高考理科數(shù)學(xué)專題十：與球體有關(guān)的問題

1、 2016年高考數(shù)學(xué)專題十：與球體有關(guān)的問題一、高考趨勢分析： 立體幾何章節(jié)在傳統(tǒng)的高考中分值占22分左右，以兩小一大的形式出現(xiàn)較多。與球相關(guān)的問題也有考題出現(xiàn)，現(xiàn)針對近年高考考題形式總結(jié)如下 ，也是每年高考熱點，每年高考中主要考查選擇、填空題目、解答題。 二、基礎(chǔ)知識點撥： 1長方體、正方體的外接球其體對角線長為該球的直徑 2正方體的內(nèi)切球其棱長為球的直徑 3正三棱錐的外接球中要注意正三棱錐的頂點、球心及底面正三角形中心共線 4正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為31. 方法主要是“補體”和“找球心” 考試核心：性質(zhì)的應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形建立三者之間的關(guān)系。三、高考試題精練1.（2015高考

2、新課標(biāo)2，理9）已知a,b是球o的球面上兩點，aob=90,c為該球面上的動點，若三棱錐o-abc體積的最大值為36，則球o的表面積為( )a36 b.64 c.144 d.256【答案】c【考點】外接球表面積和椎體的體積2(2015遼寧高考)已知直三棱柱abc a1b1c1的6個頂點都在球o的球面上，若ab3，ac4，abac，aa112，則球o的半徑為()a.b2c. d3解析：選c如圖，由球心作平面abc的垂線，則垂足為bc的中點m.又ambc，omaa16，所以球o的半徑roa .3(2016長春模擬)若一個正四面體的表面積為s1，其內(nèi)切球的表面積為s2，則_.解析：設(shè)正四面體棱長為a

3、，則正四面體表面積為s14a2a2，其內(nèi)切球半徑為正四面體高的，即raa，因此內(nèi)切球表面積為s24r2，則.答案：4四棱錐pabcd的五個頂點都在一個球面上，該四棱錐的三視圖如圖所示，e，f分別是棱ab，cd的中點，直線ef被球面所截得的線段長為2，則該球的表面積為()a9 b3c2 d12解析：選d該幾何體的直觀圖如圖所示，該幾何體可看作由正方體截得，則正方體外接球的直徑即為pc.由直線ef被球面所截得的線段長為2，可知正方形abcd對角線ac的長為2，可得a2，在pac中pc 2，球的半徑r ，s表4r24()212.四、典型例題精析類型一：有公共底邊的等腰三角形，借助余弦定理求球心角。（

4、兩題互換條件形成不同的題）1.15如圖球o的半徑為2，圓是一小圓，a、b是圓上兩點，若a，b兩點間的球面距離為，則= . （2015年理科）2.15如圖球o的半徑為2，圓是一小圓，a、b是圓上兩點，若=，則a,b兩點間的球面距離為 （2014年文科）類型二：球內(nèi)接多面體，利用圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)求出小圓半徑，通常用到余弦定理求余弦值，通過余弦值再利用正弦定理得到小圓半徑，從而解決問題。3.15. 直三棱柱的各頂點都在同一球面上，若, ，則此球的表面積等于 。（2014年理科）析：欲求球的表面積，歸根結(jié)底求球半徑，與相關(guān)的是重要性質(zhì)。aa1=2, ?，F(xiàn)將問題轉(zhuǎn)化到o2的半徑之上。因為abc是o2的

5、內(nèi)接三角形，又知ab=ac=2，bac=120，三角形可解。由余弦定理有，由正弦定理有 。4.14正三棱柱內(nèi)接于半徑為的球，若兩點的球面距離為，則正三棱柱的體積為 8（2013年理科）5.12已知球的直徑sc=4，a，b是該球球面上的兩點，ab=，則棱錐sabc的體積為 c （2014年理科）a b cd16.（11）已知是球表面上的點，則球表面積等于 a （2015年文科）（a）4 （b）3 （c）2 （d）類型三：通過線線角、線面角、面面角之間的平面的轉(zhuǎn)化，構(gòu)造勾股定理處理問題。7.15.設(shè)是球的半徑，是的中點，過且與成45角的平面截球的表面得到圓。若圓的面積等于，則球的表面積等于 .（2

6、015年文科）析：問題的解決根本求球半徑。 與相關(guān)的重要性質(zhì)中，可求（ ） 問題轉(zhuǎn)化到求上充分運用題目中未用的條件，omc=45，于是求得，8.(11)已知平面截一球面得圓m，過圓心m且與成二面角的平面截該球面得圓n.若該球面的半徑為4，圓m的面積為4，則圓n的面積為 d （2014年理科） (a)7 (b)9 (c)11 (d)139.（5）如果把地球看成一個球體，則地球上的北緯緯線長和赤道長的比值為c（2015文科）（a）0.8 （b）0.75 （c）0.5 （d）0.25類型四：球內(nèi)接多面體的相關(guān)元素之間的聯(lián)系。10.13圓柱形容器內(nèi)部盛有高度為8 cm的水，若放入三個相同的球（球的半徑

7、與圓柱的底面半徑相同）后，水恰好淹沒最上面的球（如圖所示)，則球的半徑是 4 cm（2010年理科）11.16長方體的頂點均在同一個球面上，則，兩點間的球面距離為 .（2015年文科）12.14體積為的一個正方體，其全面積與球的表面積相等，則球的體積等于 （2009年文科）13.16已知兩個圓錐有公共底面，且兩圓錐的頂點和底面的圓周都在同一個球面上若圓錐底面面積是這個球面面積的，則這兩個圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為_1/3_（2015年文科）14.15.如圖，半徑為r的球o中有一內(nèi)接圓柱.當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大是，求的表面積與改圓柱的側(cè)面積之差是 . 類型五：平面幾何性質(zhì)在球中的

8、綜合應(yīng)用。15.（16）已知球的半徑為4，圓與圓為該球的兩個小圓，為圓與圓的公共弦，若，則兩圓圓心的距離 （2015年理科）析：由om=on知，m與no為等圓，根據(jù)球中的重要性質(zhì)又mhab得h為ab中點，bh=ah=2 omh=onh=90mon=mhn由余弦定理有mn2=om2+on22omoncosmon mn2=mh2+nh22mhnhcos(mon)解得cosmon=，即mon=三角形omn為等邊三角形， mn=3.類型六：性質(zhì)的簡單應(yīng)用。16.(15)已知為球的半徑，過的中點且垂直于的平面截球面得到圓，若圓的面積為，則球的表面積等于_16_.（2009年文科）17.（15）已知矩形的

9、頂點都在半徑為4的球的球面上，且,則棱錐的體積為 24 。（2011年理科）18.（9）高為的四棱錐s-abcd的底面是邊長為1的正方形，點s、a、b、c、d均在半徑為1的同一球面上，則底面abcd的中心與頂點s之間的距離為 c（2011年理科）（a） （b） (c)1 (d) 五、模擬試題精練1.（2015高考新課標(biāo)2，理9）已知a,b是球o的球面上兩點，aob=90,c為該球面上的動點，若三棱錐o-abc體積的最大值為36，則球o的表面積為( )a36 b.64 c.144 d.256【答案】c2(2015遼寧高考)已知直三棱柱abc a1b1c1的6個頂點都在球o的球面上，若ab3，ac4，abac，aa112，則球o的半徑為()a.b2c. d3答案：選c3(2016長春模擬)若一個正四面體的表面積為s1，其內(nèi)切球的表面積為s2，則_.答案：4四棱錐pabcd的五個頂點都在一個球面上，該四棱錐的三視圖如圖所示，e，f分別是棱ab，cd的中點，直線ef被球面所截得的線段長為2，則該球的表面積為()a9 b3c2 d12答案：選d.5.如圖所示，已知e，f分別是棱長為a的正方體abcda1b1c1d1的棱a1a，cc1的中點，則四棱錐c1b1edf的體積為_.答案(1)a36.已知三棱錐sabc的所有頂點都在球o的球面上，abc是邊長為1的正三角形