高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)課件三角函數(shù)誘導(dǎo)公式

1、4.2 4.2 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式 要點(diǎn)梳理要點(diǎn)梳理 1.1.下列各角的終邊與角下列各角的終邊與角 的終邊的關(guān)系的終邊的關(guān)系 )( 2 Z k k 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 x x軸對(duì)稱軸對(duì)稱 基礎(chǔ)知識(shí)基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí) 2 2 關(guān)于關(guān)于y y軸軸 對(duì)稱對(duì)稱 關(guān)于直線關(guān)于直線y y= =x x 對(duì)稱對(duì)稱 2.2.六組誘導(dǎo)公式六組誘導(dǎo)公式 六組誘導(dǎo)公式的記憶口訣為六組誘導(dǎo)公式的記憶口訣為: :函數(shù)名不函數(shù)名不( (改改) )變、變、 符號(hào)看象限符號(hào)看象限. .怎么看？就是把怎么看？就是把 看作銳角時(shí)，看作銳角時(shí)， 原函數(shù)值的符號(hào)即為變化后的三角函數(shù)值的符號(hào)原函數(shù)值的符號(hào)

2、即為變化后的三角函數(shù)值的符號(hào). . )( 2 Z k k 2 2 sinsincos cos tantantantan sinsincos coscoscos sin sin 基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)自測(cè) 1.1.已知已知 則則tan tan x x等于（等于（ ） 解析解析 ),2 ,(, 5 3 )cos(xx 3 .D 4 3 .C 3 4 .B 4 3 .A , 5 3 cos)cos(xx .D, 3 4 tan, 5 4 sin ). 2 3 ,(. 0 5 3 cos 故選此時(shí) xx xx D 2.2. 1cos)cos()sin( 2 原式 的值為1)cos()cos()(sin 2 (

3、)( ) 解析解析 . 21cossin 22 D 2 .D0 .Csin2 .B1 .A 2 3.3.的值是的值是( )( ) 解析解析 ) 4 17 sin() 4 17 cos( 2 2 .D0 .C2.B2.A ) 4 17 sin() 4 17 cos( . 2 4 sin 4 cos) 4 sin() 4 cos( ) 4 4sin() 4 4cos( A 4. 4. 等于等于( )( ) 解析解析 ) 2 3 sin()5sin(, 2 cossin cossin 則若 10 3 .D 10 3 .C 10 3 .B 4 3 .A , 3tan, 2 cossin cossin

4、可得由 . 10 3 1tan tan cossin cossin )cos)(sin( ) 2 3 sin()5sin( 222 C 5. 5. . . 解析解析 ) 3 2 sin(, 3 2 ) 6 cos( 則已知 . 3 2 ) 6 cos() 6 ( 2 sin ) 6 ( 2 sin) 3 2 sin( 3 2 題型一題型一 三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的化簡(jiǎn) 化簡(jiǎn)：化簡(jiǎn)： ( (k kZ Z).). 化簡(jiǎn)時(shí)注意觀察題設(shè)中的角出現(xiàn)了化簡(jiǎn)時(shí)注意觀察題設(shè)中的角出現(xiàn)了 需討論需討論k k是奇數(shù)還是偶數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù). . 解解 )cos() 1sin( ) 1cos()sin( kk k

5、k ,k ,)(2時(shí)當(dāng)Znnk cos)sin( )cos()sin( )2cos() 12sin( ) 12cos()2sin( nn nn 原式 題型分類題型分類 深度剖析深度剖析 . 1, . 1 )cos(sin cossin )cos(sin cos)sin( ) 12cos() 112sin( ) 112cos() 12sin( ,)( 12 ; 1 cossin )cos(sin 原式綜上 原式 時(shí)當(dāng) nn nn nnkZ 熟練應(yīng)用誘導(dǎo)公式熟練應(yīng)用誘導(dǎo)公式. .誘導(dǎo)公式的應(yīng)用誘導(dǎo)公式的應(yīng)用 原則是：負(fù)化正、大化小、化到銳角為終了原則是：負(fù)化正、大化小、化到銳角為終了. . 知能遷

6、移知能遷移1 1 解解 . )sin()cos( ) 2 3 sin()2cos()tan( : 化簡(jiǎn) )sin()cos( ) 2 sin()(cos)tan( 原式 . 1 sin cos cos sin sin costan sincos )cos(costan sin)cos( ) 2 sin()cos()tan( 題型二題型二 三角函數(shù)式的求值三角函數(shù)式的求值 ). 2 sin(2) 2 cos()12( 已知分 . ) 2 7 sin(3) 2 5 cos(5 )cos()(sin 3 的值求 化簡(jiǎn)已知條件化簡(jiǎn)已知條件 化簡(jiǎn)所求三角函數(shù)式化簡(jiǎn)所求三角函數(shù)式,用已知表示用已知表示 代

7、入已知求解代入已知求解 解解 ), 2 sin(2) 2 cos( 3tan5 1tansin cos3sin5 cossin ) 2 sin(3) 2 cos(5 cossin ) 2 4sin(3) 2 2cos(5 cossin ) 2 7 sin(3) 2 5 cos(5 )cos()(sin . 2tan,cos2sin ), 2 sin(2sin 23 3 3 3 即 2 2分分 4 4分分 7 7分分 (1) (1)誘導(dǎo)公式的使用將三角函數(shù)式中誘導(dǎo)公式的使用將三角函數(shù)式中 的角都化為單角的角都化為單角. . (2) (2)弦切互化是本題的一個(gè)重要技巧弦切互化是本題的一個(gè)重要技巧,

8、 ,值得關(guān)注值得關(guān)注. . . 35 3 ) 14(7 14 ) 1(tan7 1tan )cos(sin7 cossin )cos(sin7 )cos(sinsin2 7 1sin2 310 1sin2 2 2 22 22 22 22222 9 9分分 1212分分 知能遷移知能遷移2 2 (1) (1)化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)f f 解解 ; )sin()tan( )tan()2cos()sin( )( f已知 );( .)(, 5 1 ) 2 3 cos(,)2(的值求且是第三象限角若 f .cos sintan )tan(cossin )() 1 ( f . 6 5 2 )( ,6 5 2 5 15

9、cos, 5 1 sin ,sin) 2 3 cos()2( 22 f 題型三題型三 三角恒等式的證明三角恒等式的證明 觀察被證式兩端觀察被證式兩端, ,左繁右簡(jiǎn)左繁右簡(jiǎn), ,可以從左可以從左 端入手端入手, ,利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn), ,逐步地推向右邊逐步地推向右邊. . 證明證明 .tan )5sin()cos( )6cos()2sin()2tan( : 求證 )sin()cos( )cos()sin(tan 左邊 . tan sincos cos)sin(tan 原式得證 右邊 三角恒等式的證明在高考大題中并不三角恒等式的證明在高考大題中并不 多見(jiàn)多見(jiàn), ,但在小題中但

10、在小題中, ,這種證明的思想方法還是?？嫉倪@種證明的思想方法還是?？嫉? . 一般證明的思路為由繁到簡(jiǎn)或從兩端到中間一般證明的思路為由繁到簡(jiǎn)或從兩端到中間. . 知能遷移知能遷移3 3 )4cos()3sin( ) 2 3 (cos) 2 (sin : 33 求證 . 1) 2 3 cos() 2 5 sin( 證明證明 sincos cossin )sin(cos 33 左邊 . .1 sincossincos1 sincos sincos )sinsincos)(cossin(cos 22 原式成立 右邊 方法與技巧方法與技巧 同角三角恒等變形是三角恒等變形的基礎(chǔ)同角三角恒等變形是三角恒等

11、變形的基礎(chǔ), ,主要是主要是 變名、變式變名、變式. . 1.1.同角關(guān)系及誘導(dǎo)公式要注意象限角對(duì)三角函數(shù)同角關(guān)系及誘導(dǎo)公式要注意象限角對(duì)三角函數(shù) 符號(hào)的影響，尤其是利用平方關(guān)系在求三角函符號(hào)的影響，尤其是利用平方關(guān)系在求三角函 數(shù)值時(shí)，進(jìn)行開(kāi)方時(shí)要根據(jù)角的象限或范圍，數(shù)值時(shí)，進(jìn)行開(kāi)方時(shí)要根據(jù)角的象限或范圍， 判斷符號(hào)后，正確取舍判斷符號(hào)后，正確取舍. . 2.2.三角求值、化簡(jiǎn)是三角函數(shù)的基礎(chǔ)三角求值、化簡(jiǎn)是三角函數(shù)的基礎(chǔ), ,在求值與化在求值與化 簡(jiǎn)時(shí)，常用方法有：（簡(jiǎn)時(shí)，常用方法有：（1 1）弦切互化法主要利用）弦切互化法主要利用 公式公式 化成正弦、余弦函數(shù)；化成正弦、余弦函數(shù)； x

12、x x cos sin tan 思想方法思想方法 感悟提高感悟提高 (2)(2)和積轉(zhuǎn)換法和積轉(zhuǎn)換法: :如利用如利用 的關(guān)系進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化；的關(guān)系進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化；(3)(3)巧用巧用“1”1”的變換的變換: : 注意求值與化簡(jiǎn)后的結(jié)果一般要盡可能有理化、注意求值與化簡(jiǎn)后的結(jié)果一般要盡可能有理化、 整式化整式化. . cossin21)cos(sin 2 . 4 tan ) tan 1 1 (sin)tan1 (coscossin1 2 22222 3.3.證明三角恒等式的主要思路有：證明三角恒等式的主要思路有：(1)(1)左右互推法左右互推法: : 由較繁的一邊向簡(jiǎn)單一邊化簡(jiǎn)；由較繁的一邊向

13、簡(jiǎn)單一邊化簡(jiǎn)；(2)(2)左右歸一左右歸一 法法, ,使兩端化異為同；把左右式都化為第三個(gè)使兩端化異為同；把左右式都化為第三個(gè) 式子；式子；(3)(3)轉(zhuǎn)化化歸法轉(zhuǎn)化化歸法: :先將要證明的結(jié)論恒等先將要證明的結(jié)論恒等 變形，再證明變形，再證明. . 失誤與防范失誤與防范 1.1.利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值時(shí)利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值時(shí), ,先利用公式化任先利用公式化任 意角的三角函數(shù)為銳角三角函數(shù)意角的三角函數(shù)為銳角三角函數(shù), ,其步驟其步驟: :去負(fù)去負(fù) 脫周脫周化銳化銳. . 特別注意函數(shù)名稱和符號(hào)的確定特別注意函數(shù)名稱和符號(hào)的確定. . 2.2.在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時(shí)，若開(kāi)方在利用

14、同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時(shí)，若開(kāi)方, ,要要 特別注意判斷符號(hào)特別注意判斷符號(hào). . 一、選擇題一、選擇題 1.1.（20092009全國(guó)全國(guó)文，文，1 1）sin 585sin 585的值為的值為( )( ) 解析解析 sin 585sin 585=sin(360=sin(360+225+225)=)= sin(180 sin(180+45+45)=)= 2 3 .D 2 3 .C 2 2 .B 2 2 .A . 2 2 A 定時(shí)檢測(cè)定時(shí)檢測(cè) 2.2.若若 、 終邊關(guān)于終邊關(guān)于y y軸對(duì)稱軸對(duì)稱, ,則下列等式成立的是則下列等式成立的是 （ ） A.sin =sin B.cos =cos A.

15、sin =sin B.cos =cos C.tan =tan D.sin =-sin C.tan =tan D.sin =-sin 解析解析 方法一方法一 、 終邊關(guān)于終邊關(guān)于y y軸對(duì)稱，軸對(duì)稱， + = +2+ = +2k k 或或 + =- +2+ =- +2k k , ,k kZ Z， =2=2k k + - + - 或或 =2=2k k - - ,- - ,k kZ Z, , sin =sin . sin =sin . 方法二方法二 設(shè)角設(shè)角 終邊上一點(diǎn)終邊上一點(diǎn)P P（x x，y y）, ,則點(diǎn)則點(diǎn)P P關(guān)關(guān) 于于y y軸對(duì)稱的點(diǎn)為軸對(duì)稱的點(diǎn)為P P(-(-x x, ,y y),)

16、,且點(diǎn)且點(diǎn)P P與點(diǎn)與點(diǎn)P P到原到原 點(diǎn)的距離相等設(shè)為點(diǎn)的距離相等設(shè)為r r，則，則 .sinsin r y A 3.(20093.(2009重慶文重慶文,6),6)下列關(guān)系式中正確的是下列關(guān)系式中正確的是( )( ) A.sin 11 A.sin 11cos 10cos 10sin 168sin 168 B.sin 168 B.sin 168sin 11sin 11cos 10cos 10 C.sin 11 C.sin 11sin 168sin 168cos 10cos 10 D.sin 168 D.sin 168cos 10cos 10sin 11sin 11 解析解析 sin 168s

17、in 168=sin(180=sin(180-12-12)=sin 12)=sin 12, , cos 10 cos 10=sin(90=sin(90-10-10)=sin 80)=sin 80. . 由三角函數(shù)線得由三角函數(shù)線得sin 11sin 11sin 12sin 12sin 80sin 80, , 即即sin 11sin 11sin 168sin 168cos 10cos 10. . C 4.4.已知函數(shù)已知函數(shù)f f( (x x)=)=a asin( sin( x x+ )+ )+b bcos( cos( x x+ ),+ ),且且 f f(2 009)=3,(2 009)=3,則

18、則f f(2 010)(2 010)的值是的值是 ( )( ) A.-1 B.-2 C.-3 D.1 A.-1 B.-2 C.-3 D.1 解析解析 f f(2 009)=(2 009)=a asin(2 009 + )+sin(2 009 + )+ b bcos(2 009 + )cos(2 009 + ) = =a asin( + )+sin( + )+b bcos( + )cos( + ) =- =-a asin -sin -b bcos =3.cos =3. a asin +sin +b bcos =-3.cos =-3. f f(2 010)=(2 010)=a asin(2 010

19、 + )+sin(2 010 + )+b bcos(2 010 + )cos(2 010 + ) = =a asin +sin +b bcos =-3.cos =-3. C 5.5. 解析解析 , 5 4 )2sin(已知等于則 cossin cossin ),2 , 2 3 ( ( )( ) . 5 4 sin, 5 4 sin)2sin( . 7 1 cossin cossin . 5 3 cos),2 , 2 3 ( 又 A 7 .D7.C 7 1 .B 7 1 .A 6.6. 解析解析 , 2 , 3 1 ) 12 5 cos( 且已知等于則) 12 cos( ( )( )D ) 12

20、 5 ( 2 cos) 12 cos( . 3 22 ) 12 cos(, 3 22 ) 12 5 sin( , 1212 5 12 7 , 2 ). 12 5 sin( 又 3 22 .D 3 1 .C 3 1 .B 3 32 .A 二、填空題二、填空題 7. 7. 的值是的值是 . . 解析解析 ) 3 35 cos( ) 3 12cos( 3 35 cos) 3 35 cos( . 2 1 3 cos 2 1 8. 8. 解析解析 ), 2 3 ,(, 17 8 )cos( 已知tan則 . . . 17 8 cos, 17 8 cos)(cos . 8 15 cos sin tan .

21、 17 15 cos1sin . 0sin), 2 3 ,( 2 又 8 15 9.9.已知已知 是方程是方程5 5x x2 2-7-7x x-6=0-6=0的根的根, , 是第三象限角是第三象限角, , 則則 解析解析 方程方程5 5x x2 2-7-7x x-6=0-6=0的兩根為的兩根為 sin ) 2 sin() 2 cos( ) 2 3 cos() 2 3 sin( . . , 2, 5 3 21 xx . 16 9 cos sin tan tan cossin )sin(cos tan cossin ) 2 cos() 2 sin( )(tan ) 2 sin() 2 cos( ) 2 3 co