iii mvFtFt 質點系質點系: 1.質點系動量定理的微分形式質點系動量定理的微分形式: ( )( ) ddd ee ii pFtI 即質點系動量的增量等于作用于質點系的外力元沖量即質點系動量的增量等于作用于質點系的外力元沖量 的矢量和的矢量和; ;或質點系動量對時間的導數等于作用于質點或質點系動量對時間的導數等于作用于質點 系的外力的矢量和系的外力的矢量和. . )( d

8、d e x x F t p )( d d e y y F t p )( d d e z z F t p 動量定理微分形式的投影式動量定理微分形式的投影式 ( ) d d e i p F t 或或 2.質點系動量定理的積分形式質點系動量定理的積分形式 即在某一時間間隔內即在某一時間間隔內,質點系動量的改變量等于在這段時間質點系動量的改變量等于在這段時間 內作用于質點系外力沖量的矢量和內作用于質點系外力沖量的矢量和. 動量定理積分形式的投影式動量定理積分形式的投影式 )( 12 e xxx Ipp )( 12 e yyy Ipp )( 12 e zzz Ipp ( ) 21 1 n e i i p

9、pI 1 t 2 t 1 p 2 p 在在 內內, 動量動量 有有 3 3質點系動量守恒定律質點系動量守恒定律 若若 = 0, 則則 = 恒矢量恒矢量p x p 若若 , 則則 = 恒量恒量0 )( e x x F t p d d ( ) d d e i p F t 小兔子向前走時，船會怎么樣？ 動量守恒定律 利用動量守恒原理，火箭 的運動 例例 質量為M的大三角形柱體, 放于光滑水平面上, 斜面上另放 一質量為m的小三角形柱體,求小三角形柱體滑到底時,大三角形 柱體的位移。 0)( ax mvvM 解解：選選兩物體組成的系統(tǒng)為研究對象。研究對象。 受力分析受力分析， , 0 )(e x F

10、x P 水平方向常量。 由水平方向動量守恒及初始靜止由水平方向動量守恒及初始靜止；則 0)()(vvmvM rx )( ba mM m S mM m S rx r v ra vvv v設大三角塊速度 ， 小三角塊相對大三角塊速度為 ， 則小三角塊 運動分析運動分析， m mM S S m mM v v rxrx 例題 小車重P1= 2kN, 車上有一人，重P2=0.7kN,車與人 以共同速度V0在光滑直線軌道上勻速行駛.如人以相對 于車的水平速度u向左方跳出,如圖示。求小車增加的速 度。 u V0 解解: 取小車、取小車、 和人組成的系統(tǒng)為研究對象，和人組成的系統(tǒng)為研究對象， 畫出受力圖。畫出

11、受力圖。 N1N2 P1u V0 P2 即：Px = P x0 0 x y 因為 0 e ix F 所以 Px = c (恒量) 根據質點系的動量定理： Px = P x0 N1N2 P1u V0 P2 0212211x0 )(P vmmvmvmvm xxixi xxixi vmvmvm 2211x P 根據質點系動量守恒定律：Px = P x0 得，得， 021 )(vmm )( 1211 uvmvm 解得： 21 2 01 mm um vv sm PP uP mm um vvv /52. 0 21 2 21 2 01 0 x y )( 1211 uvmvm V1 例題例題 重為G3的直角三

12、棱體置于光滑地面上， 其一傾角為；重量 分別為G1、G2的物塊A、B，用一跨過滑輪C的繩相接，放在三棱體 的斜面上。不計滑輪、繩的質量及繩的伸長，且開始時都處于靜止。 試求當物塊B相對于三棱體以速度u運動時，三棱體的速度。 A B u C A B u C 解解: 取小車取小車, 和人組成的系統(tǒng)為研究對象，和人組成的系統(tǒng)為研究對象， 畫出受力圖。畫出受力圖。 N G1 G2 即：Px = P x0 =0 0 x y 因為 0 e ix F 所以 Px = c (恒量) 根據質點系的動量定理： G3 v xxixi vmvmvm 2211x P vm vumvum 3 21 )sin()cos(

13、0 解得: )GG)/(GsinGcos( 32121 Guv 將 代入到質點系動量定理，得 C MP )( )( d d d d e iC Fvm tt P 若質點系質量不變， 則 或 )(e iC Fam )(e iC Frm 1. 投影形式：投影形式： 。 , , )()()(e izCCz e iyCCy e ixCCx FzmmaFymmaFxMma 。 0 , , )()( 2 )(e ib e in C Cn e iC FF v MmaF dt dv mma )(e ixCiiCixi Fxmam )(e iyCiiCiyi Fymam )(e izCiiCizi Fzmam 2

14、. 剛體系統(tǒng)：剛體系統(tǒng)：設第 i 個剛體 mi，vCi，則有 或 )(e iCii Fam )(e iCii Frm )(e iC Fam )(e iC Frm C 思考題：思考題： 圖示矩形板開始靜止，手受一微小干擾倒地，圖示矩形板開始靜止，手受一微小干擾倒地， 問：倒地過程，矩形板作何運動？其質心作何運動？問：倒地過程，矩形板作何運動？其質心作何運動？ 例題水平面上放一均質三棱柱A, 在此三棱柱上又放一均質三棱柱 B 兩三棱柱的橫截面都是直角三角 形,且質量分別為M 和m,設各接觸 面都是光滑的,求當三棱柱B 從圖 示位置沿 A 由靜止滑下至水平面 時,三棱柱A 所移動的距離s. A B

15、b a 主矢的水平分量為零,水平 方向的動量守恒. Px = Pxo = 0 設系統(tǒng)初終位置時質心的x 坐標 分別為xc0 和xc1則有 xco = xc1 = c mM Mxmx x Mm c 00 0 mM sxMsbaxm x Mm c 00 1 mM bam s 解:取系統(tǒng)為研究對象. A B b a 解解: 取整個電動機作為質點系研究， 分析受力， 受力圖如圖示 運動分析：定子質心加速度a1=0， 轉子質心O2的加速度a2=e2， 方向指向O1。 例例 P247/253 電動機的外殼固定在水平基礎上，定子的質量為m1, 轉子質量為m2 , 轉子的軸通過定子的質心O1, 但由于制造誤差

16、, 轉 子的質心O2到O1的距離為e 。求轉子以角速度 作勻速轉動時， 基礎作用在電動機底座上的約束反力。 teatea yx sin , cos 22 22 根據質心運動定理，有 xx e ixCixi NtemamFamcos , 2 222 )( gmgmNtemamFam yy e iyCiyi21 2 222 )( sin , temgmgmNtemN yx sin ,cos 2 221 2 2 可見，由于偏心引起的動反力是隨時間而變化的周期函數。 a1=0，a2=e2 321 332211 321 332211 mmm xmxmxm mmm xmxmxm 解：解：取起重船，起重桿和

17、重物組成的質點系為研究對象。 0 ii xP 例例 P256 浮動起重船, 船的重量為P1=200kN, 起重桿的重量為 P2=10kN, 長l=8m，起吊物體的重量為P3=20kN 。 設開始起吊 時整個系統(tǒng)處于靜止，起重桿OA與鉛直位置的夾角為1=60, 水的阻力不計, 求起重桿OA與鉛直位置成角2 =30時船的位移。 受力分析如圖示，且初始 時系統(tǒng)靜止，所以系統(tǒng)質心的位置坐標 XC保持不變。 0 )(e x F 0 ii xm 船的位移x，桿的位移 , 2/)sin(sin 2112 lxx 重物的位移 lxx)sin(sin 2113 0/ )sin(sin2/)sin(sin 211

18、3211211 lxPlxPxP )sin(sin )(2 2 21 321 32 1 l PPP PP x )30sin60(sin8 )2010200(2 20210 m 318. 0 計算結果為負值，表明計算結果為負值，表明 船的位移水平向左。船的位移水平向左。 0 ii xP 0 ii xm 例題例題 小車重小車重P1= 2kN， 車上有一人，重車上有一人，重P2=0.7kN，開，開 始時車與人均處于靜止。如人在車上由始時車與人均處于靜止。如人在車上由A朝朝B走過距離走過距離 AB=L，求小車水平移動的距離，求小車水平移動的距離b。 （不計車與軌道之（不計車與軌道之 間的摩擦）間的摩擦

19、） AB AB 解解: 取小車，取小車， 和人組成的系統(tǒng)為研究對象，畫出受力圖。和人組成的系統(tǒng)為研究對象，畫出受力圖。 N1N2 P1 P2 所以Xc = c (恒量)，即：質心在該軸上的位置不變。 開始時系統(tǒng)靜止，即： 0 dt dx v c cx 0 x y 因為則acx =0, vcx = c (恒量) 0 e ix F 根據質心運動守恒定律： Xc = c (恒量) A B 0 x y P1 C X1 XC0 X2 y 21 2211 0 mm xmxm X C 21 2211 mm xmxm xC 0 A B x C X/C b L P1 b 21 2211 21 2211 )()(

20、 mm lbxmbxm mm xmxm X C bxx 11 blxx 22 X/1 X/2 21 2211 0 mm xmxm X C 21 2211 21 2211 )()( mm lbxmbxm mm xmxm X C 因為因為Xc = c (恒量恒量)，所以，所以X/c= X c0 21 2211 mm xmxm 即： 21 2211 )()( mm lbxmbxm 將上式化簡得：將上式化簡得： m PP lP mm lm b52. 0 21 2 21 2 O C A C a n C a G FOx FOy 例：桿重例：桿重G，長為，長為L，已知圖示瞬時的，已知圖示瞬時的 、 ，求求

21、該瞬時該瞬時O點的約束反力。點的約束反力。 解：解： 求反力，必用質心運動定理求反力，必用質心運動定理 FaM C x Cx FMa 2 L a 2n C 2 L aC Ox 2 F 2 L g G g2 GL F 2 Ox 解：解： 求反力，必用質心運動定理求反力，必用質心運動定理 FaM C y Cy FMa 2 L a 2n C 2 L aC 2 L g G g2 GL GFOy GFOy O C A C a n C a G FOx FOy 例：桿重例：桿重G，長為，長為L，已知圖示瞬時的，已知圖示瞬時的 、 ，求求 該瞬時該瞬時O點的約束反力。點的約束反力。 C C a n C a G FOx FOy 例：盤重例：盤重G，半徑為，半徑為R，已知圖示瞬時的，已知圖示瞬時的 、 、 ， 求該瞬時求該瞬時O點的約束反力。點的約束反力。 解：解： 求反力，必用質心運動定理求反力，必用質心運動定理 FaM C x Cx FMa Ra 2n C RaC sinGFR g G Ox 2 g2 GL F 2