用頻率估計概率

1、用頻率估計概率用頻率估計概率教學目標是：1、知識與技能 經(jīng)歷收集數(shù)據(jù)、進行試驗、統(tǒng)計結(jié)果、合作交流的過程，估計一些復雜的 隨機事件發(fā)生的概率 .2、過程與方法 經(jīng)歷試驗、統(tǒng)計等活動過程，在活動中進一步發(fā)展學生合作交流的意識和 能力.3、情感、態(tài)度、價值觀 通過對貼近學生生活的有趣的生日問題的試驗、統(tǒng)計，提高學生學習數(shù)學 的興趣，且有助于破除迷信，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)目茖W態(tài)度和辯證唯物主義世界觀教學過程本節(jié)課設計了七個教學環(huán)節(jié)：一、課前準備；二、情境引入；三、探索新知；四、練習提高；五、課時小結(jié)；六、布置作業(yè)；七、活動探究 .第一環(huán)節(jié)：課前準備（提前一周布置）內(nèi)容：以 6 人合作小組為單位，開展調(diào)查活

2、動：每人課外調(diào)查 10個人的生 日、生肖 .目的：收集數(shù)據(jù)，為本節(jié)課的學習提供素材，在課堂中運用源于學生實際 調(diào)查的真實數(shù)據(jù)展開教學，能極大地激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣及學習的積極性 與主動性 .另一方面，也鍛煉了學生的社交能力 .實際效果與注意事項：學生課外收集數(shù)據(jù)時有可能來自相同的人，各小組 課前準備時，教師提醒盡量避免調(diào)查相同的人，最好每個小組的調(diào)查范圍相對 確定，如：初一、初二、初三等。第二環(huán)節(jié)：情境引入內(nèi)容：紅樓夢第 62 回中有這樣的情節(jié)：當下又值寶玉生日已到，原來寶琴也是這日，二人相同。 襲人笑道：“這是他來給你拜壽 .今兒也是他的生日，你也該給他拜壽 . ”寶玉 聽了，喜的忙作下揖

3、去，說：原來今兒也是姐姐的芳誕 . ”平兒還福不迭。 探春忙問：“原來邢妹妹也是今兒，我怎么就忘了。 ”探春笑道：“倒有些意思，一年十二個月，月月有幾人生日。人多了，便這 等巧了，也有三個一日，兩個一日的。目的：以小說情節(jié)開篇，引人入勝，直接引入與生日有關的話題，激發(fā)學 生的學習興趣 .實際效果：學生置身于情境之中，并陷入思考：為什么“便這等巧？”第三環(huán)節(jié)：探索新知 經(jīng)歷試驗、統(tǒng)計等活動過程，估計復雜隨機事件（生日相同）的概率。內(nèi)容：教師提出問題串（1）400 位同學中，一定有 2 人的生日相同（可以不同年）嗎？有什么依 據(jù)呢？（2）300位同學中，一定有 2 人的生日相同（可以不同年）嗎？（

4、3）教師提出一個論斷： “我認為咱們班 50個同學中很可能就有 2 個同學 的生日相同”你相信嗎？對于問題（ 1），學生能給予肯定的回答“一定” ，對于能力比較強的學生可 以用“抽屜原理” 加以解釋。例如，有的學生會給出如下的解釋： “一年最多 366 天，400個同學中一定會出現(xiàn)至少 2 人出生在同月同日， 相當于 400個物品放到 366 個抽屜里，一定至少有 2 個物品放在同一抽屜里 抽屜原理：把 m 個物品 任意放進幾個空抽屜里 （mn），那么一定有一個抽屜中放進了至少 2 個物品”。對于問題（ 2），學生會給出“不一定”的答案。對于問題（ 3），學生會表示懷疑，不太相信。于是，在班級

5、課堂里展開現(xiàn)場的調(diào)查。得到數(shù)據(jù)后請學生反思： 如果 50 個同學中有 2 人生日相同，能否說明 50 人中有 2 人生日相同的概率是 1？ 如果 50人中沒有 2人生日相同，就說明 50人中 2 人生日相同的概率為 0？ 學生能根據(jù)以往的知識進行反思，并能舉一些類似的問題作為例子。例如： 隨意拋擲一枚硬幣，若國徽面朝上，說它的確概率為 1，國徽面朝下的概率為 0. 顯然是錯誤的，我們知道它們的概率均為 0.5.隨意拋擲一枚骰子，“6 朝上”時我們說 “6朝上”的概率為 1，6 朝下的概率 為 0 ，顯然也是錯誤的，我們知道它們的概率為 1/6.活動一，每個同學課外調(diào)查 10人的生日， 從全班的

6、調(diào)查結(jié)果中隨機選擇 50 人，看有沒有 2 人生日相同，設計方案估計 50人中有 2 人生日有相同的概率 .活動設計目的：通過具體收據(jù)數(shù)據(jù)、實驗、統(tǒng)計結(jié)果過程，豐富學生的數(shù) 學活動經(jīng)驗，對本節(jié)課有更直觀的感知，經(jīng)歷用實驗估計理論概率的過程，初 步感受到生日相同的概率較大 .設計方案：學生自主設計 . 附學生設計的方案： 方案一：將每個同學調(diào)查的生日隨機排列成一方陣，然后按某一規(guī)則從中 選取 50 個數(shù)據(jù)進行實驗（如 2520），從某行某列開始，自左而右，自上而下， ， 選出 50 個數(shù)）.方案二： 把全班每個同學所調(diào)查的數(shù)據(jù)寫在紙條上， 放在箱子里隨機抽取 . 方案三：從 50個同學手里隨機抽

7、取一個調(diào)查數(shù)據(jù)，組成 50 個數(shù)據(jù). 方案四：全班分成 10 個小組，把每個小組調(diào)查數(shù)據(jù)放在一起，打亂次序， 隨機抽取 5個，然后 10 個小組的結(jié)果放在一組成 50個數(shù)據(jù).活動過程指導：（1）節(jié)約時間，生日表示方式簡化成四位數(shù) .如“0217”（2）人人參與，大膽發(fā)言、交流、討論從大量的重復試驗活動中感受生 日相同的概率較大 .（3）激勵學生提出更好的活動方案，如：產(chǎn)生 1365 之間某一自然數(shù)隨 機數(shù)的方法；分工制作 1 365自然數(shù)卡片， 放入紙箱隨機抽取一張， 記下號碼， 放回去，再隨機抽取，直至抽出 50 張，多次重復試驗，并估計出 50 人中有 2人生日相同的概率，此為模擬試驗 .

8、 活動評價指導：（1）學生的參與程度，活動過程中的思維方式，與同學合作交流情況.（2）鼓勵思維多樣性 .（3）關注學生能否用實驗方法估計一些較復雜隨機事件發(fā)生的概率.（4）關注學生對概率的理解是否全面 .（5）關注實驗次數(shù) . 實際效果：通過以上探索活動，經(jīng)歷了大量重復試驗，能估算出 50 人中有2 人生日相同的概率是多少 .約 0.9704，很大 . 結(jié)果可解釋紅樓夢生日相同“遇的巧”的問題 .這個結(jié)果出人意料之處就在于其結(jié)果違反了人們的直覺：人們往往覺得兩 人生日相同是一種可能性不大的事情， 計算結(jié)果卻是： 如果人數(shù)不少于是 23 人， 這種可能性就達 50%.看下表是 “幾個人中至少有

9、2 人生日相同 ”的概率大小表：npnpnpnpnp200.4114290.6810380.8641470.9548560.9883210.4437300.7105390.8781480.9606570.9901220.4757310.7305400.8912490.9658580.9917230.5073320.7533410.9032500.9704590.9930240.5383330.7750420.9140510.9744600.9941250.5687340.7953430.9239520.9780260.5982350.8144440.9329530.9811270.626936

10、0.8322450.9410540.9839280.6545370.8487460.9483550.9836第四環(huán)節(jié)：練習提高內(nèi)容：課本 P168 隨堂練習課外調(diào)查的 10 個人的生肖分別是什么？他們中有 2 人的生肖相同嗎？ 6 個人中呢？利用全班的調(diào)查數(shù)據(jù)設計一個方案，估計 6 個人中有 2 個人生肖相 同的概率 .目的：本問題與前面生日問題類似， 借助于課外調(diào)查的數(shù)據(jù)再次進行有關 問題的概率估算，豐富數(shù)學活動經(jīng)驗，直觀感受較復雜事件的概率問題 .設計方案：模仿生日問題，學生自主設計，以上方案僅供參考 .方案一：全班分 6 人一小組試驗（多出人員可一人當 2 人，3 人），每人 隨機寫下自

11、己調(diào)查的一個生肖，小組長匯總收集數(shù)據(jù)，統(tǒng)計結(jié)果，課代表收集 全班數(shù)據(jù)，估算 6 人中有 2 人生肖相同的概率 .方案二：將全班調(diào)查好所有結(jié)果寫在紙條上，放進箱子里隨機抽取 6 張. 方案三：生肖結(jié)果用數(shù)字代替排成方陣 .活動過程指導：（1）簡化過程，把生肖按順序用 1-12 個數(shù)據(jù)代替 .（2）鼓勵學生積極大膽發(fā)表自己的見解 .（3）在討論、交流過程中使學生進一步感受大量重復試驗中頻率穩(wěn)定于 概率的意義 .（4）激勵學生探索該問題的模擬試驗 .活動評價指導：（1）主要是積極評價，鼓勵學生思維的多樣性 .（2）看學生能否用試驗的方法估計一些復雜隨機事件的概率.（3）關注學生對概率意義的理解是否全面 .（4）此問題的理論概率約 0.78，在此不要求學生把結(jié)果精確到那一位 .第五環(huán)節(jié)：課時小結(jié)內(nèi)容：師生共同總結(jié)本節(jié)內(nèi)容目的：回顧本節(jié)教學目標 學生先自我總結(jié)，然后師生共析： 本節(jié)課經(jīng)歷了調(diào)查、收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、進行試驗、統(tǒng)計結(jié)果，合作交 流的過程，知道了用大量的實驗頻率來估計，一些復雜的隨機事件的概率，當 試驗次數(shù)趙多時，實驗頻率穩(wěn)定于理論概率，還知道了“直覺并不可靠” ，本節(jié) “生日相同的概率”