正項(xiàng)級數(shù)收斂的判別法正項(xiàng)級數(shù)收斂性判別法的比較及其應(yīng)用

1、正項(xiàng)級數(shù)收斂的判別法正項(xiàng)級數(shù)收斂性判別法的比較及其應(yīng)用正項(xiàng)級數(shù)收斂性判別法的比較及其應(yīng)用摘 要：文章主要介紹了正項(xiàng)級數(shù)收斂的幾種主要的求解方 法，通過這九種方法相互進(jìn)行比較，運(yùn)用典型的正項(xiàng)級數(shù)的 例題，從而增加解決正項(xiàng)級數(shù)的證明方法。 關(guān)鍵詞：正項(xiàng) 級數(shù)；收斂；典型；方法；比較Abstract: This paper mainly introduces the positive series convergence of several main methods of solving these nine methods, through comparing each other, using

2、 typical positive series, thereby increasing positive series methods of proof.Key words: positive series ; convergence; typical ; methods;compare、引言 數(shù)學(xué)分析作為數(shù)學(xué)專業(yè)的重要基礎(chǔ)課程。 級數(shù)理論是數(shù)學(xué)分 析的重要組成部分，在實(shí)際生活中的運(yùn)用也較為廣泛，如經(jīng) 濟(jì)問題等。而正項(xiàng)級數(shù)又是級數(shù)理論中重要的組成部分，級 數(shù)的收斂性更是級數(shù)理論的核心問題， 要想解決正項(xiàng)級數(shù)的 求和問題必須先解決正項(xiàng)級數(shù)收斂性判斷。 正項(xiàng)級數(shù)收斂性 判斷的方法雖然較多，但使用

3、起來仍有一定的技巧，根據(jù)不 同的題目特點(diǎn)分析、判斷選擇適宜的方法進(jìn)行判斷，能夠最 大限度的節(jié)約時間，提高效率，特別是一些典型問題，運(yùn)用 典型方法，才能事半功倍。二、預(yù)備知識1、正項(xiàng)級數(shù)收斂的充要條件部分和數(shù)列 S n 有界，即存在某正數(shù) M ，對? n N ，有 S n 2、幾種不同的判別法 (1) 比較判別法 設(shè)u n 和v n 是兩個正項(xiàng)級數(shù)，如果存在某正數(shù) N ，對 一切 nN 都有 u n v nn =1n =1那么(ii )若級數(shù) u n(i )若級數(shù) v n 收斂，則級數(shù) u n 也收斂； 發(fā)散，則級數(shù) v n 也發(fā)散；n =1n =1n =1 n =1 比較判別法的極限形式 ：設(shè)

4、u n 和 v n 是兩個正項(xiàng)級數(shù)。若 lim n =1n =1u n=l ，則n + v n(i )當(dāng)時， u n 與 v n 同時收斂或同時發(fā)散；n =1n =1(ii )當(dāng) l =0 且級數(shù) v n 收斂時， u n 也收斂；n =1n =1(iii )當(dāng) l 且v n 發(fā)散時， u n 也發(fā)散。n =1n =1(2) 比值判別法設(shè) u n 為正項(xiàng)級數(shù)， ? N 0 N ，有n =1u n +1(i )若對一切 n N 0 ，成立不等式 q u n i =1 u n +1(ii )若對一切 n N 0 ，成立不等式 1，則級數(shù) u n 發(fā)散。 u n i =1(3) 根式判別法設(shè)u n

5、是正項(xiàng)級數(shù)，且存在某正整數(shù) N 0 及正常數(shù) M n =1(i )若對一切 n N 0 ，成立不等式 u n (ii )若對一切 n N 0， 成立不等式根式判別法的極限形式：n =1設(shè) u n 是正項(xiàng)級數(shù)，且 lim u n =l ，則 n +M i =1 u n ，1則級數(shù) u n 發(fā)散。i =1(i )當(dāng) l 1 時，級數(shù) u n 發(fā)散；(iii )當(dāng) l =1 時，級數(shù)的斂散性進(jìn)一步判斷。n =1n =1 (4) 柯西積分判別法 對于正項(xiàng)級數(shù) u n ，設(shè)u n 單調(diào)減少的數(shù)列，作一個連續(xù) 的單調(diào)減少的正值函數(shù)n =1 f (x )(f (x )0) ，使得當(dāng) x 等于自然數(shù) n 時，

6、其函數(shù)恰為 u n 那么級數(shù) u n 積分，n =1A n =? f (x )d (x ) ，同時收斂或同時發(fā)散。1(5) 拉貝判別法設(shè)u n 是正項(xiàng)級數(shù)，且存在自然數(shù) N 0 及常數(shù) r ，n =1? u n +1?(i )若對一切 n 1，則級數(shù) u n 發(fā)散；i =1n ? u n +1?(ii )若對一切 n N 0 ，成立不等式 n 1-u ? i =1n ? 拉貝判別法的極限形式：u n +1? 設(shè) u n 是正項(xiàng)級數(shù)，且極限 lim n 1-?=r 存在，則 n + u n =1n ?(i )當(dāng) r 1 時，級數(shù)u n 發(fā)散。 n =1n =1(iii )當(dāng) r 1時，拉貝判別法

7、無法判斷。(6) 阿貝爾判別法 如果： (i ) 級數(shù)b n 收斂；n =1(ii )數(shù)列a n 單調(diào)有界， a n 如果：K(n =1, 2, 3, ?)，則級數(shù)a n b n 收斂。 n =1(7) 狄立克萊判別法變量級數(shù)判別法(i )級數(shù)b n 的部分和 B n 有界， B nn =1M(n =1, 2, 3, ?)(ii )數(shù)列a n 單調(diào)趨近于零，則級數(shù) a n b n 收斂。n =1 注：阿貝爾判別法與狄立克萊判別法是任意級數(shù)判別法，但 也適用正項(xiàng)級數(shù)。(8) 對數(shù)判別法設(shè) a 0，n n 0，u n 為正項(xiàng)級數(shù)，若n =1 1(i ) 1+，a n 0，u n 收斂 ln n n

8、 =1ln1(ii )ln(9) 高斯判別法? a n +1? a ? 1? 設(shè) u n 為正項(xiàng)級數(shù)，若 u 1- =1+ ? a n ? ln n ? ln n ? n =1?則在 1時，級數(shù) u n 收斂 ;n =1 n =1三、判別方法的比較1、當(dāng)級數(shù)可化為含參數(shù)的一般式、通項(xiàng)為等差或等比值或 通項(xiàng)為含有二項(xiàng)以上根 式的四則運(yùn)算且通項(xiàng)極限無法求出時， 可以選用正項(xiàng)級數(shù)的 比較判別法判斷。如：111（1） 1+ ?+ ?23n 1取 02111111S n +p -S n =+?+?+=0n +1n +22n 2n 2n 2所以級數(shù)發(fā)散2）n =1n +2-2n +2+nS n =3-22

9、+1+)4-2+)-24+. +)n +2-2n +1+n)=1-2+n +2-n +11=1-2+n +2+n +1S=lim S n =1-2n P 級數(shù)只能用正項(xiàng)級數(shù)的比較判別法進(jìn)行判斷最為簡便。12、當(dāng)級數(shù)表達(dá)式形如 u n ， u n 為任意函數(shù)的因子可以進(jìn) 行適當(dāng)?shù)姆趴s，并與幾何級u n +1u n +110lim =1lim n n + u n +、u n n +數(shù)、 P 級數(shù)、調(diào) 和級數(shù)進(jìn)行比較不易算出或、等此類無lim法判斷級數(shù)收斂性或進(jìn)行有關(guān)級數(shù)的證明問題時， 應(yīng)選用比 較判別法。例：1? 1? 2（ 1） 級數(shù)收斂 （） a 1? n? a ? n =11+a1111（

10、2） 級數(shù)收斂 =ln n ln n ln ln n 2ln n 2e e n n =1ln n 比較判別法使用適用于大部分無法通過其它 途徑判別其斂散性的正項(xiàng)級數(shù)。3、當(dāng)級數(shù)含有 n 的階乘， n 次冪， 形如 a ! 或 a n 或分子、 分母含多個因子連乘除時，選用比值判別法。當(dāng)通項(xiàng)含 a n 的函數(shù)可以選用比值判別法的極限形式進(jìn)行判斷，例：n1?3?（2n -1）（ 1） n ! n =1u 2n +1lim n +1=lim =2 級數(shù)發(fā)散 n + u n n +1n11( 2) n n +12n =1arctan a a ，利用 a 0時，有等價無窮小關(guān)系3若記 a n =n ?a

11、rctana則 lim n +1=lim n + a n n2n +1(n +1)? n +2(n +1)?=limn n ?n +1212 所以級數(shù)n n +1收斂2n =1n +2n ?2n +11當(dāng)4、當(dāng)級數(shù)含有 n 次冪，形如 a n 或(u n )n 或通項(xiàng) u n =1即分母含有含 ln x 的函數(shù)， pn ln n分子為 1，或級數(shù)含有多個聚點(diǎn)時，可選用根式判別法。例如：?n ?(1) ?n =1? 2n +1?n 1lim n =lim = 級數(shù)收斂 n n 2n +12一般來說，當(dāng)選用根式判別法無法判斷時，我們也可以選用 比值判別法來判斷，但有時候我們用根式判別法而不使用比

12、值判別法，因?yàn)楦脚袆e法得到的收斂條件比比值判別法更13優(yōu)。例如：（2）1+b +bc +?+b n c n +?4 （0lim 2n b n -1c n -1= n nlim 2b n c n =n bc1，級數(shù)發(fā)散 bcbc=1，原式 =1+b +1+b + ? 級數(shù)發(fā)散 用 比值判別法u n +1lim =c n u n c 1 級數(shù)收斂 b 1 級數(shù)發(fā)散limu n +1=bn un由例題可知，兩種判別法都可以用來判斷上題，但根式判別 法與比值判別法相比得出的收斂范圍更小， 約束條件更為詳 細(xì)。因此，上題選用根式判別法比比值判別法更好。在使用 判別法時，我們可以選用根式判別法找到最佳收

13、斂條件。同 時也存在只能使用根式判別法， 使用比值判別法無法判斷的14情況。例如：(3) 2-n -(-1)5111 級數(shù)收斂 =(- 1)n n n 222 不可使用比值判別法nu n +1-1+2(-1)無法判斷斂散性 lim =lim 2n u n n 因此，當(dāng)我們觀察級數(shù)的一般項(xiàng)的極限趨近于 以選用比值判別法或根式判別法。lim n =lim5、當(dāng)級數(shù)表達(dá)式形如11，u n 為含有 ln n 的表達(dá)式或可以找到原函數(shù)， n u n為 1, + 上)非負(fù)單調(diào)遞減函數(shù)， u n 含有 ln n 找到原函數(shù)，可以選用柯西積分判別法。例： 110 時，我們可或級數(shù) u n u等的因子可以15(

14、)u x =，其中 x ln x ln ln x n ln n ln ln n n =3 因?yàn)?u (x )dx 發(fā)散，所以級數(shù)發(fā)散 36、當(dāng)通項(xiàng)是由兩個部分乘積而成，其中一部分為單調(diào)遞減 且極限趨于 0 的數(shù)列，另一部分為部分和有界的數(shù)列；或可 化為(-1)，如： (-1)nn (n -1)2=(-1) ；也可以行如n sin (u ，) un n 為任意函數(shù)，則可以選用狄立克萊判別法。阿貝爾判別法也 可以看成是狄立克萊判別法的特殊形式。例：3n +1? 1?設(shè)b n 收斂，則級數(shù) b n 1+?，b n ln 等都是極限。162n ? n ? n =1n =1n =1n7、當(dāng)通項(xiàng)可通過泰勒

15、展開式等方法找到其等價式，則可以 通過判斷其等價式的斂散性來判斷原正項(xiàng)級數(shù)的斂散性， 這 需要對泰勒展開式能夠較為熟練的使用， 以及對各種等價式 能夠熟練的運(yùn)用。例：sin (2 en ! )n a (a 0) 11Qe =1+ ?+ ?(泰勒展開式)1! n !? 1? ? 11sin (2 en ! )=s?in2 n ! 1+?+?n ! ? ?1! 2! ?(1)?1?22? 1+ 2 =sin? 2n ! 1?+?+? +n ! ?n +1n +1n +2?n ? 2 2?1? 2 (n ) + ? 2 =sin ?n +1n +1n +2n n ? ?sin (2 en ! )2

16、1+a a172因?yàn)?1+a 收斂n 所以原級數(shù)收斂? ? ?8、當(dāng)（ 1） u n 的值可化為泰勒開式，則選用高斯判別法。如：u n +12 n =1- ln x 6 log 2e， 級數(shù)收斂 log 2，e 級數(shù)發(fā)散1? x ln n ?（2） p 1- ?n ?n ?x ln n Q lim =0 ，當(dāng) n 充分大時， u n 0 n n1當(dāng) x =0，級數(shù)為 p 如果 p 1 ，則級數(shù)收斂；如果 p ，1則 級數(shù)發(fā)散18? x ln n ?當(dāng) x ，0ln (u n n p +x )=x ln n +n ln 1- ?n ?u x ln n 2n +ln (1-u n )u = 0,

17、n 1 =nu n +n ln n (1-u n )=nu 其中 n 2n u n 當(dāng) x 時， x 0, nu n 由0, 洛必達(dá)法則 limn 7u n +ln (1-u n )2u nulim ln (u n n p +x )=0, lim n =1 級數(shù)收斂 n n 1 n p +x ln g (x )9、當(dāng)通項(xiàng) u n =n ln x 或 u n =ln f (x ) 可以選用對數(shù)判別法 例：=lim +ln (1- )=lim n n 2191- 11=lim 1=-n 22 -12u n =ln18ln xln ln n1u n=ln ln (ln n ) 對 a 0, ? n

18、0, 當(dāng) n n 0時， ln n ln ln (ln n )級數(shù)1+收a 斂四、應(yīng)用舉例例 1 u n =1! +2! + ?+n !2n ! 分析：本題無法使用根式判別法與比值判別法，因此選擇比 較判別法進(jìn)行判斷 解 0n ?n ! n 1=n ! n +1 ?2n n +1?2n 2n -1?2n 且級數(shù) 20收斂n =12n -12n 所以級數(shù)收斂 例 2a n 1+a 1+a ?1+a n =112n 分析：本題無法使用根式判別法、比值判別法，或比較判別 法以及其他的判別法進(jìn) 行判斷，因此選用充要條件進(jìn)行判斷。11解 u n = -1+a 11+a 2?1+a n -11+a 11+

19、a 2 ?1+a n a n 1S n = =-11+a 11+a 2 ?1+a n 1+a 11+a 2 ?1+a n n =1S n 單調(diào)遞增且有界 所以級數(shù)收斂? 1? 1?3? 1?3?5? 9例 3 ?+ ?+ ?+? 2? 2?4? 2?4?6?(2n -1)! ! 含有階層， 但不能使用根式判別式或比值判別式進(jìn) 分析：本題中通項(xiàng) u n = 2n ! !21行判斷，因此選用拉貝判別法p p pu ?2n +2? 解 n = ?u n +1? 2n +1?1? 2n +2? 1? 1+? -1 ? -1 ? u n ? p 2n +1? 2n +1? n ? Q lim n =li

20、m =lim = ? n n u n ? n1 1+21?n np所以當(dāng) 1，即 p 2，級數(shù)收斂2 n2+(-1)例 4 n2n分析：本題中分子含有 (-1) ，無法用比值判別法或其他方法 判別，這種類型也是根式判別法的典型類型，取上極限進(jìn)行 判斷，因此，選用根式判別法。pp2+-1122解 lim n =lim =n n 22 n例5? 1? 1?-ln 1+? ?n? n ? n =1?分析：通過觀察，本題可以使用充要條件進(jìn)行判斷，但等價 判斷法進(jìn)行判斷更為便捷。1? 1? 1?1?解 ln 1+? =-2+o 2? (n )? n ?n 2n ?n ?所以又 11? 1? 1?-ln

21、1+? 2+o 2? (n ) n? n ? 2n ?n ?1收斂 2n 2? 1? 1? -ln 1+? 收斂 ? nn ? n =123五、總結(jié)與展望 判斷正項(xiàng)級數(shù)的一般順序是先檢驗(yàn)通項(xiàng)的極限是否為0，若為 0 則發(fā)散，若不為 0 則判斷級數(shù)的部分和是否有界，有界則收斂，否則發(fā)散。若 級數(shù)的一般項(xiàng)可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s則使用比較判別法， 或可 以找到其等價式用等價判別法。當(dāng)通項(xiàng)具有一定的特點(diǎn)時， 則根據(jù)其特點(diǎn)選擇適用的方法，如比值判別法、根式判別法 或拉貝判別法。當(dāng)上述方法都無法使用時，根據(jù)條件選擇積 分判別法、柯西判別法、庫默判別法或高斯判別法。庫默爾 判別法可以推出比值判別法、 拉貝爾判別法與伯爾特昂判別 法。當(dāng)無法使用根式判別法時，通常可以選用比值判別法， 當(dāng)比值判別法也無法使用時，使用比較判別法，若比較判別 法還是無法判別時再使用充要條件進(jìn)行斷。由此，我們可以 得到正項(xiàng)級數(shù)的判別法是層層遞進(jìn)使用的， 每當(dāng)一種判別法 無法判斷時，就出現(xiàn)一種新的判別法來進(jìn)行判斷，因此正項(xiàng) 級數(shù)的判別法有無窮多種。 正項(xiàng)級數(shù)收斂性判斷的方法雖然較多， 但使用起來仍有一定 的技巧，根據(jù)不同的題目特點(diǎn)分析、判斷選擇適宜的方法進(jìn) 行判斷， 能夠最大限度的節(jié)正項(xiàng)級數(shù)收斂性判