分塊矩陣的應(yīng)用畢業(yè)論文

1、 本 科 畢 業(yè) 論 文 題 目 分塊矩陣的應(yīng)用 院 別 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 指導(dǎo)教師 評閱教師 班 級 姓 名 學(xué) 號 2011 年 5 月 16 日分塊矩陣的應(yīng)用目 錄摘要abstract1引言12分塊矩陣及其性質(zhì)12.1分塊矩陣12.2分塊矩陣的性質(zhì)及其推論12.3分塊矩陣常見的分塊方法33分塊矩陣在證明方面的應(yīng)用43.1分塊矩陣在矩陣的秩的相關(guān)證明中的應(yīng)用43.2分塊矩陣在線性相關(guān)性及矩陣的分解中的應(yīng)用53.3分塊矩陣在相似問題中的應(yīng)用64分塊矩陣在計算方面的應(yīng)用74.1分塊矩陣在行列式計算方面的應(yīng)用74.2分塊矩陣在求逆矩陣方面的應(yīng)用94.3分塊矩陣在求解矩陣

2、方程方面的應(yīng)用114.4分塊矩陣在求解非齊次線性方程組中的應(yīng)用12結(jié)束語13參考文獻14致謝15摘 要：分塊矩陣是線性代數(shù)中的一個重要工具，在理論研究和實踐計算方面都有廣泛的應(yīng)用特別是在處理階數(shù)較高的矩陣時，分塊之后，可以使矩陣的結(jié)構(gòu)更加清晰明朗，從而使一些矩陣的相關(guān)表達和計算簡單化，進一步用來解決很多與矩陣相關(guān)的問題在分析和總結(jié)分塊矩陣的概念和性質(zhì)的基礎(chǔ)上，提出了分塊矩陣在計算和證明方面的應(yīng)用，主要包括矩陣的秩、矩陣的相關(guān)性理論、相似問題、以及行列式的計算、逆矩陣的求解、以及矩陣方程等方面關(guān)鍵詞：分塊矩陣；矩陣分塊；證明；計算abstract：the partitioned matrix i

3、s an important tool of linear algebra, in theoretical study and practical calculation are widely used in processing order number. especially when high matrix, block after, can make the matrix structure more wide-awake, which makes some matrix expression and calculation related to solve many further

4、simplification, with matrix related problems. in analyzing and summarizing the partitioned matrix of the concepts and properties was put forward on the basis of partitioned matrix in computing and proof applications, including matrix rank, matrix correlation theory, similar problems, and determinant

5、s of calculation, inverse matrix of solving, and matrix equation.keyword：the partitioned matrix; matrix block, proof; calculation 1 引言 在數(shù)學(xué)名詞中，矩陣是用來表示統(tǒng)計數(shù)據(jù)等方面的各種有關(guān)聯(lián)的數(shù)據(jù)矩陣作為數(shù)學(xué)工具之一有著重要的實用價值，它常見于許多學(xué)科中，如線性代數(shù)、線性規(guī)劃、組合數(shù)學(xué)、統(tǒng)計分析等在實際生活中，很多問題都是借用矩陣抽象出來進行表述并加以解決的，比如一些電腦的應(yīng)用如vlsi芯片設(shè)計上都有分塊矩陣的思想矩陣的概念和性質(zhì)相對矩陣的運算較容易理解和掌握，

6、但對于矩陣的運算和應(yīng)用，則有很多問題值得我們?nèi)パ芯?，尤其是當矩陣的階數(shù)比較大時矩陣的運算和證明將是一個很繁瑣的過程，因此這時我們需要一個新的矩陣處理工具，在這種情況下，分塊矩陣的思想就產(chǎn)生了在高等代數(shù)中，對高階矩陣的處理是矩陣相關(guān)內(nèi)容中重要的一部分，分塊矩陣揭示了一個復(fù)雜或是特殊的矩陣的內(nèi)部本質(zhì)結(jié)構(gòu)，本文即是通過查閱相關(guān)的文獻資料和學(xué)習相關(guān)的知識后總結(jié)并探討分塊矩陣在各方面的應(yīng)用，通過具體的實例的應(yīng)用來突出分塊矩陣在處理相關(guān)問題上的簡便性和靈活性2 分塊矩陣及其性質(zhì)2.1分塊矩陣定義1 用縱線與橫線將矩陣劃分成若干較小的矩陣：，其中每個小矩陣叫做矩陣的一個子矩陣；分成子塊的矩陣叫做分塊矩陣運算

7、規(guī)則2在用規(guī)則(1)時，與的分塊方法須完全相同；用規(guī)則(3)時的列的分法與的行的分法須相同2.2分塊矩陣的性質(zhì)及其推論在行列式的計算中我們經(jīng)常用到下列三條性質(zhì)3（1） 若行列式中某行(列)有公因子，則可提到行列式號外面；（2） 把行列式的某兩行(列)互換位置，其值變號，（3） 把行列式的某行(列)乘上某一個非零數(shù)，加到另一行(列)去，其值不變 利用矩陣的分塊，我們可以把行列式的三條性質(zhì)在分塊矩陣中進行推廣.性質(zhì)1 設(shè)是由如下的分塊矩陣組成，其中都是矩陣，又是任一階方陣對于矩陣，則性質(zhì)2 設(shè)和寫成如下形式，其中都是矩陣，則.性質(zhì)3 設(shè)是由如下的分塊矩陣組成，其中都是矩陣，又是任一階方陣對于矩陣，

8、則推論1 設(shè)都是階方陣，則有證明根據(jù)性質(zhì)3并應(yīng)用于列的情況，有，根據(jù)性質(zhì)1有， 則推論2 設(shè)都是階方陣，則有證明 作階行列式，由拉普拉斯展開定理得：又根據(jù)性質(zhì)3并應(yīng)用于列的情況,有：，則推論3 設(shè)都是階方陣，其中，并且，則有證明 根據(jù)性質(zhì)3，由知存在，并由，用乘矩陣的第一行后加到第二行去得：，從而2.3分塊矩陣常見的分塊方法2矩陣的分塊技巧較強，因此要根據(jù)不同的問題進行不同的分塊，常見的分塊方法有四種：(1)列向量分法 ，為的列向量.(2)行向量分法,為的行向量(3)分成兩塊其中分別為的若干列,或其中分別為若干行.(4)分成四塊對分塊矩陣還可以進行廣義的初等變換,廣義的初等變換分為三種:(1)

9、 交換分塊矩陣的兩行(列)；(2) 用一可逆陣乘以分塊矩陣的某一行（列）；(3) 用某一矩陣乘某一行（列）加到另一行（列）.根據(jù)廣義初等變換的類型對應(yīng)三種廣義初等陣4：（1）；（2）均為可逆矩陣；（3）.3分塊矩陣在證明方面的應(yīng)用3.1分塊矩陣在矩陣的相關(guān)的秩的相關(guān)證明中的應(yīng)用定理12 分別為矩陣的秩，則例 設(shè)分別為階矩陣，則.證明 構(gòu)造分塊矩陣，對進行廣義初等變換，則,根據(jù)矩陣初等變換的性質(zhì)有，而，所以利用分塊矩陣證明矩陣秩的問題，一般采用兩種方法，一種是利用已知矩陣作為元素來拼成高階數(shù)的矩陣來證明，另一種方法就是將已知矩陣拆成階數(shù)較低的矩陣來證明這兩種方法在證明問題時都是很有效的，很大一部

10、分相關(guān)矩陣秩的問題，都可以用分塊矩陣來證明53.2分塊矩陣在線性相關(guān)性及矩陣的分解中的應(yīng)用分塊矩陣在線性性及矩陣的分解中有著廣泛的應(yīng)用，但要達到運用自如卻非易事，其基礎(chǔ)知識抽象，解題方法技巧性強，稍有不慎就會陷入困境作為線性代數(shù)的一個重要內(nèi)容和工具的矩陣，我們往往容易忽略它重要的一點-矩陣分塊的作用下面就通過一些例子介紹一下它在線性相關(guān)性及矩陣的分解證明中的應(yīng)用.定理22 矩陣列線性無關(guān)的充要重要條件是只有零解推論4 設(shè)，則（1）的列線性相關(guān)（即）的充要條件是存在使；（2）的行線性相關(guān)（即）的充要條件是存在使證明(1)充分性 設(shè)的列線性相關(guān),由定理2，存在使，作，則，故必要性 設(shè)有，為的列向量

11、，且，使，即，因，由定理2可知，的列線性無關(guān)類似可證(2)例2 矩陣列線性無關(guān)，求證：列線性無關(guān)的充要條件是列線性無關(guān)證明 充分性 要使，即，記，則因列無關(guān)，須，即，又列無關(guān)，須，從而列無關(guān)必要性 要使，兩邊左乘，則，即，又列無關(guān)，即，則列無關(guān)矩陣的列（行）向量相關(guān)與無關(guān)性的問題很多都會涉及到利用分塊矩陣，因為矩陣的行（列）都可以看作是矩陣的子塊，在處理矩陣的分解問題時也是一樣，在線性代數(shù)中還有很多問題也可以分塊矩陣來解決例3 設(shè)，則（1），使得；（2），使得證明 ，使，(1)將與作如下的分塊：，則（2）因，令，即得3.3分塊矩陣在相似問題中的應(yīng)用眾所周知，若為階矩陣，如果存在一個階非奇異矩陣

12、存在，使得成立，則稱矩陣與相似但如果的階較高，在證明的過程中找到一個階非奇異矩陣變得非常困難，而分塊矩陣通過證明矩陣中小矩陣的相似達到證明大矩陣相似的目的，為相似矩陣的證明提供了一種新的思路7例4 如果方陣，方陣，則.證明 因方陣,方陣，則而，4分塊矩陣在計算方面的應(yīng)用4.1分塊矩陣在行列式計算方面的應(yīng)用在線性代數(shù)中，分塊矩陣是一個重要的概念，它可以使矩陣的表示簡單明了，使矩陣的運算得以簡化，還可以利用分塊矩陣來解決行列式的計算問題事實上，利用分塊矩陣來計算行列式時常會使行列式的計算變得簡單，并能收到意想不到的效果本節(jié)將給出利用分塊矩陣計算行列式的幾種方法定理32 設(shè)矩陣或其中均為方陣，則定理

13、42 設(shè)分別為與階方陣則：(1) 當可逆時，有；(2) 當可逆時，有推論5 設(shè)分別是矩陣，則（1）；（2）；（3）證明 只需要在定理4的（1）中令，即可證得；在(2)令，即可證得；在(3)中令，即可證得例5 求階方陣的行列式解 令，則，又則可逆，由定理4（1）可知，而，由此可得例6 計算下列行列式（1）；（2）解 （1）設(shè)，其中，因為，所以是可逆矩陣，則，從而由定理4中的（2）得（2）設(shè)，其中由于，從推論5知行列式的計算是線性代數(shù)中的一個重要內(nèi)容，利用分塊矩陣，求解行列式時應(yīng)具體問題具體對待，從而簡化行列式的計算過程，達到快速解決問題的目的4.2分塊矩陣在求逆矩陣方面的應(yīng)用求分塊矩陣的逆矩陣可

14、以用伴隨矩陣或初等變換的方法來解決，而此類方法對階數(shù)較高的矩陣運算量比較大，對某些矩陣可以適當分塊后再進行運算，可以起到事半功倍的作用定理58 設(shè)是一個四分塊矩陣，其中為階方陣，當與都是可逆矩陣時，則是可逆矩陣，且，特別地（1）當，與都可逆時，有；（2）當，與都可逆時，有；（3）當，與都可逆時，有定理68 設(shè)是一個四分塊矩陣，其中為階矩陣，為階矩陣，當與都是可逆矩陣時，則是可逆矩陣，且，特別地（1）當，與都是可逆時，有；（2）當，與都是可逆時，有；（3）當，與都是可逆時，有例7 求矩陣的逆矩陣解 令，則原矩陣，由定理5中(3)知先求出矩陣的逆矩陣，從而得到，則注：在用分塊矩陣求逆矩陣時，常常針

15、對幾種特殊的情形，對一般矩陣而言，此種方法并沒有多大的實用價值！相比較而言，初等變換更具優(yōu)勢這啟示我們要具體問題具體分析，培養(yǎng)求簡的數(shù)學(xué)精神和實事求是的科學(xué)態(tài)度4.3分塊矩陣在求解矩陣方程方面的應(yīng)用設(shè)矩陣方程形如，其中分別為階可逆矩陣，求我們?nèi)菀字澜鉃椋?，對此我們需要先求得，再求得有時這樣計算比較復(fù)雜，對此我們需要一個簡便的方法9由于，同時取行列式可得，即，對此我們可以用分塊矩陣的方法構(gòu)建一個行列式，可得，其對應(yīng)的矩陣為，經(jīng)過廣義的初等變換可得，即但此方法仍比較繁瑣，對此我們需要對此進行簡化，由初等變換我們知道矩陣中的第二行和第二列以及都對初等變換沒有作用，可以說是多余的，去掉第二行和第二列

16、，的位置用代替，這樣我們得到了一個新的矩陣，在經(jīng)過一系列初等變換得到，即：由此我們就可以通過構(gòu)造分塊矩陣然后通過初等變換求得例8 求解滿足條件的解 構(gòu)造分塊矩陣得：，故4.4分塊矩陣在求解非齊次線性方程組中的應(yīng)用定理7 10 如果是一個階非奇異矩陣，將進行分塊，其中分別是矩陣，若是非奇異方陣，那么一定存在一個上三角分塊矩陣，使得，其中，且是非奇異陣對于該結(jié)論用來解決個方程的非齊次線性議程組是比較方便的設(shè)非齊次線性方程組為，該方程組可寫成矩陣方程其中為系數(shù)矩陣，若，則該方程組有唯一定解現(xiàn)將矩陣分塊，并注意使，同時將及進行分塊，令，行數(shù)等于行數(shù)，行數(shù)等于行數(shù)，則矩陣的方程可改成，兩邊同時左乘上三角

17、分塊矩，有，其中，且是非奇異陣從而得到矩陣方程組，解方程組可知例9 求解方程組解 將方程寫成矩陣方程并進行分塊，從而得到：，這里， 首先求出的逆矩陣，則，在方程兩端同時乘以，從而得到，解矩陣方程可得，則所求方程組的解為結(jié)束語本文主要是對分塊矩陣在計算和證明中的應(yīng)用，通過概念的介紹以及實例的說明，讓人對分塊矩陣這一工具的實用價值有所認識和了解，它既是一種解題的方法又是一種技巧但它的應(yīng)用并不僅僅是所舉的幾個方面，它還有更寬廣的應(yīng)用還有待于我們?nèi)ド钊氲难芯颗c探索參考文獻1張禾瑞,郝炳新.高等代數(shù)(第四版)m.北京:人民教育出版社,1995:199-208.2北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)m.北京:人民教育出版社,1978:91-99,177-181.3林謹瑜.分塊矩陣的若干性質(zhì)及其應(yīng)用j.廣東廣播電視大學(xué)學(xué)報,2006,(02):109-112.4王秀芳.分塊矩陣的應(yīng)用討論j.連云港師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報,2008,(09):