圓錐曲線理科高考解答題薈萃

1、圓錐曲線2009年理科高考解答題薈萃1.（2009浙江理）已知橢圓：的右頂點為，過的焦點且垂直長軸的弦長為 （i）求橢圓的方程； （ii）設點在拋物線：上，在點處的切線與交于點當線段的中點與的中點的橫坐標相等時，求的最小值解（i）由題意得所求的橢圓方程為， （ii）不妨設則拋物線在點p處的切線斜率為，直線mn的方程為，將上式代入橢圓的方程中，得，即，因為直線mn與橢圓有兩個不同的交點，所以有，設線段mn的中點的橫坐標是，則， 設線段pa的中點的橫坐標是，則，由題意得，即有，其中的或；當時有，因此不等式不成立；因此，當時代入方程得，將代入不等式成立，因此的最小值為12.（2009北京理）已知雙曲

2、線的離心率為，右準線方程為（）求雙曲線的方程；（）設直線是圓上動點處的切線，與雙曲線交于不同的兩點，證明的大小為定值.【解法1】本題主要考查雙曲線的標準方程、圓的切線方程等基礎知識，考查曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運算能力（）由題意，得，解得， ，所求雙曲線的方程為.（）點在圓上，圓在點處的切線方程為，化簡得.由及得，切線與雙曲線c交于不同的兩點a、b，且，且，設a、b兩點的坐標分別為，則，且，. 的大小為.【解法2】（）同解法1.（）點在圓上，圓在點處的切線方程為，化簡得.由及得 切線與雙曲線c交于不同的兩點a、b，且，設a、b兩點的坐標分別為，則， 的大小為.（且，

3、從而當時，方程和方程的判別式均大于零）.3.（2009江蘇卷）在平面直角坐標系中，拋物線c的頂點在原點，經(jīng)過點a（2，2），其焦點f在軸上。（1）求拋物線c的標準方程；（2）求過點f，且與直線oa垂直的直線的方程；（3）設過點的直線交拋物線c于d、e兩點，me=2dm，記d和e兩點間的距離為，求關于的表達式。 4.(2009山東卷理)設橢圓e: （a,b0）過m（2，） ，n (,1)兩點，o為坐標原點，（i）求橢圓e的方程；（ii）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓e恒有兩個交點a,b,且？若存在，寫出該圓的方程，并求|ab |的取值范圍，若不存在說明理由。解:（1）因為橢

4、圓e: （a,b0）過m（2，） ，n (,1)兩點,所以解得所以橢圓e的方程為（2）假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓e恒有兩個交點a,b,且,設該圓的切線方程為解方程組得,即, 則=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為,所求的圓為,此時圓的切線都滿足或,而當切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為或滿足,綜上, 存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓e恒有兩個交點a,b,且.因為,所以, 當時因為所以,所以,所以當且僅當時取”=”. 當時,. 當ab的斜率不存在時, 兩個交點為或,所以此時,綜

5、上, |ab |的取值范圍為即: 【命題立意】:本題屬于探究是否存在的問題,主要考查了橢圓的標準方程的確定,直線與橢圓的位置關系直線與圓的位置關系和待定系數(shù)法求方程的方法,能夠運用解方程組法研究有關參數(shù)問題以及方程的根與系數(shù)關系.5.（2009廣東卷理）已知曲線與直線交于兩點和，且記曲線在點和點之間那一段與線段所圍成的平面區(qū)域（含邊界）為設點是上的任一點，且點與點和點均不重合（1）若點是線段的中點，試求線段的中點的軌跡方程； （2）若曲線與有公共點，試求的最小值解（1）聯(lián)立與得，則中點，設線段的中點坐標為，則，即，又點在曲線上，化簡可得，又點是上的任一點，且不與點和點重合，則，即，中點的軌跡方

6、程為（）.xaxbd （2）曲線，即圓：，其圓心坐標為，半徑由圖可知，當時，曲線與點有公共點；當時，要使曲線與點有公共點，只需圓心到直線的距離，得，則的最小值為.6.（2009安徽卷理）點在橢圓上，直線與直線垂直，o為坐標原點，直線op的傾斜角為，直線的傾斜角為.（i）證明: 點是橢圓與直線的唯一交點； （ii）證明:構(gòu)成等比數(shù)列.解析：本小題主要考查直線和橢圓的標準方程和參數(shù)方程，直線和曲線的幾何性質(zhì)，等比數(shù)列等基礎知識。考查綜合運用知識分析問題、解決問題的能力。本小題滿分13分。證明 （i）（方法一）由得代入橢圓,得.將代入上式,得從而因此,方程組有唯一解,即直線與橢圓有唯一交點p. (方

7、法二)顯然p是橢圓與的交點，若q是橢圓與的交點，代入的方程，得即故p與q重合。（方法三）在第一象限內(nèi)，由可得橢圓在點p處的切線斜率切線方程為即。因此，就是橢圓在點p處的切線。 根據(jù)橢圓切線的性質(zhì)，p是橢圓與直線的唯一交點。（ii）的斜率為的斜率為由此得構(gòu)成等比數(shù)列。7.（2009江西卷理）已知點為雙曲線（為正常數(shù)）上任一點,為雙曲線的右焦點,過作右準線的垂線,垂足為,連接并延長交軸于. (1) 求線段的中點的軌跡的方程;(2) 設軌跡與軸交于兩點,在上任取一點,直線分別交軸于兩點.求證:以為直徑的圓過兩定點. (1) 解 由已知得,則直線的方程為:, 令得,即,設,則,即代入得:,即的軌跡的方

8、程為. (2) 證明 在中令得,則不妨設,于是直線的方程為:, 直線的方程為:,則,則以為直徑的圓的方程為: ,令得:,而在上,則,于是,即以為直徑的圓過兩定點.8.(2009湖北卷理)過拋物線的對稱軸上一點的直線與拋物線相交于m、n兩點，自m、n向直線作垂線，垂足分別為、。 （）當時，求證：；（）記、 、的面積分別為、，是否存在，使得對任意的，都有成立。若存在，求出的值；若不存在，說明理由。解 依題意，可設直線mn的方程為， 則有由 ，消去x可得 從而有 于是 又由，可得 （）如圖1，當時，點即為拋物線的焦點，為其準線此時 可得證法1： 證法2： ()存在，使得對任意的，都有成立，證明如下：

9、證法1：記直線與x軸的交點為,則。于是有 將、代入上式化簡可得上式恒成立，即對任意成立 證法2：如圖2，連接,則由可得,所以直線經(jīng)過原點o，同理可證直線也經(jīng)過原點o又設則9.（2009全國卷理）已知橢圓的離心率為，過右焦點f的直線與相交于、兩點，當?shù)男甭蕿?時，坐標原點到的距離為 （i）求，的值；（ii）上是否存在點p，使得當繞f轉(zhuǎn)到某一位置時，有成立？若存在，求出所有的p的坐標與的方程；若不存在，說明理由。解 (i）設，直線，由坐標原點到的距離為 則，解得 .又.（ii）由(i）知橢圓的方程為.設、由題意知的斜率為一定不為0，故不妨設 代入橢圓的方程中整理得，顯然。由韋達定理有：.假設存在點

10、p，使成立，則其充要條件為：點，點p在橢圓上，即。整理得。 又在橢圓上，即.故將及代入解得,=,即.當;當.10.（2009福建卷理）已知a,b 分別為曲線c： +=1（y0,a0）與x軸的左、右兩個交點，直線過點b,且與軸垂直，s為上異于點b的一點，連結(jié)as交曲線c于點t.(1)若曲線c為半圓，點t為圓弧的三等分點，試求出點s的坐標；（ii）如圖，點m是以sb為直徑的圓與線段tb的交點，試問：是否存在,使得o,m,s三點共線？若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由。 解 方法一()當曲線c為半圓時，如圖，由點t為圓弧的三等分點得bot=60或120.(1)當bot=60時, sae=30.

11、又ab=2,故在sae中,有 (2)當bot=120時,同理可求得點s的坐標為,綜上, ()假設存在,使得o,m,s三點共線.由于點m在以sb為直線的圓上,故.顯然,直線as的斜率k存在且k0,可設直線as的方程為.由設點故,從而.亦即由得由,可得即經(jīng)檢驗,當時,o,m,s三點共線. 故存在,使得o,m,s三點共線.方法二:()同方法一.()假設存在a,使得o,m,s三點共線.由于點m在以so為直徑的圓上,故.顯然,直線as的斜率k存在且k0,可設直線as的方程為由設點,則有故由所直線sm的方程為o,s,m三點共線當且僅當o在直線sm上,即.故存在,使得o,m,s三點共線.11.（2009遼寧

12、卷文、理）已知，橢圓c以過點a（1，），兩個焦點為（1，0）（1，0）。（1） 求橢圓c的方程；（2） e,f是橢圓c上的兩個動點，如果直線ae的斜率與af的斜率互為相反數(shù)，證明直線ef的斜率為定值，并求出這個定值。 （）解 由題意，c1,可設橢圓方程為。 因為a在橢圓上，所以，解得3，（舍去）。所以橢圓方程為 （）證明 設直線方程：得，代入得 設（，），（，）因為點（1，）在橢圓上，所以， 。又直線af的斜率與ae的斜率互為相反數(shù)，在上式中以代，可得， 。所以直線ef的斜率。即直線ef的斜率為定值，其值為。 12.（2009寧夏海南卷理） 已知橢圓c的中心為直角坐標系xoy的原點，焦點在s軸

13、上，它的一個頂點到兩個焦點的距離分別是7和1.（）求橢圓c的方程；（）若p為橢圓c上的動點，m為過p且垂直于x軸的直線上的點，=，求點m的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。 解 ()設橢圓長半軸長及半焦距分別為，由已知得， 所以橢圓的標準方程為 （）設，其中。由已知及點在橢圓上可得。整理得，其中。（i）時?；喌?所以點的軌跡方程為，軌跡是兩條平行于軸的線段。（ii）時，方程變形為，其中當時，點的軌跡為中心在原點、實軸在軸上的雙曲線滿足的部分。當時，點的軌跡為中心在原點、長軸在軸上的橢圓滿足的部分；當時，點的軌跡為中心在原點、長軸在軸上的橢圓；13.（2009四川卷文、理）已知橢圓的左、右焦點分

14、別為，離心率，右準線方程為。（i）求橢圓的標準方程；（ii）過點的直線與該橢圓交于兩點，且，求直線的方程。解 （i）由已知得，解得 所求橢圓的方程為 . （ii）由（i）得、若直線的斜率不存在，則直線的方程為，由得設、， ，這與已知相矛盾。若直線的斜率存在，設直線直線的斜率為，則直線的方程為，設、，聯(lián)立，消元得 ， ， 又 化簡得解得 所求直線的方程為 14.(2009湖南卷理)在平面直角坐標系xoy中，點p到點f（3，0）的距離的4倍與它到直線x=2的距離的3倍之和記為d，當p點運動時，d恒等于點p的橫坐標與18之和 （）求點p的軌跡c；（）設過點f的直線l與軌跡c相交于m，n兩點，求線段m

15、n長度的最大值。 解（）設點p的坐標為（x，y），則3x-2由題設 當x2時，由得 化簡得 當時 由得化簡得 故點p的軌跡c是橢圓在直線x=2的右側(cè)部分與拋物線在直線x=2的左側(cè)部分（包括它與直線x=2的交點）所組成的曲線，參見圖1（）如圖2所示，易知直線x=2與，的交點都是a（2，），b（2，），直線af，bf的斜率分別為=，=.當點p在上時，由知. 當點p在上時，由知 若直線l的斜率k存在，則直線l的方程為（i）當k，或k，即k-2 時，直線i與軌跡c的兩個交點m（，），n（，）都在c 上，此時由知mf= 6 - nf= 6 - 從而mn= mf+ nf= （6 - ）+ （6 - ）=1

16、2 - ( +)由 得 則，是這個方程的兩根，所以+=*mn=12 - （+）=12 - 因為當 當且僅當時，等號成立。（2）當時，直線l與軌跡c的兩個交點 分別在上，不妨設點在上，點上，則知， 設直線af與橢圓的另一交點為e 所以。而點a，e都在上，且 有（1）知 若直線的斜率不存在，則=3，此時綜上所述，線段mn長度的最大值為.15.（2009年上海卷理）已知雙曲線設過點的直線l的方向向量當直線l與雙曲線c的一條漸近線m平行時，求直線l的方程及l(fā)與m的距離；（1） 證明：當時，在雙曲線c的右支上不存在點q，使之到直線l的距離為。（1）解 雙曲線c的漸近線 直線l的方程 直線l與m的距離 （2）證明 方法一設過原點且平行與l的直線則直線l與b的距離當 又雙曲線c的漸近線為 雙曲線c的右支在直線b的右下方，雙曲線右支上的任意點到直線的距離為。故在雙曲線的右支上不存在點，使之到直線的距離為。（2）方法二 雙曲線的右支上存在點到直線的距離為，則由（1）得， 設 當，0將 代入（2）得 （*）方程（*）不存在正根，即假設不成立 故在雙曲線c的右支上不存在q，使之到直線l 的距離為16.（2009重慶卷理）已知以原點為中心的橢圓的一條準線方程為，離心率，